Chapter 07

자유 진동

6장에서 상수계수 2계 방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 을 특성 방정식으로 푸는 법을 배웠습니다. 이 장은 그 방정식이 가장 자주 나타나는 곳, 즉 흔들리는 물건으로 갑니다. 용수철에 매단 추, 자동차의 차체, 시계의 진자, 라디오의 동조 회로는 모두 같은 방정식 $mx'' + cx' + kx = 0$ 을 따릅니다. 특성근이 복소수이면 흔들리고, 실수이면 흔들리지 않고 가라앉습니다. 이 장에서는 그 경계(임계 감쇠)가 어디인지, 흔들림이 얼마나 빨리 잦아드는지(감쇠비), 그리고 에너지가 어디로 가는지를 그림과 실험으로 봅니다. 외부에서 미는 힘이 없는 진동, 즉 자유 진동(free vibration)이 이 장의 주제이고, 미는 힘이 있는 강제 진동은 8장에서 다룹니다.

훅의 법칙과 뉴턴 2법칙에서 $mx'' + cx' + kx = 0$ 을 세우고, 중력이 평형 위치만 옮긴다는 것을 보인다.
단진동의 고유 진동수 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , 주기, 진폭·위상 꼴 $A\cos(\omega_0 t - \varphi)$ 를 초기 조건에서 구한다.
판별식 $c^2 - 4mk$ 로 부족·임계·과감쇠를 가르고, 각 경우의 해를 손으로 쓴다.
감쇠비 $\zeta$ 와 감쇠 고유 진동수 $\omega_d$ 를 정의하고, 측정한 봉우리에서 로그 감소율로 $\zeta$ 를 읽는다.
역학적 에너지가 $dE/dt = -cv^2$ 으로 줄어드는 것을 증명하고 위상 평면의 나선으로 읽는다.
진자의 작은 진동 근사와 그 한계, RLC 회로와 기계계의 상사, 서스펜션·도어 클로저의 감쇠 설계를 설명한다.

이 수식이 없었다면기계식 시계

기계식 시계가 시간을 재는 원리는 "같은 간격으로 되풀이되는 흔들림"을 세는 것입니다. 그런데 태엽이 풀리면서 미는 힘이 약해지면 흔들림의 크기(진폭)도 줄어듭니다. 진폭이 줄 때 흔들림의 간격까지 바뀐다면 시계는 태엽이 풀릴수록 빨라지거나 느려질 것입니다.

이 장의 방정식이 답을 줍니다. 복원력이 변위에 정비례하면(훅의 법칙) 해는 $A\cos(\omega_0 t - \varphi)$ 이고, 주기 $2\pi\sqrt{m/k}$ 에는 진폭 $A$ 가 들어 있지 않습니다. 이 등시성 덕분에 진폭이 변해도 똑딱 간격은 그대로입니다. 17세기 후반 하위헌스(Christiaan Huygens)가 진자 시계와 태엽 시계의 조속 장치를 만들었고, 훅(Robert Hooke)은 용수철의 힘이 늘어난 길이에 비례한다는 법칙을 발표했습니다. 반대로 진자는 진폭이 크면 주기가 길어져 등시성이 깨집니다. 이 장 6절에서 그 차이를 직접 잽니다.

흔들리는 물체→훅 법칙 + 뉴턴 2법칙→mx″ + cx′ + kx = 0→주기는 진폭과 무관→시계

모델: 훅의 법칙과 뉴턴 2법칙

과속 방지턱을 넘은 자동차

자동차가 방지턱을 넘으면 차체가 위아래로 출렁이다가 곧 멈춥니다. 출렁임이 몇 번이나 이어질지, 얼마나 빨리 가라앉을지는 차체의 질량, 스프링의 단단함, 쇼크 업소버(감쇠기)의 세기로 정해집니다. 세 부품을 바꾸면 승차감이 어떻게 달라지는지 계산하려면 무엇부터 세워야 할까요?

가장 단순한 모형은 질량 $m$ 인 물체 하나가 용수철과 감쇠기에 연결된 그림 7-1입니다. 물체의 평형 위치에서 잰 변위를 $x(t)$ 라 하고, 물체에 작용하는 힘을 하나씩 셉니다.

훅의 법칙(Hooke's law): 용수철은 늘어난(줄어든) 길이에 비례하는 힘으로 되돌린다. $F_s = -kx$ . 비례 상수 $k$ (N/m)를 용수철 상수라 한다.
점성 감쇠: 쇼크 업소버, 공기 저항처럼 속도에 비례해 운동을 방해하는 힘. $F_d = -cx'$ . $c$ (N·s/m)는 감쇠 계수다.
뉴턴 2법칙: 질량 × 가속도 = 힘의 합. $mx'' = -kx - cx'$ .

그림 7-1. 질량–용수철–감쇠기. 물체가 평형에서 오른쪽(x > 0)으로 오른쪽 방향 속도로 움직이는 순간, 용수철 힘 −kx와 감쇠 힘 −cx′은 모두 왼쪽을 향한다. 감쇠기는 기름 속을 지나는 피스톤으로 그리는 것이 관례다.

정의 7.1 (질량–용수철–감쇠기 방정식) 질량

m > 0

, 감쇠 계수

c \ge 0

, 용수철 상수

k > 0

인 계의 평형 위치에서 잰 변위

x(t)

는

m x'' + c x' + k x = 0,\qquad x(0) = x_0,\quad x'(0) = v_0

를 만족한다. 외력이 없으므로 이 운동을 자유 진동이라 하고,

c = 0

이면 비감쇠,

c > 0

이면 감쇠 자유 진동이라 한다.

6장의 존재·유일성 정리에 따라 초기 위치와 초기 속도 두 개가 운동 전체를 정합니다. 2계 방정식에 초기 조건이 둘 필요한 물리적 이유가 여기 있습니다. 같은 위치에서 놓아도 처음에 툭 쳐 주느냐에 따라 운동이 달라집니다.

