Chapter 14

분산 분석과 실험 계획

같은 식각 레시피를 돌리는 챔버 네 대가 있다. 웨이퍼 몇 장씩 돌려 보니 평균 식각 속도가 조금씩 다르다. 진짜로 다른 걸까, 웨이퍼마다 원래 흔들리는 만큼일까? 두 집단이면 11장의 t 검정으로 충분하지만, 집단이 셋 이상이 되면 분산 분석이 필요하다. 평균들끼리의 흩어짐(집단 간)을 각 집단 안의 흩어짐(집단 내)과 견주는 방법이다. 그다음 질문은 더 실용적이다. 전력·압력·가스 유량을 어떤 조합으로, 몇 번 돌려야 가장 적은 실험으로 가장 많이 알 수 있을까? 이것이 실험 계획이다. 아래에서 챔버별 평균(흰 원)을 위아래로 끌어 벌리거나 모아 보고, 오른쪽 손잡이로 웨이퍼 사이 잡음을 바꿔 보자. 두 막대의 비 $F$가 커지면 신호등이 켜진다.

흰 원을 위아래로 끈다 · 빈 곳을 누르면 새 표본

총제곱합을 집단 간·집단 내 제곱합으로 나누고, 분산 분석표(자유도·평균 제곱·$F$·p 값)를 완성한다.
쌍마다 t 검정을 되풀이하면 가족별 제1종 오류가 커지는 이유를 설명하고, 투키 HSD로 어느 쌍이 다른지 판정한다.
이원 분산 분석에서 주효과와 교호 작용을 분리하고, 교호 작용 그림을 읽는다.
랜덤화·반복·블록화가 각각 무엇을 막는지 설명하고, 확률화 블록 계획을 분석한다.
2ᵏ 요인 실험의 주효과·교호 효과를 대비와 예이츠 방법으로 계산하고, 효과의 정규 확률 그림으로 활성 효과를 고른다.
부분 요인 실험의 생성자·정의 관계·별칭 구조·분해능을 구하고, 교락이 결론을 어떻게 속이는지 보인다.
중심점으로 곡률을 검출하고, 최대 경사 상승법과 중심 합성 계획, 2차 반응 표면으로 공정 최적점을 찾는다.

일원 분산 분석: 분산을 쪼개 평균을 비교한다

연구자가 바꾸는 조건을 요인(factor), 요인이 취하는 값을 수준(level), 실험 단위에 주는 수준(또는 수준의 조합)을 처리(treatment)라 한다. 챔버 네 대를 비교한다면 요인은 "챔버", 수준은 1–4호기다. 요인이 하나이고 처리 $k$개의 평균이 같은지 묻는 방법이 일원 분산 분석(one-way analysis of variance, ANOVA)이다.

$$H_0:\ \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k \qquad H_1:\ \text{적어도 한 쌍의 평균이 다르다}$$

왜 t 검정을 여러 번 하면 안 되나

네 챔버라면 쌍이 $\binom42 = 6$개다. 각 쌍을 유의 수준 0.05로 t 검정하면, 실제로는 모든 챔버가 같아도 여섯 번 중 한 번이라도 "다르다"가 나올 확률이 0.05보다 훨씬 크다. 검정 여러 개를 한 묶음으로 보았을 때 하나라도 거짓 기각이 나올 확률을 가족별 오류율(familywise error rate, FWER)이라 한다. 검정 $m$개가 독립이라면

$$\text{FWER} = 1 - (1 - \alpha)^m \approx m\alpha \quad(\alpha m \text{이 작을 때})$$

$k$개 집단의 모든 쌍을 비교하면 $m = k(k-1)/2$다. 실제 쌍별 t 검정들은 같은 자료를 공유해 서로 상관되어 있으므로 FWER는 이 식보다 조금 작지만, 집단이 많아지면 여전히 급격히 커진다(11장의 본페로니 보정 참고).

집단 수 k

MINI LAB모든 집단의 참 평균이 같은 세계에서(집단당 $n = 5$) 실험을 1000번 되풀이한다. 매번 모든 쌍을 t 검정해 하나라도 $p < 0.05$이면 "거짓 발견"(빨간 점)으로 센다. 같은 자료에 분산 분석 $F$ 검정을 한 번 하면(초록 점) 거짓 기각 비율이 $k$와 상관없이 0.05 근처에 머문다. 점선은 독립을 가정한 $1-0.95^m$이다.

제곱합의 분해

처리 $i$의 $j$번째 관측값을 $y_{ij}$($i = 1,\dots,k$, $j = 1,\dots,n_i$), 처리 평균을 $\bar y_{i\cdot}$, 전체 평균을 $\bar y_{\cdot\cdot}$, 전체 관측 수를 $N = \sum n_i$라 하자. 각 관측값이 전체 평균에서 벗어난 양은 "자기 집단 평균에서 벗어난 양"과 "집단 평균이 전체 평균에서 벗어난 양"의 합이다: $y_{ij} - \bar y_{\cdot\cdot} = (y_{ij} - \bar y_{i\cdot}) + (\bar y_{i\cdot} - \bar y_{\cdot\cdot})$. 양변을 제곱해 더하면 교차항이 0이 되어(집단마다 $\sum_j (y_{ij} - \bar y_{i\cdot}) = 0$) 깔끔하게 나뉜다.

$$\underbrace{\sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar y_{\cdot\cdot})^2}_{SS_T} = \underbrace{\sum_i n_i(\bar y_{i\cdot}-\bar y_{\cdot\cdot})^2}_{SS_B} + \underbrace{\sum_i\sum_j (y_{ij}-\bar y_{i\cdot})^2}_{SS_W}$$

$SS_B$는 집단 간 제곱합(between-group sum of squares, 처리 제곱합), $SS_W$는 집단 내 제곱합(within-group sum of squares, 오차 제곱합 $SS_E$)이다. 자유도도 $N - 1 = (k - 1) + (N - k)$로 나뉜다.

세 챔버에서 웨이퍼 4장씩, 식각 속도(임의 단위)를 쟀다.
총편차: 각 점에서 전체 평균(점선)까지의 거리. 제곱해 모두 더하면 $SS_T$ = 364.67.
집단 내 편차(초록): 각 점에서 자기 챔버 평균까지. 제곱합 $SS_W$ = 90 — 웨이퍼마다의 우연한 흔들림이다.
집단 간 편차(보라 막대): 챔버 평균에서 전체 평균까지. 점 4개가 같은 편차를 가지므로 $4\times$를 곱해 $SS_B$ = 274.67.
$SS_T = SS_B + SS_W$. 집단 간 몫이 집단 내 몫보다 훨씬 크면 챔버 차이가 진짜일 가능성이 크다.

분산 분석은 "흩어짐의 출처를 나누는" 계산이다. 평균이 다른지 묻는데 분산을 분석하는 이유가 여기 있다.

제곱합을 자유도로 나눈 것을 평균 제곱(mean square)이라 한다. $MS_B = SS_B/(k-1)$, $MS_W = SS_W/(N-k)$. $MS_W$는 처리 평균이 같든 다르든 공통 분산 $\sigma^2$의 불편 추정량이다(각 집단의 $S_i^2$를 합동한 것). 반면 $E[MS_B] = \sigma^2 + \sum n_i\tau_i^2/(k-1)$이어서($\tau_i = \mu_i - \mu$), $H_0$가 참일 때만 $\sigma^2$를 추정하고 평균이 다르면 더 커진다. 그래서 둘의 비를 본다.

분산 분석의 F 검정

정규 분포·등분산·독립을 가정하면 $H_0$ 아래에서 $F_0 = MS_B/MS_W \sim F_{k-1,\,N-k}$이다. $F_0 > F_{\alpha,k-1,N-k}$이면 $H_0$를 기각하고, p 값은 $P(F_{k-1,N-k} > F_0)$이다. 평균이 다를수록 $F_0$가 커지므로 기각역은 오른쪽 꼬리 하나다.

변동 요인	제곱합	자유도	평균 제곱	$F_0$
처리(집단 간)	$SS_B$	$k-1$	$MS_B = SS_B/(k-1)$	$MS_B/MS_W$
오차(집단 내)	$SS_W$	$N-k$	$MS_W = SS_W/(N-k)$
전체	$SS_T$	$N-1$

챔버 4대에서 웨이퍼를 5장씩 돌렸더니 $SS_B$ = 1330, $SS_W$ = 590였다. 자유도는 , 평균 제곱은 $MS_B$ = , $MS_W$ = 이므로 $F_0$ = . 기각 한계 $F_{0.05}$ = , p 값 = —

네 챔버의 참 평균이 모두 같을 때 웨이퍼 5장씩 실험을 1000번 반복한다. $F_0 > F_{0.05,3,16}$으로 "챔버가 다르다"고 잘못 결론 내리는 실험은 대략 몇 번일까?

