Chapter 06

결합 분포

웨이퍼 한 장에서 재는 값은 하나가 아니다. 산화막 두께와 굴절률을 함께 재고, 트랜지스터 하나에서 문턱 전압과 누설 전류를 함께 잰다. 이 값들은 따로따로 흔들리지 않는다. 게이트 길이가 조금 짧게 나온 칩은 문턱 전압이 낮고, 그래서 누설 전류가 크다. 4–5장에서는 확률 변수를 하나씩 보았지만, 공정과 소자를 이해하려면 둘 이상이 어떻게 함께 움직이는지를 말할 언어가 필요하다. 그 언어가 결합 분포, 공분산, 상관 계수다. 아래 구름의 각 점이 칩 하나다. 흰 원을 위아래로 끌어 상관을 바꿔 보자. 구름은 기울어지지만 위쪽과 오른쪽의 히스토그램, 곧 각 변수 하나만의 분포는 변하지 않는다.

흰 원을 위아래로 끌어 ρ를 바꾼다

결합 확률 질량 함수와 결합 확률 밀도 함수로 두 확률 변수의 사건 확률을 계산하고, 합(적분)으로 주변 분포를, 나눗셈으로 조건부 분포를 구한다.
독립의 정의 $p(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y)$를 표와 밀도에서 확인하고, 독립이 아닌 두 변수에서 한쪽을 알면 다른 쪽의 분포가 어떻게 바뀌는지 설명한다.
공분산 $\operatorname{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$와 상관 계수 $\rho$를 계산하고, 상관이 0이어도 독립이 아닐 수 있음을 예로 보인다.
이변량 정규 분포의 등고선 타원, 조건부 평균 $\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x - \mu_X)$과 조건부 분산 $\sigma_Y^2(1-\rho^2)$, $k$-시그마 타원 안의 확률 $1 - e^{-k^2/2}$을 쓴다.
독립 확률 변수의 합의 분포를 합성곱으로 구하고(균등+균등 → 삼각, 지수의 합 → 감마), 정규·포아송의 재생성을 쓴다.
선형 결합의 평균과 분산 $\operatorname{Var}(aX+bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$로 공차 누적(최악 경우 대 RSS)과 소자 부정합을 계산한다.
1차 근사(델타 방법)로 측정 오차를 전파하고, 몬테카를로 결과와 비교해 근사가 깨지는 조건을 판단한다. 다항 분포의 확률, 평균, 음의 공분산을 계산한다.

결합 분포와 주변 분포

두 확률 변수 $X$, $Y$를 한꺼번에 보려면 "$X = x$이고 동시에 $Y = y$일 확률"이 필요하다. 이산 확률 변수라면 이것을 표 하나로 적을 수 있다. 이 표가 결합 확률 질량 함수(joint probability mass function)다.

$$p_{X,Y}(x,y) = P(X = x,\ Y = y),\qquad p_{X,Y}(x,y) \ge 0,\qquad \sum_x\sum_y p_{X,Y}(x,y) = 1$$

쉼표는 "그리고"다. 어떤 사건 $A$(예: $X + Y \ge 2$)의 확률은 그 사건에 속하는 칸의 확률을 모두 더한 $P((X,Y)\in A) = \sum_{(x,y)\in A}p_{X,Y}(x,y)$이다.

결합 분포를 알면 변수 하나만의 분포도 알 수 있다. $X = x$인 사건은 $Y$가 무엇이든 상관없으므로, 표의 한 행(또는 열)을 모두 더하면 된다. 이렇게 얻은 분포를 표의 가장자리(margin)에 적는다고 해서 주변 분포(marginal distribution)라 부른다.

$$p_X(x) = \sum_y p_{X,Y}(x,y),\qquad p_Y(y) = \sum_x p_{X,Y}(x,y)$$

웨이퍼 한 장의 파티클 결함 수 $X$(0, 1, 2)와 스크래치 유무 $Y$(0, 1)의 결합 확률표. 행 합과 열 합이 표의 가장자리에 주변 분포를 만든다.

위 그림의 표에서 (가) $X$와 $Y$의 주변 분포, (나) 결함이 모두 합해 2개 이상일 확률 $P(X + Y \ge 2)$, (다) 파티클 결함이 1개 이하이면서 스크래치가 없을 확률을 구하라.

풀이 보기

전략 주변 분포는 행·열의 합, 사건 확률은 해당 칸의 합이다.

풀이 (가) $p_X = (0.40,\ 0.30,\ 0.30)$, $p_Y = (0.60,\ 0.40)$. 각각 합이 1인지 확인한다. (나) $X + Y \ge 2$인 칸은 $(1,1)$, $(2,0)$, $(2,1)$이므로 $0.10 + 0.10 + 0.20 = 0.40$. (다) $X \le 1,\ Y = 0$인 칸은 $(0,0)$, $(1,0)$이므로 $0.30 + 0.20 = 0.50$.

(가) $p_X = (0.4, 0.3, 0.3)$, $p_Y = (0.6, 0.4)$ (나) 0.40 (다) 0.50

검토 (다)는 주변 확률 $P(X\le1) = 0.7$과 $P(Y = 0) = 0.6$의 곱 0.42와 다르다. 두 결함이 독립이 아니라는 첫 신호다(다음 절).

$X$의 주변 분포와 $Y$의 주변 분포를 모두 안다. 이것만으로 결합 확률표가 하나로 정해질까?

3×2 표의 칸은 6개인데 가장자리 조건은 독립인 것이 3 + 2 − 1 = 4개뿐이라 자유도 2개가 남는다. 아래 시뮬레이터에서 "가장자리 유지하며 섞기"를 눌러 보라. 주변 분포는 그대로인데 칸이 바뀌고, 상관 계수가 바뀐다.

SIMULATOR

결합 확률표 실험실

칸을 위아래로 끌어 확률을 바꾼다

표 고르기

p(x,y) ≈ pₓ(x)p_Y(y)곱과 다름

조건—

E[X], E[Y]—

Cov(X,Y)—

ρ—

독립?—

해볼 것: ① 아래쪽 $p_X$ 막대를 눌러 조건 $X = x_0$을 고르면 오른쪽에 그 열만 떼어 다시 합이 1이 되게 늘린 조건부 분포 $p_{Y|X}(y\mid x_0)$가 나온다. 결함 표에서 $x_0$을 0 → 2로 바꾸면 스크래치 확률이 0.25 → 0.67로 오른다. ② "독립으로 만들기"를 누르면 모든 칸이 초록이 되고, 조건부 분포가 $x_0$과 상관없이 주변 분포(점선)와 겹친다. ③ "최솟값·최댓값" 표는 대각선 아래가 비어 있다. 이렇게 받침(값이 0이 아닌 영역)이 직사각형이 아니면 결코 독립일 수 없다.

연속 확률 변수: 결합 확률 밀도 함수

막두께 $X$와 굴절률 $Y$처럼 연속인 변수는 칸 대신 평면 위의 밀도를 쓴다. 결합 확률 밀도 함수(joint probability density function) $f_{X,Y}(x,y)$는 영역 위에서 적분하면 확률이 되는 함수다. 1차원 밀도가 곡선 아래 넓이였다면, 이제는 곡면 아래 부피가 확률이다.

$$P((X,Y)\in A) = \iint_A f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy,\qquad f_{X,Y}\ge0,\qquad \iint_{\mathbb R^2} f_{X,Y}\,dx\,dy = 1$$$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy,\qquad F_{X,Y}(x,y) = P(X\le x,\ Y\le y)$$

주변 밀도는 다른 변수 쪽으로 적분해서 없앤다. $F_{X,Y}$는 결합 누적 분포 함수(joint cumulative distribution function)로, $f_{X,Y} = \partial^2F_{X,Y}/\partial x\,\partial y$이다.

흰 원을 끌어 영역을 바꾼다

MINI LAB$f(x,y) = x + y$($0\le x,y\le1$)의 밀도를 색 농도로 칠했다. 오른쪽 위로 갈수록 진하다. 영역의 확률은 그 위의 부피다. 위쪽 띠와 오른쪽 띠는 각각 주변 밀도 $f_X(x) = x + \tfrac12$, $f_Y(y) = y + \tfrac12$이다. 같은 넓이라도 진한 곳의 영역이 더 큰 확률을 갖는다.

$X$, $Y$의 결합 밀도가 $0\le x\le1$, $0\le y\le1$에서 $f(x,y) = c(x + y)$이고 그 밖에서는 0이다. (가) 상수 $c$, (나) 주변 밀도 $f_X(x)$와 $P(X\le\tfrac12)$, (다) $P(X + Y\le1)$을 구하라.

풀이 보기

전략 전체 부피가 1이어야 한다. 주변은 $y$로 적분, 영역 확률은 경계를 잘 잡은 이중 적분.

풀이 (가) $\int_0^1\!\int_0^1 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 (x + \tfrac12)\,dx = 1$이므로 $c = 1$. (나) $f_X(x) = \int_0^1(x+y)\,dy = x + \tfrac12$, $P(X\le\tfrac12) = \int_0^{1/2}(x+\tfrac12)\,dx = \tfrac18 + \tfrac14 = 0.375$. (다) $$\int_0^1\!\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx = \int_0^1\Big[x(1-x) + \tfrac12(1-x)^2\Big]dx = \tfrac16 + \tfrac16 = \tfrac13$$

(가) $c = 1$ (나) $f_X(x) = x + \tfrac12$, 0.375 (다) $1/3 \approx 0.333$

검토 $X + Y\le1$은 정사각형 넓이의 절반이지만 밀도가 옅은 왼쪽 아래 삼각형이라 확률은 1/2보다 작다. 위 미니 실험의 "X + Y ≤ t" 모드에서 $t = 1$로 두면 0.333이 나온다.