중력은 어디 갔나 용수철을 천장에 매달아 추를 걸면 중력

mg

도 작용합니다. 추를 걸면 용수철이

\Delta

만큼 늘어나 멈추고, 이 정적 평형에서

k\Delta = mg

입니다. 용수철의 자연 길이에서 잰 아래 방향 위치를

y

라 하면

my'' = mg - ky - cy'

인데,

x = y - \Delta

로 놓으면

mx'' = mg - k(x + \Delta) - cx' = -kx - cx'

. 중력은 평형 위치를 $\Delta$ 만큼 옮길 뿐 진동의 방정식에는 남지 않습니다. 그래서 변위는 늘 평형에서 잽니다.

예제 7.1 (정적 처짐에서 $k$ 와 진동수 구하기) 0.5 kg의 추를 매달았더니 용수철이 4.9 cm 늘어나 멈췄다(

g = 9.8

m/s²). 추를 아래로 당겼다 놓으면 1초에 몇 번 진동하는가? 감쇠는 무시한다.

정적 평형 $k\Delta = mg$ 에서 $k = \frac{0.5 \times 9.8}{0.049} = 100$ N/m.
방정식 $0.5x'' + 100x = 0$ , 즉 $x'' + 200x = 0$ . 특성근 $r = \pm i\sqrt{200}$ 이므로 $\omega_0 = \sqrt{200} \approx 14.14$ rad/s.
진동수 $f = \omega_0/2\pi \approx 2.25$ Hz, 주기 $T = 1/f \approx 0.444$ s. 1초에 약 2.25번 진동한다.
관찰: $\omega_0^2 = k/m = g/\Delta$ 이므로 질량을 몰라도 처짐만 재면 진동수를 안다. $\omega_0 = \sqrt{9.8/0.049}$ 와 같다.

SIMULATOR

용수철–질량–감쇠기: 끌어 놓으면 x(t)가 그려진다

물체를 좌우로 끌었다 놓기

x(t) (m)

질량 m 용수철 상수 k 감쇠 계수 c 초기 속도 v₀

ω₀ = √(k/m)—

주기 2π/ω₀—

감쇠비 ζ—

영역—

해볼 것: ① c = 0으로 두고 물체를 조금 끌었을 때와 많이 끌었을 때 x(t)의 주기가 같은 것을 보세요(등시성). ② m을 4배로 하면 주기가 2배가 됩니다. ③ c를 키우며 흔들림이 사라지는 순간의 c를 찾아보세요. 판독값 ζ가 1이 되는 곳, c = 2√(mk)입니다. 모델: 선형 용수철과 점성 감쇠, 해는 6장의 닫힌 꼴로 계산합니다.

단진동: 고유 진동수, 진폭, 위상

먼저 감쇠가 없는 $c = 0$ 의 경우를 봅니다. $mx'' + kx = 0$ 의 특성 방정식 $mr^2 + k = 0$ 의 근은 $r = \pm i\omega_0$ 입니다.

정의 7.2 (단진동과 고유 진동수)

x'' + \omega_0^2 x = 0

의 해

x(t) = C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t,\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

로 나타나는 운동을 단진동(simple harmonic motion)이라 하고,

\omega_0

(rad/s)를 고유 진동수(natural frequency)라 한다. 주기는

T = 2\pi/\omega_0

, 진동수는

f = 1/T = \omega_0/2\pi

(Hz)다.

$C_1\cos + C_2\sin$ 의 꼴은 계산하기는 좋지만 "얼마나 크게, 언제 꼭대기에 오나"를 바로 보여 주지 않습니다. 코사인 하나로 합칠 수 있습니다.

정리 7.3 (진폭–위상 꼴)

C_1

C_2

가 모두 0은 아닐 때

C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t = A\cos(\omega_0 t - \varphi),\qquad A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2},\quad \cos\varphi = \frac{C_1}{A},\ \sin\varphi = \frac{C_2}{A}.

A

를 진폭(amplitude),

\varphi

를 위상각(phase angle)이라 한다. 초기 조건으로 쓰면

C_1 = x_0

C_2 = v_0/\omega_0

이다.

증명. 코사인의 차 공식으로 $A\cos(\omega_0 t - \varphi) = A\cos\varphi\cos\omega_0 t + A\sin\varphi\sin\omega_0 t$ . 계수를 비교하면 $A\cos\varphi = C_1$ , $A\sin\varphi = C_2$ 이고, 이 둘은 점 $(C_1, C_2)$ 의 극좌표 $(A, \varphi)$ 다. ∎

극좌표라는 말이 핵심입니다. 평면 위의 점 $(x, v/\omega_0)$ 는 시간이 흐르면 반지름 $A$ 인 원을 각속도 $\omega_0$ 로 시계 방향으로 돕니다. $x(t)$ 는 그 점의 가로 좌표, 즉 회전하는 막대의 그림자입니다(그림 7-2). 위상 $\varphi$ 는 출발점의 각도이고, 첫 꼭대기는 $t = \varphi/\omega_0$ 에 옵니다. 복소수로 쓰면 $x = \operatorname{Re}\bigl(Ae^{i(\omega_0 t - \varphi)}\bigr)$ 이고, 이 회전 벡터가 MathBook 복소수 장의 페이저입니다.

그림 7-2. 왼쪽: 상태

(x, v/\omega_0)

는 반지름 A인 원 위를 돈다. 오른쪽: 그 가로 좌표가 x(t) = A cos(ω₀t − φ). 위상 φ만큼 늦게 출발한 코사인이고, 첫 꼭대기는 t = φ/ω₀.

예제 7.2 (초기 조건에서 진폭과 위상)

m = 0.5

kg,

k = 50

N/m인 용수철 진자를

x_0 = 0.1

m에서

v_0 = 1

m/s로 밀어 출발시켰다. 운동을

A\cos(\omega_0 t - \varphi)

꼴로 써라.

$\omega_0 = \sqrt{50/0.5} = 10$ rad/s. $C_1 = x_0 = 0.1$ , $C_2 = v_0/\omega_0 = 0.1$ .
$A = \sqrt{0.1^2 + 0.1^2} = 0.1\sqrt2 \approx 0.1414$ m. 출발 위치보다 41% 더 멀리 나간다. 초기 속도가 있기 때문이다.
$\cos\varphi = \sin\varphi = 1/\sqrt2$ 이고 점 $(0.1, 0.1)$ 이 1사분면에 있으므로 $\varphi = \pi/4$ .
$x(t) = 0.1414\cos(10t - \pi/4)$ m. 첫 꼭대기는 $t = \varphi/\omega_0 = \pi/40 \approx 0.0785$ s. 수치 확인(RK4): $t = 1.7$ s에서 두 값 모두 $-0.12366$ .