$H_0$가 참이면 $F_0$는 정확히 $F_{3,16}$ 분포를 따르고, 기각 한계는 상위 5% 점이다. 그래서 거짓 기각은 약 5%, 1000번 중 50번 안팎이다. 시뮬레이터에서 "평균 같게"를 누른 뒤 1000번 실험해 확인하라.

SIMULATOR

F 검정 실험실

흰 원(참 평균)을 위아래로 끈다

쌓인 F₀와 F 분포

집단 수 k

집단당 n 잡음 σ

반복

이번 $F_0$—

p 값—

$F_{0.05}$—

실험 횟수—

기각 비율—

왼쪽은 이번 실험의 자료(초록 점)와 집단 평균(초록 막대), 흰 원은 참 평균이다. 오른쪽은 반복 실험에서 얻은 $F_0$의 히스토그램(초록)과 $H_0$ 아래 이론 분포 $F_{k-1,N-k}$(보라), 기각역(빨강)이다. 해볼 것: ① "평균 같게" 후 1000번 — 히스토그램이 보라 곡선에 겹치고 기각 비율이 5% 근처다. ② 한 집단만 10쯤 올리고 1000번 — 히스토그램이 오른쪽으로 밀리며 기각 비율(검정력)이 오른다. $n$을 늘리면 같은 차이에서 검정력이 얼마나 오르는가? ③ σ를 키우면 같은 평균 차이도 $F_0$가 작아진다. $F$는 "평균 차이 ÷ 잡음"의 신호 대 잡음비다.

같은 산화막 식각 레시피를 챔버 네 대에서 웨이퍼 5장씩 돌려 식각 속도(nm/min)를 쟀다. 챔버 1: 512, 498, 505, 520, 508 · 챔버 2: 525, 531, 518, 529, 522 · 챔버 3: 503, 497, 510, 499, 506 · 챔버 4: 515, 522, 509, 517, 511. 유의 수준 0.05에서 챔버 평균이 모두 같다고 할 수 있는가?

풀이 보기

전략 처리 평균과 전체 평균으로 $SS_B$, 각 집단의 편차 제곱합으로 $SS_W$를 구해 분산 분석표를 만든다.

풀이 처리 평균 508.6, 525.0, 503.0, 514.8, 전체 평균 512.85. $$SS_B = 5\big[(508.6-512.85)^2 + (525.0-512.85)^2 + (503.0-512.85)^2 + (514.8-512.85)^2\big] = 1332.55$$ 집단 내 편차 제곱합은 챔버별로 267.2, 110.0, 110.0, 104.8이므로 $SS_W = 592.0$. $MS_B = 1332.55/3 = 444.18$, $MS_W = 592.0/16 = 37.0$, $F_0 = 12.00$. $F_{0.05,3,16} = 3.24$이고 p 값은 $P(F_{3,16} > 12.00) = 0.00023$.

$F_0 = 12.0 > 3.24$ (p ≈ 0.0002) — 챔버 평균이 모두 같다는 가설을 기각한다.

검토 $MS_W = 37$이므로 웨이퍼 사이 표준 편차는 약 6.1 nm/min, 챔버 평균의 표준 오차는 $6.1/\sqrt5 \approx 2.7$이다. 챔버 평균이 503–525로 22 nm/min 벌어진 것은 표준 오차의 8배가 넘으니 결과가 타당하다. 다만 F 검정은 "어느 챔버가" 다른지는 말해 주지 않는다 — 다음 절의 사후 비교가 필요하다.

모형과 가정, 투키의 사후 비교

일원 분산 분석의 바탕에는 다음 모형이 있다.

$$y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij},\qquad \sum_i n_i\tau_i = 0,\qquad \varepsilon_{ij} \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2)$$

$\mu$는 전체 평균, $\tau_i$는 처리 $i$의 처리 효과(treatment effect), $\varepsilon_{ij}$는 오차다. 비교하려는 수준을 연구자가 정해 놓았으면(이 챔버 네 대) 고정 효과 모형, 수준을 큰 모집단에서 무작위로 뽑았으면(팹의 수많은 챔버 가운데 넷) 변량 효과 모형이라 하며, 이때는 $\sigma_\tau^2$가 0인지를 같은 $F$로 검정한다.

가정은 세 가지다. ① 독립: 실험 순서와 단위가 서로 영향을 주지 않는다 — 랜덤화(4절)로 지킨다. ② 정규성: 잔차 $e_{ij} = y_{ij} - \bar y_{i\cdot}$의 Q–Q 그림(12장)으로 확인한다. 집단당 $n$이 적당하면 $F$ 검정은 정규성 위반에 꽤 강하다. ③ 등분산: 집단별 잔차의 퍼짐이 비슷해야 한다. 집단 크기가 같으면(균형 설계) 등분산이 조금 깨져도 견디지만, 크기가 다르고 작은 집단의 분산이 크면 거짓 기각이 크게 늘어난다. 아래 미니 실험이 그 차이를 보여 준다.

집단 크기

첫 집단의 σ 배수

MINI LAB세 집단의 참 평균은 같다. 첫 집단(불균형일 때 가장 작은 집단)의 표준 편차만 키워 가며 $F$ 검정을 2000번 해서 p 값 히스토그램을 쌓는다. 가정이 맞으면 p 값은 0–1에 고르게 퍼지고 빨간 칸($p < 0.05$)은 전체의 5%다. 균형 설계는 σ 배수를 4로 키워도 크게 버티지만, 불균형 설계에서는 빨간 칸이 크게 부푼다.

사후 비교: 투키의 HSD

$F$ 검정으로 "어딘가 다르다"를 얻으면 이제 어느 쌍이 다른지 묻는다. 이렇게 결과를 본 뒤 하는 쌍별 비교를 사후 비교(post hoc comparison)라 한다. 모든 쌍을 비교하면서 가족별 오류율을 $\alpha$로 묶는 대표 방법이 투키 HSD(Tukey's honestly significant difference)다. 기준은 $k$개 평균 중 가장 큰 것과 가장 작은 것의 차이가 따르는 스튜던트화 범위 분포(studentized range distribution) $q$에서 온다.

$$\text{HSD} = q_{\alpha}(k,\,N-k)\,\sqrt{\frac{MS_W}{n}},\qquad |\bar y_{i\cdot} - \bar y_{j\cdot}| > \text{HSD} \ \Rightarrow\ \mu_i \ne \mu_j$$

$q_\alpha(k,\nu)$는 스튜던트화 범위 분포의 상위 $\alpha$ 분위수($q_{0.05}(4, 16) = 4.05$). 집단 크기가 다르면 $\sqrt{MS_W/n}$ 대신 $\sqrt{\tfrac{MS_W}{2}\big(\tfrac1{n_i}+\tfrac1{n_j}\big)}$를 쓴다(투키–크레이머). 동시 신뢰 구간은 $\bar y_{i\cdot} - \bar y_{j\cdot} \pm \text{HSD}$이다.

SIMULATOR

투키 동시 신뢰 구간

흰 원을 끌어 챔버 자료를 통째로 옮긴다

쌍별 차이의 95% 구간

보정 없는 t 구간도 보기(점선) 잡음 배수

$MS_W$—

$q_{0.05}(4,16)$—

HSD—

유의한 쌍—

F 검정—

처음 화면은 예제 14.1의 자료다. 오른쪽 구간이 0(세로선)을 넘지 않으면 그 쌍은 유의하게 다르다(보라). 해볼 것: ① 챔버 4를 위로 조금 끌어 "2–4" 쌍이 유의해지는 경계를 찾아라. 그 차이가 HSD와 같은가? ② 보정 없는 t 구간을 켜면 구간이 좁아 유의한 쌍이 더 많이 나온다. 그 대가가 1절의 가족별 오류다. ③ 잡음 배수를 키우면 $F$ 검정과 투키 결과가 함께 약해진다. 드물게 $F$는 유의한데 투키로 유의한 쌍이 하나도 없는 경우도 생긴다 — 두 방법이 묻는 질문이 다르기 때문이다.

예제 14.1의 자료($MS_W = 37.0$, 집단당 $n = 5$, $N - k = 16$)로 투키 HSD를 구하고, 6쌍 가운데 어느 쌍이 유의하게 다른지 판정하라. $q_{0.05}(4,16) = 4.05$.

풀이 보기

전략 HSD 하나를 구한 뒤 평균 차이의 절댓값과 비교한다.

풀이 $\text{HSD} = 4.05\sqrt{37.0/5} = 4.05 \times 2.720 = 11.0$ nm/min. 평균 508.6, 525.0, 503.0, 514.8의 쌍별 차이: 1–2: 16.4, 1–3: 5.6, 1–4: 6.2, 2–3: 22.0, 2–4: 10.2, 3–4: 11.8.

1–2(16.4), 2–3(22.0), 3–4(11.8) 세 쌍이 유의하다. 2–4(10.2)는 경계 바로 아래다.

