Chapter 11

고유값과 고유벡터

지금까지 행렬은 공간 전체를 휘는 기계였습니다. 거의 모든 벡터는 이 기계를 지나면 방향이 틀어집니다. 그런데 어떤 행렬이든 운 좋은 방향이 몇 개 숨어 있어서, 그 방향의 벡터는 늘어나거나 줄어들 뿐 돌지 않습니다. 이 특별한 방향이 고유벡터, 늘어나는 배율이 고유값입니다. 고유벡터를 좌표축으로 삼으면 복잡한 행렬이 "축마다 몇 배"라는 대각 행렬로 바뀌고, 행렬을 백 번 곱하는 일이 숫자를 백 번 곱하는 일이 됩니다. 구조물이 어떤 진동수로 떠는지, 인구가 장기적으로 어떤 비율로 수렴하는지, 반복 계산이 어디로 끌려가는지가 모두 이 한 식 Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}에서 나옵니다.

이 수식이 없었다면흔들리지 않는 다리와 건물

2000년 6월 런던 템스강에 문을 연 밀레니엄 브리지는 개통 첫날 수많은 보행자가 건너자 좌우로 눈에 띄게 흔들렸고, 이틀 만에 통행이 막혔습니다. 다리가 사람이 걸을 때 몸이 좌우로 흔들리는 주기와 가까운 가로 방향 진동 모드를 갖고 있었고, 흔들림을 느낀 보행자들이 발걸음을 다리에 맞추면서 진동이 더 커졌다는 것이 조사로 밝혀졌습니다. 감쇠 장치를 덧붙인 다리는 2002년에 다시 열렸습니다.

구조물은 아무 진동수로나 떨지 않습니다. 질량과 강성으로 만든 행렬의 고유값이 떨 수 있는 진동수를, 고유벡터가 그때의 흔들리는 모양(모드 형상)을 정합니다. 그래서 다리·건물·자동차·반도체 장비를 설계할 때는 먼저 수천~수백만 차원 행렬의 고유값 몇 개를 구해, 바람·보행·엔진·지진의 진동수와 겹치지 않는지 확인합니다. 이 장은 그 계산이 무엇을 하는지 2×2와 3×3에서 직접 봅니다.

구조물의 질량·강성→운동 방정식 수천 개→고유값 문제 Kφ = ω²Mφ→위험한 진동수 미리 피하기

방향이 바뀌지 않는 축

행렬을 천 번 곱하면 어떻게 될까

어떤 도시의 인구가 해마다 도심과 교외 사이를 일정한 비율로 오간다고 합시다. 올해 인구 벡터에 2×2 이동 행렬 AA를 곱하면 내년 인구가 나옵니다. 100년 뒤는 A100x0A^{100}\mathbf{x}_0입니다. 행렬 곱을 100번 하면 답은 나오지만 "결국 어떤 비율로 가는가"라는 질문에는 숫자 더미만 남습니다. 행렬이 공간을 휘는 방식 전체를 이해하지 않고 이 질문에 답할 수 있을까요?

열쇠는 행렬이 모든 방향을 똑같이 다루지 않는다는 데 있습니다. 2장에서 본 것처럼 행렬은 거의 모든 벡터를 돌리면서 늘입니다. 하지만 특별한 방향에서는 돌리지 않고 늘이기만 합니다. 그 방향의 벡터는 몇 번을 곱해도 같은 직선 위에 머뭅니다. 이 방향을 찾으면 반복 곱이 "배율을 거듭제곱하기"로 바뀝니다.

정의 11.1 (고유값과 고유벡터) n×nn\times n 행렬 AA에 대해, 영벡터가 아닌 x\mathbf{x}와 수 λ\lambda가
Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}
를 만족하면 λ\lambda를 AA의 고유값(eigenvalue), x\mathbf{x}를 λ\lambda에 대응하는 고유벡터(eigenvector)라 한다. 영벡터는 언제나 A0=λ0A\mathbf{0} = \lambda\mathbf{0}을 만족하므로 고유벡터에서 뺀다.

뜻을 하나씩 풀어 봅시다. λ>1\lambda > 1이면 그 방향으로 늘어나고, 0<λ<10 \lt \lambda \lt 1이면 줄어들고, λ<0\lambda \lt 0이면 방향이 반대로 뒤집히며(직선 위에는 그대로 있습니다), λ=0\lambda = 0이면 그 방향이 원점으로 납작해집니다. 고유벡터 x\mathbf{x}의 상수배 cxc\mathbf{x}도 A(cx)=λ(cx)A(c\mathbf{x}) = \lambda(c\mathbf{x})이므로 고유벡터입니다. 그래서 고유벡터는 "벡터 하나"라기보다 원점을 지나는 직선 하나, 즉 방향입니다.

보통 벡터: 방향이 틀어진다 고유벡터: 같은 직선 위에 머문다 x = (1, 0) Ax = (2, 1) 돌았다 A = [2 1; 1 2] x = (1, 1) Ax = 3x (1, −1): A가 그대로 둔다(λ = 1) λ₁ = 3, λ₂ = 1
그림 11-1. 대칭 행렬 A = [2 1; 1 2]. 왼쪽: x = (1, 0)은 (2, 1)로 가며 방향이 바뀐다. 오른쪽: x = (1, 1)은 (3, 3) = 3x로 가서 같은 직선 위에 머물고, (1, −1)은 (1, −1) 그대로다. 점선 두 직선이 이 행렬의 고유 방향이다.

아래 시뮬레이터에서 단위원 위의 벡터 x\mathbf{x}를 한 바퀴 돌려 보세요. AxA\mathbf{x}는 단위원의 상이 만드는 타원 위를 따라 돕니다. 위 그림은 그 둘의 위치, 아래 그래프는 x\mathbf{x}에서 AxA\mathbf{x}까지 잰 각도입니다. 각도가 0°를 지나는 곳이 양의 고유값, ±180°를 지나는 곳이 음의 고유값의 방향입니다. 그래프가 0이나 ±180°에 한 번도 닿지 않으면 실수 고유벡터가 없습니다.