$\varphi = \arctan(C_2/C_1)$ 의 함정

\tan\varphi = C_2/C_1

만 쓰면 사분면을 잃습니다.

C_1 = -0.1

C_2 = 0.1

이면

\arctan(-1) = -\pi/4

가 나오지만 점

(-0.1, 0.1)

은 2사분면이므로 실제 위상은

3\pi/4

입니다. 프로그램에서는 atan2(C₂, C₁)를 씁니다.

SIMULATOR

회전하는 막대의 그림자: 진폭과 위상 끌어 정하기

(x₀, v₀/ω₀) 점을 끌기

x(t) = A cos(ω₀t − φ)

고유 진동수 ω₀ C₁cos ω₀t, C₂sin ω₀t 따로 보기

x₀, v₀—

진폭 A—

위상 φ—

첫 꼭대기 φ/ω₀—

해볼 것: ① 점을 원 위에서 돌리면 A는 그대로이고 곡선만 옆으로 밀립니다. 위상은 시간 이동입니다. ② 점을 세로축 위(x₀ = 0)에 두면 φ = π/2, 곡선은 사인이 됩니다. ③ ω₀를 바꾸면 점이 도는 속도와 주기가 바뀌지만, A와 φ는 x₀와 v₀/ω₀로 다시 정해집니다(같은 v₀라도 ω₀가 크면 v₀/ω₀가 작음). 모델: x″ + ω₀²x = 0의 정확한 해.

감쇠의 세 영역과 판별식

감쇠기를 얼마나 세게 해야 출렁이지 않나

감쇠가 약하면 차체가 여러 번 출렁입니다. 감쇠를 키우면 출렁임이 줄다가, 어느 세기부터는 한 번도 반대편으로 넘어가지 않고 평형으로 돌아옵니다. 그 경계의 감쇠 계수는 $m$ 과 $k$ 로 어떻게 정해질까요?

특성 방정식 $mr^2 + cr + k = 0$ 의 근은

r_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}.

근의 종류는 판별식

c^2 - 4mk

의 부호가 정한다.

m, c, k > 0

이면 두 근의 실수부는 언제나 음수다(근의 합

-c/m \lt 0

, 곱

k/m > 0

). 그래서 감쇠가 조금이라도 있으면 모든 해가 0으로 간다.

정리 7.4 (감쇠 자유 진동의 세 영역)

c_{\rm cr} = 2\sqrt{mk}

를 임계 감쇠 계수(critical damping coefficient)라 하자.

\alpha = c/2m

\omega_0 = \sqrt{k/m}

로 쓰면

조건	이름	특성근	일반해
$c \lt c_{\rm cr}$	부족 감쇠(underdamped)	$-\alpha \pm i\omega_d$	$e^{-\alpha t}(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t)$
$c = c_{\rm cr}$	임계 감쇠(critically damped)	$-\alpha$ (중근)	$(C_1 + C_2 t)e^{-\alpha t}$
$c > c_{\rm cr}$	과감쇠(overdamped)	$r_1 \ne r_2 \lt 0$	$C_1e^{r_1 t} + C_2e^{r_2 t}$

여기서

\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}

이다. 부족 감쇠만 진동하고, 임계·과감쇠 해는

t > 0

에서 0을 많아야 한 번 지난다.

증명(마지막 문장). 과감쇠 해가 0이 되려면 $C_1e^{r_1t} = -C_2e^{r_2t}$ , 즉 $e^{(r_1 - r_2)t} = -C_2/C_1$ 이어야 하는데 왼쪽은 순증가 함수이므로 해는 많아야 하나다. 임계 감쇠는 $C_1 + C_2t = 0$ 의 근 하나뿐이다. ∎

그림 7-3. m = 1, k = 4(ω₀ = 2, c_cr = 4), x(0) = 1, x′(0) = 0에서 감쇠만 바꾼 응답. 부족 감쇠 곡선은 점선 포락선 ±e^−t 사이에서 흔들린다. 임계 감쇠가 넘치지 않고 가장 빨리 0에 붙고, 과감쇠는 오히려 느리다.

예제 7.3 (세 영역을 손으로)

x'' + cx' + 4x = 0

x(0) = 1

x'(0) = 0

을

c = 2, 4, 5

에 대해 풀어라.

$c = 2$ : $r^2 + 2r + 4 = 0$ , $r = -1 \pm i\sqrt3$ . $x = e^{-t}(C_1\cos\sqrt3 t + C_2\sin\sqrt3 t)$ . $x(0) = C_1 = 1$ , $x'(0) = -C_1 + \sqrt3 C_2 = 0$ 에서 $C_2 = 1/\sqrt3$ . 따라서 $x = e^{-t}\bigl(\cos\sqrt3 t + \tfrac{1}{\sqrt3}\sin\sqrt3 t\bigr)$ .
$c = 4$ : $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2$ , 중근 $-2$ . $x = (C_1 + C_2t)e^{-2t}$ , $C_1 = 1$ , $x'(0) = C_2 - 2C_1 = 0$ 에서 $C_2 = 2$ . $x = (1 + 2t)e^{-2t}$ .
$c = 5$ : $r^2 + 5r + 4 = (r + 1)(r + 4)$ , $r = -1, -4$ . $C_1 + C_2 = 1$ , $-C_1 - 4C_2 = 0$ 에서 $C_1 = 4/3$ , $C_2 = -1/3$ . $x = \tfrac43e^{-t} - \tfrac13e^{-4t}$ .
수치 확인(RK4, $t = 1.7$ ): 세 값은 차례로 $-0.15849$ , $0.14684$ , $0.24321$ 이고 닫힌 꼴과 소수 다섯째 자리까지 같다. 과감쇠가 임계보다 $x$ 가 더 크게 남아 있다. 느린 근 $-1$ 이 $e^{-t}$ 로 오래 버티기 때문이다.