검토 챔버 2가 가장 빠르고 챔버 3이 가장 느리다. 보정 없는 t 검정의 한계 $t_{0.025,16}\sqrt{2MS_W/n} = 2.12 \times 3.85 = 8.16$을 썼다면 2–4도 유의로 나왔을 것이다. 투키는 여섯 비교를 함께 보장하므로 문턱이 높다.

챔버 매칭은 분산 분석 문제다 같은 레시피라도 챔버마다 식각 속도와 균일도가 조금씩 다르다. 새 챔버를 양산에 넣기 전에는 기준 챔버들과 같은 웨이퍼 묶음을 나눠 돌려 평균 차이가 매칭 규격 안인지 확인한다. 챔버를 요인으로 둔 일원 분산 분석으로 "챔버 사이 분산"이 "웨이퍼 사이 분산"보다 큰지 보고, 투키 비교로 튀는 챔버를 찾는다. 변량 효과 모형으로 $\sigma_{\text{챔버}}^2$를 추정하면 장비 대수가 늘 때 제품 산포가 얼마나 커질지도 예측할 수 있다. → EtchBook · 종말점과 균일도(챔버는 웨이퍼마다 조금씩 다르다)

이원 분산 분석과 교호 작용

식각 속도는 RF 전력과 챔버 압력 둘 다에 달려 있다. 두 요인 A($a$수준)와 B($b$수준)의 모든 조합을 $r$번씩 반복해 돌리는 실험을 이원 요인 실험이라 하고, 그 자료를 이원 분산 분석(two-way ANOVA)으로 나눈다. 핵심은 두 요인이 따로따로 더해지듯 작용하는지, 아니면 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라지는지다. 후자를 교호 작용(interaction)이라 하고, 요인 하나가 다른 요인의 수준을 평균해서 내는 효과를 주효과(main effect)라 한다.

$$y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk},\qquad i = 1..a,\ j = 1..b,\ k = 1..r$$

$\tau_i$, $\beta_j$는 주효과, $(\tau\beta)_{ij}$는 교호 작용이다. 칸 평균 $\bar y_{ij\cdot}$, 행 평균 $\bar y_{i\cdot\cdot}$, 열 평균 $\bar y_{\cdot j\cdot}$로 추정한다: $\widehat{(\tau\beta)}_{ij} = \bar y_{ij\cdot} - \bar y_{i\cdot\cdot} - \bar y_{\cdot j\cdot} + \bar y_{\cdot\cdot\cdot}$ — 칸 평균에서 두 주효과로 설명되는 몫을 빼고 남은 것이다.

교호 작용 그림은 칸 평균을 B 수준마다 찍고 A 수준별로 선을 잇는다. 선이 평행하면 교호 작용이 없고, 기울기가 다르면 있다. 선이 엇갈리면 주효과만 보고 내린 결론이 거꾸로일 수 있다.

제곱합은 $SS_T = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E$로 나뉜다.

$$SS_A = br\sum_i(\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y_{\cdot\cdot\cdot})^2,\quad SS_B = ar\sum_j(\bar y_{\cdot j\cdot}-\bar y_{\cdot\cdot\cdot})^2,\quad SS_{AB} = r\sum_{i,j}\widehat{(\tau\beta)}_{ij}^{\,2},\quad SS_E = \sum_{i,j,k}(y_{ijk}-\bar y_{ij\cdot})^2$$

자유도는 $a-1$, $b-1$, $(a-1)(b-1)$, $ab(r-1)$이고 합은 $abr-1$이다. 세 $F$ 비는 모두 $MS_E$로 나눈다. 반복이 없으면($r = 1$) $SS_E$의 자유도가 0이어서 교호 작용을 오차와 구별할 수 없다.

A 2수준 × B 3수준을 3번씩 반복하면 실험은 번이다. 자유도: A , B , AB , 오차 , 전체 .

아래 교호 작용 그림에서 두 선이 X자로 크게 엇갈리고, A 낮음·A 높음의 전체 평균(B 수준을 평균한 값)이 거의 같다. A의 주효과 $F$ 검정은 어떻게 나올까?

주효과는 다른 요인의 수준을 평균한 효과다. 엇갈린 선에서는 A의 효과가 B 수준마다 부호가 바뀌어 평균하면 0에 가깝다. 그러나 $F_{AB}$가 크고, A를 B와 함께 정해야 한다. 교호 작용이 유의하면 주효과만 해석하지 말고 칸 평균을 본다.

SIMULATOR

교호 작용 그림과 이원 분산 분석표

흰 원(칸 평균)을 위아래로 끈다

과녁

잡음 σ

A(전력) p—

B(압력) p—

AB p—

도전—

A = RF 전력 2수준(초록 낮음, 보라 높음), B = 압력 3수준, 칸마다 웨이퍼 3장(작은 점). 칸 평균을 끌면 그 칸의 세 점이 함께 움직이고 분산 분석표가 바로 바뀐다(빨간 줄은 $p < 0.05$). 도전: 과녁을 고르고 칸 평균을 끌어 그 상태를 만들어라. 해볼 것: ① "평행하게"를 누르면 교호 작용 제곱합이 0이 된다. ② "AB만 유의" — 엇갈린 X자를 만들되 두 선의 평균 높이와 세 압력의 평균을 맞춰야 한다. ③ σ를 키우면 같은 그림도 유의성이 사라진다.

RF 전력(A: 낮음·높음)과 압력(B: 낮음·높음)의 네 조합에서 웨이퍼 3장씩 식각 속도(nm/min)를 쟀다. A 낮음·B 낮음: 410, 418, 414 · A 낮음·B 높음: 430, 436, 425 · A 높음·B 낮음: 470, 462, 466 · A 높음·B 높음: 520, 528, 515. 분산 분석표를 만들고 해석하라.

풀이 보기

전략 칸·행·열·전체 평균을 구해 네 제곱합을 계산한다. 자유도는 1, 1, 1, $4 \times 2 = 8$.

풀이 칸 평균 414.0, 430.3, 466.0, 521.0. A 평균 422.17, 493.50, B 평균 440.00, 475.67, 전체 457.83. $SS_A = 2\cdot3\big[(422.17-457.83)^2+(493.50-457.83)^2\big] = 15265.3$, $SS_B = 3816.3$, $SS_{AB} = 1121.3$, $SS_E = 210.7$(칸마다 편차 제곱합의 합), $MS_E = 26.33$. $F_A = 579.7$, $F_B = 144.9$, $F_{AB} = 42.6$ ($p = 0.0002$). $F_{0.05,1,8} = 5.32$.

세 효과 모두 유의하다. 특히 교호 작용이 유의: 압력을 올리면 전력 낮음에서 +16.3, 전력 높음에서 +55.0 nm/min.

검토 교호 작용 그림의 두 선 기울기가 크게 다르니 $F_{AB}$가 큰 것이 맞다. 이온 에너지(전력)가 충분해야 압력을 올려 늘린 라디칼이 식각에 쓰인다는 이온–라디칼 시너지와 같은 그림이다. "압력 효과는 +35.7"이라는 주효과만 보고하면 두 전력 조건 모두를 잘못 말하게 된다.

실험 계획의 세 원칙: 랜덤화·반복·블록화

지금까지는 자료가 주어졌다고 보았다. 그러나 결론의 질은 자료를 어떻게 얻었는가에서 대부분 정해진다. 요인과 수준, 실험 횟수와 순서, 실험 단위를 미리 정하는 일을 실험 계획(design of experiments, DOE)이라 한다. 피셔가 정리한 세 원칙은 다음과 같다.

랜덤화(randomization): 처리를 실험 단위에 배정하는 일과 실행 순서를 무작위로 정한다. 모르는 방해 요인(장비의 시간 표류, 계측기 드리프트, 웨이퍼 순서)이 한 처리에만 몰리지 않게 하여 독립 가정을 정당화한다.
반복(replication): 같은 처리를 독립적으로 여러 번 다시 실행한다. 오차 분산 $\sigma^2$를 추정할 수 있게 하고, 평균의 표준 오차를 $\sigma/\sqrt n$로 줄인다. 같은 웨이퍼를 여러 번 재는 측정 반복은 계측 잡음만 줄일 뿐 반복이 아니다.
블록화(blocking): 결과에 영향을 주지만 관심 없는 요인(웨이퍼 로트, 날짜, 장비)이 같은 단위끼리 묶어 그 안에서 처리를 비교한다. 블록 사이의 차이를 오차에서 빼내 비교를 예민하게 만든다.

방해 요인을 랜덤화로 막지 못하고 처리와 함께 움직이게 두면, 둘의 효과를 자료로는 구별할 수 없다. 이를 교락(confounding)이라 한다. 기존 레시피를 아침에 8장, 새 레시피를 오후에 8장 돌렸는데 그사이 챔버 벽 상태가 변했다면, 보이는 차이가 레시피 탓인지 시간 탓인지 알 수 없다.