SIMULATOR

단위원을 한 바퀴: x와 Ax가 겹치는 방향 찾기

x를 끌거나 ▶로 돌려 보세요
x에서 Ax까지 각도(°) vs x의 방향 θ
행렬 A
x의 방향 θ—
x → Ax 각도—
고유값—
해볼 것: ① 대칭 행렬에서 두 고유 방향이 서로 수직임을 확인하세요(13장의 주제입니다). ② '전단'은 각도 그래프가 0에 닿기만 하고 넘지 않습니다. 고유 방향이 하나뿐입니다. ③ '회전 30°'는 그래프가 늘 30°입니다. 실수 고유벡터가 없습니다. ④ '이동 행렬'의 고유값 1 방향이 장기적인 인구 비율입니다(12장). 모델: 2×2 실수 행렬. 각도 그래프는 θ가 0°~180°만 그립니다. θ와 θ + 180°는 같은 직선이기 때문입니다.
고유벡터는 '방향', 고유값은 '배율' 고유벡터의 길이는 정해져 있지 않습니다. 교과서나 프로그램마다 길이 1로 맞추거나, 첫 성분을 1로 맞추거나, 부호를 다르게 고르기도 합니다. 서로 다른 답이 나와도 같은 직선 위의 벡터라면 모두 맞는 답입니다.

MathBook의 "행렬은 변환이다" 고유값 절은 이 그림을 처음 만나는 입문 데모입니다. 이 장은 그 방향을 계산으로 찾는 법과, 찾았을 때 무엇을 할 수 있는지로 나아갑니다.

특성 다항식: 고유값을 계산으로 찾기

그림 없이 고유 방향을 찾으려면

2×2라면 단위원을 돌려 보면 되지만, 10×10 행렬의 고유 방향을 10차원 구를 돌며 찾을 수는 없습니다. Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}는 미지수 λ\lambda와 x\mathbf{x}가 곱해져 있어 선형 연립방정식도 아닙니다. 어떻게 풀까요?

요령은 미지수를 하나씩 떼어 내는 것입니다. 식을 한쪽으로 모으면

Ax−λx=0⟺(A−λI) x=0.A\mathbf{x} - \lambda\mathbf{x} = \mathbf{0} \quad\Longleftrightarrow\quad (A - \lambda I)\,\mathbf{x} = \mathbf{0}.
λx=λIx\lambda\mathbf{x} = \lambda I\mathbf{x}로 써야 행렬끼리 뺄 수 있다. A−λA - \lambda는 뜻이 없다.

이제 λ\lambda를 고정하면 이것은 동차 연립방정식입니다. 영벡터가 아닌 해가 있으려면 A−λIA - \lambda I가 특이 행렬이어야 합니다(4장의 가역 조건). 특이 행렬은 행렬식이 0인 행렬이므로(10장에서 증명합니다) 다음 정리가 나옵니다.

정리 11.2 (특성 방정식) λ\lambda가 AA의 고유값일 필요충분조건은
det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0
이다. 좌변 p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I)는 λ\lambda의 nn차 다항식으로 특성 다항식(characteristic polynomial)이라 부르고, 고유값은 그 근이다. 각 고유값 λ\lambda에 대해 고유벡터는 (A−λI)x=0(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}을 소거로 풀어 얻는다.

증명. Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}인 x≠0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}이 있다 ⇔ (A−λI)x=0(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}의 해가 영벡터 말고도 있다 ⇔ A−λIA - \lambda I가 가역이 아니다 ⇔ det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0. ∎

2×2에서는 특성 다항식을 바로 쓸 수 있습니다. A=[abcd]A = \begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}이면

det⁡[a−λbcd−λ]=λ2−(a+d)λ+(ad−bc)=λ2−(tr⁡A) λ+det⁡A.\det\begin{bmatrix}a-\lambda & b\\ c & d-\lambda\end{bmatrix} = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A.
tr⁡A=a+d\operatorname{tr}A = a + d는 대각합(trace). 근의 공식에서 λ=12(tr⁡A±(tr⁡A)2−4det⁡A)\lambda = \tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}\bigr).
예제 11.1 (2×2 고유값과 고유벡터를 손으로) A=[4123]A = \begin{bmatrix}4 & 1\\ 2 & 3\end{bmatrix}의 고유값과 고유벡터를 구하라.
  1. 특성 다항식: tr⁡A=7\operatorname{tr}A = 7, det⁡A=12−2=10\det A = 12 - 2 = 10이므로 p(λ)=λ2−7λ+10=(λ−5)(λ−2)p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2). 고유값은 λ1=5\lambda_1 = 5, λ2=2\lambda_2 = 2.
  2. λ1=5\lambda_1 = 5: A−5I=[−112−2]A - 5I = \begin{bmatrix}-1 & 1\\ 2 & -2\end{bmatrix}. 두 행이 비례하므로(특이 행렬이니 당연합니다) 첫 행 −x1+x2=0-x_1 + x_2 = 0만 남아 x1=(1,1)\mathbf{x}_1 = (1, 1).
  3. λ2=2\lambda_2 = 2: A−2I=[2121]A - 2I = \begin{bmatrix}2 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}. 2x1+x2=02x_1 + x_2 = 0에서 x2=(1,−2)\mathbf{x}_2 = (1, -2).
  4. 검산: Ax1=(5,5)=5x1A\mathbf{x}_1 = (5, 5) = 5\mathbf{x}_1, Ax2=(2,−4)=2x2A\mathbf{x}_2 = (2, -4) = 2\mathbf{x}_2. 또 5+2=7=tr⁡A5 + 2 = 7 = \operatorname{tr}A, 5⋅2=10=det⁡A5\cdot 2 = 10 = \det A.
예제 11.2 (3×3) B=[200131001]B = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}의 고유값을 구하라.

셋째 열로 여인수 전개하는 대신 구조를 봅니다. det⁡(B−λI)\det(B - \lambda I)를 첫 행으로 전개하면 (2−λ)det⁡[3−λ101−λ]=(2−λ)(3−λ)(1−λ)(2 - \lambda)\det\begin{bmatrix}3-\lambda & 1\\ 0 & 1-\lambda\end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda). 고유값은 2, 3, 1. 대각합 2 + 3 + 1 = 6도 맞습니다. 3×3부터는 특성 다항식이 3차라서 근을 손으로 찾기 어렵고, 실제 계산은 다항식을 풀지 않는 반복법(16장)을 씁니다.

SIMULATOR

특성 다항식과 (tr, det) 지도

p(λ) = λ² − (tr A)λ + det A
(tr A, det A) 평면: 포물선 det = tr²/4
행렬 A
tr A—
det A—
판별식 tr² − 4det—
고유값—
해볼 것: ① a₁₂를 음수 쪽으로 밀어 포물선 p(λ)가 λ축에서 떨어지는 순간을 보세요. 두 실근이 합쳐졌다가 복소수 쌍이 됩니다. ② 오른쪽 점이 포물선 위에 오면 중근입니다. ③ det < 0인 영역(가로축 아래)에서는 고유값 하나는 양수, 하나는 음수입니다. 모델: 2×2 실수 행렬. 그래프의 λ 범위는 고유값에 맞춰 자동으로 바뀝니다.