같은 밀도 $f = x + y$의 결합 누적 분포는 $F(x,y) = \tfrac12(x^2y + xy^2)$이다. 막두께 편차 $X$가 0.50 이하이고 굴절률 편차 $Y$가 0.80 이하일 확률은 이다. 두 주변 확률의 곱 $F_X(x)F_Y(y)$ = 과 비교하면 .

조건부 분포와 독립

한 변수의 값을 알게 되면 다른 변수에 대한 우리의 예측은 바뀐다. 3장의 조건부 확률 $P(A\mid B) = P(A\cap B)/P(B)$를 그대로 쓰면 된다. 결합표의 한 열(또는 한 줄)만 떼어 내 그 합으로 나누는 것이 조건부 분포(conditional distribution)다.

$$p_{Y|X}(y\mid x) = \frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)},\qquad f_{Y|X}(y\mid x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}\quad(p_X(x),\,f_X(x) > 0)$$

연속인 경우 $P(X = x) = 0$이지만 밀도의 비로 정의한다. 그림으로는 곡면을 $X = x$에서 자른 단면을, 넓이가 1이 되도록 다시 늘린 곡선이다. 조건부 기댓값 $E[Y\mid X = x] = \sum_y y\,p_{Y|X}(y\mid x)$를 $x$의 함수로 그린 것이 회귀 함수(regression function)이며 13장 회귀 분석의 출발점이다.

결함 표에서 파티클이 0개인 웨이퍼의 스크래치 확률은 $0.10/0.40 = 0.25$, 2개인 웨이퍼는 $0.20/0.30 = 0.67$이다. 파티클이 많을수록 스크래치도 잦다. 같은 원인(예: 반송 로봇의 마모)이 두 결함을 함께 만든다고 의심할 만하다. 반대로 $X$를 알아도 $Y$의 분포가 바뀌지 않으면, 곧 모든 $x$에서 $p_{Y|X}(y\mid x) = p_Y(y)$이면 두 변수는 독립 확률 변수(independent random variables)다.

확률 변수의 독립

모든 $x, y$에서 $p_{X,Y}(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y)$ (연속이면 $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$). 동치로, 모든 집합 $A$, $B$에 대해 $P(X\in A,\ Y\in B) = P(X\in A)\,P(Y\in B)$. 독립이면 $E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]\,E[h(Y)]$이다.

한 칸이라도 곱과 다르면 독립이 아니다. 연속 밀도에서는 쉬운 판별법이 있다. 밀도가 $g(x)h(y)$ 꼴로 인수분해되고 받침이 직사각형이면 독립이다. 예를 들어 $f(x,y) = 6e^{-2x-3y}$($x, y > 0$)은 독립이지만, 같은 꼴이라도 $0 < x < y$에서만 0이 아닌 밀도는 $X$를 알면 $Y$의 범위가 바뀌므로 독립이 아니다.

모자이크 그림. 기둥 폭이 $p_X(x)$, 기둥 안에서 위 칸의 높이가 $p_{Y|X}(1\mid x)$이고, 칸의 넓이가 결합 확률이다. 독립이면 모든 기둥을 같은 높이에서 자르므로 넓이가 폭 × 높이 = $p_X(x)p_Y(y)$가 된다. 오른쪽은 결함 표로, 파티클이 많은 기둥일수록 스크래치(위 칸)가 크다.

칩 하나에서 $X$ = 속도 불량 여부, $Y$ = 누설 불량 여부다. $P(X = 1)$ = 0.30, $P(Y = 1)$ = 0.40, 둘 다 불량일 확률 $P(X = 1, Y = 1)$ = 0.12이면 나머지 칸은 이고, 속도 불량 칩이 누설 불량일 조건부 확률은 $P(Y = 1\mid X = 1)$ = (전체 비율 ). 판정:

연속 분포의 단면: 조건부 밀도

연속 변수에서 조건부 밀도는 결합 밀도 곡면의 단면이다. 아래 미니 실험의 등고선은 다음 절에서 자세히 볼 이변량 정규 분포다. 세로선 $x = x_0$을 끌면 그 자리의 단면(넓이 1로 정규화)이 오른쪽에 그려진다. 상관이 있으면 $x_0$이 클수록 단면이 위로 옮겨 가고, 그 중심을 이은 선이 회귀 함수다. 단면의 폭은 $x_0$과 상관없이 같다.

세로선의 흰 원을 좌우로 끈다

MINI LAB표준화한 이변량 정규 분포($\mu = 0$, $\sigma = 1$)의 등고선과 단면. 자주색 곡선이 조건부 밀도 $f_{Y|X}(y\mid x_0)$, 점선이 주변 밀도 $f_Y(y)$다. $|\rho|$가 클수록 $X$를 아는 것이 $Y$의 불확실성을 많이 줄인다.

문턱 전압 $V_t$가 낮은 칩은 누설 전류가 크다($\rho\approx-0.85$). 테스트에서 $V_t$가 평균보다 1.5σ 이상 낮은 칩만 골라 모으면, 그 칩들의 $\log_{10}I_{\text{off}}$ 산포(표준 편차)는 전체 칩과 비교해 어떨까?

조건부 분포는 회귀선을 따라 평균이 옮겨 가고, 표준 편차는 $\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}$에 가깝게 준다($\rho = -0.85$이면 약 53%). 창 안에도 $V_t$가 조금씩 다르니 정확히는 그보다 약간 크다. 아래 시뮬레이터에서 창을 좁혀 가며 확인하라.

SIMULATOR

문턱 전압으로 고르면 누설 전류가 어떻게 바뀌나

흰 원 두 개로 V_t 창을 끈다

상관 ρ 누설 한계 log₁₀I_off

칩 뽑기

전체 칩—

창 안 칩—

P(누설 초과)—

이론 σ√(1−ρ²)—

$V_t\sim N(400,\ 20^2)$ mV, $\log_{10}I_{\text{off}}\sim N(-9.0,\ 0.25^2)$(A). 해볼 것: ① 창을 평균 근처의 좁은 띠(390–410 mV)로 두면 오른쪽 초록 히스토그램의 폭이 전체(회색)의 절반쯤이 된다. ② 창을 왼쪽 끝(340–370 mV)으로 옮기면 누설 한계(빨간 선)를 넘는 칩의 비율이 전체의 2%대에서 수십 %로 뛴다. ③ ρ를 0으로 올리면 어느 창을 골라도 오른쪽 분포가 바뀌지 않는다 — 독립이다.

빠른 칩이 새는 칩이다 게이트 길이가 짧게 나오거나 채널 도핑이 낮은 칩은 문턱 전압이 낮다. 문턱 전압이 낮으면 구동 전류가 커서 빠르지만, 서브문턱 기울기 약 80–90 mV/decade를 따라 누설 전류는 지수적으로 커진다. 그래서 $V_t$와 $\log I_{\text{off}}$는 강한 음의 상관을 갖고, 속도 빈(bin)으로 고른 고속 칩 묶음은 누설 분포의 위쪽 꼬리를 몰아 받는다. 설계에서는 이 결합 분포를 수천 번 뽑는 몬테카를로로 타이밍과 전력을 함께 검증한다. → DigitalBook · 변동·신뢰성·테스트(몬테카를로) · DeviceBook · MOSFET

공분산과 상관 계수

결합 분포 전체는 정보가 많지만 다루기 번거롭다. 1장에서 분포를 평균과 표준 편차 두 숫자로 요약했듯, 두 변수가 함께 움직이는 정도도 숫자 하나로 요약하고 싶다. 각 변수의 평균에서 벗어난 양의 곱을 평균 내면 된다.

$$\operatorname{Cov}(X,Y) = E\big[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\big] = E[XY] - \mu_X\mu_Y$$

이것이 공분산(covariance)이다. 두 변수가 함께 평균보다 크거나 함께 작으면 곱이 양수, 엇갈리면 음수다. 이산이면 $E[XY] = \sum\sum xy\,p(x,y)$, 연속이면 $\iint xy\,f(x,y)\,dx\,dy$. $\operatorname{Cov}(X,X) = \operatorname{Var}(X)$.

그림으로 보면 공분산은 넓이다. 각 점에서 평균점 $(\bar x, \bar y)$까지 직사각형을 그리면, 오른쪽 위와 왼쪽 아래 사분면의 직사각형은 양의 넓이, 나머지 두 사분면은 음의 넓이다. 그 넓이들의 평균이 공분산이다. 아래 시뮬레이터에서 점을 끌어 보자.

SIMULATOR

부호 있는 직사각형으로 보는 공분산

점을 끈다 · 빈 곳을 누르면 점 추가

모드

직사각형 보기

n—

양(+) 넓이 합—

음(−) 넓이 합—

표본 공분산 s_xy—

상관 계수 r—

초록 직사각형은 $(x_i - \bar x)(y_i - \bar y) > 0$, 빨강은 $< 0$이다. $s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$는 (초록 넓이 − 빨강 넓이)/(n−1)이다. 해볼 것: ① 점 하나를 평균에서 멀리 오른쪽 위로 끌면 그 점 하나의 직사각형이 공분산을 지배한다. "이상값 하나 넣기"로 r이 얼마나 흔들리는지 보라. ② 점들을 거의 한 직선 위에 놓으면 $|r|\to1$. ③ "목표 r 맞히기"에서 무작위 목표 r에 ±0.03 안으로 맞히면 점수가 오른다.