SIMULATOR

표류하는 챔버와 실행 순서

흰 원을 끌어 표류 기울기를 바꾼다

실행 순서

참 레시피 효과

반복 실험

이번 추정 효과—

추정값 평균(편향)—

추정값 SD—

t 검정 기각 비율—

웨이퍼 16장을 기존(A, 초록)·신규(B, 보라) 레시피로 8장씩 돌린다. 챔버의 식각 속도가 실행 순서에 따라 점선처럼 표류한다. 위: 이번 실험의 자료. 아래: 반복 실험에서 얻은 효과 추정값 $\bar y_B - \bar y_A$의 히스토그램과 참 효과(보라 선). 해볼 것: ① 참 효과 0, "몰아서"로 1000번 — 추정값이 한쪽으로 크게 밀리고 t 검정이 거의 매번 "효과 있음"을 외친다(교락). ② "랜덤화"로 바꾸면 히스토그램이 참 효과를 중심으로 모인다. 대신 표류가 잡음으로 들어가 폭이 넓어진다. ③ "교대"는 편향이 작지만 0은 아니다 — B가 언제나 한 순번 늦다. 표류가 주기적이라면 더 위험하다.

랜덤화는 편향을 없애 주지만 방해 요인의 변동은 여전히 오차에 남는다. 방해 요인을 미리 알면 더 좋은 방법이 있다. 로트마다 막두께가 달라 식각 결과가 로트별로 통째로 오르내린다면, 로트를 블록으로 삼아 각 로트 안에서 세 레시피를 모두 돌린다. 이를 확률화 블록 계획(randomized complete block design, RCBD)이라 한다. 블록 안에서는 처리 순서를 랜덤화한다.

왼쪽은 로트를 무시하고 배정해 R3이 로트 3·4에 몰렸다 — 로트 차이가 레시피 차이로 둔갑할 수 있다. 오른쪽은 로트마다 세 레시피가 한 번씩 들어가 로트 효과가 모든 레시피에 똑같이 더해지고, 분석에서 빼낼 수 있다.

RCBD의 모형은 $y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$(처리 $i$, 블록 $j$, 칸마다 1회)이고, 반복 없는 이원 분산 분석과 같다: $SS_T = SS_{\text{처리}} + SS_{\text{블록}} + SS_E$, 자유도 $(t-1) + (b-1) + (t-1)(b-1)$. 블록을 무시하면 $SS_{\text{블록}}$이 오차로 들어가 $MS_E$가 부풀고 $F$가 작아진다.

로트 간 표준 편차

MINI LAB레시피 세 개의 참 평균은 0, 1.5, 3(웨이퍼 잡음 σ = 1), 로트 네 개. 왼쪽 위는 이번 실험의 자료로 같은 로트를 선으로 이었다 — 선들이 통째로 오르내린다. 왼쪽 아래 흰 원을 좌우로 끌어도 로트 간 표준 편차가 바뀐다. 500번 실험해서 같은 자료를 블록 무시(일원 분산 분석)와 블록 반영(RCBD)으로 분석해 검정력을 비교한다(오른쪽 막대).

반복은 효과 추정의 정밀도를 정한다. 두 수준 요인의 효과를 $\bar y_+ - \bar y_-$로 추정하면, 전체 $N$번 중 반씩 나누어 돌리므로 분산은 $\sigma^2/(N/2)\times 2$이다.

$$\operatorname{SE}(\text{효과}) = \sqrt{\frac{\sigma^2}{N/2} + \frac{\sigma^2}{N/2}} = \frac{2\sigma}{\sqrt N}$$

웨이퍼 사이 표준 편차가 $\sigma$ = 6 nm/min인 공정에서 두 수준 실험을 모두 16번 돌리면 효과 추정의 표준 오차는 이다. 효과가 대략 $2\,\mathrm{SE}$ = 보다 커야 잡음과 구별된다. 이 문턱을 4 nm/min으로 낮추려면 번이 필요하다 —

식각 후 세정 레시피 R1–R3을 로트 네 개에서 하나씩 시험해 잔류 입자 지수를 얻었다(로트 1: 102, 105, 108 · 로트 2: 96, 100, 101 · 로트 3: 110, 112, 116 · 로트 4: 99, 104, 105, 순서대로 R1, R2, R3). (a) 로트를 블록으로 분석하라. (b) 로트를 무시한 일원 분산 분석과 비교하라.

풀이 보기

전략 처리 평균·블록 평균·전체 평균으로 $SS_{\text{처리}}$, $SS_{\text{블록}}$을 구하고 나머지가 $SS_E$다.

풀이 레시피 평균 101.75, 105.25, 107.50, 로트 평균 105.00, 99.00, 112.67, 102.67, 전체 104.83. $SS_T = 371.67$, $SS_{\text{처리}} = 4\sum(\bar y_{i\cdot} - \bar y)^2 = 67.17$, $SS_{\text{블록}} = 3\sum(\bar y_{\cdot j} - \bar y)^2 = 300.33$, $SS_E = 4.17$. (a) $MS_{\text{처리}} = 33.58$, $MS_E = 4.17/6 = 0.694$, $F_0 = 48.4$ ($F_{0.05,2,6} = 5.14$, $p = 0.0002$). (b) 블록을 무시하면 $SS_W = 300.33 + 4.17 = 304.5$, $MS_W = 304.5/9 = 33.83$, $F_0 = 0.99$ ($F_{0.05,2,9} = 4.26$, $p = 0.41$).

블록화하면 $F_0 = 48.4$로 레시피 차이가 뚜렷하고, 무시하면 $F_0 = 0.99$로 아무것도 보이지 않는다.

검토 전체 변동의 81%(300.33/371.67)가 로트 차이였다. 로트 효과는 모든 레시피에 똑같이 더해지므로 비교에는 상관없지만, 블록을 무시하면 그 81%가 "잡음"으로 계산된다. 블록이 자유도를 3 빼앗아도 남는 이득이 압도적이다.

시간 추세는 가장 흔한 교락 변수다 수율이 떨어진 로트들의 공통점을 찾다 보면 "새 장비를 거친 로트"와 "새 슬러리 배치를 쓴 로트"가 같은 주에 몰려 있어 어느 쪽이 원인인지 갈라낼 수 없는 경우가 많다. 관측 자료에서는 변수들이 시간과 함께 움직이기 때문이다. 그래서 의심이 좁혀지면 로트를 반으로 나눠 한쪽만 바꾸는 분할 로트 실험 — 같은 로트(블록) 안에서 무작위로 배정하는 실험 — 으로 확인한다. → YieldBook · 공통성 분석과 근본 원인(공범인가 동행인인가: 공선성과 시간 추세)

2ᵏ 요인 실험: 주효과와 교호 효과

요인이 여럿일 때 가장 흔한 첫 실험은 요인마다 두 수준(낮음·높음)만 두고 모든 조합을 돌리는 2ᵏ 요인 실험(2ᵏ factorial design)이다. 요인 3개면 $2^3 = 8$번. 수준을 부호화해 낮음 = −1, 높음 = +1로 쓴다: $x = (\text{설정값} - \text{중심})/(\text{반 범위})$. 압력 20–40 mTorr라면 중심 30, 반 범위 10이다. 처리 조합은 높음인 요인의 소문자로 부른다: 모두 낮음은 $(1)$, A만 높음은 $a$, A·B 높음은 $ab$ …. 같은 기호로 그 조합의 반응(반복의 합)을 가리킨다.

2² 실험(반복 $n$)에서 A의 효과는 "A 높음 평균 − A 낮음 평균", 교호 효과 AB는 "B 높음에서 A 효과와 B 낮음에서 A 효과의 차이의 절반"이다.

$$A = \frac{a + ab - b - (1)}{2n},\qquad B = \frac{b + ab - a - (1)}{2n},\qquad AB = \frac{ab + (1) - a - b}{2n}$$

분자를 대비(contrast)라 한다. 2ᵏ에서 일반적으로 $\text{효과} = \dfrac{\text{대비}}{n\,2^{k-1}}$, $SS = \dfrac{\text{대비}^2}{n\,2^k} = \dfrac{N}{4}\,\text{효과}^2$ ($N = n2^k$)이고 효과마다 자유도 1이다. 회귀 모형 $y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_{12}x_1x_2 + \varepsilon$으로 쓰면 $\hat\beta = \text{효과}/2$이다(13장의 최소 제곱과 같은 답).

반복 없는 2² 실험의 네 모서리 반응이 $(1)$ = 60, $a$ = 72, $b$ = 54, $ab$ = 90이면 A 효과 , B 효과 , AB 효과 . B 낮음에서 A 효과는 , B 높음에서는 —

2³에서는 각 효과 열의 부호가 설계 행렬의 곱으로 정해진다. 교호 열 AB는 A 열과 B 열을 곱한 것이고, 효과는 그 열의 부호를 붙여 반응을 더한 뒤 $n2^{k-1}$로 나눈다.

