Chapter 16

벡터 미적분

일기 예보의 바람 지도에는 곳곳에 화살표가 그려져 있습니다. 점마다 벡터 하나를 붙인 이런 그림이 벡터장입니다. 바람, 강물, 열의 흐름, 중력, 전기장과 자기장이 모두 벡터장입니다. 이 장에서는 벡터장을 미적분합니다. 곡선을 따라 더하면 일과 순환, 곡면을 뚫고 지나가는 양을 더하면 플럭스, 한 점에서 미분하면 발산과 회전이 나옵니다. 그리고 이 모든 것이 하나의 원리로 묶입니다. 영역 안에서 미분한 것을 모두 더하면 경계에서의 값이 된다는, 미적분의 기본 정리의 고차원 판입니다. 그 원리가 그린, 스토크스, 발산 정리이고, 그 언어로 쓴 것이 전자기학의 맥스웰 방정식입니다.

이 수식이 없었다면라디오도, 휴대폰도, 와이파이도

1860년대에 맥스웰은 전기와 자기에 관해 알려진 실험 법칙들을 장(field)의 방정식으로 모으고, 실험 법칙에는 없던 항 하나(변위 전류)를 더했습니다. 그 결과 방정식이 빛의 속력으로 퍼지는 파동을 예언했고, 맥스웰은 빛이 전자기파라고 결론지었습니다. 1880년대 후반 헤르츠가 실험실에서 전자기파를 만들고 검출해 이를 확인했고, 그 뒤로 무선 통신의 시대가 열렸습니다.

맥스웰의 원래 식은 성분별로 풀어 쓴 스무 개 남짓한 식이었습니다. 지금 우리가 아는 네 줄짜리 식은 헤비사이드 등이 이 장의 언어, 즉 발산 ∇⋅\nabla\cdot 과 회전 ∇×\nabla\times로 다시 쓴 것입니다. 안테나 설계, 전동기, 변압기, 무선 충전, 레이더가 모두 이 네 줄과 발산·스토크스 정리 위에 서 있습니다.

실험 법칙(쿨롱·앙페르·패러데이)→장의 언어로 다시 쓰기→∇·E = ρ/ε₀, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t→전자기파와 무선 통신

벡터장: 점마다 붙은 화살표

바람 지도를 어떻게 수학으로 쓸까

기상 관측소 수백 곳이 저마다 바람의 방향과 세기를 보고합니다. 이것을 지도에 화살표로 그리면 흐름의 모양이 보입니다. 저기압 주변으로 감아 도는 바람, 산맥을 넘어 퍼지는 바람. 이 모양을 식으로 쓰고, "얼마나 감아 도는가", "얼마나 퍼지는가"를 숫자로 재려면 무엇이 필요할까요?

정의 16.1 (벡터장) 평면 영역 DD의 벡터장(vector field)은 각 점 (x,y)(x, y)에 벡터 F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = \bigl(P(x, y),\ Q(x, y)\bigr)를 대응시키는 함수다. 공간에서는 F=(P,Q,R)\mathbf F = (P, Q, R). 성분 함수가 연속 편도함수를 가지면 F\mathbf F를 C1C^1 벡터장이라 한다.

14장의 그래디언트 ∇f\nabla f가 이미 벡터장의 예였습니다. 몇 가지 기본 모양을 익혀 두면 거의 모든 장을 그 조합으로 읽을 수 있습니다.

입자를 벡터장에 놓고 화살표가 가리키는 대로 흘려 보내면 그 자취가 흐름선(flow line, streamline)입니다. 흐름선 r(t)\mathbf r(t)는 미분방정식 r′(t)=F(r(t))\mathbf r'(t) = \mathbf F(\mathbf r(t))의 해이고, 각 점에서 벡터장에 접합니다.

SIMULATOR

벡터장과 흐르는 입자

F(x, y)—
div F—
curl F (z 성분)—
해볼 것: ① '회전'과 '점 소용돌이'는 둘 다 감아 돌지만, 점 소용돌이는 바깥일수록 느립니다. 5절에서 보듯 점 소용돌이는 원점 밖에서 회전이 0입니다. ② '소스'에서는 입자 사이 간격이 벌어지고(발산 > 0), '안장'에서는 한쪽으로 늘고 한쪽으로 줄어 넓이가 보존됩니다(발산 = 0). ③ '전단'은 화살표가 모두 평행한데도 회전이 0이 아닙니다. 모델: 입자는 r′ = F(r)를 2차 룽게–쿠타로 적분하고, 수명이 다하거나 화면을 벗어나면 새로 뿌립니다. 특이점 근처 속도는 제한합니다.

선적분: 곡선을 따라 더하기, 그리고 일

바람을 거슬러 자전거를 타면 일을 얼마나 할까

일정한 힘 F\mathbf F로 직선 d\mathbf d만큼 움직이면 일은 F⋅d\mathbf F\cdot \mathbf d입니다. 그런데 바람(힘)이 곳곳에서 다르고 길이 구불구불하면? 길을 짧은 조각으로 나누면 조각마다 힘은 거의 일정하고 길은 거의 직선입니다. 조각마다 F⋅Δr\mathbf F\cdot \Delta\mathbf r를 구해 더하면 됩니다.

곡선 CC를 매개변수 r(t)\mathbf r(t), a≤t≤ba \le t \le b로 나타냅시다. 짧은 조각의 길이는 Δs≈∣r′(t)∣ Δt\Delta s \approx |\mathbf r'(t)|\, \Delta t이고 방향은 단위 접선 T=r′/∣r′∣\mathbf T = \mathbf r'/|\mathbf r'|입니다.

정의 16.2 (선적분) 매끄러운 곡선 C:r(t)C: \mathbf r(t), a≤t≤ba \le t \le b 위에서
∫Cf ds=∫abf(r(t)) ∣r′(t)∣ dt,∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt=∫CF⋅T ds.\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf r(t))\,|\mathbf r'(t)|\,dt, \qquad \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt = \int_C \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds.
왼쪽은 스칼라 함수의 선적분(line integral): 밀도 ff인 철사의 질량처럼 곡선을 따라 쌓인 양. 오른쪽은 벡터장의 선적분: 힘의 접선 성분을 더한 일. 성분으로 쓰면 ∫CP dx+Q dy\int_C P\, dx + Q\, dy.
두 값 모두 같은 곡선을 다른 매개변수로 나타내도 변하지 않는다(8장의 치환 적분). 다만 벡터 선적분은 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다: ∫−CF⋅dr=−∫CF⋅dr\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = -\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r. 스칼라 선적분은 ds>0ds \gt 0이라 방향과 무관하다.
A = r(a) B = r(b) T F(r(t)) F·T (접선 성분) 조각 하나의 일 F·Δr = (F·T) Δs 모두 더하면 W = ∫_C F·dr F·T > 0: 힘이 밀어 준다 F·T < 0: 힘을 거슬러 간다 F ⟂ T: 일을 하지 않는다
그림 16-1. 곡선 위 각 점에서 힘 F를 접선 방향 T로 사영한 길이 F·T만 일에 기여한다. 수직 성분은 경로를 휘게 할 뿐 일을 하지 않는다. 원운동하는 위성에 중력이 일을 하지 않는 이유다.
예제 16.1 (철사의 질량) 밀도가 f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y인 철사가 (0,0)(0, 0)에서 (1,1)(1, 1)까지 직선으로 놓여 있다. 질량 ∫Cf ds\int_C f\, ds를 구하라.

r(t)=(t,t)\mathbf r(t) = (t, t), 0≤t≤10 \le t \le 1, ∣r′(t)∣=2|\mathbf r'(t)| = \sqrt2. ∫012t⋅2 dt=2≈1.414\int_0^1 2t\cdot \sqrt2\, dt = \sqrt2 \approx 1.414. 검산: 철사 길이 2\sqrt2 × 평균 밀도 1.