공분산의 단위는 두 변수 단위의 곱(nm × 무차원, mV × decade …)이라 크기만 보고 관계가 강한지 말할 수 없다. 막두께를 nm 대신 Å으로 적으면 공분산은 10배가 된다. 그래서 두 표준 편차로 나누어 단위를 없앤다.

$$\rho_{XY} = \operatorname{Corr}(X,Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y},\qquad -1\le\rho\le1$$

이것이 상관 계수(correlation coefficient)다. $|\rho| = 1$은 $Y = a + bX$인 완전한 직선 관계일 때뿐이다($b$의 부호가 $\rho$의 부호). 표본에서는 1장의 $r = s_{xy}/(s_xs_y)$를 쓴다.

공분산은 양쪽 변수에 대해 선형이다. 이 성질 하나로 6절의 모든 분산 공식이 나온다.

$$\operatorname{Cov}(aX + b,\ cY + d) = ac\,\operatorname{Cov}(X,Y),\qquad \operatorname{Cov}(X_1 + X_2,\ Y) = \operatorname{Cov}(X_1,Y) + \operatorname{Cov}(X_2,Y)$$

더한 상수 $b$, $d$는 공분산에 영향이 없고, 곱한 상수는 그대로 곱해진다. 따라서 $\operatorname{Corr}(aX+b, cY+d) = \operatorname{sign}(ac)\,\rho_{XY}$ — 단위나 기준점을 바꿔도 상관 계수는 (부호 말고는) 그대로다.

막두께 $X$의 표준 편차가 2.0, 다른 층 $Y$의 표준 편차가 3.0이고, 두 층을 합친 총두께의 표준 편차를 재어 보니 4.0였다. $\operatorname{Var}(X+Y) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\operatorname{Cov}$에서 공분산은 , 상관 계수는 이다.

1절의 결함 표(파티클 수 $X$, 스크래치 $Y$)에서 $\operatorname{Cov}(X,Y)$와 $\rho$를 구하라.

풀이 보기

전략 $E[X]$, $E[Y]$, $E[XY]$를 표에서 구하고 $E[XY] - E[X]E[Y]$. 분산은 주변 분포에서.

풀이 $E[X] = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.3) = 0.9$, $E[Y] = 0.4$. $XY$가 0이 아닌 칸은 $(1,1)$과 $(2,1)$뿐이므로 $E[XY] = 1(0.10) + 2(0.20) = 0.5$. $\operatorname{Cov} = 0.5 - 0.9\times0.4 = 0.14$. $E[X^2] = 0.3 + 4(0.3) = 1.5$이므로 $\operatorname{Var}(X) = 1.5 - 0.81 = 0.69$, $\operatorname{Var}(Y) = 0.4\times0.6 = 0.24$. $$\rho = \frac{0.14}{\sqrt{0.69\times0.24}} = \frac{0.14}{0.4069} = 0.344$$

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0.14$, $\rho = 0.344$

검토 양수이므로 파티클이 많은 웨이퍼에 스크래치도 잦다는 앞 절의 관찰과 맞다. 1절 시뮬레이터에서 "결함 A·B" 표를 고르면 같은 값이 나온다.

상관이 0이라고 독립은 아니다

독립이면 $E[XY] = E[X]E[Y]$이므로 공분산은 0이다. 하지만 거꾸로는 성립하지 않는다. 상관 계수는 직선 관계만 잰다. 아래 그림의 오른쪽 아래 패널은 $Y = X^2$로 $Y$가 $X$에 완전히 정해지는데도 $r = 0$이다. 오른쪽 가지와 왼쪽 가지의 기울기가 서로 상쇄되기 때문이다.

상관 계수가 −0.9에서 0.9까지인 산점도 다섯 개와 $Y = X^2$. $|\rho|$는 점들이 직선 둘레에 얼마나 몰려 있는지를 잴 뿐, 기울기의 크기나 곡선 관계는 말하지 않는다.

$X$가 $-1$에서 $1$ 사이 균등 분포이고 $Y = X^2$이다(약간의 측정 잡음). 상관 계수는?

$\operatorname{Cov}(X, X^2) = E[X^3] - E[X]E[X^2] = 0$(대칭이라 $E[X^3] = E[X] = 0$). 아래 미니 실험에서 $X$의 범위를 오른쪽으로 옮기면 한쪽 가지만 남으면서 상관이 급히 커진다.

X 범위 중심 a

MINI LAB$X\sim U(a-1,\ a+1)$, $Y = X^2 + $잡음. 자주색 곡선이 회귀 함수 $E[Y\mid X = x] = x^2$, 점선이 최소 제곱 직선이다. $a = 0$이면 직선은 수평($r\approx0$)인데 $Y$는 $X$를 정확히 따라간다. 상관 0은 "직선으로 설명되는 부분이 없다"는 뜻이다.

상관과 인과

두 변수가 강하게 상관되어도 한쪽이 다른 쪽의 원인이라는 뜻은 아니다. 파티클 수와 스크래치의 상관은 공통 원인(반송 장비)의 결과일 수 있다. 원인을 가리려면 14장의 실험 계획처럼 한 변수를 의도적으로 바꾸어 보아야 한다.

이변량 정규 분포와 등고선

공정 변수 둘이 함께 흔들릴 때 가장 자주 쓰는 모형이 이변량 정규 분포(bivariate normal distribution)다. 평균 둘, 표준 편차 둘, 상관 계수 하나, 모두 다섯 개의 모수로 정해진다.

$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\!\left[-\frac{z_x^2 - 2\rho z_xz_y + z_y^2}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z_x = \frac{x-\mu_X}{\sigma_X},\ z_y = \frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}$$

$|\rho| < 1$. 지수 안의 이차식이 일정한 곳, 곧 밀도가 같은 등고선은 타원이다. $\rho = 0$이면 축에 나란한 타원($\sigma_X = \sigma_Y$면 원), $\rho \ne 0$이면 기울어진 타원이다.

이 분포는 네 가지 좋은 성질을 갖는다. (1) 두 주변 분포가 각각 정규 $N(\mu_X,\sigma_X^2)$, $N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$이다 — 머리 그림에서 ρ를 바꿔도 가장자리 히스토그램이 그대로였던 이유다. (2) 조건부 분포도 정규이고, 평균은 회귀 직선 위에, 분산은 $x$와 무관하다.

$$Y\mid X = x\ \sim\ N\!\left(\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x - \mu_X),\ \ \sigma_Y^2(1-\rho^2)\right)$$

$X$가 평균보다 $1\sigma_X$ 크면 $Y$의 기대값은 $\rho\sigma_Y$만큼만 옮겨 간다 — 1보다 작은 $|\rho|$배로 줄어든다. 이것이 골턴이 처음 본 "평균으로의 회귀"다. $\rho^2$은 $X$가 설명하는 $Y$ 분산의 비율(13장의 결정 계수)이다.

(3) 이변량 정규에서는 상관이 0이면 독립이다. $\rho = 0$을 넣으면 밀도가 $f_X(x)f_Y(y)$로 인수분해된다. 앞 절의 $Y = X^2$과 달리 이변량 정규는 직선 관계밖에 갖지 못하므로 상관 계수가 관계 전부를 말한다. (4) $X$, $Y$의 선형 결합 $aX + bY$도 정규다(6절).

독립인 표준 정규 두 개 $(Z_1, Z_2)$의 등고선은 원이다(실선 1σ, 점선 2σ).
$Z_1$을 $\sigma_X$배, $Z_2$를 $\sigma_Y$배로 늘리면 축에 나란한 타원이 된다. 아직 상관은 0이다.
$Y$에 $Z_1$을 $\rho$만큼 섞으면 타원이 기운다($\sigma_X = 1.5$, $\sigma_Y = 1$, $\rho = 0.7$). 타원은 $\pm\sigma$ 상자에 네 점에서 접한다.
회귀선 $E[Y\mid X]$는 타원의 세로 접점을 잇는 선이고, 장축보다 완만하다. $E[X\mid Y]$는 가로 접점을 잇는 선이다.

이변량 정규 분포 만들기. 시뮬레이터에서 상관된 점을 뽑을 때도 이 두 줄의 식을 쓴다(stat.js의 Stat.rbvnorm).

타원 안의 확률

1차원에서 "평균 ± 2σ 안"은 95.4%였다. 2차원에서 같은 역할을 하는 것은 표준화 거리 $d^2 = \frac{z_x^2 - 2\rho z_xz_y + z_y^2}{1-\rho^2}$(마할라노비스 거리(Mahalanobis distance)의 제곱)이다. $d = k$인 등고선이 $k$-시그마 타원이다. $d^2$은 독립 표준 정규 두 개의 제곱합과 같은 분포, 곧 자유도 2인 카이제곱 분포(8장)를 따르고, 그 cdf는 지수 함수로 간단하다.

$$P(d \le k) = P(\chi^2_2 \le k^2) = 1 - e^{-k^2/2},\qquad k_p = \sqrt{-2\ln(1-p)}$$

1σ 타원 39.3%, 2σ 타원 86.5%, 3σ 타원 98.9%. 95% 타원은 $k = 2.448$, 99%는 3.035, 99.73%는 3.439. 2차원에서는 1차원 "±3σ = 99.73%"를 그대로 쓰면 안 된다.