대각합·행렬식, 그리고 바로 읽히는 고유값

특성 다항식을 인수분해한 모양 p(λ)=(λ1−λ)(λ2−λ)⋯(λn−λ)p(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda)\cdots(\lambda_n - \lambda)과 원래 행렬의 원소를 비교하면 공짜 검산 도구가 둘 생깁니다.

정리 11.3 (고유값의 합과 곱) n×nn\times n 행렬 AA의 고유값을 중복을 세어 λ1,…,λn\lambda_1, \dots, \lambda_n이라 하면(복소수일 수 있다)
λ1+λ2+⋯+λn=tr⁡A=a11+a22+⋯+ann,λ1λ2⋯λn=det⁡A.\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}, \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det A.

증명 아이디어. p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I)에 λ=0\lambda = 0을 넣으면 p(0)=det⁡Ap(0) = \det A이고, 인수분해한 모양에서는 p(0)=λ1⋯λnp(0) = \lambda_1\cdots\lambda_n이다. λn−1\lambda^{n-1}의 계수를 보면, 행렬식 전개에서 λn−1\lambda^{n-1}이 나오는 항은 대각 원소를 모두 곱한 항 (a11−λ)⋯(ann−λ)(a_{11}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda)뿐이므로 계수는 (−1)n−1(a11+⋯+ann)(-1)^{n-1}(a_{11}+\cdots+a_{nn}), 인수분해 쪽에서는 (−1)n−1(λ1+⋯+λn)(-1)^{n-1}(\lambda_1+\cdots+\lambda_n). ∎

행렬식이 0이면 고유값 중 하나가 0입니다. 즉 특이 행렬 ⇔ 0이 고유값이고, 0에 대응하는 고유벡터가 바로 영공간의 벡터입니다(5장).

정리 11.4 (삼각 행렬) 삼각 행렬(위삼각이든 아래삼각이든)의 고유값은 대각 원소다.

증명. A−λIA - \lambda I도 삼각 행렬이고, 삼각 행렬의 행렬식은 대각 원소의 곱이므로 p(λ)=(a11−λ)⋯(ann−λ)p(\lambda) = (a_{11}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda). ∎

소거는 고유값을 바꾼다 3장의 소거로 AA를 위삼각 UU로 만들면 UU의 대각(피벗)에서 고유값을 읽을 수 있을 것 같지만, 그렇지 않습니다. 행 연산은 해집합 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}를 지킬 뿐 고유값을 지키지 않습니다. 예: A=[1111]A = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix}의 고유값은 2와 0인데, 소거하면 U=[1100]U = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}이라 피벗은 1과 0입니다. 피벗의 곱(행렬식)만 같습니다.

고유값을 지키는 변환은 따로 있습니다. 좌표계를 바꾸는 것입니다.

정리 11.5 (닮은 행렬) 가역 행렬 MM에 대해 B=M−1AMB = M^{-1}AM이면 AA와 BB를 닮은 행렬(similar matrices)이라 한다. 닮은 행렬은 특성 다항식이 같고, 따라서 고유값·대각합·행렬식이 같다. x\mathbf{x}가 AA의 고유벡터이면 M−1xM^{-1}\mathbf{x}가 BB의 고유벡터다.

증명. det⁡(B−λI)=det⁡(M−1(A−λI)M)=det⁡M−1det⁡(A−λI)det⁡M=det⁡(A−λI)\det(B - \lambda I) = \det(M^{-1}(A - \lambda I)M) = \det M^{-1}\det(A - \lambda I)\det M = \det(A - \lambda I). 또 B(M−1x)=M−1Ax=λM−1xB(M^{-1}\mathbf{x}) = M^{-1}A\mathbf{x} = \lambda M^{-1}\mathbf{x}. ∎

닮은 행렬은 같은 선형 변환을 다른 기저에서 본 것입니다(7장 좌표 변환과 선형 사상). 변환 자체가 가진 "방향이 바뀌지 않는 축"은 어떤 좌표로 적든 같으니, 고유값이 같은 것이 당연합니다.

trdet det = tr²/4 (중근) 복소 고유값회전하며 늘고 줆 두 음의 실근 두 양의 실근 부호가 다른 두 실근(det < 0, 안장) [4 1; 2 3]: (7, 10) 회전 90°: (0, 1) 2×2에서 읽는 법 λ₁ + λ₂ = tr λ₁λ₂ = det tr² − 4det > 0: 서로 다른 실근 = 0: 중근 < 0: 켤레 복소근 축 위(det = 0): 고유값 0 하나 = 특이 행렬
그림 11-2. 2×2 행렬의 고유값은 대각합과 행렬식 두 숫자로 완전히 정해진다. 포물선 det = tr²/4 위쪽은 켤레 복소 고유값(7절), 아래쪽은 실수 고유값이다. 가로축 아래(det < 0)는 한 방향으로 늘이고 다른 방향을 뒤집는 안장 모양이다. 이 지도는 12장에서 미분방정식의 안정성을 판정할 때 다시 쓴다.

고유공간과 중복도: 고유벡터가 모자랄 때

고유값이 겹치면 고유벡터는 몇 개일까

단위 행렬 II도, 전단 [1101]\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}도 특성 다항식이 (1−λ)2(1 - \lambda)^2입니다. 고유값은 똑같이 1이 두 번입니다. 그런데 II는 모든 벡터를 그대로 두니 모든 방향이 고유 방향이고, 전단은 가로 방향 하나만 그대로 둡니다. 특성 다항식만으로는 둘을 구분할 수 없습니다.

정의 11.6 (고유공간과 두 중복도) 고유값 λ\lambda의 고유공간(eigenspace)은 Eλ=N(A−λI)E_\lambda = N(A - \lambda I), 즉 λ\lambda의 고유벡터들과 영벡터의 모임이다. 이것은 부분공간이다(5장).
  • 대수적 중복도(algebraic multiplicity): λ\lambda가 특성 다항식의 근으로 몇 번 겹치는가.
  • 기하적 중복도(geometric multiplicity): 고유공간의 차원 dim⁡Eλ\dim E_\lambda, 즉 독립인 고유벡터가 몇 개인가.
정리 11.7 모든 고유값에 대해 1≤1 \le 기하적 중복도 ≤\le 대수적 중복도.