처리	A	B	C	AB	AC	BC	ABC	식각 속도
(1)	−	−	−	+	+	+	−	550
a	+	−	−	−	−	+	+	604
b	−	+	−	−	+	−	+	568
ab	+	+	−	+	−	−	−	650
c	−	−	+	+	−	−	+	531
ac	+	−	+	−	+	−	−	589
bc	−	+	+	−	−	+	−	556
abc	+	+	+	+	+	+	+	640

SIMULATOR

2³ 정육면체 그림과 효과

모서리 값을 위아래로 끈다

효과 크기(막대를 누르면 선택)

볼 효과

전체 평균—

+ 면 평균—

− 면 평균—

선택한 효과—

A = 압력, B = RF 전력, C = 가스 유량. 정육면체 모서리는 여덟 조합의 식각 속도다. 효과를 고르면 + 부호 모서리(보라)와 − 부호 모서리(회색)가 표시된다: 주효과는 마주 보는 두 면, 2인자 교호 효과는 대각 평면 두 개, ABC는 정사면체 두 개다. 해볼 것: ① $ab$와 $abc$만 끌어올려 보라 — A, B와 함께 AB가 커진다. ② "가산 모형으로"를 누르면 모든 교호 효과가 0이 되고, 모서리 값이 "A + B + C"의 합으로 정리된다. ③ 한 모서리만 크게 바꾸면 일곱 효과가 모두 같은 크기로 변한다. 왜일까?

손으로 계산할 때는 예이츠 방법(Yates' algorithm)이 편하다. 표준 순서로 반응을 적고, 이웃한 두 값의 합을 위쪽 절반에, 차(아래 − 위)를 아래쪽 절반에 적는 일을 $k$번 되풀이하면 마지막 열이 대비가 된다.

처리 조합을 표준 순서 (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc로 적고 반응을 옮긴다.
① 열: 이웃한 두 값의 합을 위 절반에, 차(아래 − 위)를 아래 절반에 쓴다.
② 열: ① 열에 같은 일을 한 번 더 한다.
③ 열: 세 번째($k = 3$). 맨 위는 총합, 나머지는 각 효과의 대비다.
대비를 $n2^{k-1} = 4$로 나누면 효과. 이름은 처리 열의 글자와 같다(a → A, ab → AB …). A와 B가 압도적이다.

예이츠 방법은 표준 순서만 지키면 효과 $2^k - 1$개를 덧셈·뺄셈만으로 한꺼번에 낸다. 정육면체 시뮬레이터의 "예제 자료"와 같은 수다.

압력(A), RF 전력(B), 가스 유량(C)의 2³ 실험(반복 없음)에서 위 표의 식각 속도를 얻었다. 효과를 모두 구하고, 3인자 교호 작용과 작은 2인자 교호 작용(AC, BC)을 오차로 합쳐 A의 유의성을 판정하라.

풀이 보기

전략 부호 열로 대비를 구하고 $\text{효과} = \text{대비}/4$, $SS = \text{대비}^2/8$. 반복이 없으므로 무시할 만한 고차 효과의 제곱합을 오차로 쓴다.

풀이 대비 A = −550 + 604 − 568 + 650 − 531 + 589 − 556 + 640 = 278 → A = 69.5. 같은 방법으로 B = 35.0, C = −14.0, AB = 13.5, AC = 1.5, BC = 3.0, ABC = −0.5. $SS_A = 278^2/8 = 9660.5$, $SS_E = SS_{AC} + SS_{BC} + SS_{ABC} = 4.5 + 18 + 0.5 = 23.0$ (자유도 3), $MS_E = 7.67$. $F_A = 9660.5/7.67 = 1260$ — $F_{0.05,1,3} = 10.13$을 훌쩍 넘는다.

A 69.5, B 35.0, C −14.0, AB 13.5, AC 1.5, BC 3.0, ABC −0.5 (nm/min). A, B, C, AB 모두 유의하다.

검토 압력을 올리면 평균 69.5 nm/min 빨라지고, 그 효과는 전력이 높을 때 13.5만큼 더 크다(AB > 0). 가스 유량을 늘리면 체류 시간이 줄어 오히려 느려진다(C < 0). 어떤 효과를 오차로 합칠지는 자료를 본 뒤 고르면 편향이 생기므로, 미리 정하거나 다음의 정규 확률 그림으로 판단한다.

반복이 없을 때: 효과의 정규 확률 그림

요인이 4개 이상이면 반복 없이 한 번씩만 돌리는 일이 흔하다. 그러면 오차 자유도가 없다. 대니얼은 이렇게 생각했다. 실제로 중요한 효과는 몇 개뿐이고(효과 희소성 원리(sparsity of effects)), 나머지 효과는 순전히 잡음이므로 평균 0인 정규 분포를 따른다. 그래서 $2^k - 1$개 효과를 크기 순으로 정규 확률 그림에 찍으면 잡음 효과들은 원점을 지나는 직선 위에 늘어서고, 진짜 효과만 직선에서 멀리 떨어진다.

점을 눌러 "활성" 표시

MINI LAB · 효과 탐정요인 네 개의 2⁴ 실험(16번, 반복 없음)에서 얻은 효과 15개를 정규 확률 그림에 찍었다. 숨은 참 모형에는 활성 효과가 2–4개 있다. 직선에서 벗어난 점을 눌러 활성으로 표시하고 "판정"을 누르면 정답과 점수가 나온다. 연속으로 맞혀 보자.

프레스턴 식은 교호 작용을 품고 있다 CMP 제거율은 프레스턴 식 $\text{MRR} = K_p P V$처럼 압력과 상대 속도의 곱에 비례한다. 압력 $P = P_0(1 + \delta_P x_1)$, 속도 $V = V_0(1 + \delta_V x_2)$로 부호화해 2² 실험을 하면 $\text{MRR} \propto 1 + \delta_P x_1 + \delta_V x_2 + \delta_P\delta_V x_1x_2$이므로 AB 효과가 반드시 나타난다. 이 교호 작용은 "곱의 구조"의 흔적이어서, 반응을 로그로 바꾸면 $\ln \text{MRR} = \ln P + \ln V + \text{상수}$로 가산적이 된다. 교호 효과가 클 때는 반응의 변환이 더 단순한 모형을 줄 수 있는지 먼저 본다. → CMPBook · 프레스턴 방정식과 재료 제거(압력 × 속도: 프레스턴 식)

부분 요인 실험과 교락

요인이 7개면 2⁷ = 128번이다. 그러나 효과 127개 가운데 쓸모 있는 것은 주효과 7개와 2인자 교호 작용 몇 개뿐인 경우가 대부분이다. 그래서 $2^k$의 일부($1/2^p$)만 골라 돌리는 부분 요인 실험(fractional factorial design) $2^{k-p}$을 쓴다. 대가는 효과 몇 개가 같은 열을 공유해 구별되지 않는 것이다.

2⁴의 절반(8번)을 만들려면 2³ 완전 설계를 A, B, C에 쓰고 넷째 요인을 $D = ABC$로 정한다. 이 식이 생성자(generator)다. 양변에 D를 곱하면($D^2 = I$) $I = ABCD$가 되는데, 이를 정의 관계(defining relation)라 한다. 어떤 효과에 정의 관계의 단어를 곱하면 그 효과와 같은 열을 쓰는 효과가 나온다: $A \cdot ABCD = BCD$, $AB \cdot ABCD = CD$. 이렇게 구별되지 않는 효과 쌍을 서로의 별칭(alias)이라 하고, 8번의 자료로 "A 효과"를 계산하면 실제로는 $A + BCD$를 추정한다.

반쪽 실험은 정의 관계의 부호가 같은 모서리만 고른다. 실행 횟수는 절반이지만 효과들이 짝지어 섞인다.

분해능

정의 관계에서 가장 짧은 단어의 길이를 설계의 분해능(resolution)이라 하고 로마 숫자로 쓴다. III: 주효과가 2인자 교호 작용과 별칭(예: $2^{3-1}$, I = ABC). IV: 주효과는 2인자 교호 작용과 겹치지 않지만, 2인자 교호 작용끼리 겹친다($2^{4-1}$, I = ABCD). V: 2인자 교호 작용끼리도 겹치지 않는다($2^{5-1}$, I = ABCDE). 3인자 이상 교호 작용은 대개 무시할 수 있다고 보므로 분해능이 높을수록 결론이 덜 오염된다.

$2^{4-1}$, $D = ABC$로 8번만 돌렸다. 참 공정에는 A, C, D 주효과와 CD 교호 작용만 있고 AB 교호 작용은 전혀 없다. 자료로 AB 효과를 계산하면?

I = ABCD이므로 AB와 CD는 같은 열을 쓴다. 계산한 "AB"는 사실 AB + CD다. 공학 지식(어느 교호 작용이 그럴듯한가)이나 추가 실험 없이는 둘을 가를 수 없다.