$k$ = 2.00 시그마 타원 안에 들어갈 확률은 이고, 같은 $k$에서 1차원 구간 $|Z|\le k$의 확률은 이다. 두 변수가 모두 각자의 $\pm k\sigma$ 안에 들 확률은 ($\rho = 0$일 때) 로, 타원은 그 상자보다 .

이변량 정규에서 점을 1000개 뽑았다. 2σ 타원 안에 들어가는 점은 대략 몇 %일까?

$1 - e^{-2} = 0.865$. 두 방향으로 동시에 벗어날 기회가 있으므로 같은 $k$에서 2차원 영역의 확률이 더 작다. 아래에서 1000개를 뽑아 세어 보라.

SIMULATOR

공분산 타원 탐험기와 맞히기 게임

흰 원을 끌어 σ_X, σ_Y, ρ를 바꾼다

모드

타원 k

점 뽑기

σ_X, σ_Y, ρ—

타원 안 비율—

이론 1−e^(−k²/2)—

게임—

오른쪽 흰 원은 타원의 세로 접점 $(\sigma_X,\ \rho\sigma_Y)$이다. 좌우로 끌면 $\sigma_X$, 위아래로 끌면 $\rho$가 바뀐다. 위쪽 흰 원은 가로 접점 $(\rho\sigma_X,\ \sigma_Y)$로 $\sigma_Y$를 바꾼다. 자주색 선이 회귀선 $E[Y\mid X]$이다. 해볼 것: ① k = 1, 2, 3에서 1000개씩 뽑아 안쪽 비율을 이론과 비교한다. ② ρ를 0.95 가까이 올려 타원이 바늘처럼 될 때 회귀선과 장축이 가까워지는지 본다. ③ "구름에 타원 맞히기"에서 숨은 분포에서 뽑은 300점에 2σ 타원을 맞춘다. 세 모수가 모두 10%(ρ는 ±0.08) 안이면 성공이다.

끌어서 돌린다

MINI LAB이변량 정규 밀도 곡면($\sigma_X = \sigma_Y = 1$). 아래 바닥에 1σ·2σ 등고선 타원을 그렸다. ρ를 키우면 봉우리가 대각선을 따라 좁고 높은 능선이 된다. 부피는 늘 1이므로 폭이 $\sqrt{1-\rho^2}$배로 줄면 봉우리 높이 $1/(2\pi\sqrt{1-\rho^2})$가 그만큼 올라간다.

어느 공정에서 문턱 전압 $V_t$(mV)와 $L = \log_{10}I_{\text{off}}$($I_{\text{off}}$는 A)가 이변량 정규이고 $\mu_V = 400$, $\sigma_V = 20$, $\mu_L = -9.0$, $\sigma_L = 0.25$, $\rho = -0.85$이다. 누설 한계는 $L = -8.5$(약 3.2 nA)이다. (가) 전체 칩 중 한계를 넘는 비율, (나) $V_t = 370$ mV로 측정된 칩의 $L$의 조건부 평균과 표준 편차, (다) 그 칩이 한계를 넘을 확률을 구하라.

풀이 보기

전략 (가)는 $L$의 주변 분포 $N(-9, 0.25^2)$. (나)(다)는 조건부 정규 공식.

풀이 (가) $z = (-8.5 + 9)/0.25 = 2$, $P(Z > 2) = 0.0228$. (나) $$\mu_{L|V} = -9.0 + (-0.85)\frac{0.25}{20}(370 - 400) = -9.0 + 0.319 = -8.681,\qquad \sigma_{L|V} = 0.25\sqrt{1 - 0.7225} = 0.132$$ (다) $z = (-8.5 + 8.681)/0.132 = 1.37$, $P(Z > 1.37) = 0.084$.

(가) 0.0228 (나) $-8.68$, 0.132 (다) 약 0.084

검토 $V_t$가 1.5σ 낮다는 정보 하나로 누설 불량 확률이 2.3%에서 8.4%로 약 3.7배가 되었다. 조건부 중앙값 $10^{-8.68}\approx2.1$ nA는 전체 중앙값 1 nA의 두 배다. 2절의 시뮬레이터에서 창을 360–380 mV에 두고 비교해 보라.

오버레이 오차는 2차원 분포다 노광에서 아래층과 위층의 어긋남(오버레이)은 $x$와 $y$ 두 성분을 갖는다. 웨이퍼 회전·배율 오차가 남아 있으면 두 성분이 상관되어 오차 구름이 기운 타원이 된다. 사양을 "$|\text{OVL}_x|$, $|\text{OVL}_y|$ 각각 3σ 이하"로 정하면 이 절의 상자이고, 반지름 $\sqrt{x^2 + y^2}$으로 정하면 원이다. 같은 수치라도 안에 들 확률이 다르다. 비슷하게, 테스트의 다변량 이상치 검출(PAT)은 각 항목은 규격 안이지만 마할라노비스 거리로는 타원 밖에 있는 칩을 걸러 낸다. → LithoBook · 오버레이와 정렬 · TestBook · 빈 분류와 이상치 스크리닝(다변량 이상치)

확률 변수의 합과 합성곱

공정 결과는 대개 여러 요인의 합이다. 총두께는 층 두께의 합, 하루 결함 수는 장비별 결함 수의 합, 대기 장비의 총수명은 두 부품 수명의 합이다. 독립인 $X$, $Y$의 합 $S = X + Y$의 분포를 구해 보자. 이산이면 $S = s$가 되는 모든 $(x,\ s-x)$ 칸을 더하면 된다.

$$p_S(s) = \sum_x p_X(x)\,p_Y(s - x),\qquad f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,f_Y(s - x)\,dx$$

이 연산을 합성곱(convolution)이라 하고 $f_S = f_X * f_Y$로 쓴다. 독립이어야 결합 확률이 곱 $p_X(x)p_Y(y)$로 쪼개진다는 점이 핵심이다.

주사위 두 개의 결합표(36칸, 각 1/36). 합이 같은 칸은 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위에 있다. 합 7(자주)의 대각선에는 6칸, 합 9(초록)에는 4칸이 있다. 대각선마다 칸 수를 세면 오른쪽의 삼각형 분포가 된다 — 이산 합성곱이다.

연속 합성곱은 "뒤집어 밀기"로 그린다. $f_Y(s - x)$를 $x$의 함수로 보면 $f_Y$를 좌우로 뒤집어 $s$만큼 옮긴 것이다. 그것과 $f_X(x)$를 곱한 곡선 아래 넓이가 $f_S(s)$이다. $s$를 왼쪽에서 오른쪽으로 밀면서 겹친 넓이를 기록한다.

$s = 0.4$: 뒤집어 옮긴 $f_Y(s - x)$(점선 상자)가 $f_X$와 길이 0.4만큼 겹친다. $f_S(0.4) = 0.4$.
$s = 1$: 두 상자가 완전히 겹쳐 넓이 1, 합의 밀도가 가장 크다.
$s = 1.5$: 겹침이 다시 0.5로 줄었다.
모든 $s$에서 기록하면 $f_S(s) = s\ (0\le s\le1),\ 2 - s\ (1\le s\le2)$의 삼각 분포가 된다.

균등 분포 $U(0,1)$ 두 개의 합성곱. 평평한 두 분포를 더했더니 가운데가 솟았다. 7장의 중심 극한 정리가 여기서 시작된다.

평균 1인 지수 분포 $\mathrm{Exp}(1)$ 두 개를 더하면 합의 밀도는 어떤 모양일까?

$f_S(s) = \int_0^s e^{-x}e^{-(s-x)}dx = s\,e^{-s}$, 곧 $\mathrm{Gamma}(2, 1)$이다. $s = 0$ 근처는 두 수명이 모두 짧아야 하므로 드물다. 아래 시뮬레이터에서 $f$, $g$를 모두 지수로 두고 확인하라.

SIMULATOR

뒤집어 밀기: 합성곱 기계

흰 원을 끌어 s를 민다

X의 분포 f Y의 분포 g

s—

겹친 넓이 = f_S(s)—

E[S] = E[X]+E[Y]—

표본 수—

위: 초록 $f(x)$, 자주 $g(s - x)$(뒤집어 $s$만큼 옮긴 것), 칠한 부분이 곱 $f(x)g(s-x)$. 아래: 그 넓이를 $s$마다 기록한 $f_S(s)$(자주 곡선)와 실제로 $X + Y$를 뽑아 쌓은 히스토그램(초록). 해볼 것: ① 균등+균등에서 $s$를 0 → 2로 밀며 삼각형이 그려지는 것을 본다. ② 지수+지수는 감마(2), 정규+정규는 더 넓은 정규(분산이 더해진다)다. ③ 두 봉우리 + 두 봉우리는 봉우리가 세 개가 된다 — 왜 셋일까?

몇몇 분포는 더해도 같은 가족에 머문다. 이것을 재생성이라 한다. 4장의 적률 생성 함수로 보면 독립 합의 MGF는 곱 $M_S(t) = M_X(t)M_Y(t)$이므로 바로 확인된다.