증명 아이디어. 왼쪽 부등식은 고유값이면 고유벡터가 적어도 하나 있다는 뜻이다. 오른쪽: EλE_\lambda의 기저 gg개를 첫 열들로 하는 기저로 좌표를 바꾸면 닮은 행렬 [λIg∗0C]\begin{bmatrix}\lambda I_g & *\\ 0 & C\end{bmatrix}이 되고, 그 특성 다항식은 (λ−t)gdet⁡(C−tI)(\lambda - t)^g\det(C - tI)이므로 근 λ\lambda가 적어도 gg번 겹친다. ∎

기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작은 고유값이 있으면 그 행렬은 고유벡터가 모자랍니다. 이런 행렬을 결함 행렬(defective matrix)이라 하고, 다음 절의 대각화를 할 수 없습니다. 전단이 대표적입니다. [1101]−I=[0100]\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} - I = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}의 영공간은 x2=0x_2 = 0인 직선 하나뿐입니다.

아래 시뮬레이터는 결함이 어떻게 생기는지 보여 줍니다. Aε=[11ε1]A_\varepsilon = \begin{bmatrix}1 & 1\\ \varepsilon & 1\end{bmatrix}의 고유값은 1±ε1 \pm \sqrt{\varepsilon}, 고유벡터는 (1,±ε)(1, \pm\sqrt{\varepsilon})입니다. ε\varepsilon을 0으로 줄이면 두 고유 방향이 가위처럼 닫혀 하나로 합쳐집니다. 비교용 행렬 [1001+ε]\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1+\varepsilon\end{bmatrix}는 ε=0\varepsilon = 0에서 고유값이 겹쳐도 고유 방향이 오히려 평면 전체로 늘어납니다.

SIMULATOR

고유 방향이 합쳐지는 순간: 결함 행렬

행렬 계열
고유값—
대수적 / 기하적 중복도—
두 고유 방향 사이 각—
대각화—
해볼 것: ① ε를 1에서 0으로 천천히 줄이며 두 초록 직선 사이 각이 0°로 닫히는 것을 보세요. ② ε < 0으로 넘기면 고유값이 1 ± i√|ε|인 복소수가 되어 실수 고유 방향이 사라집니다. ③ 오른쪽 계열에서 ε = 0이면 모든 방향이 고유 방향입니다. 같은 '중근'이라도 기하적 중복도는 1과 2로 다릅니다. 모델: 2×2, 고유 방향은 정확한 공식으로 그립니다.
왜 신경 써야 하나 정확히 결함인 행렬은 드물지만, 결함에 가까운 행렬은 흔합니다. 두 고유 방향이 거의 평행하면 고유벡터 행렬 XX의 조건수가 커져서 다음 절의 대각화 계산이 잡음에 민감해집니다. 이것이 수치 계산에서 고유벡터 대신 직교 행렬을 쓰는 슈어 분해나 SVD(14장)를 선호하는 이유 중 하나입니다.

대각화: 고유벡터를 좌표축으로

고유벡터가 충분히 있으면(nn개가 독립이면) 그것을 새 좌표축으로 삼을 수 있습니다. 그 좌표계에서 행렬은 각 축을 고유값 배로 늘이기만 하는 대각 행렬입니다.

정리 11.8 (대각화) AA가 독립인 고유벡터 x1,…,xn\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n을 가지면, 이들을 열로 하는 X=[ x1⋯xn ]X = [\,\mathbf{x}_1 \cdots \mathbf{x}_n\,]과 고유값의 대각 행렬 Λ=diag⁡(λ1,…,λn)\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)에 대해
AX=XΛ,A=XΛX−1,Λ=X−1AX.AX = X\Lambda, \qquad A = X\Lambda X^{-1}, \qquad \Lambda = X^{-1}AX.
역으로 A=XΛX−1A = X\Lambda X^{-1}이면 XX의 열은 AA의 고유벡터다. n×nn\times n 행렬이 대각화 가능(diagonalizable)할 필요충분조건은 독립인 고유벡터 nn개가 있는 것이다.

증명. AXAX의 jj열은 Axj=λjxjA\mathbf{x}_j = \lambda_j\mathbf{x}_j이고, XΛX\Lambda의 jj열도 λjxj\lambda_j\mathbf{x}_j(열 그림, 2장)이다. 열이 독립이므로 XX는 가역이고 양변 오른쪽에 X−1X^{-1}을 곱하면 된다. ∎

표준 좌표의 x X⁻¹ 고유 좌표 c x = c₁x₁ + c₂x₂c = X⁻¹x Λ 축마다 늘이기 (λ₁c₁, λ₂c₂)서로 섞이지 않는다 X 다시 표준 좌표 Ax A = XΛX⁻¹ 은 오른쪽부터 읽는다: 고유 좌표로 바꾸고 → 축마다 늘이고 → 원래 좌표로 돌아온다
그림 11-3. 대각화의 세 단계. 복잡해 보이는 A의 작용이, 고유벡터를 축으로 하는 좌표계에서는 '축마다 따로 늘이기'라는 가장 단순한 작용이다. 7장의 기저 변환이 바로 이 X다.

그렇다면 언제 독립인 고유벡터가 nn개 있을까요? 가장 쓸모 있는 충분조건은 다음과 같습니다.

정리 11.9 (서로 다른 고유값의 고유벡터는 독립) λ1,…,λk\lambda_1, \dots, \lambda_k가 서로 다른 고유값이고 xi\mathbf{x}_i가 각각의 고유벡터이면 x1,…,xk\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_k는 선형 독립이다. 따라서 nn개의 서로 다른 고유값을 가진 n×nn\times n 행렬은 대각화 가능하다.