예제 16.2 (회전장이 한 바퀴에 하는 일) F=(−y,x)\mathbf F = (-y, x)가 단위원을 반시계로 한 바퀴 도는 입자에 하는 일은?
  1. r(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\mathbf r(t) = (\cos t, \sin t), r′(t)=(−sin⁡t,cos⁡t)\mathbf r'(t) = (-\sin t, \cos t), F(r(t))=(−sin⁡t,cos⁡t)\mathbf F(\mathbf r(t)) = (-\sin t, \cos t).
  2. F⋅r′=sin⁡2t+cos⁡2t=1\mathbf F\cdot \mathbf r' = \sin^2 t + \cos^2 t = 1. 힘이 늘 진행 방향과 나란합니다.
  3. ∫02π1 dt=2π\int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi. 시계 방향으로 돌면 −2π-2\pi. 출발점으로 돌아왔는데도 일이 0이 아닙니다. 이런 닫힌 경로의 선적분을 순환(circulation)이라 하고 ∮CF⋅dr\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r로 씁니다.
예제 16.3 (경로가 다르면 일도 다르다) F=(x2,xy)\mathbf F = (x^2, xy)가 (0,0)(0, 0)에서 (1,1)(1, 1)까지 (a) 직선 y=xy = x, (b) 포물선 y=x2y = x^2을 따라 하는 일을 구하라.
  1. (a) r=(t,t)\mathbf r = (t, t), r′=(1,1)\mathbf r' = (1, 1): F⋅r′=t2+t2=2t2\mathbf F\cdot \mathbf r' = t^2 + t^2 = 2t^2, 일 =23= \tfrac23.
  2. (b) r=(t,t2)\mathbf r = (t, t^2), r′=(1,2t)\mathbf r' = (1, 2t): F⋅r′=t2+t⋅t2⋅2t=t2+2t4\mathbf F\cdot \mathbf r' = t^2 + t\cdot t^2\cdot 2t = t^2 + 2t^4, 일 =13+25=1115= \tfrac13 + \tfrac25 = \tfrac{11}{15}.
  3. 1015≠1115\tfrac{10}{15} \ne \tfrac{11}{15}. 이 힘은 "어느 길로 갔는가"를 기억합니다. 다음 절에서 그렇지 않은 힘을 다룹니다.
SIMULATOR

경로를 끌어 일 계산하기

점 네 개를 끌어 경로 바꾸기 · 초록 = 밀어 줌, 빨강 = 거스름
누적 일 W(t) = ∫₀ᵗ F·r′ dt
일 ∫ F·dr—
경로 길이 ∫ ds—
시작 → 끝—
해볼 것: ① 회전장에서 경로를 원점 둘레로 크게 휘게 하면 일이 커집니다. 화살표와 나란히 갈수록 초록이 늘어납니다. ② '방향 뒤집기'는 같은 곡선을 거꾸로 갑니다. 일의 부호만 바뀌고 길이는 그대로입니다. ③ '퍼텐셜장'에서는 양 끝을 고정한 채 가운데 두 점을 아무리 끌어도 일이 변하지 않습니다. 다음 절의 주제입니다. 모델: 경로는 3차 베지에 곡선, 적분은 600조각 중점 합입니다.

보존장과 퍼텐셜: 경로가 상관없을 때

산을 오르는 데 드는 일은 길에 따라 다를까

중력을 거슬러 질량 mm인 짐을 높이 hh만큼 올리는 일은 mghmgh입니다. 지그재그 등산로로 가든 곧장 절벽을 타든 같습니다. 중력은 출발점과 도착점의 높이만 기억하고 길은 잊습니다. 어떤 벡터장이 이런 성질을 가질까요?

정의 16.3 (보존장과 퍼텐셜) 어떤 스칼라 함수 ff에 대해 F=∇f\mathbf F = \nabla f이면 F\mathbf F를 보존장(conservative field), ff를 F\mathbf F의 퍼텐셜 함수(potential function)라 한다. 물리에서는 위치 에너지 U=−fU = -f를 쓴다. 이름 그대로, 보존력만 작용하면 운동 에너지 + 위치 에너지가 보존된다.
정리 16.4 (선적분의 기본 정리(fundamental theorem for line integrals)) CC가 AA에서 BB로 가는 조각마다 매끄러운 곡선이고 ff가 C1C^1이면
∫C∇f⋅dr=f(B)−f(A).\int_C \nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A).

증명. 연쇄 법칙(13장)으로 ddtf(r(t))=∇f(r(t))⋅r′(t)\tfrac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) = \nabla f(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t). 그래서 ∫ab∇f⋅r′ dt=∫abddtf(r(t)) dt=f(r(b))−f(r(a))\int_a^b \nabla f\cdot \mathbf r'\, dt = \int_a^b \tfrac{d}{dt}f(\mathbf r(t))\, dt = f(\mathbf r(b)) - f(\mathbf r(a))(8장의 기본 정리). ∎

8장의 ∫abF′(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b F'(x)\, dx = F(b) - F(a)가 그대로 곡선 위로 옮겨 왔습니다. "도함수를 적분하면 양 끝 값의 차"라는 원리가 이 장의 모든 정리를 관통합니다. 그 결과로 다음 세 성질이 같아집니다.

정리 16.5 (경로 독립의 동치 조건) 열린 연결 영역 DD의 연속 벡터장 F\mathbf F에 대해 다음은 서로 동치다.
  1. F=∇f\mathbf F = \nabla f인 퍼텐셜 ff가 있다.
  2. ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r가 양 끝점에만 의존한다(경로 독립(path independence)).
  3. DD 안의 모든 닫힌 경로에서 ∮CF⋅dr=0\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = 0.

증명 아이디어. (1)⇒(2)는 정리 16.4. (2)⇔(3): 같은 끝점을 잇는 두 경로 C1,C2C_1, C_2에 대해 C1−C2C_1 - C_2는 닫힌 경로다. (2)⇒(1): 기준점 AA를 고정하고 f(x)=∫AxF⋅drf(\mathbf x) = \int_A^{\mathbf x}\mathbf F\cdot d\mathbf r로 정의하면(경로 독립이라 잘 정의된다), 끝 부분을 xx 방향 선분으로 잡아 미분하면 ∂xf=P\partial_x f = P, 마찬가지로 ∂yf=Q\partial_y f = Q. ∎

그러면 주어진 장이 보존장인지 어떻게 알까요? F=(P,Q)=(fx,fy)\mathbf F = (P, Q) = (f_x, f_y)이면 클레로 정리(13장)로 Py=fxy=fyx=QxP_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x입니다. 이 필요조건이 언제 충분한지가 미묘합니다.