$X$	$Y$ (독립)	$X + Y$
$N(\mu_1, \sigma_1^2)$	$N(\mu_2, \sigma_2^2)$	$N(\mu_1 + \mu_2,\ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$
$\mathrm{Poisson}(\lambda_1)$	$\mathrm{Poisson}(\lambda_2)$	$\mathrm{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$
$\mathrm{Bin}(n_1, p)$	$\mathrm{Bin}(n_2, p)$	$\mathrm{Bin}(n_1 + n_2, p)$ (같은 $p$일 때만)
$\mathrm{Exp}(\lambda)$	$\mathrm{Exp}(\lambda)$	$\mathrm{Gamma}(2, 1/\lambda)$; $k$개면 $\mathrm{Gamma}(k, 1/\lambda)$(얼랑)
$\mathrm{Gamma}(k_1, \theta)$	$\mathrm{Gamma}(k_2, \theta)$	$\mathrm{Gamma}(k_1 + k_2, \theta)$
$U(0,1)$	$U(0,1)$	삼각 분포 (0, 1, 2) — 가족을 벗어난다

게이트 산화막 $X\sim N($50, 3.0$^2)$ nm 위에 독립인 질화막 $Y\sim N($30, 4.0$^2)$ nm를 쌓으면 총두께는 이다. 표준 편차는 3 + 4 = 7이 아니라 $\sqrt{3^2 + 4^2}$처럼 제곱합의 제곱근으로 더해진다. 총두께가 상한 88을 넘을 확률은 이다.

주사위 수 n

MINI LAB주사위 $n$개의 합. 자주 테두리가 합성곱을 $n - 1$번 되풀이한 정확한 pmf, 초록이 실제로 던져 쌓은 상대 도수, 점선이 같은 평균·분산의 정규 곡선이다. $n = 3$만 되어도 종 모양이 보인다.

더하는 개수 k

MINI LAB평균 1인 지수 수명 $k$개를 이어 쓴 총수명(대기 예비품이 차례로 교대). 히스토그램이 $\mathrm{Gamma}(k, 1)$ 밀도(자주)를 따라간다. 평균 $k$, 분산 $k$, 상대 산포 $1/\sqrt k$.

진공 펌프 하나의 수명이 $\mathrm{Exp}(\lambda)$, 평균 10 000 h이다. 똑같은 예비 펌프를 하나 두고, 첫 펌프가 고장 나면 즉시 예비로 바꾼다(대기 중에는 고장 나지 않는다). 계통이 10 000 h를 넘게 버틸 확률과 계통 수명의 평균·표준 편차를 구하라. 예비가 없을 때와 비교하라.

풀이 보기

전략 총수명 $T = T_1 + T_2$, 독립 지수 둘의 합은 $\mathrm{Gamma}(2, \theta = 10^4)$. 그 생존 함수는 $P(T > t) = e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)$(4장 포아송: $t$까지 고장이 1번 이하).

풀이 $\lambda t = 1$이므로 $P(T > 10^4) = e^{-1}(1 + 1) = 0.736$. 평균 $2/\lambda = 20\,000$ h, 분산 $2/\lambda^2$이므로 표준 편차 $\sqrt2\times10^4 = 14\,100$ h. 예비가 없으면 $P(T_1 > 10^4) = e^{-1} = 0.368$.

$P(T > 10\,000\ \text{h}) = 0.736$, 평균 20 000 h, 표준 편차 약 14 100 h (예비 없음: 0.368)

검토 평균은 두 배인데 표준 편차는 $\sqrt2$배라 상대 산포가 줄었다. 위의 감마 미니 실험에서 $k = 2$일 때 1(평균의 절반 단위) 오른쪽 넓이를 보라. 17장의 계통 신뢰도에서 다시 쓴다.

선형 결합의 평균과 분산

합의 분포 전체가 필요 없고 평균과 분산만 알면 될 때가 많다. 그때는 합성곱 없이 공분산의 선형성으로 끝난다. 이 공식들은 독립이 아니어도 성립한다는 점이 강력하다.

$$E[aX + bY + c] = a\mu_X + b\mu_Y + c\qquad(\text{언제나})$$$$\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$$$$\operatorname{Var}\Big(\sum_i a_iX_i\Big) = \sum_i a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i\lt j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$$

기댓값은 늘 선형이지만 분산에는 공분산 항이 붙는다. 독립(또는 무상관)이면 공분산 항이 사라져 $\operatorname{Var}(X \pm Y) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$ — 차의 분산도 더해진다. 같은 분포를 따르는 독립 $n$개의 평균은 $\operatorname{Var}(\bar X) = \sigma^2/n$(8장의 표준 오차).

$\sigma_X$ = 2.0, $\sigma_Y$ = 1.5, $\rho$ = 0.50일 때 $W = $1.0$X +$-1.0$Y$의 분산은 = , 표준 편차는 이다. 독립이었다면 .

두 소자의 차를 쓰는 회로(차동 쌍, 전류 거울, 센스 앰프)에서는 공분산이 오히려 반갑다. 웨이퍼 전체에 걸친 변동(전역 성분)은 이웃한 두 소자가 함께 겪어 $\rho$를 키우고, 차 $X - Y$에서는 $-2\operatorname{Cov}$로 지워진다. 남는 것은 소자마다 독립인 국소 성분뿐이다.

두 소자의 상관 ρ

MINI LAB이웃한 두 트랜지스터의 $V_t$ 편차(각각 $\sigma = 10$ mV). 왼쪽 산점도의 대각선에 수직인 방향의 폭이 차 $X - Y$의 산포다. $\operatorname{Var}(X - Y) = 2\sigma^2(1 - \rho)$이므로 $\rho\to1$이면 부정합이 사라지고, 합은 반대로 $2\sigma^2(1 + \rho)$로 커진다.

펠그롬 법칙은 차의 분산이다 아날로그 회로에서 똑같이 그린 두 트랜지스터의 문턱 전압 차 $\Delta V_t$는 평균 0, 표준 편차 $\sigma(\Delta V_t) = A_{V_t}/\sqrt{WL}$인 정규 분포를 따른다(펠그롬 법칙). 도펀트 개수의 무작위 요동처럼 소자마다 독립인 성분의 분산이 면적에 반비례하고, $\Delta V_t$는 그 둘의 차라서 분산이 두 배다. 웨이퍼 전역의 $V_t$ 변동은 두 소자에 공통이라 차에서 지워지므로, 공통 중심(common-centroid) 배치로 두 소자를 최대한 같은 환경에 두는 것이 곧 $\rho$를 1에 가깝게 만드는 일이다. → AnalogBook · 부정합과 레이아웃 · TCADBook · 변동성과 3D 소자(펠그롬 관계)

공차 누적: 최악 경우와 RSS

막을 여러 층 쌓을 때 각 층 두께가 사양 $\mu_i \pm T_i$(보통 $T_i = 3\sigma_i$) 안에 있다고 하자. 총두께의 공차를 어떻게 잡을까? 모든 층이 동시에 상한에 걸리는 최악 경우를 가정하면 $T_{\text{WC}} = \sum T_i$이다. 하지만 층들이 독립이면 모두 같은 쪽 끝에 몰릴 확률은 거의 없고, 분산 공식에 따라 표준 편차는 제곱합의 제곱근으로 쌓인다.

$$T_{\text{WC}} = \sum_i T_i,\qquad T_{\text{RSS}} = 3\sigma_{\text{total}} = \sqrt{\sum_i T_i^2}\quad(\text{독립}),\qquad 3\sigma_{\text{total}} = \sqrt{\sum_iT_i^2 + 2\sum_{i\lt j}\rho_{ij}T_iT_j}$$

RSS(root sum of squares)는 층이 많을수록 최악 경우보다 훨씬 작다. 같은 공차 $T$인 층 $n$개면 $T_{\text{WC}} = nT$, $T_{\text{RSS}} = \sqrt n\,T$. 단 층들이 같은 장비 드리프트를 공유해 양의 상관이 있으면 RSS는 너무 낙관적이다.

SIMULATOR

막 적층 공차 예산 게임

흰 원을 좌우로 끈다

층 사이 상관 ρ 총두께 사양 ±

최악 경우 ±—

3σ_total ±—

사양 안 비율 (이론 / 표본)—

공정 비용—

게임—

층 공차를 조이면(작게) 비용이 든다. 층마다 단가가 달라 비용은 $\sum c_i/T_i$이다(오른쪽 숫자 $c_i$). 게임: 총두께의 $3\sigma$가 사양 안(공정 능력 $C_p\ge1$)이 되게 하면서 비용을 최소로 만들어라. 최적 비용의 105% 안에 들면 성공이다. 해볼 것: ① 처음 상태에서 최악 경우는 사양을 넘지만 RSS는 안에 있다. 히스토그램이 이를 확인한다. ② 단가가 비싼 층은 공차를 넉넉히, 싼 층은 빡빡하게 — 최적에서는 $T_i\propto c_i^{1/3}$이다. ③ ρ를 0.5로 올리면 같은 공차에서 3σ가 커져 다시 맞춰야 한다.

산화막 100 ± 3, 질화막 50 ± 2, 폴리 200 ± 6, 산화막 30 ± 1.5, 반사 방지막 120 ± 4 nm(모두 ±3σ, 정규)를 쌓는다. (가) 최악 경우 공차와 RSS 공차, (나) 층들이 독립일 때 총두께가 500 ± 10 nm 안에 들 확률, (다) 모든 층 쌍의 상관이 0.5일 때 같은 확률을 구하라.

풀이 보기

전략 $\sigma_i = T_i/3$. 독립이면 분산이 더해지고, 상관이 있으면 $2\sum_{i\lt j}\rho\sigma_i\sigma_j$를 더한다.