증명. kk에 대한 귀납법. k=1k = 1은 x1≠0\mathbf{x}_1 \ne \mathbf{0}이라 성립한다. k−1k-1개까지 독립이라 하고 c1x1+⋯+ckxk=0c_1\mathbf{x}_1 + \cdots + c_k\mathbf{x}_k = \mathbf{0}이라 하자. 양변에 AA를 곱한 식 c1λ1x1+⋯+ckλkxk=0c_1\lambda_1\mathbf{x}_1 + \cdots + c_k\lambda_k\mathbf{x}_k = \mathbf{0}에서 원래 식의 λk\lambda_k배를 빼면 c1(λ1−λk)x1+⋯+ck−1(λk−1−λk)xk−1=0c_1(\lambda_1 - \lambda_k)\mathbf{x}_1 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)\mathbf{x}_{k-1} = \mathbf{0}. 귀납 가정으로 모든 ci(λi−λk)=0c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0이고, 고유값이 서로 다르므로 c1=⋯=ck−1=0c_1 = \cdots = c_{k-1} = 0. 남은 ckxk=0c_k\mathbf{x}_k = \mathbf{0}에서 ck=0c_k = 0. ∎

고유값이 겹치면 대각화될 수도(단위 행렬) 안 될 수도(전단) 있습니다. 그때는 각 고유값의 기하적 중복도가 대수적 중복도와 같은지 확인해야 합니다.

SIMULATOR

A = XΛX⁻¹ 세 단계로 나눠 보기

0단계: 변환 전
X (고유벡터 열)—
Λ—
X⁻¹—
X의 조건수—
해볼 것: ① 1단계에서 초록 고유 좌표 격자가 정사각 격자로 펴지는 것을 보세요. 이것이 X⁻¹입니다. ② 2단계에서는 가로·세로로만 늘어납니다. 섞임이 없습니다. ③ '결함에 가까움'에서는 두 고유 방향이 거의 평행해 X⁻¹ 단계의 찌그러짐이 매우 크고 조건수가 커집니다. 모델: 고유벡터는 길이 1로 정규화. 단계 사이는 행렬을 선형 보간해 그립니다.
예제 11.3 (대각화 검산) 예제 11.1의 A=[4123]A = \begin{bmatrix}4 & 1\\ 2 & 3\end{bmatrix}에서 X=[111−2]X = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & -2\end{bmatrix}, Λ=[5002]\Lambda = \begin{bmatrix}5 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}. det⁡X=−3\det X = -3이므로 X−1=13[211−1]X^{-1} = \tfrac{1}{3}\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & -1\end{bmatrix}. 곱하면
XΛX−1=[525−4]⋅13[211−1]=13[12369]=[4123].  ✓X\Lambda X^{-1} = \begin{bmatrix}5 & 2\\ 5 & -4\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & -1\end{bmatrix} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}12 & 3\\ 6 & 9\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 1\\ 2 & 3\end{bmatrix}. \;\checkmark

거듭제곱과 지배 고유벡터

대각화의 진짜 힘은 거듭제곱에서 나옵니다. A2=XΛX−1XΛX−1=XΛ2X−1A^2 = X\Lambda X^{-1}X\Lambda X^{-1} = X\Lambda^2X^{-1}처럼 가운데의 X−1XX^{-1}X가 계속 사라지므로

Ak=XΛkX−1,Λk=diag⁡(λ1k,…,λnk).A^k = X\Lambda^kX^{-1}, \qquad \Lambda^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k).

벡터에 적용하면 더 분명합니다. 시작 벡터를 고유벡터로 전개해 x0=c1x1+⋯+cnxn\mathbf{x}_0 = c_1\mathbf{x}_1 + \cdots + c_n\mathbf{x}_n이라 하면 각 성분이 자기 고유값만큼씩 따로 자랍니다.

Akx0=c1λ1kx1+c2λ2kx2+⋯+cnλnkxn.A^k\mathbf{x}_0 = c_1\lambda_1^k\mathbf{x}_1 + c_2\lambda_2^k\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n\lambda_n^k\mathbf{x}_n.
∣λ1∣>∣λ2∣≥⋯|\lambda_1| > |\lambda_2| \ge \cdots이고 c1≠0c_1 \ne 0이면, λ1k\lambda_1^k로 나눈 나머지 항은 (λi/λ1)k→0(\lambda_i/\lambda_1)^k \to 0으로 사라진다.
정리 11.10 (지배 고유벡터로의 수렴) 대각화 가능한 AA의 고유값 중 절댓값이 가장 큰 λ1\lambda_1이 하나뿐이고(∣λ1∣>∣λ2∣|\lambda_1| > |\lambda_2|), 시작 벡터의 x1\mathbf{x}_1 성분 c1c_1이 0이 아니면 Akx0A^k\mathbf{x}_0의 방향은 x1\mathbf{x}_1의 방향으로 수렴하고, 방향 오차는 ∣λ2/λ1∣k|\lambda_2/\lambda_1|^k에 비례해 줄어든다.

이것이 거듭제곱법(power iteration)의 원리입니다. 행렬을 계속 곱하고 길이만 정규화하면 가장 큰 고유값의 고유벡터가 저절로 나옵니다. 행렬의 특성 다항식을 전혀 쓰지 않으므로 수백만 차원에서도 동작하고, 웹 페이지 순위를 매기는 페이지랭크가 바로 이 방법으로 계산됩니다(12장).

SIMULATOR

곱할수록 지배 고유벡터로 끌려간다

x₀을 끌어 보세요 · 화살표는 Aᵏx₀의 방향
방향 오차(°, 로그) vs k
고유값—
|λ₂/λ₁|—
x₁ 방향과의 각—
‖Aᵏx₀‖—
해볼 것: ① 두 행렬의 오차 그래프 기울기를 비교하세요. 로그 눈금에서 직선의 기울기가 log|λ₂/λ₁|입니다(점선이 이론값). ② x₀을 두 번째 고유 방향 위에 정확히 올리면(c₁ = 0) 수렴하지 않습니다. 실제 계산에서는 반올림 오차가 c₁을 조금 만들어 결국 수렴합니다. ③ '|λ₁| = |λ₂|'에서는 방향이 두 방향 사이를 오가며 수렴하지 않습니다. 모델: 정확한 2×2 행렬 곱, 각도는 직선 사이 각(0°~90°).
예제 11.4 (인구 이동의 장기 비율) 해마다 도심 인구의 10%가 교외로, 교외 인구의 20%가 도심으로 옮긴다. A=[0.90.20.10.8]A = \begin{bmatrix}0.9 & 0.2\\ 0.1 & 0.8\end{bmatrix}(열마다 합 1). tr⁡A=1.7\operatorname{tr}A = 1.7, det⁡A=0.7\det A = 0.7이므로 고유값은 1과 0.7. λ=1\lambda = 1의 고유벡터는 (A−I)x=0(A - I)\mathbf{x} = \mathbf{0}, 즉 −0.1x1+0.2x2=0-0.1x_1 + 0.2x_2 = 0에서 (2,1)(2, 1). 따라서 처음 분포와 상관없이(성분 c1c_1이 0이 아닌 한) 인구는 도심 : 교외 = 2 : 1로 수렴하고, 차이는 해마다 0.7배씩 줄어든다. 10년 뒤 남은 차이는 0.710≈0.0280.7^{10} \approx 0.028, 처음의 약 3%다.