SIMULATOR

c를 키우면 특성근이 움직인다: 세 영역 지도

특성근 r₁, r₂ (복소평면)

x(t), x(0) = 1, x′(0) = 0

감쇠 계수 c 용수철 상수 k (m = 1)

바로 가기

임계 감쇠 곡선 겹쳐 보기

판별식 c² − 4mk—

특성근—

c / c_cr = ζ—

영역—

해볼 것: ① c를 0부터 키우면 두 근이 반지름 ω₀인 원을 따라 왼쪽으로 내려와 실수축에서 만납니다(임계). 더 키우면 실수축 위에서 서로 반대로 갈라집니다. ② 과감쇠에서 오른쪽 근은 오히려 0에 다가갑니다. 응답이 느려지는 이유입니다. ③ k를 바꾸면 원의 반지름 ω₀ = √k와 임계 c = 2√k가 함께 바뀝니다. 모델: m = 1, 닫힌 꼴 해.

감쇠비와 로그 감소율

세 매개변수 $m, c, k$ 는 실제로는 두 개의 조합만 운동에 영향을 줍니다. 방정식을 $m$ 으로 나누고 $\omega_0$ 와 $c_{\rm cr}$ 로 정리하면 공학에서 쓰는 표준형이 나옵니다.

정의 7.5 (감쇠비와 표준형)

\zeta = \dfrac{c}{c_{\rm cr}} = \dfrac{c}{2\sqrt{mk}}

를 감쇠비(damping ratio)라 한다. 그러면

mx'' + cx' + kx = 0

은

x'' + 2\zeta\omega_0\,x' + \omega_0^2\,x = 0

이 되고, 특성근은

r = \omega_0\bigl(-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}\bigr)

이다.

\zeta \lt 1

이면 진동의 각진동수는

\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}

로, 이를 감쇠 고유 진동수(damped natural frequency)라 한다.

표준형의 좋은 점은 모양을 $\zeta$ 하나가, 시간 축척을 $\omega_0$ 하나가 정한다는 것입니다. $\tau = \omega_0 t$ 로 시간을 재면 방정식은 $\ddot x + 2\zeta\dot x + x = 0$ 이 되어 $\omega_0$ 가 사라집니다. 그래서 다리, 건물, 계측기처럼 크기가 전혀 다른 계도 $\zeta$ 만 같으면 같은 모양으로 흔들립니다. 감쇠가 약하면( $\zeta \ll 1$ ) $\omega_d \approx \omega_0$ 여서, 진동수만 재서는 감쇠를 알 수 없습니다. 감쇠는 진폭이 줄어드는 비율에 들어 있습니다.

정리 7.6 (로그 감소율) 부족 감쇠 해

x = Ae^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t - \varphi)

에서 한 주기

T_d = 2\pi/\omega_d

떨어진 두 값의 비는 일정하다. 그 로그

\delta = \ln\frac{x(t)}{x(t + T_d)} = \zeta\omega_0 T_d = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}

를 로그 감소율(logarithmic decrement)이라 하고, 거꾸로

\zeta = \dfrac{\delta}{\sqrt{4\pi^2 + \delta^2}}

이다.

n

주기 떨어진 봉우리로는

\delta = \frac1n\ln\frac{x_i}{x_{i+n}}

증명. $\cos(\omega_d(t + T_d) - \varphi) = \cos(\omega_d t - \varphi)$ 이므로 비는 $e^{-\zeta\omega_0 t}/e^{-\zeta\omega_0(t + T_d)} = e^{\zeta\omega_0T_d}$ 이다. $T_d = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1-\zeta^2})$ 를 넣으면 된다. $\zeta$ 에 대해 풀면 $\delta^2(1 - \zeta^2) = 4\pi^2\zeta^2$ . ∎

이 정리는 실험실에서 가장 많이 쓰는 감쇠 측정법입니다. 구조물을 망치로 한 번 치고 가속도계로 흔들림을 기록한 뒤, 봉우리 두 개의 높이만 읽으면 됩니다. 질량도 용수철 상수도 몰라도 됩니다. $\zeta$ 가 작으면 $\zeta \approx \delta/2\pi$ 로 충분합니다.

예제 7.4 (봉우리에서 ζ 읽기) 외팔보 끝을 튕겼더니 연속한 두 봉우리의 변위가 5.0 cm, 3.2 cm였고 그 간격은 0.40 s였다.

\zeta

\omega_d

\omega_0

를 구하라.

$\delta = \ln(5.0/3.2) \approx 0.4463$ .
$\zeta = 0.4463/\sqrt{4\pi^2 + 0.4463^2} = 0.4463/6.299 \approx 0.0709$ . 근사 $\delta/2\pi \approx 0.0710$ 과 거의 같다.
$\omega_d = 2\pi/0.40 \approx 15.71$ rad/s, $\omega_0 = \omega_d/\sqrt{1 - \zeta^2} \approx 15.75$ rad/s. 차이는 0.25%뿐이다.
봉우리가 처음의 1%로 줄려면 $e^{-n\delta} = 0.01$ , $n = \ln 100/0.4463 \approx 10.3$ 주기, 약 4.1 s가 걸린다.

SIMULATOR

측정 데이터에서 ζ 읽기: 봉우리 두 개 고르기

첫 봉우리 번호 i 주기 수 n 추정한 포락선 겹치기

xᵢ, xᵢ₊ₙ—

δ = (1/n) ln(xᵢ/xᵢ₊ₙ)—

추정 ζ—

추정 f₀—

해볼 것: ① n = 1로 첫 두 봉우리만 쓰면 잡음 때문에 추정이 흔들립니다. n을 키워 멀리 떨어진 봉우리를 쓰면 정확해집니다. ② '정답 보기'로 숨은 ζ와 비교하세요. ③ '새 측정'을 여러 번 눌러 ζ가 0.02처럼 작을 때와 0.14처럼 클 때 데이터 모양이 어떻게 다른지 보세요. 모델: x = A e^−ζω₀tcos ω_dt에 진폭의 1% 크기 가우스 잡음을 더한 100 Hz 샘플.