풀이 (가) $T_{\text{WC}} = 3 + 2 + 6 + 1.5 + 4 = 16.5$ nm, $T_{\text{RSS}} = \sqrt{9 + 4 + 36 + 2.25 + 16} = \sqrt{67.25} = 8.20$ nm. (나) $\sigma = 8.20/3 = 2.734$ nm, $z = 10/2.734 = 3.66$, $P = 2\Phi(3.66) - 1 = 0.99975$. (다) $\sum\sigma_i = 5.5$, $\sum\sigma_i^2 = 7.472$이므로 $\sum_{i\lt j}\sigma_i\sigma_j = (5.5^2 - 7.472)/2 = 11.39$ nm². $\sigma^2 = 7.472 + 2(0.5)(11.39) = 18.86$, $\sigma = 4.34$ nm, $z = 10/4.34 = 2.30$, $P = 2\Phi(2.30) - 1 = 0.979$.

(가) ±16.5 nm, ±8.20 nm (나) 0.99975 (다) 약 0.979

검토 최악 경우 ±16.5 nm는 사양 ±10 nm를 넘지만 독립이면 실제 불량은 만 개에 2.5개다. 그러나 층들이 같은 장비 드리프트를 공유해 상관이 0.5만 되어도 불량이 2%로 80배 늘어난다. 공차 설계에서 RSS를 쓰려면 독립 가정을 자료로 확인해야 한다.

오차 전파

비저항은 직접 재지 않는다. 4탐침으로 면저항 $R_s$를 재고 엘립소미터로 두께 $t$를 재서 $\varrho = R_st$로 계산한다(상관 계수 $\rho$와 구별하려고 비저항을 $\varrho$로 쓴다). 두 측정값이 흔들리면 $\varrho$는 얼마나 흔들릴까? 함수 $W = g(X, Y)$가 매끄럽고 산포가 작으면, 평균점 근처에서 $g$를 평면(1차 테일러 전개)으로 바꿔 선형 결합 공식을 쓸 수 있다.

$$g(X,Y)\approx g(\mu_X,\mu_Y) + g_x\,(X - \mu_X) + g_y\,(Y - \mu_Y)$$$$\sigma_W^2 \approx g_x^2\sigma_X^2 + g_y^2\sigma_Y^2 + 2g_xg_y\operatorname{Cov}(X,Y)$$

$g_x = \partial g/\partial x$, $g_y = \partial g/\partial y$를 평균점에서 계산한다. 이것을 오차 전파(propagation of error) 또는 델타 방법(delta method)이라 한다. 평균은 1차 근사로 $E[W]\approx g(\mu)$, 2차까지 쓰면 $E[W]\approx g(\mu) + \tfrac12g_{xx}\sigma_X^2 + \tfrac12g_{yy}\sigma_Y^2 + g_{xy}\operatorname{Cov}$로 곡률만큼 치우친다.

곱과 몫은 상대 오차로 쓰면 특히 깔끔하다. $W = X^aY^b$이면 $\ln W = a\ln X + b\ln Y$이고 $\sigma_{\ln X}\approx\sigma_X/\mu_X$이므로

$$\left(\frac{\sigma_W}{\mu_W}\right)^2\approx a^2\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2 + b^2\left(\frac{\sigma_Y}{\mu_Y}\right)^2 + 2ab\,\rho\,\frac{\sigma_X}{\mu_X}\frac{\sigma_Y}{\mu_Y}$$

곱($a = b = 1$)과 몫($b = -1$)의 상대 오차는 독립이면 제곱합의 제곱근으로 더해진다. 제곱($a = 2$)은 상대 오차가 두 배, 제곱근($a = 1/2$)은 절반이다.

면저항의 상대 표준 편차가 1.5, 두께가 2.0이고 두 측정의 상관이 0.0이면 $\varrho = R_st$의 상대 표준 편차는 , 같은 값으로 $R_s = \varrho/t$를 거꾸로 계산하면 이다. 오차 예산에서 가장 큰 몫은 .

SIMULATOR

델타 방법 대 몬테카를로

흰 원(평균점)을 끈다

함수 W = g(X, Y) σ_X σ_Y 상관 ρ

g(μ)—

표본 평균—

델타 σ_W—

표본 σ_W—

판정—

왼쪽: 입력 $(X, Y)$의 구름과 $g$의 등고선(회색). 기울기 $\nabla g$(자주 화살표)는 등고선에 수직이고, 구름이 그 방향으로 퍼진 만큼 출력이 흔들린다. 오른쪽: 출력 $W$의 표본 히스토그램(초록)과 델타 방법의 정규 근사(자주). 해볼 것: ① 곱에서 ρ를 −0.9로 내리면 출력 산포가 크게 준다(등고선을 따라 퍼지니까). ② "역수"에서 평균점을 $Y$가 작은 쪽으로 끌면 히스토그램이 오른쪽으로 꼬리를 끌고, 표본 평균이 $g(\mu)$보다 커진다. ③ "크기"에서 평균점을 원점에 두면 기울기가 0이라 델타 방법은 $\sigma_W\approx0$이라는 엉터리 답을 낸다.

아래 축의 흰 원(μ)을 끈다

상대 산포 σ/μ

MINI LAB$W = 1/X$의 접선 근사. 아래 축의 입력 분포(초록)가 곡선을 거쳐 왼쪽 축의 출력 분포(자주 실선, 정확한 변환)가 된다. 점선은 접선을 따라 옮긴 델타 방법의 정규 근사다. 곡선이 휘어 있으니 왼쪽(작은 $X$)의 꼬리가 크게 늘어나 출력이 비대칭이 되고 평균이 $1/\mu$보다 커진다($\approx\sigma^2/\mu^3$).

구리 막의 면저항이 $R_s = 0.200\ \Omega/\square$(상대 표준 편차 1.5%), 두께가 $t = 100$ nm(상대 표준 편차 2.0%)이다. (가) 비저항 $\varrho = R_st$와 그 표준 편차를 구하라. 두 측정은 독립이다. (나) 같은 막의 여러 지점에서 잰 $R_s$와 $t$ 사이에 상관 $-0.6$이 있다면(두꺼운 곳일수록 면저항이 낮다) $\varrho$의 상대 표준 편차는?

풀이 보기

전략 곱의 상대 오차 공식 $(\sigma_\varrho/\varrho)^2 = (\sigma_R/R)^2 + (\sigma_t/t)^2 + 2\rho(\sigma_R/R)(\sigma_t/t)$.

풀이 (가) $\varrho = 0.200\ \Omega\times100\times10^{-7}\ \text{cm} = 2.00\times10^{-6}\ \Omega\,\text{cm} = 2.00\ \mu\Omega\,\text{cm}$. 상대 표준 편차 $\sqrt{1.5^2 + 2.0^2} = 2.5\%$, 곧 $\sigma_\varrho = 0.050\ \mu\Omega\,\text{cm}$. (나) $\sqrt{2.25 + 4.0 + 2(-0.6)(1.5)(2.0)} = \sqrt{2.65} = 1.63\%$.

(가) $\varrho = 2.00 \pm 0.050\ \mu\Omega\,\text{cm}$ (상대 2.5%) (나) 1.63%

검토 (나)에서 상관을 무시하면 2.5%로 과대평가한다. 두께가 실제로 변해 $R_s$가 그에 맞춰 반대로 움직이는 부분은 곱에서 상쇄되기 때문이다. 같은 이유로 $R_s = \varrho/t$를 계산할 때는 음의 상관이 산포를 키운다.

두께와 굴절률은 함께 흔들린다 엘립소미터는 측정한 편광 변화($\Psi$, $\Delta$)에 모형을 맞춰 막두께와 굴절률을 동시에 푼다. 얇은 막에서는 "조금 두껍고 굴절률이 작은 막"과 "조금 얇고 굴절률이 큰 막"이 거의 같은 신호를 내므로, 맞춤 결과의 두께와 굴절률 오차가 강한 음의 상관을 갖는다. 맞춤 소프트웨어가 내놓는 공분산 행렬(상관 계수)을 보면 두 값을 따로 믿어도 되는지 알 수 있다. 두께로 다른 양(정전 용량, 비저항)을 계산할 때도 이 상관을 오차 전파에 넣어야 한다. → ProcessBook · 계측·결함·수율(반사 스펙트럼으로 막 두께 맞히기)

다항 분포

웨이퍼 테스트는 다이마다 결과를 여러 빈 중 하나로 나눈다: 양품(Bin 1), 속도 등급 하향(Bin 2), 불량(Bin 3) …. 각 다이가 서로 독립으로 빈 $i$에 떨어질 확률이 $p_i$이면, $n$개 다이 중 빈마다 몇 개인지 $(X_1, \dots, X_k)$의 결합 분포가 다항 분포(multinomial distribution)다. 범주가 둘이면 이항 분포다.

$$P(X_1 = x_1, \dots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1!\,x_2!\cdots x_k!}\,p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k},\qquad \sum x_i = n,\ \sum p_i = 1$$

$n!/(x_1!\cdots x_k!)$은 $n$개 다이에 빈 이름을 붙이는 배열의 수(다항 계수)다. 각 배열의 확률이 $\prod p_i^{x_i}$로 같다.