정리 16.6 (보존장 판정) F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q)가 C1C^1이고 DD가 단순 연결 영역(simply connected region)(구멍이 없어서 DD 안의 닫힌 곡선을 DD 안에서 한 점으로 줄일 수 있는 영역)이면
F가 보존장  ⟺  ∂Q∂x=∂P∂y(D 전체에서).\mathbf F \text{가 보존장} \iff \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \quad (D \text{ 전체에서}).
3차원에서는 ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0이 같은 역할을 한다. 증명은 다음 절의 그린 정리로 한다.
구멍이 있으면 판정이 깨진다 점 소용돌이 F=(−y,x)x2+y2\mathbf F = \dfrac{(-y, x)}{x^2 + y^2}는 원점 밖에서 Py=Qx=y2−x2(x2+y2)2P_y = Q_x = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}입니다. 그런데 단위원을 한 바퀴 돌면 F⋅r′=1\mathbf F\cdot \mathbf r' = 1이라 순환은 2π≠02\pi \ne 0. 원점이 빠진 평면은 단순 연결이 아니기 때문입니다. 국소적으로는 F=∇θ\mathbf F = \nabla\theta(극좌표의 각)이지만, θ\theta는 한 바퀴 돌면 2π2\pi만큼 어긋나서 평면 전체의 함수가 될 수 없습니다.
예제 16.4 (퍼텐셜 찾기) F=(2xy+1, x2+3y2)\mathbf F = (2xy + 1,\ x^2 + 3y^2)가 보존장인지 확인하고, (0,0)(0, 0)에서 (1,2)(1, 2)까지의 일을 구하라.
  1. Py=2xP_y = 2x, Qx=2xQ_x = 2x. 같고 정의역은 평면 전체(단순 연결)이므로 보존장입니다.
  2. fx=2xy+1f_x = 2xy + 1을 xx로 적분: f=x2y+x+g(y)f = x^2y + x + g(y). 여기서 "상수"는 yy의 함수일 수 있습니다.
  3. fy=x2+g′(y)f_y = x^2 + g'(y)를 Q=x2+3y2Q = x^2 + 3y^2과 비교하면 g′=3y2g' = 3y^2, g=y3g = y^3. 그래서 f=x2y+x+y3f = x^2y + x + y^3.
  4. 일 =f(1,2)−f(0,0)=(2+1+8)−0=11= f(1, 2) - f(0, 0) = (2 + 1 + 8) - 0 = 11. 어떤 경로로 가도 같습니다.

중력 F=−GMm r/∣r∣3\mathbf F = -GMm\, \mathbf r/|\mathbf r|^3은 f=GMm/∣r∣f = GMm/|\mathbf r|의 그래디언트입니다. 그래서 반지름 r1r_1에서 r2r_2로 갈 때 중력이 하는 일은 경로와 무관하게 GMm(1r2−1r1)GMm\bigl(\tfrac{1}{r_2} - \tfrac{1}{r_1} \bigr)이고, r2→∞r_2 \to \infty로 보내면 탈출 속도가 나옵니다.

SIMULATOR

세 경로 비교: 경로 독립인가?

위로 휜 경로—
직선—
아래로 휜 경로—
f(B) − f(A)—
해볼 것: ① 퍼텐셜장과 안장에서 A, B를 끌고 휘는 정도를 바꿔도 세 값이 같고 f(B) − f(A)와 일치합니다. ② 회전장에서는 위·아래 경로의 차이가 두 경로가 둘러싼 넓이의 2배입니다(다음 절 그린 정리, curl = 2). ③ 점 소용돌이에서 두 경로가 원점을 사이에 두면 차이가 정확히 2π, 원점을 사이에 두지 않으면 0입니다. 모델: 휜 경로는 A, B를 잇는 2차 베지에 곡선, 적분은 800조각 중점 합입니다.

그린 정리: 경계의 순환 = 내부 회전의 합

울타리를 한 바퀴 돌며 안쪽 넓이를 잰다

측량사는 땅 안으로 들어가지 않고 경계를 따라 걸으며 좌표만 재서 넓이를 계산합니다. 19세기에는 바늘 끝으로 지도 위 경계를 한 바퀴 따라가기만 하면 바퀴 눈금에 넓이가 찍히는 기계, 플라니미터가 쓰였습니다. 경계 정보만으로 내부를 알 수 있는 이유는 무엇일까요?

경계 곡선 CC가 영역 DD를 반시계 방향(왼쪽에 DD를 두고)으로 한 바퀴 돌 때, 이것을 양의 방향이라 합니다.

정리 16.7 (그린 정리(Green's theorem)) DD가 조각마다 매끄러운 단순 닫힌 곡선 CC로 둘러싸인 평면 영역이고 CC가 양의 방향이며, P,QP, Q가 DD를 포함하는 열린 영역에서 C1C^1이면
∮CP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA.\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.

증명 아이디어. DD가 제1형 영역 a≤x≤ba \le x \le b, g1(x)≤y≤g2(x)g_1(x) \le y \le g_2(x)이라 하자. 기본 정리로 ∬D−Py dA=−∫ab[P(x,g2(x))−P(x,g1(x))]dx\iint_D -P_y\, dA = -\int_a^b \bigl[P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))\bigr]dx. 한편 ∮CP dx\oint_C P\, dx는 아래 경계(왼→오)에서 ∫abP(x,g1) dx\int_a^b P(x, g_1)\, dx, 위 경계(오→왼)에서 −∫abP(x,g2) dx-\int_a^b P(x, g_2)\, dx, 세로 변에서는 dx=0dx = 0. 두 식이 같다. QQ 부분은 DD를 제2형으로 보고 같은 계산을 한다. 일반 영역은 이런 조각으로 자른다. ∎

이웃한 칸의 공유 변은 서로 반대 방향으로 지나 상쇄된다 작은 칸 하나의 순환 ∮ F·dr ≈ (Q_x − P_y) ΔA 칸을 모두 더하면 Σ (내부 회전) ΔA = 바깥 경계의 순환만 남음 극한 ∬_D (Q_x − P_y) dA = ∮_C F·dr
그림 16-2. 영역을 작은 칸으로 나눠 각 칸의 경계를 반시계로 돌면, 안쪽 변은 이웃한 두 칸이 서로 반대 방향으로 지나가 기여가 상쇄되고 바깥 경계만 남는다. 칸 하나의 순환은 넓이 × (Q_x − P_y)이므로, 그린 정리는 "작은 바람개비들의 회전을 모두 더하면 경계를 도는 순환"이라는 뜻이다.
예제 16.5 (정사각형에서 확인) F=(xy,x2)\mathbf F = (xy, x^2), CC는 단위 정사각형 [0,1]2[0, 1]^2의 경계(반시계)일 때 양변을 계산하라.
  1. 이중 적분: Qx−Py=2x−x=xQ_x - P_y = 2x - x = x, ∬[0,1]2x dA=12\iint_{[0,1]^2} x\, dA = \tfrac12.
  2. 선적분, 네 변: 아래 y=0y = 0: P dx=0P\, dx = 0. 오른쪽 x=1x = 1, y:0→1y: 0 \to 1: Q dy=1 dyQ\, dy = 1\, dy → 1. 위 y=1y = 1, x:1→0x: 1 \to 0: P dx=x dxP\, dx = x\, dx → ∫10x dx=−12\int_1^0 x\, dx = -\tfrac12. 왼쪽 x=0x = 0: Q=0Q = 0 → 0.
  3. 합: 0+1−12+0=120 + 1 - \tfrac12 + 0 = \tfrac12. 같습니다.