복소 고유값은 회전이다

회전 행렬의 고유벡터는 어디에

평면을 30° 돌리는 행렬은 모든 벡터를 돌립니다. 그림으로는 고유 방향이 없습니다. 그런데 특성 다항식 λ2−2cos⁡30° λ+1=0\lambda^2 - 2\cos 30°\,\lambda + 1 = 0은 근을 가집니다. 복소수 cos⁡30°±isin⁡30°\cos 30° \pm i\sin 30°입니다. 이 복소수는 무엇을 말할까요?

실수 행렬의 특성 다항식은 계수가 실수이므로 복소근은 늘 켤레 쌍 a±bia \pm bi로 나옵니다. 그리고 2×2에서 켤레 복소 고유값을 가진 행렬은 모두 회전–확대 행렬과 닮았습니다.

정리 11.11 (회전–확대 표준형) 실수 2×2 행렬 AA의 고유값이 λ=a±bi\lambda = a \pm bi (b≠0b \ne 0)이면, 실수 가역 행렬 PP가 있어
A=P[a−bba]P−1=P(r[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ])P−1,r=∣λ∣=a2+b2,  θ=arg⁡λ.A = P\begin{bmatrix}a & -b\\ b & a\end{bmatrix}P^{-1} = P\left(r\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\right)P^{-1}, \qquad r = |\lambda| = \sqrt{a^2 + b^2},\; \theta = \arg\lambda.
PP의 열은 복소 고유벡터 v=u+iw\mathbf{v} = \mathbf{u} + i\mathbf{w}의 실수부와 허수부 [ u    −w ][\,\mathbf{u}\;\; -\mathbf{w}\,]로 잡을 수 있다(부호 관례에 따라 다르다). 즉 A는 "기울어진 좌표계에서 θ만큼 돌리고 r배 늘이기"다.

그래서 AA를 반복해 곱하면 점은 원(좌표계가 기울어 있으면 타원) 둘레를 θ\theta씩 돌며, 반지름이 매번 rr배가 됩니다. r<1r \lt 1이면 안쪽으로 감기는 나선, r>1r > 1이면 바깥으로 풀리는 나선, r=1r = 1이면 닫힌 타원입니다. 고유값의 크기가 성장률, 편각이 회전 속도인 것은 MathBook의 "복소수는 회전이다"와 같은 이야기입니다.

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복소 고유값과 나선 궤적

시작점을 끌어 보세요
A = P·rR(θ)·P⁻¹—
고유값—
tr A, det A—
궤적—
해볼 것: ① r을 1보다 조금 작게, 조금 크게 바꿔 감기는 나선과 풀리는 나선을 비교하세요. det A = r²이 1을 넘는지가 경계입니다. ② s를 키우면 원이 타원으로 기울지만 고유값(tr과 det)은 그대로입니다. 닮은 행렬이기 때문입니다. ③ θ = 0°에서는 복소수가 아니라 중근 r이 됩니다. 모델: xk+1 = Axk, 점을 선으로 이어 그립니다.

피보나치 수열과 황금비

대각화로 점화식을 닫힌 식으로 푸는 고전적인 예입니다. 피보나치 수열 Fk+2=Fk+1+FkF_{k+2} = F_{k+1} + F_k (F0=0,F1=1F_0 = 0, F_1 = 1)은 2차 점화식이지만, 상태 벡터 uk=(Fk+1,Fk)\mathbf{u}_k = (F_{k+1}, F_k)를 쓰면 1차 행렬 점화식이 됩니다.

uk+1=[Fk+2Fk+1]=[1110][Fk+1Fk]=Auk,uk=Aku0.\mathbf{u}_{k+1} = \begin{bmatrix}F_{k+2}\\ F_{k+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_{k+1}\\ F_k\end{bmatrix} = A\mathbf{u}_k, \qquad \mathbf{u}_k = A^k\mathbf{u}_0.
예제 11.5 (피보나치의 닫힌 식)
  1. 특성 다항식: tr⁡A=1\operatorname{tr}A = 1, det⁡A=−1\det A = -1이므로 λ2−λ−1=0\lambda^2 - \lambda - 1 = 0, λ1,2=1±52\lambda_{1,2} = \tfrac{1 \pm \sqrt5}{2}. λ1=φ≈1.618\lambda_1 = \varphi \approx 1.618(황금비), λ2=1−φ≈−0.618\lambda_2 = 1 - \varphi \approx -0.618.
  2. 고유벡터: (A−λI)x=0(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}의 둘째 행 x1−λx2=0x_1 - \lambda x_2 = 0에서 xi=(λi,1)\mathbf{x}_i = (\lambda_i, 1).
  3. 시작 벡터 전개: u0=(1,0)=c1(λ1,1)+c2(λ2,1)\mathbf{u}_0 = (1, 0) = c_1(\lambda_1, 1) + c_2(\lambda_2, 1). 둘째 성분에서 c2=−c1c_2 = -c_1, 첫 성분에서 c1(λ1−λ2)=1c_1(\lambda_1 - \lambda_2) = 1이므로 c1=1/5c_1 = 1/\sqrt5.
  4. 둘째 성분을 읽으면 비네 공식
    Fk=15(λ1k−λ2k)=15[(1+52)k−(1−52)k].F_k = \frac{1}{\sqrt5}\left(\lambda_1^k - \lambda_2^k\right) = \frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^k - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^k\right].
  5. ∣λ2∣<1|\lambda_2| \lt 1이므로 둘째 항은 빠르게 사라지고, FkF_k는 φk/5\varphi^k/\sqrt5에 가장 가까운 정수다. 이웃한 항의 비 Fk+1/FkF_{k+1}/F_k는 지배 고유값 φ\varphi로 수렴한다(정리 11.10). λ2\lambda_2가 음수라서 비는 φ\varphi보다 컸다 작았다 하며 다가간다.
kFkφk/√5Fk+1/Fk비의 오차
계산 중…

같은 요령은 모든 상수 계수 선형 점화식에 통합니다. 단계 mm의 점화식은 m×mm\times m 동반 행렬(companion matrix)의 거듭제곱이 되고, 그 고유값이 점화식의 특성근입니다. 디지털 필터의 극점, 이자 계산, 집단 유전학의 세대 모형이 모두 이 틀에 들어갑니다.