에너지와 감쇠: 위상 평면의 나선

흔들림은 어디로 사라지나

감쇠가 있는 진동은 결국 멈춥니다. 처음에 당겨서 넣어 준 에너지는 어디로 갔을까요? 쇼크 업소버를 오래 쓰면 손으로 만질 수 없을 만큼 뜨거워집니다. 운동 에너지가 열로 바뀐 것입니다. 이 과정을 방정식에서 직접 읽어 봅시다.

운동 에너지 $\frac12mv^2$ 와 용수철의 퍼텐셜 에너지 $\frac12kx^2$ 의 합을 역학적 에너지 $E$ 라 합니다.

정리 7.7 (에너지 소산)

x

가

mx'' + cx' + kx = 0

의 해이고

E(t) = \frac12m(x')^2 + \frac12kx^2

이면

\frac{dE}{dt} = -c\,(x')^2 \le 0.

c = 0

이면

E

는 보존되고,

c > 0

이면 물체가 움직이는 동안

E

는 줄어든다.

증명. 연쇄 법칙으로 $E' = mx'x'' + kxx' = x'(mx'' + kx) = x'(-cx') = -c(x')^2$ . ∎

이 한 줄은 세 가지를 말합니다. 첫째, 감쇠 힘이 하는 일률 $(-cv)\cdot v$ 가 정확히 에너지 감소율입니다. 둘째, 속도가 0인 순간(꼭대기)에는 에너지가 줄지 않고, 평형을 빠르게 지날 때 가장 많이 줄어듭니다. 셋째, 비감쇠 단진동에서는 $\frac12mv^2 + \frac12kx^2 = E_0$ 이 일정하므로, 상태 $(x, v)$ 가 타원 위에 머뭅니다.

상태 $(x, v)$ 를 점으로 찍은 평면을 위상 평면(phase plane)이라 합니다. 2계 방정식은 1계 연립 $x' = v$ , $v' = -(k/m)x - (c/m)v$ 와 같으므로, 위상 평면의 각 점에 "다음 순간 어디로 가는가"를 알려 주는 화살표가 하나씩 있습니다. 1장의 방향장과 같은 생각입니다. 비감쇠면 궤적은 닫힌 타원, 부족 감쇠면 에너지 타원을 한 바퀴마다 안쪽으로 건너가는 나선, 과감쇠·임계면 나선 없이 원점으로 빨려 드는 곡선입니다. 이 그림은 11장(연립 선형 방정식)에서 "나선점·마디"로, 12장에서 진자의 위상 평면으로 다시 나옵니다.

예제 7.5 (에너지로 최대 속도 구하기) 예제 7.2의 계(

m = 0.5

k = 50

A = 0.1414

m)에서 최대 속력은?

꼭대기에서는 $v = 0$ , $E = \frac12kA^2 = \frac12\cdot 50\cdot 0.02 = 0.5$ J.
평형을 지날 때는 $x = 0$ , $E = \frac12mv_{\max}^2$ 이므로 $v_{\max} = \sqrt{2E/m} = \sqrt2 \approx 1.414$ m/s.
검산: $v_{\max} = A\omega_0 = 0.1414 \times 10$ . 초기 상태로도 $E = \frac12(0.5)(1)^2 + \frac12(50)(0.01) = 0.25 + 0.25 = 0.5$ J. ✓

SIMULATOR

위상 평면 궤적과 에너지 막대

위상 평면 (x, v): 클릭해 출발점 놓기

에너지 (J)

감쇠 계수 c (m = 1) 용수철 상수 k 방향장 화살표 등에너지 타원

t—

E(0)—

E(t)—

dE/dt = −cv²—

해볼 것: ① c = 0이면 점이 한 타원 위를 영원히 돕니다. 막대에서 운동·퍼텐셜 에너지가 주고받기만 하고 합은 그대로입니다. ② c = 0.4에서 '소산' 막대가 계단처럼 자라는 것을 보세요. 평형을 지날 때(v가 클 때) 가파르고, 꼭대기(v = 0)에서는 평평합니다. ③ c를 4(임계, k = 4) 이상으로 하면 나선이 사라집니다. 모델: m = 1, MB.rk4(Δt = 0.01)로 적분합니다.

진자의 작은 진동

괘종시계의 진자 길이

진자 시계는 진자가 한 번 지나갈 때마다 톱니를 하나씩 넘깁니다. 한쪽에서 다른 쪽까지 정확히 1초(주기 2초)가 걸리게 하려면 진자를 얼마나 길게 만들어야 할까요? 그리고 진자를 크게 흔들어도 그 주기가 유지될까요?

길이 $L$ 인 가벼운 막대 끝에 질량 $m$ 인 추가 달려 있고, 연직선에서 잰 각도를 $\theta$ 라 합니다. 추는 반지름 $L$ 인 원을 따라 움직이므로 원호를 따른 가속도는 $L\theta''$ 이고, 그 방향의 중력 성분은 $-mg\sin\theta$ 입니다(그림 7-4).

mL\theta'' = -mg\sin\theta\quad\Longrightarrow\quad \theta'' + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.

\sin\theta

때문에 비선형 방정식이다. 질량

m

은 지워진다. 같은 길이의 진자는 무게와 상관없이 같은 주기로 흔들린다.

그림 7-4. 진자에서 운동을 일으키는 것은 중력의 접선 성분 mg sin θ다. 줄 방향 성분은 장력과 상쇄되어 원운동을 유지한다. 각이 작으면 sin θ를 θ로 바꿔 단진동 방정식을 얻는다.

각이 작으면 테일러 전개 $\sin\theta = \theta - \theta^3/6 + \cdots$ (CalculusBook 테일러 장)의 첫 항만 남겨 $\sin\theta \approx \theta$ 로 씁니다. 그러면 $\theta'' + (g/L)\theta = 0$ , 즉 $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ 인 단진동입니다.

정리 7.8 (진자의 작은 진동과 주기의 보정) 작은 진동 근사에서 진자의 주기는

T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}

이고 진폭과 무관하다. 실제 비선형 진자를 진폭

\theta_0

에서 놓으면 주기는 진폭이 클수록 길어지며, 작은

\theta_0

(라디안)에서

T \approx T_0\Bigl(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\Bigr).

이 근사를 작은 각 근사(small-angle approximation)의 1차 보정이라 한다.

