Chapter 12

거듭제곱 급수와 테일러 전개

컴퓨터가 할 줄 아는 계산은 사실상 덧셈과 곱셈뿐입니다. 그런데도 계산기는 sin, eˣ, ln을 순식간에 내놓습니다. 비결은 이 함수들을 무한 차수의 다항식, 즉 거듭제곱 급수로 바꾸는 데 있습니다. 6장의 선형 근사는 함수를 한 점 근처에서 직선으로 바꿨습니다. 이 장은 그 생각을 끝까지 밀어붙여 2차, 3차, … 무한 차 다항식으로 함수를 정확히 되살리고, 몇 차에서 멈추면 오차가 얼마인지 보장하는 법을 배웁니다. 11장의 판정법이 수렴 범위를 정하고, 복소수가 그 범위가 왜 거기서 끝나는지 설명하며, 마지막에는 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 이 급수 몇 줄에서 튀어나옵니다.

거듭제곱 급수의 수렴 반지름을 비 판정으로 구하고, 끝점의 수렴을 11장의 판정법으로 따로 확인해 수렴 구간을 쓴다.
수렴 반지름이 가장 가까운 복소 특이점까지의 거리라는 사실로, 매끄러운 실함수의 급수가 왜 갑자기 발산하는지 설명한다.
기하 급수를 항별로 미분·적분해 ln(1 + x), arctan x 등의 급수와 $\sum n^2/2^n$ 같은 합을 얻는다.
테일러·매클로린 급수의 계수를 도함수로 구하고, 라그랑주 나머지로 근사 오차의 상한을 계산한다.
eˣ, sin x, cos x, ln(1 + x), 이항 급수 (1 + x)ᵏ를 외우고 대입·곱·미분으로 새 급수를 만든다.
오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 를 급수로 유도하고, 진자 주기·상대론·계산기의 sin·가우스 적분에 테일러 전개를 적용한다.

이 수식이 없었다면표 없이 sin을 계산하는 기계

계산기와 컴퓨터가 나오기 전, 항해사·측량사·천문학자는 두꺼운 수표(삼각 함수표, 로그표)를 펼쳐 값을 찾았습니다. 그 표의 숫자를 채운 것은 손으로 하는 계산이었고, 계산 방법의 중심에는 무한급수가 있었습니다. 1715년 영국의 브룩 테일러(Brook Taylor)는 함수를 한 점에서의 도함수들로 전개하는 일반 공식을 책으로 펴냈고, 오늘날 이 전개에 그의 이름이 붙어 있습니다. 1748년 오일러는 이 전개로 지수 함수와 삼각 함수가 복소수 안에서 하나라는 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 를 널리 알렸습니다.

지금도 원리는 같습니다. 컴퓨터의 수학 라이브러리는 입력을 좁은 구간으로 옮긴 다음(범위 축소), 그 구간에서 오차가 보장된 다항식을 계산합니다. 회로 시뮬레이터는 트랜지스터의 지수 특성을 동작점 근처에서 전개해 소신호 모델을 만들고, 제어 공학자는 비선형 시스템을 평형점에서 전개해 선형 모델을 얻습니다. "복잡한 함수 = 다항식 + 작은 나머지"는 공학 계산의 기본 문법입니다.

sin, eˣ, ln …→테일러 다항식 + 나머지 상한→덧셈·곱셈 몇 번→보장된 정밀도

거듭제곱 급수와 수렴 구간

x에 따라 수렴하기도 하고 안 하기도 하는 급수

기하 급수 $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ 은 $x = 0.5$ 이면 2로 수렴하고 $x = 2$ 이면 발산합니다. 항이 $x$ 의 거듭제곱이라, 급수는 숫자 하나가 아니라 $x$ 의 함수입니다. 이 함수는 어떤 $x$ 에서 정의될까요? 그 범위는 늘 구간일까요?