진동 모드: 고유값이 진동수를 정한다

세 개의 질량이 용수철로 이어져 있다

양쪽 벽 사이에 질량 셋을 용수철 넷으로 잇고 아무렇게나 툭 치면 움직임은 복잡하게 뒤엉킵니다. 그런데 특정한 모양으로 밀었다 놓으면 세 질량이 모두 같은 진동수로, 모양을 유지하며 떱니다. 그 모양과 진동수를 어떻게 찾을까요?

질량 mim_i의 변위를 xix_i, 용수철 상수를 kk라 하면 뉴턴 법칙은 Mx¨=−KxM\ddot{\mathbf{x}} = -K\mathbf{x}입니다. 여기서

M=[m1000m2000m3],K=k[2−10−12−10−12].M = \begin{bmatrix}m_1 & 0 & 0\\ 0 & m_2 & 0\\ 0 & 0 & m_3\end{bmatrix}, \qquad K = k\begin{bmatrix}2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2\end{bmatrix}.
K는 4장의 삼중대각 행렬과 같은 모양이다. 각 질량은 양옆 용수철에만 연결되어 있다.

모양을 유지하며 떠는 해 x(t)=ϕcos⁡ωt\mathbf{x}(t) = \boldsymbol\phi\cos\omega t를 넣으면 −ω2Mϕcos⁡ωt=−Kϕcos⁡ωt-\omega^2M\boldsymbol\phi\cos\omega t = -K\boldsymbol\phi\cos\omega t, 즉

Kϕ=ω2Mϕ⟺M−1Kϕ=ω2ϕ.K\boldsymbol\phi = \omega^2M\boldsymbol\phi \quad\Longleftrightarrow\quad M^{-1}K\boldsymbol\phi = \omega^2\boldsymbol\phi.
고유값 ω2\omega^2이 고유진동수의 제곱, 고유벡터 ϕ\boldsymbol\phi가 모드 형상이다. 이런 Kϕ=λMϕK\boldsymbol\phi = \lambda M\boldsymbol\phi를 일반화 고유값 문제라 부른다.

모든 질량이 같으면(M=mIM = mI) KK의 고유값은 k(2−2)k(2 - \sqrt2), 2k2k, k(2+2)k(2 + \sqrt2)이고 모드 형상은 (1,2,1)(1, \sqrt2, 1), (1,0,−1)(1, 0, -1), (1,−2,1)(1, -\sqrt2, 1)입니다. 첫째 모드는 셋이 같이 움직이고, 둘째는 가운데가 멈춘 채 양쪽이 반대로, 셋째는 이웃끼리 엇갈립니다. 모드가 높을수록 마디가 늘고 진동수가 커집니다. 대칭 행렬이므로 모드 형상은 서로 수직입니다(13장).

모드 1 · ω₁ ≈ 0.765√(k/m) φ = (1, √2, 1) 모드 2 · ω₂ ≈ 1.414√(k/m) φ = (1, 0, −1) 모드 3 · ω₃ ≈ 1.848√(k/m) φ = (1, −√2, 1) 세로 위치는 변위를 옆으로 눕혀 그린 것이다. 양 끝(벽)은 움직이지 않는다.
그림 11-4. 질량이 같은 세 질량 사슬의 세 진동 모드. 고유값이 커질수록(진동수가 높을수록) 모양이 부호를 바꾸는 횟수, 즉 마디가 하나씩 는다. 기타 줄이나 다리 상판처럼 연속체의 진동 모드도 같은 규칙을 따른다.
SIMULATOR

질량–용수철 사슬의 진동 모드

들뜬 상태
ω₁, ω₂, ω₃ (√(k/m) 단위)—
모드 형상 φ (정규화)—
진동수 비 ω₂/ω₁—
해볼 것: ① 모드 1~3을 차례로 켜고 마디(멈춘 점)의 개수를 세어 보세요. ② '섞기'에서는 세 모드가 다른 진동수로 겹쳐 움직임이 불규칙해 보입니다. 그래도 각 모드의 몫은 따로따로 떱니다. ③ 가운데 질량을 무겁게 하면 모드 2는 그대로고(가운데가 움직이지 않으니까) 모드 1과 3이 바뀝니다. 모델: 감쇠 없는 선형 용수철, Kφ = ω²Mφ를 대칭화(M−1/2KM−1/2)해 야코비 방법으로 풉니다. 그림의 변위는 가로 방향을 과장해 그렸습니다.

이 도구가 쓰이는 곳

고유값 문제는 "시간이 지나면 무엇이 남는가", "어떤 모양으로 떠는가", "어느 축이 특별한가"를 묻는 모든 곳에 있습니다.

주응력 축: 재료가 가장 세게 당겨지는 방향 부품 속 한 점의 응력은 2차원에서 대칭 행렬 σ=[σxxτxyτxyσyy]\sigma = \begin{bmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{xy}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy}\end{bmatrix}로 적습니다. 그 고유값이 주응력, 고유벡터가 주응력 축입니다. 이 축으로 돌려 보면 전단 응력이 사라지고 순수한 당김과 누름만 남습니다. 예: σxx=80\sigma_{xx} = 80, σyy=20\sigma_{yy} = 20, τxy=40\tau_{xy} = 40 MPa이면 tr = 100, det = 1600 − 1600 = 0이므로 주응력은 100 MPa와 0. 가장 큰 당김은 축이 아니라 비스듬한 방향에서 100 MPa로, 어느 좌표축 성분보다 큽니다. 균열은 이 방향에 수직으로 자라기 쉽습니다. 응력이 대칭 행렬이라 주응력 축은 늘 서로 수직입니다(13장).
12장 · 동역학마르코프 연쇄와 페이지랭크
고유값 1의 고유벡터가 장기 분포와 웹 페이지 순위. x′ = Ax의 해는 eλt의 합. 13장 · 대칭 행렬스펙트럼 정리
대칭 행렬은 실수 고유값과 서로 수직인 고유벡터를 가진다. 주응력·진동 모드·이차 형식. 14장 · SVD모든 행렬의 '고유값'
정사각이 아니거나 결함이 있어도 쓸 수 있는 분해. AᵀA의 고유값이 특이값의 제곱. 16장 · 수치 선형대수거듭제곱법과 QR 알고리즘
특성 다항식을 풀지 않고 고유값을 구하는 실제 방법. MATHBOOK건물의 공진 모드
층마다 질량과 강성을 둔 건물 모형의 고유진동수, 내진 설계. 확률과 통계전이 행렬과 정상 분포
마르코프 연쇄의 정상 분포는 전이 행렬의 고유값 1 고유벡터. SCIBOOK · 양자역학슈뢰딩거 방정식
에너지 준위는 해밀토니안 연산자의 고유값, 정상 상태는 고유벡터.