SIMULATOR

교락에 속는 실험

위 막대(참 효과) 끝의 흰 원을 위아래로 끈다

생성자

반쪽

다른 반쪽도 돌리기(접기, 16번) 잡음 넣기(σ = 2)

실행 횟수—

정의 관계—

속은 효과—

위: 참 공정의 효과(속이 빈 막대, 끌 수 있다). 아래: 실험 자료로 계산한 추정값(채운 막대). 별칭끼리는 추정값이 똑같다. 별칭 때문에 참값과 다르게 추정된 효과가 빨강이다. 해볼 것: ① 처음 상태에서 AB가 7로 나온다 — CD가 덮어쓴 것이다. ② "− 반쪽"으로 바꾸면 AB 추정값의 부호가 뒤집힌다(I = −ABCD). ③ "다른 반쪽도 돌리기"를 켜면 16번이 되어 모든 효과가 참값으로 돌아온다. ④ D = AB로 바꾸고 AB를 끌어 보라 — 이번에는 주효과 D가 오염된다(분해능 III).

MINI LAB · 별칭 계산기2⁵⁻² 설계(8번)의 두 생성자를 고른다. 정의 관계 전체(생성자 단어와 그 곱), 분해능, 주효과와 2인자 교호 작용의 별칭 사슬이 바로 계산된다. 두 생성자 모두 A·B·C를 다 쓰면 분해능이 몇이 되는가? 8번으로 요인 5개를 다룰 때 분해능 IV를 만들 수 있는가?

식각 균일도 지수에 대해 $2^{4-1}$(D = ABC) 실험을 했다. 처리 $(1), ad, bd, ab, cd, ac, bc, abcd$의 반응이 52, 96, 49, 70, 77, 62, 84, 99이다. 효과를 추정하고 별칭과 함께 해석하라.

풀이 보기

전략 A, B, C 열은 2³ 표준 순서, D 열은 $ABC$의 곱이다. 일곱 열의 대비를 4로 나누고, I = ABCD로 별칭을 붙인다.

풀이 예: A 열 부호 −, +, −, +, −, +, −, + → 대비 = −52 + 96 − 49 + 70 − 77 + 62 − 84 + 99 = 65, 효과 16.25. 같은 방법으로 $\ell_A = A + BCD = 16.25$, $\ell_B = B + ACD = 3.75$, $\ell_C = C + ABD = 13.75$, $\ell_D = D + ABC = 13.25$, $\ell_{AB} = AB + CD = 1.75$, $\ell_{AC} = AC + BD = -16.25$, $\ell_{AD} = AD + BC = 18.25$.

A, C, D 주효과(약 16, 14, 13)와 $AC + BD$(−16), $AD + BC$(18)가 크다. B와 $AB + CD$는 작다.

검토 3인자 교호 작용을 무시하면 주효과는 깨끗하다(분해능 IV). 그러나 $-16.25$가 AC인지 BD인지 자료만으로는 모른다. B가 거의 효과가 없으니 B가 끼인 BD·BC보다 활성 요인끼리의 AC·AD일 가능성이 크다(효과 유전 원리). 확인하려면 접기 실험 8번을 더 하거나, 필요한 조합 몇 개만 추가로 돌린다.

반응 표면법과 중심 합성 계획

선별 실험으로 중요한 요인 두세 개를 골랐다면, 이제 그 요인들의 최적 설정을 찾는다. 반응을 요인의 매끄러운 함수 $y = f(x_1, x_2) + \varepsilon$로 보고 이 곡면을 실험으로 더듬어 가는 방법을 반응 표면법(response surface methodology, RSM)이라 한다. 전략은 순차적이다. ① 현재 조건 주변에서 1차 모형을 맞추고 오르막 방향으로 이동한다. ② 곡률이 보이면(정상 근처에 왔다는 신호) 2차 모형을 맞출 수 있는 설계로 바꿔 최적점을 찾는다.

한 번에 한 요인(OFAT)의 함정

현장에서 흔한 방법은 전력을 바꿔 가며 가장 좋은 값을 찾고, 그 전력에 고정한 채 압력을 바꾸는 한 번에 한 요인(one factor at a time, OFAT) 실험이다. 교호 작용이 없으면 통하지만, 반응 표면이 비스듬한 능선을 이루면(교호 작용이 크면) OFAT은 능선 중간에서 멈춰 버린다. 어느 방향으로 한 요인만 움직여도 나빠지기 때문이다.

식각 품질 지수가 전력과 압력에 대해 대각선 방향으로 길게 뻗은 능선을 이룬다. 전력부터 OFAT으로 최적화하고 이어서 압력을 최적화하면?

OFAT은 각 단계에서 "한 축 방향으로 최선"인 점을 찾는다. 능선이 축과 비스듬하면 그 점은 능선 위일 뿐 꼭대기가 아니다. 출발점을 끌어 여러 번 해 보라.

흰 원(출발점)을 끈다

MINI LAB등고선은 참 반응(높을수록 진한 보라)이다. OFAT(초록)은 전력 축을 따라 7점, 이어 압력 축을 따라 7점, 모두 14번을 돌린다. CCD + 2차 모형(주황)은 출발점 둘레에 중심 합성 계획 9번을 돌려 교호 작용까지 담은 2차 모형을 맞추고, 그 정상점에서 확인 실험 1번을 한다(모두 10번). 두 방법이 끝나는 위치와 실험 횟수를 비교하라. 출발점이 최적점에서 아주 멀면 2차 모형도 빗나간다 — 그래서 먼저 경사 상승으로 다가간다.

1차 모형, 경사 상승, 곡률 검사

2² 실험(부호화 단위)에 1차 모형 $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1x_1 + \hat\beta_2x_2$을 맞추면, 반응이 가장 빨리 커지는 방향은 기울기 $(\hat\beta_1, \hat\beta_2)$이다. 이 방향으로 일정 간격씩 실험하며 나아가는 방법이 최대 경사 상승법(method of steepest ascent)이다. 반응이 더 이상 오르지 않으면 그 근처에서 새 실험을 한다.

1차 모형이 아직 맞는지는 설계 중심에 중심점(center point)을 몇 번 넣어 확인한다. 1차 모형이면 요인점 평균 $\bar y_F$와 중심점 평균 $\bar y_C$가 같아야 한다. 곡률 제곱합(자유도 1)은

$$SS_{\text{곡률}} = \frac{n_F\,n_C\,(\bar y_F - \bar y_C)^2}{n_F + n_C}$$

$n_F$: 요인점 수, $n_C$: 중심점 수. $MS_E$는 중심점 반복의 표본 분산으로 추정한다(자유도 $n_C - 1$). 중심점은 요인 효과 추정에는 영향을 주지 않으면서 오차와 곡률을 함께 알려 준다.

흰 원을 끌어 곡률을 바꾼다

MINI LAB2² 실험의 요인점 4개(초록 네모)와 중심점 4개(초록 원)를 압력 축 단면에 그렸다. 참 반응(보라 곡선)의 꼭대기를 위아래로 끌면 곡률이 바뀐다. $\bar y_C$가 $\bar y_F$보다 뚜렷이 높으면 꼭대기 근처에 온 것이다. 곡률 $F$ 검정의 p 값이 0.05 아래로 내려가는 곡률은 어느 정도인가?

2차 모형과 중심 합성 계획

최적점 근처에서는 2차 모형을 쓴다.

$$\hat y = \hat\beta_0 + \sum_i \hat\beta_i x_i + \sum_i \hat\beta_{ii}x_i^2 + \sum_{i\lt j}\hat\beta_{ij}x_ix_j = \hat\beta_0 + \mathbf x^{\top}\mathbf b + \mathbf x^{\top}\mathbf B\,\mathbf x$$

$\mathbf B$의 대각은 $\hat\beta_{ii}$, 비대각은 $\hat\beta_{ij}/2$. 기울기를 0으로 두면 정상점(stationary point) $\mathbf x_s = -\tfrac12\mathbf B^{-1}\mathbf b$, 그 예측값 $\hat y_s = \hat\beta_0 + \tfrac12\mathbf x_s^{\top}\mathbf b$. $\mathbf B$의 고유값이 모두 음수면 최댓값, 모두 양수면 최솟값, 부호가 섞이면 안장점이다.

2차 모형의 계수 $1 + 2k + k(k-1)/2$개를 추정하려면 요인마다 세 수준 이상이 필요하다. 3ᵏ 설계는 $k$가 커지면 너무 크다. 대신 2ᵏ 요인점에 축 위의 점과 중심점을 더한 중심 합성 계획(central composite design, CCD)을 쓴다. 1차 실험의 요인점을 그대로 재활용할 수 있어 순차 실험에 딱 맞는다.

1차 실험의 2² 요인점 4개. 곡률 검사에서 곡률이 보였다.
축점 4개를 $\pm\alpha$에 더한다. $\alpha = (2^k)^{1/4}$이면 모든 바깥 점이 한 원 위에 놓여 회전성(rotatability)을 갖는다.
중심점 여러 번(보통 3–5)을 더해 순수 오차를 추정하고 중심 근처의 예측을 안정시킨다.