진폭 θ₀	10°	30°	60°	90°	150°
T / T₀ (RK4로 잰 값)	1.0019	1.0174	1.0732	1.1803	1.7622
1 + θ₀²/16	1.0019	1.0171	1.0685	1.1542	1.4284

표에서 보듯 30°까지는 작은 각 근사의 주기 오차가 2% 미만이고, 보정식을 쓰면 0.03%까지 맞습니다. 하지만 90°에서는 주기가 18% 길고, 180° 가까이(거꾸로 선 진자)에서는 주기가 끝없이 길어집니다. 꼭대기 근처에서는 한없이 머뭇거리기 때문입니다. 진자 시계가 진폭을 작게 유지하는 이유가 여기 있습니다. 큰 진폭과 회전 운동까지 포함한 진자의 전체 그림은 12장의 위상 평면에서 다룹니다.

예제 7.6 (초진자의 길이) 주기가 정확히 2 s인 진자(한쪽에서 다른 쪽까지 1 s, 초진자)의 길이는?

g = 9.8

m/s².

$T_0 = 2\pi\sqrt{L/g} = 2$ 에서 $L = g/\pi^2 = 9.8/9.8696 \approx 0.993$ m. 약 1 m다.
거꾸로 1 m 진자의 주기는 $2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.007$ s.
이 진자를 10°로 흔들면 주기는 0.19% 길어져 하루(86 400 s)에 약 165 s 늦게 간다. 시계에는 큰 오차다. 진폭을 일정하게 유지하는 장치가 그래서 중요하다.

SIMULATOR

진짜 진자 vs 작은 각 근사: 진폭이 크면 주기가 길어진다

주황: sin θ 그대로 · 청록: sin θ ≈ θ

θ(t) (°)

놓는 각 θ₀ 길이 L

T₀ = 2π√(L/g)—

실제 주기 T (RK4)—

T / T₀—

1 + θ₀²/16—

해볼 것: ① θ₀ = 10°에서는 두 진자가 오래도록 겹쳐 흔들립니다. ② θ₀ = 90°로 하면 몇 번 만에 실제 진자(주황)가 뒤처지는 것을 보세요. ③ θ₀를 170° 이상으로 하면 진자가 꼭대기 근처에서 한참 머뭇거립니다. L은 시간 축척만 바꾸고 T/T₀에는 영향이 없습니다. 모델: θ″ = −(g/L) sin θ를 MB.rk4(Δt = 0.004 s)로 적분, g = 9.8 m/s², 감쇠 없음.

RLC 회로와 기계 상사

회로에서 울리는 진동

충전된 축전기를 코일과 저항에 연결하면 전류가 한쪽으로 흘렀다가 거꾸로 흘렀다가를 되풀이하며 잦아듭니다. 오실로스코프로 보면 그림 7-3의 부족 감쇠 곡선과 똑같은 모양입니다. 전기 회로가 왜 용수철처럼 행동할까요?

저항 $R$ , 인덕턴스 $L$ , 전기 용량 $C$ 를 직렬로 잇고 축전기의 전하를 $q(t)$ , 전류를 $i = q'$ 라 합니다. 키르히호프 전압 법칙에서 한 바퀴의 전압 강하 합은 0입니다: 코일 $Li'$ , 저항 $Ri$ , 축전기 $q/C$ .

Lq'' + Rq' + \frac1C q = 0.

mx'' + cx' + kx = 0

과 글자만 다르다. 그래서

\omega_0 = 1/\sqrt{LC}

\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L}

, 임계 저항

R_{\rm cr} = 2\sqrt{L/C}

이다.

그림 7-5. 직렬 RLC 회로와 질량–용수철–감쇠기의 상사. 코일은 전류의 변화를 거스르므로 관성(질량), 축전기는 전하가 쌓일수록 되미는 전압을 내므로 용수철, 저항은 에너지를 열로 바꾸므로 감쇠기다.

이 대응을 전기–기계 상사(electromechanical analogy)라 합니다. 대응은 방정식에서 끝나지 않고 에너지까지 이어집니다. 코일의 자기 에너지 $\frac12Li^2$ 가 운동 에너지, 축전기의 전기 에너지 $\frac{q^2}{2C}$ 가 퍼텐셜 에너지이고, 정리 7.7의 $dE/dt = -cv^2$ 는 회로에서 저항의 줄 열 $-Ri^2$ 입니다. 20세기 중반에는 이 상사를 이용해 기계 구조물의 진동을 전기 회로(아날로그 컴퓨터)로 흉내 내어 풀기도 했습니다. 1계 회로(RC, RL)는 3장에서 보았고, 여기에 코일이나 축전기가 하나 더 붙으면 2계가 됩니다.

예제 7.7 (RLC 회로의 진동수와 감쇠)

L = 10

mH,

C = 1

μF,

R = 50

Ω인 직렬 회로에서 5 V로 충전된 축전기를 연결했다.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{10^{-2}\cdot 10^{-6}} = 10^4$ rad/s, $f_0 = \omega_0/2\pi \approx 1592$ Hz.
$\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L} = 25\sqrt{10^{-4}} = 0.25$ . 부족 감쇠이므로 울린다. $\omega_d = 10^4\sqrt{1 - 0.0625} \approx 9682$ rad/s.
임계 저항 $R_{\rm cr} = 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{10^4} = 200$ Ω. 저항을 200 Ω 이상으로 하면 울림 없이 방전한다.
로그 감소율 $\delta = 2\pi(0.25)/\sqrt{0.9375} \approx 1.62$ . 한 주기마다 전압 봉우리가 $e^{-1.62} \approx 0.20$ 배, 즉 5분의 1로 준다.

SIMULATOR

RLC 방전 ↔ 기계 진동 상사표

축전기 전압 q/C (V)

전류 i(t) (mA)

저항 R 인덕턴스 L 전기 용량 C

f₀ = 1/(2π√LC)—

ζ = (R/2)√(C/L)—

R_cr = 2√(L/C)—

영역—

해볼 것: ① R = 0이면 전압과 전류가 90°씩 어긋나 영원히 진동합니다(LC 발진). 전압이 0인 순간 전류가 최대, 즉 에너지가 모두 코일에 있습니다. ② 'R = R_cr로'를 누르면 전압이 한 번도 음수로 넘어가지 않습니다. ③ L을 4배로 하면 f₀가 절반이 되고 R_cr는 2배가 됩니다. 아래 표에서 같은 거동을 내는 기계계(m = L, c = R, k = 1/C)를 읽으세요. 모델: 이상적 소자, 처음 축전기 전압 5 V, 전류 0.