핵심 정리

  1. Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x} (x≠0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}): 고유벡터는 A가 돌리지 않는 방향, 고유값은 그 방향의 배율이다. 고유벡터의 상수배도 고유벡터다.
  2. 고유값은 특성 방정식 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0의 근이고, 고유벡터는 N(A−λI)N(A - \lambda I)의 영이 아닌 벡터다. 2×2에서는 λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0.
  3. 고유값의 합 = 대각합, 곱 = 행렬식. 삼각 행렬의 고유값은 대각 원소. 닮은 행렬 M−1AMM^{-1}AM은 고유값이 같지만, 소거는 고유값을 바꾼다.
  4. 기하적 중복도(독립인 고유벡터 수) ≤ 대수적 중복도. 이 둘이 다른 고유값이 있으면 결함 행렬이고 대각화할 수 없다(예: 전단).
  5. 독립인 고유벡터 nn개가 있으면 A=XΛX−1A = X\Lambda X^{-1}. 서로 다른 고유값의 고유벡터는 독립이므로 고유값이 모두 다르면 대각화된다.
  6. Ak=XΛkX−1A^k = X\Lambda^kX^{-1}. 반복 곱은 절댓값이 가장 큰 고유값의 고유벡터로 끌려가고, 오차는 ∣λ2/λ1∣k|\lambda_2/\lambda_1|^k로 준다(거듭제곱법, 피보나치의 황금비).
  7. 실수 행렬의 복소 고유값 a±bi=re±iθa \pm bi = re^{\pm i\theta}는 기울어진 좌표계에서의 회전 θ와 확대 r이다. 진동 모드는 Kϕ=ω2MϕK\boldsymbol\phi = \omega^2M\boldsymbol\phi의 고유값 문제다.

확인 퀴즈

Q1. A=[3103]A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 0 & 3\end{bmatrix}에 대한 설명으로 옳은 것은?

위삼각이므로 고유값은 대각 원소 3, 3(대수적 중복도 2). A−3I=[0100]A - 3I = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}의 영공간은 x2=0x_2 = 0인 직선 하나뿐이라 기하적 중복도는 1이다. 3배 확대한 전단으로, 결함 행렬이다.

Q2. 3×3 행렬의 대각합이 6, 행렬식이 0이고 고유값 하나가 2라면 나머지 두 고유값은?

행렬식 = 고유값의 곱 = 0이므로 고유값 중 하나는 0이다. 2가 0이 아니니 나머지 둘 중 하나가 0이고, 합 2 + 0 + λ = 6에서 λ = 4. 행렬식이 0이니 이 행렬은 특이 행렬이다.

Q3. Ax=5xA\mathbf{x} = 5\mathbf{x}일 때 A2−2A+3IA^2 - 2A + 3I에 대해 x\mathbf{x}는?

A2x=A(5x)=25xA^2\mathbf{x} = A(5\mathbf{x}) = 25\mathbf{x}이므로 (A2−2A+3I)x=(25−10+3)x=18x(A^2 - 2A + 3I)\mathbf{x} = (25 - 10 + 3)\mathbf{x} = 18\mathbf{x}. 일반적으로 다항식 q(A)q(A)의 고유벡터는 그대로이고 고유값은 q(λ)q(\lambda)다.

Q4. 2×2 실수 행렬의 대각합이 2, 행렬식이 5다. Akx0A^k\mathbf{x}_0을 계속 그리면 점은 어떻게 움직이나?

판별식 22−4⋅5=−16<02^2 - 4\cdot 5 = -16 \lt 0이라 고유값은 1±2i1 \pm 2i, 켤레 복소수다. ∣λ∣=5>1|\lambda| = \sqrt5 > 1이므로 매번 √5배 커지며 돈다. 크기가 det⁡A\sqrt{\det A}라는 것만 알아도 판단할 수 있다.

Q5. 다음 중 고유값을 바꾸지 않는 것은?

닮음 변환은 같은 변환을 다른 기저에서 본 것이라 특성 다항식이 그대로다. 행 연산은 Ax = b의 해를 지키지만 A 자체를 바꾸므로 고유값이 달라진다. 예: [1 1; 1 1]은 고유값 2, 0이지만 소거한 [1 1; 0 0]은 1, 0이다.

Q6. 고유값이 0.5와 0.9인 2×2 행렬로 거듭제곱법을 하면, 방향 오차가 처음의 1/1000로 줄어드는 데 대략 몇 번 곱해야 하나?

오차 비율은 ∣λ2/λ1∣k=(0.5/0.9)k≈0.556k|\lambda_2/\lambda_1|^k = (0.5/0.9)^k \approx 0.556^k. 0.556k=10−30.556^k = 10^{-3}에서 k=3/log⁡10(1/0.556)≈3/0.255≈11.8k = 3/\log_{10}(1/0.556) \approx 3/0.255 \approx 11.8. 지배 고유값 자체가 1보다 작아 길이는 0으로 줄지만, 정규화하면 방향은 수렴한다.

Q7. 서로 다른 고유값 3개를 가진 3×3 행렬에 대해 반드시 참인 것은?

정리 11.9에 따라 서로 다른 고유값의 고유벡터 3개는 독립이므로 XX가 가역이 되어 대각화된다. 고유값 중 0이 있으면 가역이 아니고, 고유벡터가 수직인 것은 대칭 행렬일 때(13장)다.

Q8. 같은 질량 셋을 같은 용수철로 이은 사슬에서 둘째 모드 (1, 0, −1)의 특징은?

가운데 변위가 0이므로 가운데 질량은 운동 에너지에 기여하지 않고, 양쪽 질량은 각각 바깥 용수철과 가운데로 이어진 용수철에 붙어 떤다. 그래서 m2m_2를 바꿔도 ω2=2k/m\omega_2 = \sqrt{2k/m}가 그대로다. 진동수는 셋 중 가운데이고, 대칭 행렬의 고유벡터라 다른 모드와 수직이다.