그린 정리에 Qx−Py=1Q_x - P_y = 1인 장을 넣으면 우변이 넓이가 됩니다. F=(0,x)\mathbf F = (0, x), (−y,0)(-y, 0), 12(−y,x)\tfrac12(-y, x)가 모두 그런 장이므로

넓이(D)=∮Cx dy=−∮Cy dx=12∮C(x dy−y dx).\text{넓이}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac12\oint_C (x\,dy - y\,dx).
꼭짓점 (xi,yi)(x_i, y_i)인 다각형에 적용하면 측량에서 쓰는 신발끈 공식 12∑(xiyi+1−xi+1yi)\tfrac12\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1}y_i)이 된다. 플라니미터는 이 선적분을 바퀴의 회전으로 기계적으로 더한다.
예제 16.6 (타원의 넓이를 경계로) x=acos⁡tx = a\cos t, y=bsin⁡ty = b\sin t (0≤t≤2π0 \le t \le 2\pi)로 둘러싸인 넓이는 12∫02π(acos⁡t⋅bcos⁡t−bsin⁡t⋅(−asin⁡t))dt=12∫02πab dt=πab\tfrac12\int_0^{2\pi} \bigl(a\cos t\cdot b\cos t - b\sin t\cdot (-a\sin t)\bigr)dt = \tfrac12\int_0^{2\pi} ab\, dt = \pi ab. 15장에서 야코비안으로 구한 값과 같습니다.
SIMULATOR

그린 정리: 경계 순환 = 회전의 이중 적분

꼭짓점을 끌어 영역 바꾸기 · 색 = Qx − Py
∮ F·dr (경계)—
∬ (Qx − Py) dA (내부)—
영역 넓이—
해볼 것: ① 회전장에서는 회전이 어디서나 2라서 순환 = 2 × 넓이입니다. 영역을 어떻게 바꿔도 확인됩니다. ② '단위 정사각형'과 (xy, x²)로 예제 16.5의 1/2을 확인하세요. ③ 점 소용돌이에서 원점을 영역 안에 넣으면 순환은 2π인데 내부 회전의 합은 0입니다. 영역 안에 미분 불가능한 점이 있어 그린 정리의 조건이 깨진 것입니다. 꼭짓점을 엇갈리게 끌어 경계가 꼬이면 값이 맞지 않으니 단순 다각형을 유지하세요. 모델: 경계는 변마다 200조각 중점 합, 내부는 160×160 격자 합.
SIMULATOR

플라니미터: 경계를 그리면 넓이가 나온다

끌어서 닫힌 곡선을 그려 보세요
½∮(x dy − y dx) (누적)—
격자 칸 세기 ∬ dA—
도는 방향—
정확한 넓이—
해볼 것: ① 원을 따라가게 하고 누적값이 4π ≈ 12.566으로 자라는 것을 보세요. 반쯤 돌았을 때의 값은 그때까지 원점과 곡선이 쓸고 간 부채꼴 넓이입니다. ② 직접 그릴 때 시계 방향으로 돌면 값이 음수가 됩니다. 그린 정리는 반시계를 양의 방향으로 씁니다. ③ 8자처럼 꼬인 곡선을 그리면 두 고리의 넓이가 서로 빼집니다. 모델: 그린 곡선을 다각형으로 보고 신발끈 공식, 격자 칸 세기는 0.05 간격 격자점의 안팎 판정입니다. 카디오이드 r = 1.4(1 + cos θ)의 넓이는 1.4² · 3π/2.

회전과 발산: 작은 바람개비와 작은 상자

한 점에서 흐름이 "도는지", "퍼지는지" 재는 법

강물에 작은 바람개비를 띄웠다고 합시다. 물이 바람개비의 한쪽을 더 세게 밀면 바람개비가 돕니다. 또 물속 한 점을 작은 상자로 둘러쌌을 때 나가는 물이 들어오는 물보다 많다면 그 안에 샘이 있는 것입니다. 이 두 양을 극한으로 정의하면 회전과 발산입니다.

그린 정리를 점 p\mathbf p 주위의 반지름 ε\varepsilon인 작은 원판 DεD_\varepsilon에 쓰고 넓이로 나누면 1πε2∮F⋅dr=(Qx−Py의 평균)→(Qx−Py)(p)\tfrac{1}{\pi\varepsilon^2}\oint \mathbf F\cdot d\mathbf r = \text{(}Q_x - P_y\text{의 평균)} \to (Q_x - P_y)(\mathbf p). 그래서 Qx−PyQ_x - P_y는 "단위 넓이당 순환"입니다. 같은 원 위에서 바깥 법선 n\mathbf n 방향 성분을 더하면 ∮F⋅n ds=∮P dy−Q dx\oint \mathbf F\cdot \mathbf n\, ds = \oint P\, dy - Q\, dx이고, 그린 정리를 (−Q,P)(-Q, P)에 쓰면 ∬(Px+Qy) dA\iint (P_x + Q_y)\, dA가 나옵니다. 이것이 그린 정리의 플럭스 꼴입니다.

정의 16.8 (발산과 회전) 공간의 C1C^1 벡터장 F=(P,Q,R)\mathbf F = (P, Q, R)에 대해, 연산자 ∇=(∂x,∂y,∂z)\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)를 써서
div⁡F=∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z,curl⁡F=∇×F=(Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py).\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z},\qquad \operatorname{curl}\mathbf F = \nabla\times\mathbf F = \left(R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y\right).
발산(divergence)은 스칼라로, 작은 상자에서 나가는 단위 부피당 알짜 유량. 회전(curl)은 벡터로, 방향은 작은 바람개비의 회전축(오른손 법칙), 크기는 각속도의 2배. 평면 장 (P,Q,0)(P, Q, 0)의 회전은 (0,0,Qx−Py)(0, 0, Q_x - P_y)이다.
예제 16.7 (발산과 회전 계산) F=(xz, xyz, −y2)\mathbf F = (xz,\ xyz,\ -y^2)의 발산과 회전을 구하라.
  1. 발산: ∂x(xz)+∂y(xyz)+∂z(−y2)=z+xz+0=z(1+x)\partial_x(xz) + \partial_y(xyz) + \partial_z(-y^2) = z + xz + 0 = z(1 + x).
  2. 회전: Ry−Qz=−2y−xyR_y - Q_z = -2y - xy, Pz−Rx=x−0=xP_z - R_x = x - 0 = x, Qx−Py=yz−0=yzQ_x - P_y = yz - 0 = yz. 그래서 ∇×F=(−2y−xy, x, yz)\nabla\times\mathbf F = (-2y - xy,\ x,\ yz).
  3. 점 (1,1,2)(1, 1, 2)에서 발산 4(이 점 근처는 샘), 회전 (−3,1,2)(-3, 1, 2)(바람개비 축이 이 방향일 때 가장 빨리 돈다).