정의 12.1 (거듭제곱 급수) 상수

c_0, c_1, c_2, \dots

와

a

에 대해

\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots

를

a

를 중심으로 하는 거듭제곱 급수(power series)라 한다. (

(x-a)^0 = 1

로,

x = a

일 때도 그렇게 약속한다.)

$x = a$ 에서는 언제나 $c_0$ 으로 수렴합니다. 문제는 $a$ 에서 멀어질 때입니다. 놀랍게도 수렴하는 $x$ 의 집합은 늘 $a$ 를 가운데 둔 구간입니다.

정리 12.2 (수렴의 세 경우) 거듭제곱 급수

\sum c_n(x-a)^n

에 대해 다음 중 정확히 하나가 성립한다.

$x = a$ 에서만 수렴한다.
모든 $x$ 에서 (절대) 수렴한다.
어떤 $R > 0$ 이 있어 $|x - a| \lt R$ 이면 절대 수렴하고 $|x - a| > R$ 이면 발산한다.

R

을 수렴 반지름(radius of convergence)이라 한다(1의 경우

R = 0

, 2의 경우

R = \infty

). 끝점

x = a \pm R

에서는 아무 일이나 일어날 수 있어 따로 확인한다. 수렴하는

x

전체를 수렴 구간(interval of convergence)이라 한다.

증명의 핵심. 급수가 $x_0 \ne a$ 에서 수렴하면 항 $c_n(x_0-a)^n \to 0$ 이라 어떤 $M$ 으로 $|c_n(x_0-a)^n| \le M$ . $|x - a| \lt |x_0 - a|$ 이면 $\rho = \frac{|x-a|}{|x_0-a|} \lt 1$ 로 $|c_n(x-a)^n| \le M\rho^n$ 이므로 기하 급수와 비교해 절대 수렴한다. 즉 한 점에서 수렴하면 그보다 중심에 가까운 모든 점에서 절대 수렴하고, 한 점에서 발산하면 더 먼 점에서도 발산한다. 수렴하는 거리의 상한이 $R$ 이다. ∎

실제로 $R$ 을 구할 때는 11장의 비 판정을 항 전체 $c_n(x-a)^n$ 에 그대로 씁니다.

정리 12.3 (비 판정으로 구하는 반지름)

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = L

이 존재하면(∞ 포함)

R = 1/L

이다(

L = 0

이면

R = \infty

L = \infty

이면

R = 0

증명. $\left|\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right| \to L|x - a|$ . 비 판정으로 $L|x-a| \lt 1$ 이면 절대 수렴, $> 1$ 이면 발산한다. ∎

그림 12-1. 수렴 구간의 구조. 가운데 a에서 반지름 R 안쪽은 언제나 절대 수렴, 바깥쪽은 언제나 발산이다. 두 끝점은 급수마다 다르다. 예: Σxⁿ은 둘 다 발산 (−1, 1), Σxⁿ/n은 [−1, 1), Σxⁿ/n²은 둘 다 수렴 [−1, 1].

예제 12.1 (수렴 구간 구하기)

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-3)^n}{n\,2^n}

의 수렴 구간을 구하라.

반지름: $c_n = \frac{1}{n2^n}$ 이므로 $\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \frac{n}{2(n+1)} \to \frac12$ . $R = 2$ 이고 $|x - 3| \lt 2$ , 즉 $1 \lt x \lt 5$ 에서 절대 수렴한다.
오른쪽 끝 $x = 5$ : $\sum\frac{2^n}{n2^n} = \sum\frac1n$ , 조화 급수라 발산.
왼쪽 끝 $x = 1$ : $\sum\frac{(-2)^n}{n2^n} = \sum\frac{(-1)^n}{n}$ , 교대 급수 판정으로 수렴(조건 수렴).
수렴 구간은 $[1, 5)$ . 반지름은 비 판정이, 끝점은 11장의 나머지 판정이 정한다.