빈 하나만 보면 "그 빈이냐 아니냐"의 이항 시행이므로 주변 분포는 $X_i\sim\mathrm{Bin}(n, p_i)$이다. 그러나 개수들은 독립이 아니다. 합이 $n$으로 고정되어 있으니 한 빈이 많으면 다른 빈은 적을 수밖에 없다.

$$E[X_i] = np_i,\qquad \operatorname{Var}(X_i) = np_i(1 - p_i),\qquad \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = -np_ip_j\quad(i\ne j)$$

$\operatorname{Corr}(X_i,X_j) = -\sqrt{p_ip_j/((1-p_i)(1-p_j))}$. 조건부로 $X_1 = x_1$을 알면 나머지는 $n - x_1$개를 $p_j/(1 - p_1)$의 비율로 나누는 다항 분포다.

SIMULATOR

다이 빈 분류: 다항 분포 쌓기

위 띠의 경계 흰 원을 끌어 p를 바꾼다

웨이퍼당 다이 n

p₁, p₂, p₃—

웨이퍼 수—

X₁ 평균·분산 (표본 / 이론)—

Cov(X₁, X₂) (표본 / 이론)—

왼쪽: 다이가 확률 띠에 따라 세 빈으로 떨어진다. 오른쪽 위: 웨이퍼마다 양품 수 $X_1$의 히스토그램과 $\mathrm{Bin}(n, p_1)$(자주 막대 테두리). 오른쪽 아래: $(X_1, X_2)$ 산점도 — 오른쪽 아래로 기운다. 해볼 것: ① 1000장을 쌓아 $X_1$의 주변 분포가 이항과 겹치는지 본다. ② $p_3$(불량)을 아주 작게 하면 $X_1 + X_2\approx n$이 되어 산점도가 기울기 −1인 직선에 붙고 상관이 −1에 가까워진다. ③ 표본 공분산이 $-np_1p_2$에 다가가는지 확인한다.

양품 확률 0.85, 등급 하향 확률 0.10(불량은 나머지 )인 공정에서 다이 $n$ = 개 중 양품 8개, 하향 1개, 불량 1개가 나올 확률은 이다. 다항 계수는 , 양품 수만 볼 때(이항) 그 확률은 .

다이가 독립으로 양품 0.85, 속도 하향 0.10, 불량 0.05의 확률로 분류된다. 다이 10개를 테스트할 때 (가) 양품 8, 하향 1, 불량 1일 확률, (나) 양품 수의 평균과 분산, (다) $\operatorname{Cov}(X_2, X_3)$와 상관 계수를 구하라.

풀이 보기

전략 다항 pmf와 주변 이항, 공분산 $-np_ip_j$.

풀이 (가) $\frac{10!}{8!\,1!\,1!} = 90$, $90\times0.85^8\times0.10\times0.05 = 90\times0.2725\times0.005 = 0.123$. (나) $E[X_1] = 8.5$, $\operatorname{Var}(X_1) = 10(0.85)(0.15) = 1.275$. (다) $\operatorname{Cov}(X_2,X_3) = -10(0.10)(0.05) = -0.05$, $\operatorname{Var}(X_2) = 0.9$, $\operatorname{Var}(X_3) = 0.475$이므로 $\rho = -0.05/\sqrt{0.9\times0.475} = -0.076$.

(가) 0.123 (나) 8.5, 1.275 (다) $-0.05$, $\rho\approx-0.076$

검토 드문 두 빈 사이의 음의 상관은 약하다. 강한 음의 상관은 큰 빈들 사이(양품과 하향: $\rho = -0.79$)에서 나온다. 웨이퍼별 빈 개수의 이런 상관을 무시하고 빈마다 따로 관리 한계를 잡으면 경보가 겹쳐 울린다.

12장의 카이제곱 적합도 검정은 관측한 빈 개수가 가정한 $p_i$의 다항 분포에서 나올 법한지 묻는다. 빈 분류가 실제로 어떻게 쓰이는지는 TestBook · 빈 분류와 YieldBook · 웨이퍼 테스트와 빈 맵에서 볼 수 있다.

핵심 정리

결합 pmf $p(x,y) = P(X = x, Y = y)$와 결합 pdf $f(x,y)$(영역 위 부피가 확률)가 두 변수의 모든 정보를 담는다. 주변 분포는 다른 변수에 대해 더하거나 적분한 것이고, 주변 분포 둘로는 결합 분포가 정해지지 않는다.
조건부 분포 $p_{Y|X}(y\mid x) = p(x,y)/p_X(x)$는 결합 분포의 한 단면을 정규화한 것이다. 모든 $x, y$에서 $p(x,y) = p_X(x)p_Y(y)$이면 독립이며, 받침이 직사각형이 아니면 독립일 수 없다.
$\operatorname{Cov}(X,Y) = E[XY] - \mu_X\mu_Y$(부호 있는 직사각형 넓이의 평균), $\rho = \operatorname{Cov}/\sigma_X\sigma_Y\in[-1, 1]$는 단위가 없다. 독립이면 $\rho = 0$이지만 역은 성립하지 않는다($Y = X^2$). 상관은 직선 관계만 잰다.
이변량 정규: 주변·조건부·선형 결합이 모두 정규. $Y\mid X = x\sim N(\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_X),\ \sigma_Y^2(1-\rho^2))$. 무상관이면 독립. $k$-시그마 타원 안 확률 $1 - e^{-k^2/2}$(2σ 86.5%, 95%는 $k = 2.448$).
독립인 합의 분포는 합성곱 $f_S(s) = \int f_X(x)f_Y(s-x)dx$(뒤집어 밀기). 균등+균등 = 삼각, 지수 $k$개 = 감마$(k, 1/\lambda)$, 정규·포아송·같은 $p$의 이항·같은 척도의 감마는 재생성을 갖는다.
$E[aX + bY] = a\mu_X + b\mu_Y$(언제나), $\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\operatorname{Cov}$. 독립 공차는 RSS $\sqrt{\sum T_i^2}$로 쌓이고(최악 경우 $\sum T_i$보다 작다), 양의 상관은 합의 산포를 키우고 차의 산포(부정합 $2\sigma^2(1-\rho)$)를 줄인다.
오차 전파(델타 방법) $\sigma_W^2\approx g_x^2\sigma_X^2 + g_y^2\sigma_Y^2 + 2g_xg_y\operatorname{Cov}$, 곱·몫은 상대 오차의 제곱합. 산포가 크거나 곡률이 크거나 기울기가 0에 가까우면 몬테카를로로 확인한다. 다항 분포: $X_i\sim\mathrm{Bin}(n,p_i)$, $\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = -np_ip_j$.

연습문제

표준 정규 분포의 값은 부록 A 계산기로 구할 수 있다. 답이 ±1% 이내면 정답이다(표에서 읽는 확률은 ±2%).

문제 1–2는 웨이퍼 한 장의 결함 종류 A의 수 $X$와 종류 B의 수 $Y$의 결합 확률표를 쓴다.

	$Y = 0$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	0.25	0.10	0.05
$X = 1$	0.15	0.15	0.05
$X = 2$	0.05	0.10	0.10

위 표에서 $P(Y = 1)$과 두 종류의 결함 수가 같을 확률 $P(X = Y)$를 구하라.

$P(Y = 1)$은 가운데 열의 합, $P(X = Y)$는 대각선 칸의 합이다.

$P(Y = 1) = 0.10 + 0.15 + 0.10 = 0.35$. $P(X = Y) = 0.25 + 0.15 + 0.10 = 0.50$.

같은 표에서 $P(X = 2\mid Y = 2)$와 $P(Y\ge1\mid X = 0)$을 구하라.

$P(Y = 2) = 0.05 + 0.05 + 0.10 = 0.20$이므로 $P(X = 2\mid Y = 2) = 0.10/0.20 = 0.5$. $P(X = 0) = 0.40$이므로 $P(Y\ge1\mid X = 0) = (0.10 + 0.05)/0.40 = 0.375$.

$0\le x\le1$, $0\le y\le2$에서 $f(x,y) = kxy$, 그 밖에서 0인 결합 밀도가 있다. 상수 $k$와 $P(Y < X)$를 구하라.

$\int_0^1 x\,dx = 1/2$, $\int_0^2 y\,dy = 2$. $Y < X$ 영역은 $0\le y < x\le1$인 삼각형이다.

$k\cdot\tfrac12\cdot2 = 1$에서 $k = 1$. $P(Y < X) = \int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx = \int_0^1 x\cdot\tfrac{x^2}{2}dx = \tfrac18 = 0.125$. 밀도가 $x\cdot y$로 인수분해되고 받침이 직사각형이므로 $X$, $Y$는 독립이다.

다음 결합 밀도 중 $X$와 $Y$가 독립인 것은? (모두 표시된 영역 밖에서는 0)

$6e^{-2x-3y} = (2e^{-2x})(3e^{-3y})$이고 받침이 사분면(직사각형)이므로 독립이다. 첫째와 넷째는 받침이 삼각형이라 $X$를 알면 $Y$의 범위가 바뀌고, 셋째는 인수분해되지 않는다(본문 예제에서 $\operatorname{Cov} = -1/144$).

$\operatorname{Var}(X) = 4$, $\operatorname{Var}(Y) = 9$, $\operatorname{Var}(X + Y) = 16$이다. $\operatorname{Cov}(X,Y)$, $\rho$, $\operatorname{Var}(X - Y)$를 구하라.

$16 = 4 + 9 + 2\operatorname{Cov}$에서 $\operatorname{Cov} = 1.5$, $\rho = 1.5/(2\times3) = 0.25$. $\operatorname{Var}(X - Y) = 4 + 9 - 2(1.5) = 10$.