회전장 (−y,x)(-y, x)는 회전이 어디서나 2이고 발산은 0입니다. 소스 (x,y)(x, y)는 발산 2, 회전 0. 흥미로운 것은 겉모양과 다른 경우입니다. 전단 (y,0)(y, 0)은 화살표가 모두 평행한데 회전이 −1-1입니다. 바람개비의 위쪽이 아래쪽보다 세게 밀려 시계 방향으로 돕니다. 반대로 점 소용돌이는 눈에 띄게 감아 도는데 원점 밖에서 회전이 0입니다. 바깥일수록 느려지는 정도가 바람개비를 돌리려는 효과를 정확히 상쇄합니다(작은 바람개비는 원점 둘레를 돌기는 하지만 자기 축으로는 돌지 않습니다).

정리 16.9 (두 항등식) C2C^2 함수 ff와 벡터장 F\mathbf F에 대해
∇×(∇f)=0,∇⋅(∇×F)=0.\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0.

증명. ∇×∇f\nabla\times\nabla f의 zz 성분은 fyx−fxy=0f_{yx} - f_{xy} = 0(클레로 정리), 다른 성분도 같다. ∇⋅(∇×F)=(Ry−Qz)x+(Pz−Rx)y+(Qx−Py)z\nabla\cdot (\nabla\times\mathbf F) = (R_y - Q_z)_x + (P_z - R_x)_y + (Q_x - P_y)_z를 전개하면 혼합 편도함수가 둘씩 상쇄된다. ∎ 첫 식은 "보존장은 회전이 없다", 둘째 식은 "회전장의 흐름에는 샘이 없다"는 뜻이고, 맥스웰 방정식에서 전하 보존을 이끌어 낸다.

또 ∇⋅∇f=fxx+fyy+fzz=∇2f\nabla\cdot \nabla f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = \nabla^2 f는 라플라시안으로, 13장에서 맛본 열 방정식 ut=k∇2uu_t = k\nabla^2 u와 파동 방정식에 나옵니다.

SIMULATOR

발산·회전 탐침: 바람개비와 작은 원

탐침을 끌어 옮기기
∮F·T ds / (πε²)—
curl F = Qx − Py—
∮F·n ds / (πε²)—
div F = Px + Qy—
해볼 것: ① 전단에서 탐침을 어디에 두어도 바람개비가 시계 방향(curl = −1)으로 돕니다. ② 점 소용돌이에서 탐침을 원점에서 떨어뜨리면 바람개비가 멈추고, 원점을 감싸면 단위 넓이당 순환이 2/ε²으로 커집니다. 원점에 회전이 '모여' 있는 셈입니다. ③ ε를 줄이면 두 비율이 각각 curl과 div로 수렴합니다. 경계 위 짧은 막대는 F·n(초록 = 나감, 빨강 = 들어옴)입니다. 모델: 바람개비의 각속도는 curl/2, 원 위 적분은 240조각 합입니다.

매개 곡면과 면적분, 플럭스

그물을 지나가는 물은 초당 몇 리터일까

강에 둥근 그물을 걸면, 그물을 뚫고 지나가는 물의 양은 물의 속도뿐 아니라 그물이 놓인 각도에 달려 있습니다. 그물이 흐름과 나란하면 아무것도 지나가지 않고, 흐름에 수직이면 가장 많이 지나갑니다. 휘어진 그물이라면 조각마다 각도가 다릅니다.

15장의 이중 적분이 평평한 영역 위의 적분이었다면, 이제는 휘어진 곡면 위에서 적분합니다. 곡면을 두 매개변수로 나타내는 것이 출발점입니다.

정의 16.10 (매개 곡면과 면적분) 매개 곡면(parametric surface) SS는 uvuv 평면의 영역 EE에서 정의된 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\mathbf r(u, v) = \bigl(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\bigr)의 상이다. 작은 칸 Δu Δv\Delta u\, \Delta v는 곡면 위에서 ruΔu\mathbf r_u\Delta u와 rvΔv\mathbf r_v\Delta v가 만드는 평행사변형에 가까우므로
dS=∣ru×rv∣ du dv,∬Sf dS=∬Ef(r(u,v)) ∣ru×rv∣ du dv.dS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv,\qquad \iint_S f\,dS = \iint_E f(\mathbf r(u, v))\,|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv.
벡터장 F\mathbf F의 플럭스(flux)는 단위 법선 n\mathbf n 방향 성분의 면적분(surface integral)이다.
∬SF⋅n dS=∬EF(r(u,v))⋅(ru×rv) du dv.\iint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iint_E \mathbf F(\mathbf r(u, v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv.
법선의 방향(곡면의 향)을 반대로 고르면 플럭스의 부호가 바뀐다. 닫힌 곡면은 바깥 방향을 양으로 한다.
ΔuΔv 매개변수 영역 E (uv 평면) r(u, v) r_u Δur_v Δv n ∥ r_u × r_v ΔS ≈ |r_u × r_v| Δu Δv
그림 16-3. uv 평면의 작은 칸이 곡면 위에서는 두 편미분 벡터 r_uΔu, r_vΔv가 만드는 평행사변형이 된다. 그 넓이는 외적의 크기이고, 외적의 방향이 곡면의 법선이다. 15장의 야코비안 |det J|가 "평면 → 평면" 넓이 배율이었다면, |r_u × r_v|는 "평면 → 곡면" 넓이 배율이다.
예제 16.8 (구의 겉넓이) 반지름 aa인 구 r(φ,θ)=a(sin⁡φcos⁡θ,sin⁡φsin⁡θ,cos⁡φ)\mathbf r(\varphi, \theta) = a(\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)의 넓이를 구하라.
  1. rφ=a(cos⁡φcos⁡θ,cos⁡φsin⁡θ,−sin⁡φ)\mathbf r_\varphi = a(\cos\varphi\cos\theta, \cos\varphi\sin\theta, -\sin\varphi), rθ=a(−sin⁡φsin⁡θ,sin⁡φcos⁡θ,0)\mathbf r_\theta = a(-\sin\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta, 0).
  2. 외적을 계산하면 rφ×rθ=a2sin⁡φ (sin⁡φcos⁡θ,sin⁡φsin⁡θ,cos⁡φ)=asin⁡φ r\mathbf r_\varphi\times\mathbf r_\theta = a^2\sin\varphi\, (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi) = a\sin\varphi\, \mathbf r. 바깥 방향이고 크기는 a2sin⁡φa^2\sin\varphi.
  3. ∫02π ⁣∫0πa2sin⁡φ dφ dθ=4πa2\int_0^{2\pi}\! \int_0^\pi a^2\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta = 4\pi a^2. 15장 구면 좌표의 ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi에서 ρ=a\rho = a로 고정한 것과 같습니다.
예제 16.9 (구를 빠져나가는 플럭스) F=(x,y,z)\mathbf F = (x, y, z)가 반지름 aa인 구를 바깥으로 지나가는 플럭스를 구하라.

구 위에서 n=r/a\mathbf n = \mathbf r/a이므로 F⋅n=∣r∣2/a=a\mathbf F\cdot \mathbf n = |\mathbf r|^2/a = a로 일정합니다. 플럭스 =a⋅4πa2=4πa3= a\cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3. 다음 절의 발산 정리로는 ∭div⁡F dV=3⋅43πa3=4πa3\iiint \operatorname{div}\mathbf F\, dV = 3\cdot \tfrac43\pi a^3 = 4\pi a^3. 같습니다.