중심 합성 계획은 요인마다 다섯 수준($-\alpha, -1, 0, 1, \alpha$)을 쓰지만 실행 횟수는 3² = 9의 완전 3수준보다 조금 많을 뿐이고, $k$가 커질수록 3ᵏ보다 훨씬 작다.

요인 3개, 중심점 6번인 회전 가능 CCD는 요인점 + 축점 + 중심점으로 모두 번이고, $\alpha$ = 이다. 2차 모형의 계수는 개, 같은 일을 3ᵏ 완전 설계로 하면 번이다.

전력($x_1$, 중심 600 W, 반 범위 100 W)과 압력($x_2$, 중심 40 mTorr, 반 범위 10 mTorr)의 CCD에서 식각 품질 지수의 2차 모형 $\hat y = 80 + 4x_1 + 2.5x_2 - 3x_1^2 - 2x_2^2 - 1.5x_1x_2$를 얻었다. 정상점과 그 종류, 예측값, 실제 단위의 레시피를 구하라.

풀이 보기

전략 $\mathbf b = (4, 2.5)^\top$, $\mathbf B = \begin{pmatrix}-3 & -0.75\\ -0.75 & -2\end{pmatrix}$로 놓고 $\mathbf x_s = -\tfrac12\mathbf B^{-1}\mathbf b$.

풀이 기울기 0 조건 $4 - 6x_1 - 1.5x_2 = 0$, $2.5 - 1.5x_1 - 4x_2 = 0$을 풀면 $x_1 = 0.563$, $x_2 = 0.414$. $\hat y_s = 80 + \tfrac12(4 \times 0.563 + 2.5 \times 0.414) = 81.64$. $\mathbf B$의 고유값은 −3.40, −1.60으로 모두 음수.

최댓값: $x_s = (0.563, 0.414)$ → 전력 656 W, 압력 44.1 mTorr, 예측 품질 지수 81.6

검토 정상점이 실험 영역($|x| \le 1.414$) 안에 있어 외삽이 아니다. 고유값 −1.60 방향(압력 쪽에 가까운 축)으로는 곡면이 덜 가파르므로, 공정 창을 넓게 잡을 수 있는 방향이다. 확인 실험을 정상점에서 몇 번 돌려 예측과 맞는지 본다.

SIMULATOR

식각 레시피 최적화 게임

빈 곳을 누르면 실험 1번 · 흰 원은 설계 중심

설계 반 폭

참 지도 보기(게임 종료)

사용한 실험—

최고 관측값—

모형 예측 최적—

점수—

가로축은 RF 전력(200–1000 W), 세로축은 압력(10–90 mTorr), 반응은 식각 품질 지수(속도·균일도·선택비를 합친 점수, 측정 잡음 σ = 1.5)다. 참 지도는 숨겨져 있다. 예산은 실험 30번. 흰 원을 끌어 설계 중심을 옮기고, 버튼으로 요인 실험이나 CCD를 돌리고, 2차 모형을 맞춰(보라 등고선과 ★) 최적점을 제출한다. 목표: 제출한 점의 참 품질이 참 최댓값의 98% 이상. 해볼 것: ① 왼쪽 아래에서 2² 실험 → "경사 방향으로 중심 이동"을 몇 번 반복해 오르막을 따라간다. ② 곡률이 보이면(중심점이 요인점보다 높으면) CCD를 돌리고 2차 모형을 맞춘다. ③ 예산을 아끼려면 몇 번 만에 98%에 닿을 수 있을까?

TCAD 보정과 공정 창도 반응 표면 위에서 한다 시뮬레이션 한 번이 몇 시간씩 걸리는 TCAD에서는 매개변수 공간을 CCD나 라틴 하이퍼큐브로 채운 뒤 2차 반응 표면을 맞추고, 그 표면 위에서 최적화와 몬테카를로 산포 분석을 한다. 실제 웨이퍼 실험도 같다. 노광의 초점–노광량 행렬(FEM)은 두 요인 격자 실험이고, 그 위의 CD 반응 표면에서 규격을 만족하는 영역이 공정 창이다. → TCADBook · 보정과 실험 계획(실험 계획 · 반응 표면), LithoBook · 공정 윈도(초점-노광량 행렬)

핵심 정리

일원 분산 분석은 $SS_T = SS_B + SS_W$로 변동을 나누고 $F_0 = MS_B/MS_W \sim F_{k-1,N-k}$($H_0$ 아래)로 $k$개 평균이 같은지 한 번에 검정한다. $MS_W$는 늘 $\sigma^2$를, $MS_B$는 $H_0$일 때만 $\sigma^2$를 추정한다.
쌍별 t 검정을 되풀이하면 가족별 오류율이 $1-(1-\alpha)^m$ 가까이 커진다. $F$로 "어딘가 다름"을 본 뒤, 투키 HSD $q_\alpha(k,N-k)\sqrt{MS_W/n}$로 어느 쌍이 다른지 가족별 $\alpha$를 지키며 판정한다. 가정은 독립·정규·등분산이고, 균형 설계일수록 가정 위반에 강하다.
이원 분산 분석은 $SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E$로 나눈다. 교호 작용은 한 요인의 효과가 다른 요인 수준에 따라 달라지는 것으로, 교호 작용 그림의 선이 평행하지 않다. 교호 작용이 유의하면 주효과보다 칸 평균을 해석한다. 반복이 없으면 교호 작용을 검정할 수 없다.
랜덤화는 시간 표류 같은 미지의 방해 요인이 처리와 교락되는 것을 막고, 반복은 오차를 추정하고 $\operatorname{SE}(\text{효과}) = 2\sigma/\sqrt N$을 줄이며, 블록화는 알려진 방해 요인(로트·날짜)의 변동을 오차에서 빼낸다(RCBD).
2ᵏ 요인 실험에서 효과 = 대비$/(n2^{k-1})$, $SS = N\cdot\text{효과}^2/4$, 회귀 계수 = 효과/2. 예이츠 방법이나 부호 표로 계산하고, 반복이 없으면 효과 희소성을 이용한 정규 확률 그림으로 활성 효과를 고른다.
부분 요인 $2^{k-p}$은 생성자로 만들고, 정의 관계의 단어를 곱해 별칭을 구한다. 분해능(가장 짧은 단어 길이) III은 주효과가 2인자 교호 작용과, IV는 2인자 교호 작용끼리 겹친다. 별칭은 공학 지식이나 접기 실험으로 푼다.
반응 표면법은 1차 모형과 경사 상승으로 최적 근처까지 간 뒤, 중심점으로 곡률을 확인하고, 중심 합성 계획($2^k + 2k + n_C$, 회전 가능 $\alpha = (2^k)^{1/4}$)으로 2차 모형을 맞춰 정상점 $\mathbf x_s = -\tfrac12\mathbf B^{-1}\mathbf b$를 찾는다. 교호 작용이 있는 곡면에서 OFAT은 능선에 갇힌다.

연습문제

분포표 값은 부록 A의 계산기로 확인할 수 있다. 따로 말이 없으면 유의 수준은 0.05이고 답이 ±1% 이내면 정답이다.

증착 장비 4대에서 웨이퍼를 6장씩 처리해 막두께를 비교하는 일원 분산 분석의 처리 자유도와 오차 자유도는?

$k = 4$, $N = 24$: 처리 $k - 1 = 3$, 오차 $N - k = 20$. 전체는 23이다.

처리 3개, 전체 관측 24개인 실험에서 $SS_B = 120$, $SS_W = 200$이었다. $F_0$는?

$MS_B = 120/2 = 60$, $MS_W = 200/21 = 9.524$, $F_0 = 60/9.524 = 6.30$. $F_{0.05,2,21} = 3.47$보다 크므로 기각(p = 0.0072).

다섯 공급사의 슬러리로 제거율을 비교한다. 10개 쌍을 각각 유의 수준 0.05의 t 검정으로 비교하는 대신 분산 분석을 먼저 하는 가장 중요한 이유는?

10번의 검정이 독립이라면 가족별 오류율은 $1 - 0.95^{10} = 0.40$에 이른다. 분산 분석의 $F$ 검정은 "모든 평균이 같다"를 한 번에 유의 수준 0.05로 검정한다.

네 챔버의 모든 쌍(6쌍)을 각각 유의 수준 0.05로 검정한다. 검정들이 독립이라고 보면, 모든 챔버가 실제로 같을 때 적어도 하나의 쌍을 "다르다"고 잘못 판정할 확률은?

$1 - 0.95^6 = 1 - 0.735 = 0.265$. 실제 쌍별 검정은 서로 상관되어 이보다 조금 작지만(1절 미니 실험), 여전히 0.05의 네 배 이상이다.