$\sum\frac{x^n}{n!}$ 은 $\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$ 이라 $R = \infty$ 이고, $\sum n!\,x^n$ 은 비가 $n + 1 \to \infty$ 라 $R = 0$ 입니다. 아래 시뮬레이터에서 부분합 곡선 $S_N(x)$ 이 수렴 구간 안에서는 극한 함수에 달라붙고 밖에서는 튀어 나가는 모습을 보세요.

SIMULATOR

부분합 곡선과 수렴 구간: 끝점에서는 무슨 일이

극한 f(x)와 부분합 S_N(x)

선택한 x에서 S_k(x) vs k

급수 차수 N 살펴볼 x

R, 수렴 구간—

S_N(x)—

f(x)—

해볼 것: ① 1/(1 − x)에서 x = 0.9로 두고 N을 키우면 느리게, x = 0.5면 빠르게 수렴합니다. 중심에서 멀수록 느립니다. ② ln(1 + x)에서 x = 1을 눌러 보세요. 교대 조화 급수가 되어 ln 2로 (느리게) 수렴합니다. x = −1은 조화 급수의 음수라 발산합니다. ③ Σxⁿ/n²은 두 끝점 모두 수렴하지만, 끝점 밖으로 조금만 나가도 아래 그래프가 폭발합니다. 모델: 부분합을 직접 계산합니다. 회색 띠가 수렴 구간입니다.

수렴 반지름은 어디서 오나: 복소 특이점

매끄러운 함수의 급수가 왜 x = 1에서 멈추나

$\frac{1}{1-x}$ 의 급수가 $|x| \lt 1$ 에서 끝나는 것은 이해가 됩니다. $x = 1$ 에서 함수가 무한대로 터지기 때문입니다. 그런데 $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ 도 수렴 반지름이 1입니다. 이 함수는 실수 전체에서 매끄럽고 유계인데, 왜 $x = 1$ 을 넘으면 급수가 발산할까요?

답은 실수축 밖에 있습니다. $x$ 자리에 복소수 $z$ 를 넣으면 $\frac{1}{1+z^2}$ 은 $z = \pm i$ 에서 분모가 0이 됩니다. 거듭제곱 급수 $\sum c_n z^n$ 의 수렴 영역은 사실 복소평면의 원판이고(정리 12.2의 증명은 복소수에서도 그대로 성립합니다), 그 원판은 함수가 터지는 점, 즉 특이점(singularity)에 닿는 순간 더 커질 수 없습니다. 실수축은 그 원판의 지름을 지나갈 뿐입니다.

사실 12.4 (반지름 = 가장 가까운 특이점까지 거리) 분수 함수처럼 복소평면에서 몇 개의 점을 빼고 미분 가능한 함수

f

를

a

에서 전개하면, 그 테일러 급수의 수렴 반지름은

a

에서

f

의 가장 가까운 복소 특이점까지의 거리와 같다. 이 사실의 증명은 복소해석학의 몫이고, 여기서는 쓰기만 한다.

그림 12-2. 1/(1 + x²)을 a = 0에서 전개하면 수렴 원판(진분홍)이 특이점 ±i에 닿아 반지름이 1이다. 실수축에서는 구간 (−1, 1)만 남는다. 중심을 a = 1로 옮기면 가장 가까운 특이점까지 거리가 √2가 되어 수렴 구간이 (1 − √2, 1 + √2)로 바뀐다.

이 관점은 실용적입니다. 함수의 식만 보고 반지름을 바로 읽을 수 있기 때문입니다. $\frac{1}{1+x+x^2}$ 의 분모는 $z = e^{\pm 2\pi i/3}$ 에서 0이고 두 점 모두 원점에서 거리 1이므로 $a = 0$ 에서의 반지름은 1입니다. $\ln(1+x)$ 는 $x = -1$ 에서 정의되지 않으므로 반지름 1이고, $e^x$ , $\sin x$ 처럼 특이점이 없는 함수는 반지름이 $\infty$ 입니다. $\tan x$ 는 $\cos z = 0$ 인 $z = \pm\pi/2$ 가 가장 가까우므로 반지름이 $\pi/2$ 입니다.