SIMULATOR

곡면을 뚫고 지나가는 플럭스

끌어서 돌리기
플럭스 ∬ F·n dS—
곡면 넓이—
∭ div F dV (닫힌 곡면일 때)—
해볼 것: ① 구와 (x, y, z)로 예제 16.9의 4π(1.2)³ ≈ 21.71을 확인하세요. ② (0, 0, 1)은 구 위쪽에서 나가고 아래쪽에서 들어와 합이 0입니다. 반구로 바꾸면 반구의 그림자(원판) 넓이 π(1.2)²와 같은 값이 나옵니다. ③ 원기둥 옆면에서 (0, 0, 1)은 곡면과 나란해 플럭스가 0, (x, y, 0)은 어디서나 F·n = 1이라 넓이 4π와 같습니다. 색은 F·n(빨강 = 나감, 파랑 = 들어옴). 모델: 곡면을 48×96 칸으로 나눈 중점 합, ru × rv는 수치 미분으로 구합니다.

스토크스 정리와 발산 정리

그린 정리를 휘어진 곡면과 입체로

그린 정리는 평평한 영역에 대한 이야기였습니다. 경계가 공간 곡선이고 그 위에 비누막 같은 곡면이 걸려 있다면? 또는 닫힌 곡면이 감싼 입체라면? 그림 16-2의 상쇄 논리는 칸이 휘어져 있어도, 상자라도 똑같이 통합니다.

정리 16.11 (스토크스 정리(Stokes' theorem)) SS가 향이 있는 조각마다 매끄러운 곡면이고 그 경계 CC가 단순 닫힌 곡선이며, CC의 방향이 SS의 법선과 오른손 법칙으로 맞춰져 있으면(법선 쪽에서 보았을 때 CC가 반시계) C1C^1 벡터장 F\mathbf F에 대해
∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS.\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS.

증명 아이디어. 곡면을 작은 칸으로 나누면 칸 하나는 거의 평평하고, 그 칸의 순환은 그린 정리(정의 16.8의 해석)로 (∇×F)⋅n ΔS(\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\, \Delta S다. 이웃한 칸의 공유 변은 상쇄되고 바깥 경계만 남는다. SS가 xyxy 평면의 영역이면 n=k\mathbf n = \mathbf k, (∇×F)⋅k=Qx−Py(\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf k = Q_x - P_y라서 그린 정리가 된다. ∎

놀라운 결과가 하나 따라 나옵니다. 우변은 곡면 SS에 대한 적분인데 좌변은 경계에만 의존합니다. 그래서 경계가 같은 곡면이면 어떤 곡면이든 회전의 플럭스가 같습니다. 비누막을 불어 부풀려도 값이 그대로입니다. 정리 16.9의 ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot (\nabla\times\mathbf F) = 0과 다음 발산 정리가 그 이유를 다른 각도에서 설명합니다.

정리 16.12 (발산 정리(divergence theorem, Gauss's theorem)) EE가 조각마다 매끄러운 닫힌 곡면 SS로 둘러싸인 입체이고 SS의 법선이 바깥 방향이면 C1C^1 벡터장 F\mathbf F에 대해
∯SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV.\oiint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf F\,dV.

증명 아이디어. 입체를 작은 상자로 나누면 상자 하나에서 나가는 알짜 유량은 (∇⋅F) ΔV(\nabla\cdot \mathbf F)\, \Delta V다(xx 방향의 두 면에서 [P(x+Δx)−P(x)]ΔyΔz≈PxΔV[P(x + \Delta x) - P(x)]\Delta y\Delta z \approx P_x\Delta V, 나머지 방향도 같다). 이웃한 상자의 공유 면은 한쪽에서 나가는 것이 다른 쪽에 들어오는 것이라 상쇄되고 바깥 겉면만 남는다. ∎

예제 16.10 (스토크스: 반구와 원판) F=(−y+z, x, xy)\mathbf F = (-y + z,\ x,\ xy), SS는 단위 구의 위 반구(바깥 법선), CC는 xyxy 평면의 단위원(반시계)이다.
  1. 선적분: r=(cos⁡t,sin⁡t,0)\mathbf r = (\cos t, \sin t, 0)에서 F=(−sin⁡t,cos⁡t,sin⁡tcos⁡t)\mathbf F = (-\sin t, \cos t, \sin t\cos t), r′=(−sin⁡t,cos⁡t,0)\mathbf r' = (-\sin t, \cos t, 0). F⋅r′=1\mathbf F\cdot \mathbf r' = 1, 순환 =2π= 2\pi.
  2. 회전: ∇×F=(Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py)=(x−0, 1−y, 1+1)=(x, 1−y, 2)\nabla\times\mathbf F = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y) = (x - 0,\ 1 - y,\ 1 + 1) = (x,\ 1 - y,\ 2).
  3. 반구 위에서 n=(x,y,z)\mathbf n = (x, y, z)이므로 (∇×F)⋅n=x2+y−y2+2z(\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n = x^2 + y - y^2 + 2z. 대칭으로 ∬x2 dS=∬y2 dS\iint x^2\, dS = \iint y^2\, dS이고 ∬y dS=0\iint y\, dS = 0. 남는 것은 ∬2z dS=2∫02π ⁣∫0π/2cos⁡φsin⁡φ dφ dθ=2⋅2π⋅12=2π\iint 2z\, dS = 2\int_0^{2\pi}\! \int_0^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta = 2\cdot 2\pi\cdot \tfrac12 = 2\pi.
  4. 같은 원을 경계로 하는 평평한 원판에서는 n=k\mathbf n = \mathbf k, (∇×F)⋅k=2(\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf k = 2라서 2⋅π=2π2\cdot \pi = 2\pi. 세 계산이 모두 2π2\pi입니다.
예제 16.11 (발산 정리로 어려운 면적분 피하기) F=(x3,y3,z3)\mathbf F = (x^3, y^3, z^3)가 반지름 aa인 구를 바깥으로 지나가는 플럭스를 구하라.
  1. 면적분으로 직접 하면 F⋅n=(x4+y4+z4)/a\mathbf F\cdot \mathbf n = (x^4 + y^4 + z^4)/a를 구면에서 적분해야 합니다.
  2. 발산: ∇⋅F=3(x2+y2+z2)=3ρ2\nabla\cdot \mathbf F = 3(x^2 + y^2 + z^2) = 3\rho^2.
  3. 구면 좌표: ∫02π ⁣∫0π ⁣∫0a3ρ2⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ=3⋅2π⋅2⋅a55=12πa55\int_0^{2\pi}\! \int_0^\pi\! \int_0^a 3\rho^2\cdot \rho^2\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta = 3\cdot 2\pi\cdot 2\cdot \tfrac{a^5}{5} = \tfrac{12\pi a^5}{5}.
SIMULATOR

비누막을 부풀려도 회전의 플럭스는 그대로

끌어서 돌리기
∮C F·dr (경계 원)—
∬S (∇×F)·n dS—
막의 넓이—
해볼 것: ① k = 0(평평한 원판)에서 k = 1(반구), k = 2.4(거의 공)까지 부풀리는 동안 막의 넓이는 여섯 배 넘게 늘지만 회전의 플럭스는 2π ≈ 6.283 그대로입니다. ② k를 음수로 내려 막을 아래로 처지게 해도 같습니다. 법선은 경계 원의 방향과 오른손 법칙으로 맞춥니다. ③ 장을 바꾸면 값은 π, 3π/2로 바뀌지만 여전히 모든 막에서 같습니다. 모델: 막은 경계 원 x² + y² = 1, z = 0을 지나는 구면 조각, 면적분은 40×80 칸 중점 합입니다. 색은 (∇×F)·n입니다.