감쇠 설계: 서스펜션, 계기 바늘, 도어 클로저

가장 빨리 멈추는 감쇠는?

문을 놓으면 저절로 닫히는 도어 클로저는 문이 쾅 닫히지 않으면서도 너무 오래 걸리지 않아야 합니다. 아날로그 전압계의 바늘은 측정값에 빨리 멈춰야 읽을 수 있습니다. "가장 빨리 평형에 정착한다"는 목표만 놓고 보면 어떤 $\zeta$ 가 가장 좋을까요?

설계에서는 응답을 두 숫자로 요약합니다. 평형을 반대쪽으로 얼마나 넘어가는지(오버슈트(overshoot))와, 평형 근처의 허용 띠(보통 처음 변위의 ±2%) 안에 들어가 다시 나오지 않을 때까지 걸리는 시간(정착 시간(settling time))입니다.

정리 7.9 (오버슈트)

x(0) = x_0

x'(0) = 0

에서 출발한 부족 감쇠 응답은

t_p = \pi/\omega_d

에 반대쪽 첫 봉우리에 닿고, 그 크기의 비는

\frac{|x(t_p)|}{x_0} = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}}.

증명. $x = x_0e^{-\zeta\omega_0t}\bigl(\cos\omega_dt + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\omega_dt\bigr)$ 를 미분하면 $x' = -x_0\frac{\omega_0}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_0t}\sin\omega_dt$ 이므로 첫 극값은 $\omega_dt = \pi$ 에 있다. 거기서 괄호는 $-1$ , 따라서 $|x(t_p)| = x_0e^{-\zeta\omega_0\pi/\omega_d}$ . ∎

ζ	0.1	0.2	0.5	0.7	0.78	1	2
오버슈트	72.9%	52.7%	16.3%	4.6%	2.0%	0	0
2% 정착 시간 × ω₀	38.4	19.6	8.1	6.0	3.6	5.8	14.9

표의 정착 시간은 RK4로 잰 값입니다. 흥미로운 사실은 임계 감쇠가 가장 빠르지 않다는 것입니다. 오버슈트가 허용 띠(2%) 안에 머물 만큼만 넘어가게 하면, 즉 $e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$ 인 $\zeta \approx 0.78$ 로 하면 정착 시간은 $3.6/\omega_0$ 로 임계 감쇠의 $5.8/\omega_0$ 보다 약 40% 짧습니다. 그래서 바늘 계기나 위치 제어처럼 "빨리 읽히는 것"이 중요한 장치는 $\zeta$ 를 0.6~0.8 근처로 잡는 경우가 많습니다. 반대로 과감쇠는 언제나 느립니다. 그림 7-3의 과감쇠 곡선이 임계보다 늦게 붙었던 것과 같습니다.

도어 클로저: 문이 문틀을 지나쳐 되튕기면 안 되므로 오버슈트가 0이어야 한다. 그래서 임계 감쇠 또는 약간의 과감쇠로 맞추고, 유압 밸브 나사로 $c$ 를 조절한다.
자동차 서스펜션: 승차감(작은 가속도)과 접지력(바퀴가 노면에서 뜨지 않음) 사이의 타협이다. 보통 임계보다 작은 감쇠, 즉 부족 감쇠 쪽으로 잡는다. 방지턱을 넘은 뒤 차체가 한 번쯤 살짝 되튀고 멈추는 것은 이 때문이다.
계측기와 저울: 빨리 읽혀야 하므로 약간의 오버슈트를 허용하는 $\zeta \approx 0.7$ 근처가 흔한 선택이다. 이때 오버슈트는 4.6%다.

예제 7.8 (1/4 차량 모델의 감쇠기 고르기) 바퀴 하나가 받치는 차체 질량을 400 kg, 그 바퀴의 스프링 상수를 20 kN/m로 두는 단순 모델에서,

\zeta = 0.3

이 되는 감쇠 계수는?

$\omega_0 = \sqrt{20\,000/400} = \sqrt{50} \approx 7.07$ rad/s, $f_0 \approx 1.13$ Hz.
$c_{\rm cr} = 2\sqrt{mk} = 2\sqrt{400\times 20\,000} \approx 5657$ N·s/m.
$c = 0.3\,c_{\rm cr} \approx 1697$ N·s/m. 이때 오버슈트는 $e^{-0.3\pi/\sqrt{0.91}} \approx 37\%$ 이다.
이 단순 모델은 타이어의 탄성, 바퀴 질량, 차체의 회전을 무시한다. 실제 설계는 이들을 넣은 여러 자유도 모델로 하지만, 첫 감각은 이 한 줄 계산에서 얻는다.

SIMULATOR

정착 시간이 가장 짧은 ζ 찾기

x(t)/x₀, 시간축 ω₀t, 노란 띠 = 허용 오차

정착 시간 ω₀t_s vs ζ

감쇠비 ζ

허용 띠

예시

오버슈트—

첫 봉우리 ω₀t_p—

정착 시간 ω₀t_s—

최적 ζ (이 띠)—

해볼 것: ① ζ를 0.7에서 0.8로 천천히 올리며 정착 시간이 어느 순간 뚝 떨어지는 것을 보세요. 첫 오버슈트가 띠 안으로 들어오는 순간입니다. ② ζ = 1에서 2로 올리면 정착이 점점 느려집니다. ③ 허용 띠를 ±5%로 넓히면 최적 ζ가 약 0.7로 내려갑니다. 모델: x(0) = 1, x′(0) = 0인 표준형, 시간은 ω₀t로 무차원화.

이 도구가 쓰이는 곳

"질량 하나, 용수철 하나, 감쇠기 하나"는 진동 공학의 원자입니다. 복잡한 구조물도 고유 모드로 나누면 모드마다 이 장의 방정식 하나가 되고(11장), 각 모드의 $\omega_0$ 와 $\zeta$ 가 구조물의 성질을 요약합니다.

