Chapter 17 · 부록

용어집 & 종합 퀴즈

열여섯 장을 지나오며 많은 이름을 만났습니다. 피벗, 영공간, 사영, 고유벡터, 특이값. 그런데 공학 현장에서 실제로 묻는 질문은 대개 하나입니다. "이 행렬로 이 일을 하려면 무엇을 꺼내야 하나?" 이 장은 그 질문에 답하는 분해 지도로 시작해, 책 전체를 꿰는 가역 행렬 정리를 한 장에 모으고, 용어를 검색한 뒤, 전 범위 종합 퀴즈로 마무리합니다.

풀려는 문제와 행렬의 성질에 따라 LU·콜레스키·QR·고유값 분해·SVD 가운데 알맞은 것을 고른다.
정사각 행렬이 가역이라는 것과 동치인 조건들을 장별로 연결해 말할 수 있다.
선형대수 용어를 검색하고 그 용어가 나온 장으로 돌아간다.
책 전체를 종합 퀴즈로 점검하고 약한 장을 찾는다.

분해 지도: 무엇을 꺼낼까

선형대수의 계산은 거의 언제나 행렬을 다루기 쉬운 조각의 곱으로 나누는 일에서 시작합니다. 삼각 행렬은 대입으로 바로 풀리고, 직교 행렬은 전치가 곧 역행렬이고, 대각 행렬은 거듭제곱이 쉽습니다. 어떤 조각으로 나눌지는 행렬의 성질과 하려는 일이 정합니다.

GUIDE

어떤 분해를 쓸까?

하려는 일

행렬 모양

성질 대칭 (Aᵀ = A) 양의 정부호 크고 희소함 조건수가 큼

해볼 것: ① 'Ax = b 풀기'에서 대칭과 양의 정부호를 차례로 켜 보세요. LU가 LDLᵀ, 콜레스키로 바뀌며 비용이 절반이 됩니다. ② '최소제곱'에서 조건수가 큼을 켜면 정규 방정식 대신 QR, 더 나빠지면 SVD를 권합니다. ③ 크고 희소함을 켜면 직접법 대신 반복법이 앞에 옵니다. 안내는 교과서 수준의 일반 원칙이며, 실제 선택은 행렬 구조와 라이브러리에 따라 달라집니다.

분해	모양	조각	대표 쓰임	비용(밀집)	장
LU (PA = LU)	정사각	치환 · 하삼각 · 상삼각	일반 연립방정식, 여러 우변	$\tfrac23 n^3$	04
콜레스키 $LL^\mathsf T$	대칭 양의 정부호	하삼각 · 그 전치	강성 행렬, 공분산, 정규 방정식	$\tfrac13 n^3$	13
QR	m×n	직교 · 상삼각	최소제곱, 정규직교 기저, QR 알고리즘	$2mn^2 - \tfrac23 n^3$	09
고유값 분해 $X\Lambda X^{-1}$	정사각(대각화 가능)	고유벡터 · 고유값 대각	거듭제곱, 차분·미분 방정식, 안정성	반복법, $\sim n^3$	11
스펙트럼 분해 $Q\Lambda Q^\mathsf T$	대칭	직교 · 실수 대각	이차 형식, 주축, 진동 모드, PCA	반복법, $\sim n^3$	13
SVD $U\Sigma V^\mathsf T$	모든 m×n	직교 · 특이값 대각 · 직교	저랭크 근사, 유사역행렬, 조건수, 계수 판정	$\sim mn^2$	14

한 줄 요약 풀기는 LU(대칭 양의 정부호면 콜레스키), 최소제곱은 QR, 시간에 따른 변화는 고유값, 데이터와 근사는 SVD. 행렬이 크고 희소하면 분해보다 반복법(켤레 기울기법 등)을 먼저 생각합니다(16장).

가역 행렬 정리: 책 전체를 꿰는 한 문장

정사각 행렬 $A$ (n×n)에 대해 아래 문장은 모두 같은 말입니다. 하나가 참이면 전부 참이고, 하나가 거짓이면 전부 거짓입니다. 각 문장은 이 책의 서로 다른 장에서 서로 다른 그림으로 나왔습니다.

04장 · 역행렬

A^{-1}

이 있어

AA^{-1} = A^{-1}A = I

이다.

03장 · 소거소거(필요하면 행 교환)에서 피벗이 n개 나온다.

03·04장 · 연립방정식모든

\mathbf b

에 대해

A\mathbf x = \mathbf b

의 해가 정확히 하나다.

05장 · 영공간

N(A) = \{\mathbf 0\}

A\mathbf x = \mathbf 0

의 해는

\mathbf x = \mathbf 0

뿐이다.

01·06장 · 독립과 기저A의 열들이 선형 독립이고,

\mathbb R^n

의 기저를 이룬다.

06장 · 계수

\operatorname{rank} A = n

, 즉

C(A) = \mathbb R^n

이다.

10장 · 행렬식

\det A \ne 0

: 부피를 0으로 누르지 않는다.

11장 · 고유값0은 A의 고유값이 아니다.

13장 · 대칭 행렬

A^\mathsf TA

가 양의 정부호다.

14장 · 특이값가장 작은 특이값

\sigma_n > 0

이다.

수학의 "참"과 컴퓨터의 "참" 이 정리는 정확한 산술에서의 이야기입니다. 부동소수점에서는

\det A

가

10^{-20}

이어도 잘 조건 지어진 행렬일 수 있고(모든 성분을 0.01배 하면 20×20 행렬의 행렬식은

10^{-40}

배가 됩니다), 행렬식이 1이어도 거의 특이할 수 있습니다. 실제로 "거의 특이한가"를 재는 잣대는 행렬식이 아니라 조건수

\kappa = \sigma_1/\sigma_n

입니다(14장, 16장).

용어집

종합 퀴즈

열여섯 장 전 범위에서 한두 문제씩 골랐습니다. 틀린 문제는 괄호 안의 장으로 돌아가 시뮬레이터를 다시 만져 보세요.

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