지금까지의 정리를 한 표에 놓으면 하나의 원리가 보입니다. 도형의 경계에서 함수를 적분한 것 = 도형 안에서 그 함수의 '도함수'를 적분한 것.

정리도형 (차원)경계등식
미적분의 기본 정리 (8장)구간 [a, b] (1)두 점 a, b∫abF′ dx=F(b)−F(a)\int_a^b F'\, dx = F(b) - F(a)
선적분의 기본 정리곡선 C (1)두 점 A, B∫C∇f⋅dr=f(B)−f(A)\int_C \nabla f\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A)
그린 정리평면 영역 D (2)닫힌 곡선∬D(Qx−Py) dA=∮CF⋅dr\iint_D (Q_x - P_y)\, dA = \oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r
스토크스 정리곡면 S (2)닫힌 곡선∬S(∇×F)⋅n dS=∮CF⋅dr\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\, dS = \oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r
발산 정리입체 E (3)닫힌 곡면∭E∇⋅F dV=∯SF⋅n dS\iiint_E \nabla\cdot \mathbf F\, dV = \oiint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\, dS

경계의 경계는 비어 있습니다. 곡면의 경계인 닫힌 곡선은 끝점이 없고, 입체의 경계인 닫힌 곡면은 테두리가 없습니다. 이것이 정리 16.9의 두 항등식(∇×∇=0\nabla\times\nabla = 0, ∇⋅∇×=0\nabla\cdot \nabla\times = 0)과 짝을 이룹니다. 이 통일된 그림은 미분 형식과 일반화된 스토크스 정리 ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega로 정리되는데, 대학원 미분기하에서 만납니다.

맥스웰 방정식으로 마무리

네 줄의 식이 빛을 설명한다

전기장 E\mathbf E와 자기장 B\mathbf B는 벡터장입니다. 전하 밀도 ρ\rho, 전류 밀도 J\mathbf J가 주어지면 두 장은 어떤 법칙을 따를까요? 이 장의 발산·회전·두 정리가 그 법칙의 언어입니다.

법칙미분 꼴적분 꼴뜻
가우스 법칙∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot \mathbf E = \rho/\varepsilon_0∯SE⋅n dS=Q안/ε0\oiint_S \mathbf E\cdot \mathbf n\, dS = Q_{\text{안}}/\varepsilon_0전기장의 샘은 전하다
자기 가우스 법칙∇⋅B=0\nabla\cdot \mathbf B = 0∯SB⋅n dS=0\oiint_S \mathbf B\cdot \mathbf n\, dS = 0자기 홀극은 없다
패러데이 법칙∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t∮CE⋅dr=−ddt∬SB⋅n dS\oint_C \mathbf E\cdot d\mathbf r = -\tfrac{d}{dt}\iint_S \mathbf B\cdot \mathbf n\, dS변하는 자기장이 전기장을 감아 돌게 한다 (발전기, 변압기)
앙페르–맥스웰 법칙∇×B=μ0J+μ0ε0 ∂E/∂t\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J + \mu_0\varepsilon_0\, \partial\mathbf E/\partial t∮CB⋅dr=μ0I+μ0ε0ddt∬SE⋅n dS\oint_C \mathbf B\cdot d\mathbf r = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0\tfrac{d}{dt}\iint_S \mathbf E\cdot \mathbf n\, dS전류와 변하는 전기장이 자기장을 감아 돌게 한다

미분 꼴과 적분 꼴은 발산 정리와 스토크스 정리로 서로 오갑니다. 예를 들어 가우스 법칙의 미분 꼴을 입체 EE에서 적분하고 발산 정리를 쓰면 ∯E⋅n dS=∭ρ/ε0 dV=Q안/ε0\oiint \mathbf E\cdot \mathbf n\, dS = \iiint \rho/\varepsilon_0\, dV = Q_{\text{안}}/\varepsilon_0입니다. 점전하 qq를 감싼 구라면 대칭으로 ∣E∣⋅4πr2=q/ε0|\mathbf E|\cdot 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0, 즉 쿨롱 법칙 ∣E∣=q4πε0r2|\mathbf E| = \tfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}이 나옵니다.

맥스웰이 더한 항은 μ0ε0 ∂E/∂t\mu_0\varepsilon_0\, \partial\mathbf E/\partial t입니다. 이 항이 없으면 ∇⋅(∇×B)=0\nabla\cdot (\nabla\times\mathbf B) = 0(정리 16.9)에서 ∇⋅J=0\nabla\cdot \mathbf J = 0이 강요되어, 축전기를 충전하듯 전하가 한곳에 쌓이는 상황과 모순됩니다. 이 항을 넣고 전하와 전류가 없는 공간에서 패러데이 법칙의 회전을 한 번 더 취하면, 항등식 ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf E) - \nabla^2\mathbf E와 ∇⋅E=0\nabla\cdot \mathbf E = 0에서

∇2E=μ0ε0 ∂2E∂t2,c=1μ0ε0≈1(1.2566×10−6)(8.854×10−12)≈2.998×108 m/s.\nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx \frac{1}{\sqrt{(1.2566\times 10^{-6})(8.854\times 10^{-12})}} \approx 2.998\times 10^{8}\ \text{m/s}.
파동 방정식이고, 전파 속도는 전기·자기 실험에서 잰 두 상수만으로 정해진다. 그 값이 측정된 빛의 속력과 같았다.

다리를 놓을 때 응력의 발산이 하중과 균형을 이루고, 비압축성 유체에서 ∇⋅u=0\nabla\cdot \mathbf u = 0이며, 열의 흐름 −k∇T-k\nabla T의 발산이 온도 변화를 만듭니다. 벡터 미적분은 전자기학만의 언어가 아니라 연속체를 다루는 모든 공학의 언어입니다.