건물의 내진 설계: 고유 주기와 감쇠비 건물을 한 자유도 진동자로 보면 고유 주기

T = 2\pi\sqrt{m/k}

는 층수가 많을수록(질량이 크고 상대적으로 유연할수록) 길어집니다. 지진의 흔들림은 주기마다 세기가 다르므로, 설계 기준은 건물의 고유 주기와 감쇠비를 넣어 설계 지진력을 정하는 방식을 씁니다. 철근 콘크리트 건물의 감쇠비는 보통 몇 퍼센트 수준으로 가정하며, 고층 건물은 감쇠를 키우려고 점성 댐퍼나 꼭대기에 동조 질량 감쇠기를 답니다. 측정은 이 장의 로그 감소율로 합니다.

8장 · 강제 진동과 공진외부에서 밀면
자유 진동의 ω₀와 ζ가 공진 진동수와 공진 봉우리의 높이를 정한다. 10장 · 전달 함수2차 시스템의 계단 응답
오버슈트·정착 시간이 s-평면 극점의 위치로 읽힌다. 11장 · 연립 선형 방정식결합 진동자와 정규 모드
여러 질량이 엮인 계를 모드마다 단진동으로 나눈다. 12장 · 비선형 시스템진자의 위상 평면
작은 각 근사를 버리면 분리선과 회전 운동이 나타난다. LINEARBOOK행렬 지수와 동역학
x′ = Ax의 고유값이 감쇠율과 진동수를 동시에 준다. MATHBOOK복소수와 페이저
A cos(ωt − φ)를 회전하는 복소수 Ae^i(ωt−φ)의 그림자로 본다.

핵심 정리

훅의 법칙 $-kx$ , 점성 감쇠 $-cx'$ , 뉴턴 2법칙에서 $mx'' + cx' + kx = 0$ . 변위를 평형에서 재면 중력은 방정식에서 사라진다.
비감쇠면 $x = A\cos(\omega_0t - \varphi)$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . $A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega_0)^2}$ , $\varphi$ 는 점 $(x_0, v_0/\omega_0)$ 의 각도(atan2). 주기는 진폭과 무관하다(등시성).
판별식 $c^2 - 4mk$ 와 임계 감쇠 $c_{\rm cr} = 2\sqrt{mk}$ 로 부족(진동)·임계(중근, 가장 빠른 무진동 복귀)·과감쇠(느린 지수 복귀)를 가른다.
표준형 $x'' + 2\zeta\omega_0x' + \omega_0^2x = 0$ , $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$ . 로그 감소율 $\delta = 2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}$ 로 측정 봉우리에서 $\zeta$ 를 읽는다.
$dE/dt = -c(x')^2$ : 감쇠가 에너지를 열로 바꾼다. 위상 평면에서 비감쇠는 타원, 부족 감쇠는 안쪽으로 감기는 나선이다.
진자는 $\theta'' + (g/L)\sin\theta = 0$ , 작은 각에서 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ . 진폭이 크면 $T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)$ 로 길어진다.
RLC 회로 $Lq'' + Rq' + q/C = 0$ 은 $m \leftrightarrow L$ , $c \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ 의 상사. 오버슈트 $e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ , 2% 정착은 $\zeta \approx 0.78$ 에서 가장 빠르다.

확인 퀴즈

Q1. 질량 2 kg, 용수철 상수 200 N/m인 비감쇠 진동자의 고유 진동수 $\omega_0$ 는?

\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{100} = 10

rad/s. 1.59는 진동수

f = \omega_0/2\pi

를 Hz로 쓴 값이다. 단위가 rad/s인지 Hz인지 늘 확인한다.

Q2. $x(t) = 3\cos 2t + 4\sin 2t$ 의 진폭은?

A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

. 위상은

\varphi = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.927

rad이고

x = 5\cos(2t - 0.927)

Q3. $m = 1$ kg, $k = 9$ N/m인 계를 임계 감쇠로 만들려면 $c$ 는?

c_{\rm cr} = 2\sqrt{mk} = 2\sqrt9 = 6

. 이때 특성 방정식

r^2 + 6r + 9 = (r + 3)^2

이 중근을 갖는다.

Q4. $x'' + 2x' + 5x = 0$ 의 해는 어떤 모양인가?

판별식

4 - 20 \lt 0

이므로 부족 감쇠. 근은

-1 \pm 2i

이고 해는

e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)

\omega_0 = \sqrt5

\zeta = 1/\sqrt5 \approx 0.447

\omega_d = \sqrt5\sqrt{1 - 1/5} = 2

Q5. 자유 진동 기록에서 연속한 두 봉우리의 높이 비가 2였다. 감쇠비 $\zeta$ 는 대략?

\delta = \ln 2 \approx 0.693

\zeta = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} \approx 0.693/6.322 \approx 0.110

. 작은 감쇠 근사

\delta/2\pi \approx 0.110

과 거의 같다. 0.69는

\delta

자체다.

Q6. 감쇠 진동자에서 역학적 에너지가 줄지 않는 순간은?

dE/dt = -c(x')^2

이므로

x' = 0

인 순간에만 감소율이 0이다. 평형을 지날 때는 속력이 가장 커서 에너지가 가장 빨리 준다. 가속도가 0인 순간은

kx = -cx'

일 때인데, 이때

x' \ne 0

이므로 에너지는 줄고 있다.

Q7. $L = 0.1$ H, $C = 10$ μF인 직렬 RLC 회로가 울리지 않고 방전하려면 저항이 최소 얼마여야 하는가?

기계 상사

m = L

c = R

k = 1/C

에서

R_{\rm cr} = 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{0.1/10^{-5}} = 2\sqrt{10^4} = 200

Ω. 이때

\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1000

rad/s.

Q8. 작은 진동을 하는 진자의 주기를 두 배로 늘리려면 길이를 몇 배로 해야 하는가?

T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}

이므로

T \propto \sqrt L

. 주기 2배는 길이 4배. 질량은 방정식에서 지워지므로 주기와 무관하다.