처리 5개, 처리마다 관측 4개인 실험에서 $SS_B = 84$, $SS_T = 204$였다. 분산 분석표를 완성해 $F_0$와 p 값을 구하라.

$SS_W = SS_T - SS_B$, 자유도는 4와 15.

$SS_W = 120$, $MS_B = 84/4 = 21$, $MS_W = 120/15 = 8$, $F_0 = 2.625$. $p = P(F_{4,15} > 2.625) = 0.0764$ ($F_{0.05,4,15} = 3.06$). 유의 수준 0.05에서 기각하지 못한다.

처리 4개, 처리당 $n = 6$, $MS_W = 25$인 일원 분산 분석 뒤에 투키 비교를 한다. $q_{0.05}(4, 20) = 3.96$일 때 HSD는?

$\text{HSD} = 3.96\sqrt{25/6} = 3.96 \times 2.041 = 8.08$. 평균 차이가 8.08보다 큰 쌍이 유의하다.

요인 A 3수준, 요인 B 4수준, 칸마다 2번 반복한 이원 요인 실험에서 교호 작용과 오차의 자유도는?

교호 작용 $(3-1)(4-1) = 6$, 오차 $ab(r-1) = 12 \times 1 = 12$. 전체 $24 - 1 = 23 = 2 + 3 + 6 + 12$.

어닐 온도(낮음·높음)와 시간(짧음·긺)의 2² 실험에서 시간을 늘리면 낮은 온도에서는 접촉 저항이 12 Ω 줄고 높은 온도에서는 3 Ω 는다. 바른 해석은?

교호 효과 AB = (B 높음에서 A 효과 − B 낮음에서 A 효과)/2 = (3 − (−12))/2 = 7.5 Ω로, 시간의 주효과 $(−12 + 3)/2 = −4.5$보다 크다. 순서가 뒤바뀌는 교호 작용이므로 칸 평균을 보고 조합을 고른다.

반복 없는 2² 실험에서 $(1) = 20$, $a = 40$, $b = 30$, $ab = 70$이다. A, B, AB 효과는?

$A = (40 + 70 - 30 - 20)/2 = 30$, $B = (30 + 70 - 40 - 20)/2 = 20$, $AB = (70 + 20 - 40 - 30)/2 = 10$.

2³ 실험을 2번 반복(모두 16번)했더니 AB 효과가 12였다. AB의 제곱합은?

$SS = N\cdot\text{효과}^2/4 = 16 \times 144/4 = 576$. (대비 = $n2^{k-1}\times$ 효과 = 96, $SS = 96^2/16 = 576$.)

요인 5개의 $2^{5-2}$ 실험을 생성자 $D = AB$, $E = AC$로 만든다. 실행 횟수와 분해능(숫자로)은?

$2^3 = 8$번. 정의 관계 $I = ABD = ACE = BCDE$($ABD \cdot ACE = A^2BCDE$). 가장 짧은 단어 길이 3 → 분해능 III. 예컨대 $A = BD = CE$로 주효과가 2인자 교호 작용과 겹친다.

$2^{4-1}$ 설계, $I = ABCD$에서 AC 교호 작용의 별칭은? (글자로 입력)

$AC \cdot ABCD = A^2BC^2D = BD$.

요인 3개의 회전 가능 중심 합성 계획에 중심점 6번을 넣는다. 축점 거리 $\alpha$와 전체 실행 횟수는?

$\alpha = (2^3)^{1/4} = 8^{0.25} = 1.682$. 실행 $8 + 6 + 6 = 20$번.

부호화 단위의 2차 모형 $\hat y = 50 + 3x_1 - 2x_2 - 2x_1^2 - x_2^2 + x_1x_2$의 정상점과 그 예측값을 구하라. 최댓값인가?

$\partial\hat y/\partial x_1 = 3 - 4x_1 + x_2 = 0$, $\partial\hat y/\partial x_2 = -2 - 2x_2 + x_1 = 0$.

둘째 식에서 $x_1 = 2 + 2x_2$. 첫째에 넣으면 $3 - 8 - 8x_2 + x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = -5/7 = -0.714$, $x_1 = 4/7 = 0.571$. $\hat y_s = 50 + \tfrac12(3 \times 0.571 + (-2)(-0.714)) = 51.57$. $\mathbf B = \begin{pmatrix}-2 & 0.5\\0.5 & -1\end{pmatrix}$의 고유값 −2.21, −0.79가 모두 음수이므로 최댓값이다.

처리 4개를 블록(로트) 5개에서 시험한 확률화 블록 계획에서 $SS_{\text{처리}} = 40$, $SS_{\text{블록}} = 150$, $SS_E = 24$였다. 처리의 $F_0$를 구하라. 블록을 무시하고 일원 분산 분석을 했다면 $F_0$는?

RCBD: $MS_{\text{처리}} = 40/3 = 13.33$, $MS_E = 24/12 = 2$, $F_0 = 6.67$ ($F_{0.05,3,12} = 3.49$, 유의). 블록 무시: $SS_W = 174$, 자유도 16, $MS_W = 10.875$, $F_0 = 1.23$ ($F_{0.05,3,16} = 3.24$, 유의하지 않음).

웨이퍼 사이 표준 편차가 4 nm인 공정에서 2³ 실험의 효과를 표준 오차 1 nm 이하로 추정하고 싶다. 2³ 설계를 최소 몇 번 반복해야 하는가?

$\operatorname{SE} = 2\sigma/\sqrt N \le 1 \Rightarrow N \ge (2 \times 4)^2 = 64$. 한 번 반복이 8번이므로 $64/8 = 8$번 반복.

개념 확인 퀴즈

분산 분석에서 $H_0$가 참이면 $MS_B$와 $MS_W$는 각각 무엇을 추정하는가?

$E[MS_B] = \sigma^2 + \sum n_i\tau_i^2/(k-1)$이므로 $\tau_i = 0$이면 $\sigma^2$. 그래서 $F_0$의 기댓값이 1 근처이고, 평균이 다르면 1보다 커진다.

교호 작용 그림에서 두 선이 거의 평행하다. 이것이 뜻하는 것은?

평행선은 B를 바꿀 때의 변화가 A 수준마다 같다는 뜻, 곧 교호 작용이 없다는 뜻이다. 선의 높이 차이(A 효과)와 기울기(B 효과)는 따로 클 수 있다.

신규 레시피를 하루의 마지막 8장에 몰아서 돌렸다. 가장 직접적인 위험은?

처리가 시간 순서와 함께 움직이면 둘을 구별할 수 없다. 랜덤화가 이 연결을 끊는다.

분해능 IV 설계에 대한 설명으로 옳은 것은?

정의 관계의 가장 짧은 단어 길이가 4이면, 주효과(1글자)의 별칭은 3글자 이상, 2인자 교호 작용의 별칭은 2글자 이상이다. 예: $2^{4-1}$에서 AB = CD.

2² 실험에 중심점 4번을 넣었더니 중심점 평균이 요인점 평균보다 뚜렷이 높았다. 다음 단계로 알맞은 것은?

$\bar y_C > \bar y_F$는 위로 볼록한 곡면, 곧 최댓값 근처라는 신호다. 1차 모형으로는 더 갈 곳을 알 수 없으니 2차 모형이 필요하다.

변동 요인	제곱합	자유도	평균 제곱	\(F_0\)
처리(집단 간)	\(SS_B\)	\(k-1\)	\(MS_B = SS_B/(k-1)\)	\(MS_B/MS_W\)
오차(집단 내)	\(SS_W\)	\(N-k\)	\(MS_W = SS_W/(N-k)\)
전체	\(SS_T\)	\(N-1\)

처리	A	B	C	AB	AC	BC	ABC	식각 속도
(1)	−	−	−	+	+	+	−	550
a	+	−	−	−	−	+	+	604
b	−	+	−	−	+	−	+	568
ab	+	+	−	+	−	−	−	650
c	−	−	+	+	−	−	+	531
ac	+	−	+	−	+	−	−	589
bc	−	+	+	−	−	+	−	556
abc	+	+	+	+	+	+	+	640

처리	A	B	C	AB	AC	BC	ABC	식각 속도
(1)	−	−	−	+	+	+	−	550
a	+	−	−	−	−	+	+	604
b	−	+	−	−	+	−	+	568
ab	+	+	−	+	−	−	−	650
c	−	−	+	+	−	−	+	531
ac	+	−	+	−	+	−	−	589
bc	−	+	+	−	−	+	−	556
abc	+	+	+	+	+	+	+	640

처리	A	B	C	AB	AC	BC	ABC	식각 속도
(1)	−	−	−	+	+	+	−	550
a	+	−	−	−	−	+	+	604
b	−	+	−	−	+	−	+	568
ab	+	+	−	+	−	−	−	650
c	−	−	+	+	−	−	+	531
ac	+	−	+	−	+	−	−	589
bc	−	+	+	−	−	+	−	556
abc	+	+	+	+	+	+	+	640