이 도구가 쓰이는 곳

연속 방정식: 질량은 어디로도 사라지지 않는다 밀도 ρ\rho, 속도 u\mathbf u인 유체가 고정된 영역 EE 안에 가진 질량의 변화율은 경계로 들어오는 유량과 같습니다: ddt∭Eρ dV=−∯Sρu⋅n dS\tfrac{d}{dt}\iiint_E\rho\, dV = -\oiint_S \rho\mathbf u\cdot \mathbf n\, dS. 발산 정리로 우변을 부피 적분으로 바꾸고, 영역 EE를 아무렇게나 잡아도 성립하므로 피적분 함수끼리 같아야 합니다: ∂tρ+∇⋅(ρu)=0\partial_t\rho + \nabla\cdot (\rho\mathbf u) = 0. 같은 논리로 열 방정식, 반도체의 전하 연속 방정식, 교통 흐름 모형이 나옵니다. "적분 꼴의 보존 법칙 → 발산 정리 → 미분 꼴의 편미분방정식"이 공학 모델링의 기본 순서입니다.
15장 · 중적분오른쪽 변의 계산
그린·발산 정리가 바꿔 놓은 이중·삼중 적분은 극좌표·구면 좌표로 푼다. 14장 · 기울기 벡터그래디언트 장
보존장은 그래디언트 장이고, 등고선(등퍼텐셜선)에 수직이다. 유체역학연속 방정식과 와도
∇·u = 0인 비압축성 흐름, 와도 ∇×u, 순환과 양력. 일반물리가우스 법칙과 패러데이 법칙
대칭인 전하 분포의 전기장, 유도 기전력과 발전기. DEVICEBOOK푸아송 방정식과 전류 연속
∇·(εE) = ρ로 pn 접합의 전위를 풀고, ∇·J = −∂ρ/∂t로 전하를 보존한다. TCADBOOK유한 체적법
격자 칸마다 발산 정리를 써서 경계 플럭스의 합으로 방정식을 이산화한다. LINEARBOOK 10장외적과 넓이
|r_u × r_v|와 야코비안은 모두 행렬식으로 잰 넓이 배율이다.

핵심 정리

  1. 벡터장은 점마다 벡터를 붙인 함수이고, 흐름선은 r′=F(r)\mathbf r' = \mathbf F(\mathbf r)의 해다.
  2. 선적분: ∫Cf ds=∫f∣r′∣ dt\int_C f\, ds = \int f|\mathbf r'|\, dt, 일 ∫CF⋅dr=∫F⋅r′ dt\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int \mathbf F\cdot \mathbf r'\, dt. 매개변수에 무관하고, 벡터 선적분은 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다.
  3. F=∇f\mathbf F = \nabla f이면 ∫CF⋅dr=f(B)−f(A)\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = f(B) - f(A). 퍼텐셜 존재 ⇔ 경로 독립 ⇔ 닫힌 경로 0. 단순 연결 영역에서는 Qx=PyQ_x = P_y(3차원은 ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0)로 판정하고, 구멍이 있으면 판정이 깨질 수 있다.
  4. 그린 정리 ∮CP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_C P\, dx + Q\, dy = \iint_D (Q_x - P_y)\, dA. 넓이 =12∮(x dy−y dx)= \tfrac12\oint(x\, dy - y\, dx)는 플라니미터와 신발끈 공식의 원리다.
  5. 발산 ∇⋅F\nabla\cdot \mathbf F는 단위 부피당 유출량, 회전 ∇×F\nabla\times\mathbf F는 작은 바람개비의 회전축과 각속도의 2배. ∇×∇f=0\nabla\times\nabla f = \mathbf 0, ∇⋅∇×F=0\nabla\cdot \nabla\times\mathbf F = 0.
  6. 면적분은 dS=∣ru×rv∣ du dvdS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\, du\, dv, 플럭스는 ∬F⋅(ru×rv) du dv\iint \mathbf F\cdot (\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\, du\, dv. 향을 바꾸면 부호가 바뀐다.
  7. 스토크스 ∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\, dS, 발산 정리 ∯SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV\oiint_S\mathbf F\cdot \mathbf n\, dS = \iiint_E\nabla\cdot \mathbf F\, dV. 모두 "경계의 적분 = 내부의 도함수의 적분"이며, 맥스웰 방정식의 미분 꼴과 적분 꼴을 잇는다.

확인 퀴즈

Q1. F=(xy, yz, zx)\mathbf F = (xy,\ yz,\ zx)의 점 (1,2,3)(1, 2, 3)에서 발산은?

∇⋅F=∂x(xy)+∂y(yz)+∂z(zx)=y+z+x\nabla\cdot \mathbf F = \partial_x(xy) + \partial_y(yz) + \partial_z(zx) = y + z + x. (1,2,3)(1, 2, 3)에서 2+3+1=62 + 3 + 1 = 6. 회전은 (−y,−z,−x)(-y, -z, -x)로 벡터다.

Q2. F=∇(x2y)\mathbf F = \nabla(x^2y)가 (0,0)(0, 0)에서 (2,3)(2, 3)까지 구불구불한 경로를 따라 하는 일은?

선적분의 기본 정리로 f(2,3)−f(0,0)=4⋅3−0=12f(2, 3) - f(0, 0) = 4\cdot 3 - 0 = 12. 그래디언트 장은 경로와 무관하다.

Q3. 점 소용돌이 F=(−y,x)/(x2+y2)\mathbf F = (-y, x)/(x^2 + y^2)는 원점 밖에서 Qx=PyQ_x = P_y인데 단위원을 한 바퀴 돈 순환이 2π2\pi다. 그 이유는?

Qx=PyQ_x = P_y는 단순 연결 영역에서만 보존장을 보장한다. 단위원은 원점이라는 구멍을 감싸므로 영역 안에서 한 점으로 줄일 수 없고, 그린 정리를 쓰려 해도 원판 안에 특이점이 있다. 방향을 바꾸면 −2π-2\pi다.

Q4. 반지름 2인 원을 반시계로 한 바퀴 도는 ∮Cx dy\oint_C x\, dy의 값은?

그린 정리에서 P=0P = 0, Q=xQ = x이면 Qx−Py=1Q_x - P_y = 1이라 값은 넓이 π⋅22=4π\pi\cdot 2^2 = 4\pi. 직접: ∫02π2cos⁡t⋅2cos⁡t dt=4π\int_0^{2\pi} 2\cos t\cdot 2\cos t\, dt = 4\pi.

Q5. F=(x,y,z)\mathbf F = (x, y, z)가 단위 정육면체 [0,1]3[0, 1]^3의 겉면을 바깥으로 지나가는 플럭스는?

발산 정리: ∇⋅F=3\nabla\cdot \mathbf F = 3, ∭3 dV=3\iiint 3\, dV = 3. 직접 확인해도 x=1x = 1, y=1y = 1, z=1z = 1인 세 면에서 각각 1, 원점 쪽 세 면에서는 법선 성분이 0이다.

Q6. 다음 중 모든 C2C^2 함수와 벡터장에 대해 항상 참인 것은?

회전의 발산은 혼합 편도함수가 상쇄되어 항상 0이다(그래디언트의 회전도 항상 0). ∇⋅∇f=∇2f\nabla\cdot \nabla f = \nabla^2 f는 라플라시안으로, 예를 들어 f=x2f = x^2이면 2다.

Q7. F=(y,−x)\mathbf F = (y, -x)의 단위원 반시계 순환과 회전은?

Qx−Py=−1−1=−2Q_x - P_y = -1 - 1 = -2, 그린 정리로 순환 =−2⋅π=−2π= -2\cdot \pi = -2\pi. 시계 방향으로 도는 장이라 반시계 경로에서 계속 거슬러 간다.

Q8. 닫힌 곡면을 지나는 자기장의 플럭스가 언제나 0이라는 맥스웰 방정식의 뜻은?

발산 정리로 ∯B⋅n dS=∭∇⋅B dV\oiint\mathbf B\cdot \mathbf n\, dS = \iiint\nabla\cdot \mathbf B\, dV가 모든 영역에서 0이면 ∇⋅B=0\nabla\cdot \mathbf B = 0. 자기력선은 시작점도 끝점도 없이 닫힌다. 회전은 전류가 있으면 0이 아니다(앙페르 법칙).