산화막 웨이퍼 5장의 엘립소미터 맞춤 결과가 두께 $t$(nm) = 98, 100, 101, 103, 104, 굴절률 $n$ = 1.461, 1.460, 1.460, 1.457, 1.458이다. 표본 공분산 $s_{tn}$과 표본 상관 계수 $r$을 구하라.

$\bar t = 101.2$, $\bar n = 1.4592$. 편차를 1000배 해서 $n$을 다루면 계산이 쉽다.

$t$ 편차 $-3.2, -1.2, -0.2, 1.8, 2.8$, $n$ 편차(×10⁻³) $1.8, 0.8, 0.8, -2.2, -1.2$. 곱의 합 $-14.2\times10^{-3}$, 제곱합 22.8과 $10.8\times10^{-6}$. $s_{tn} = -0.0142/4 = -0.00355$ nm, $r = -14.2/\sqrt{22.8\times10.8} = -0.905$. 두께가 큰 웨이퍼일수록 굴절률이 작게 맞춰졌다 — 7절의 엘립소미터 상관이다.

오버레이 오차 $X\sim N(0, 3^2)$, $Y\sim N(0, 4^2)$ nm가 상관 0.5인 이변량 정규다. $X = 6$ nm인 위치에서 $Y$의 조건부 평균과 조건부 표준 편차는?

$E[Y\mid X = 6] = 0.5\times\tfrac43\times6 = 4$ nm, $\sigma = 4\sqrt{1 - 0.25} = 3.46$ nm.

오버레이의 두 성분이 독립이고 각각 $N(0, 3^2)$ nm이다. 오버레이 크기 $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$가 8 nm를 넘을 확률은?

$(X/3)^2 + (Y/3)^2\sim\chi^2_2$이고 $P(\chi^2_2 > c) = e^{-c/2}$이다.

$P(R > 8) = P(\chi^2_2 > 64/9) = e^{-64/18} = e^{-3.556} = 0.0286$. 성분마다 8 nm는 2.67σ로 1차원 꼬리(양쪽) 0.0077보다 4배 가까이 크다.

이변량 정규에서 95% 확률 타원의 $k$와 3σ 타원 안의 확률을 구하라.

$1 - e^{-k^2/2} = 0.95$에서 $k = \sqrt{-2\ln0.05} = 2.448$. $1 - e^{-9/2} = 0.989$.

독립인 두 막의 두께가 $N(50, 3^2)$, $N(30, 4^2)$ nm이다. 총두께가 88 nm를 넘을 확률은?

합은 $N(80, 25)$. $z = (88 - 80)/5 = 1.6$, $P(Z > 1.6) = 0.0548$.

$X$, $Y$가 독립이고 각각 $U(0,1)$이다. $P(X + Y\le0.5)$와 합의 밀도 $f_{X+Y}(1.2)$를 구하라.

$X + Y\le0.5$는 넓이 $\tfrac12(0.5)^2 = 0.125$인 삼각형. 삼각 밀도에서 $f_S(1.2) = 2 - 1.2 = 0.8$.

차동 쌍의 두 트랜지스터 문턱 전압이 각각 표준 편차 10 mV이고, 웨이퍼 전역 변동을 공유해 상관 계수가 0.9이다. 문턱 전압 차 $\Delta V_t$의 표준 편차와 $|\Delta V_t| > 10$ mV일 확률을 구하라(정규 가정).

$\operatorname{Var}(X - Y) = 2\sigma^2(1-\rho)$.

$\sigma(\Delta V_t) = 10\sqrt{2(0.1)} = 4.47$ mV. $z = 10/4.47 = 2.24$, $P = 2(1 - \Phi(2.24)) = 0.025$. 상관이 없었다면 $\sigma = 14.1$ mV로 $P = 0.48$이다.

세 층의 공차가 ±3, ±4, ±12 nm(각각 3σ, 독립)이다. 총두께의 최악 경우 공차와 RSS 공차는?

$3 + 4 + 12 = 19$ nm, $\sqrt{9 + 16 + 144} = 13$ nm. 가장 큰 공차 하나가 RSS를 지배한다 — 공차를 조일 곳은 셋째 층이다.

얇은 금속막의 면저항은 $R_s = \varrho/t$이다. 웨이퍼 사이에서 비저항의 상대 표준 편차가 2%, 두께가 3%인데, 얇은 막일수록 표면 산란으로 비저항이 커져서 $\ln\varrho$와 $\ln t$의 상관이 $-0.5$이다. $R_s$의 상대 표준 편차는?

몫이므로 $a = 1$, $b = -1$: $(\sigma_R/R)^2 = 2^2 + 3^2 - 2\rho(2)(3)$.

$\sqrt{4 + 9 - 2(-0.5)(2)(3)} = \sqrt{19} = 4.36\%$. 상관을 무시하면 $\sqrt{13} = 3.61\%$로 과소평가한다. 얇아지면 $t$가 줄어 $R_s$가 오르는데 $\varrho$도 함께 올라 효과가 겹치기 때문이다.

다이가 독립으로 양품 0.80, 하향 0.15, 불량 0.05로 분류된다. 다이 6개에서 양품 5, 하향 1, 불량 0일 확률과, 양품이 정확히 5개일 확률을 구하라.

$\frac{6!}{5!\,1!\,0!}0.8^5(0.15) = 6\times0.32768\times0.15 = 0.295$. 양품 수는 $\mathrm{Bin}(6, 0.8)$이므로 $6\times0.8^5\times0.2 = 0.393$(나머지 한 개가 하향이든 불량이든).

다항 분포에서 서로 다른 두 빈의 개수 $X_i$, $X_j$의 공분산에 대한 설명으로 옳은 것은?

다이끼리는 독립이지만 개수의 합이 $n$으로 묶여 있어 한 빈이 늘면 다른 빈은 준다. $\operatorname{Var}(X_i + X_j) = n(p_i + p_j)(1 - p_i - p_j)$를 전개하면 $\operatorname{Cov} = -np_ip_j$가 나온다.

개념 확인 퀴즈

두 공정 변수의 표본 상관 계수가 0.02로 거의 0이었다. 바르게 말한 것은?

상관 계수는 직선 관계만 잰다. $Y = X^2$처럼 완전히 종속인데도 0일 수 있다. 결합 분포가 이변량 정규라는 근거가 있을 때만 무상관이 독립을 뜻한다. 산점도를 먼저 그려 보라.

막두께 $X$를 nm에서 Å으로 바꿔 적었다(10배). 굴절률 $Y$와의 공분산과 상관 계수는?

$\operatorname{Cov}(10X, Y) = 10\operatorname{Cov}(X,Y)$이고 $\sigma_{10X} = 10\sigma_X$이므로 상관 계수에서 10이 약분된다. 단위가 없는 상관 계수를 쓰는 이유다.

이변량 정규에서 $X = x_0$일 때 $Y$의 조건부 표준 편차는 $x_0$이 평균에서 멀어질수록 어떻게 되는가?

조건부 평균은 회귀선을 따라 움직이지만 조건부 분산은 $x_0$과 무관하다. 2절의 단면 미니 실험에서 세로선을 끌어도 단면의 폭이 같았다. 13장 회귀 분석의 등분산 가정이 여기서 나온다.

양의 상관을 갖는 두 변수 $X$, $Y$에 대해 맞는 것은?

$\operatorname{Var}(X\pm Y) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 \pm 2\operatorname{Cov}$. 양의 공분산은 합의 분산을 키우고 차의 분산을 줄인다. 차동 회로와 대응 비교(paired) 실험이 강한 이유다.

독립인 포아송 변수 $X\sim\mathrm{Poisson}(2)$, $Y\sim\mathrm{Poisson}(3)$의 합과 독립인 $U(0,1)$ 두 개의 합은 각각 어떤 분포인가?

포아송은 재생성이 있어 비율이 더해진다. 균등 분포는 합성곱이 가운데가 솟은 삼각형이 되어 가족을 벗어난다 — 평평한 $U(0,2)$가 아니다.

\(X\)	\(Y\) (독립)	\(X + Y\)
\(N(\mu_1, \sigma_1^2)\)	\(N(\mu_2, \sigma_2^2)\)	\(N(\mu_1 + \mu_2,\ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\)
\(\mathrm{Poisson}(\lambda_1)\)	\(\mathrm{Poisson}(\lambda_2)\)	\(\mathrm{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)\)
\(\mathrm{Bin}(n_1, p)\)	\(\mathrm{Bin}(n_2, p)\)	\(\mathrm{Bin}(n_1 + n_2, p)\) (같은 \(p\)일 때만)
\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)	\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)	\(\mathrm{Gamma}(2, 1/\lambda)\); \(k\)개면 \(\mathrm{Gamma}(k, 1/\lambda)\)(얼랑)
\(\mathrm{Gamma}(k_1, \theta)\)	\(\mathrm{Gamma}(k_2, \theta)\)	\(\mathrm{Gamma}(k_1 + k_2, \theta)\)
\(U(0,1)\)	\(U(0,1)\)	삼각 분포 (0, 1, 2) — 가족을 벗어난다

	\(Y = 0\)	\(Y = 1\)	\(Y = 2\)
\(X = 0\)	0.25	0.10	0.05
\(X = 1\)	0.15	0.15	0.05
\(X = 2\)	0.05	0.10	0.10