SIMULATOR

수렴 원판: 중심을 끌어 특이점까지 재기

복소평면: 중심 a를 실수축에서 끌어 보세요

실수축 위의 f(x)와 T_N(x)

함수 차수 N

중심 a—

가장 가까운 특이점—

수렴 반지름 R—

실수 구간—

해볼 것: ① 1/(1 + x²)에서 a를 0에서 2로 끌면 원판이 ±i에 닿은 채로 커지고, 아래 그래프에서 T_N이 맞는 구간이 넓어집니다. ② 1/(x² − 4)는 특이점 ±2가 실수축 위에 있어 그래프에서도 보입니다. a = 0에서 R = 2. ③ N을 40까지 올려도 구간 밖에서는 T_N이 오히려 더 크게 튑니다. 차수를 올리는 것으로는 반지름을 넘을 수 없습니다. 모델: 계수는 부분 분수 c/(z − p) = −c Σ (z − a)ⁿ/(p − a)ⁿ⁺¹로 정확히 계산합니다.

항별 미분과 적분: 기하 급수 하나로 여러 함수를

ln 2를 손으로 소수 다섯째 자리까지

11장에서 $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots = \ln 2$ 라고 했지만 증명하지 않았고, 이 급수로 ln 2를 계산하려면 수십만 항이 필요했습니다. 로그의 급수는 어디서 오며, 더 빠른 급수는 없을까요?

수렴 반지름 안에서 거듭제곱 급수는 다항식처럼 다룰 수 있습니다. 항마다 미분하거나 적분해도 됩니다.

정리 12.5 (항별 미분·적분)

f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n

의 수렴 반지름이

R > 0

이면

f

는

(a - R, a + R)

에서 미분 가능하고

f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}, \qquad \int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}

이며, 두 급수의 수렴 반지름도

R

이다. (끝점의 수렴은 달라질 수 있다.) 이것을 항별 미분(term-by-term differentiation)과 항별 적분이라 한다.

아이디어. 반지름이 같은 이유: $\sqrt[n]{n} \to 1$ 이라 계수에 $n$ 이나 $\frac{1}{n+1}$ 을 곱해도 근 판정의 극한이 바뀌지 않는다. 미분을 무한 합 안으로 넣어도 되는 이유는 반지름보다 작은 닫힌 구간에서 급수가 "고르게" 수렴하기 때문인데, 그 증명은 해석학 과목에서 한다.

기하 급수 $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ 하나에서 출발해 대입·미분·적분만으로 여러 급수가 나옵니다.

\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n \;\xrightarrow{\ \int_0^x\ }\; \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (-1 \lt x \le 1)

\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n} \;\xrightarrow{\ \int_0^x\ }\; \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \quad (-1 \le x \le 1)

\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \quad (|x| \lt 1)

적분 상수는

x = 0

을 넣어 정한다(

\ln 1 = 0

\arctan 0 = 0

). 끝점

x = 1

에서 급수가 수렴하면 그 값이 함수값과 같다는 것은 아벨 정리가 보장한다. 그래서

1 - \frac12 + \frac13 - \cdots = \ln 2

1 - \frac13 + \frac15 - \cdots = \frac\pi4

이다.

예제 12.2 (빠른 ln 2)

\ln(1+x)

에서

\ln(1-x)

를 빼면 짝수 차 항이 지워진다.

$\ln\dfrac{1+x}{1-x} = 2\left(x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} + \cdots\right)$ ( $|x| \lt 1$ ).
$\frac{1+x}{1-x} = 2$ 이 되는 $x = \frac13$ 을 넣는다. $\ln 2 = 2\left(\frac13 + \frac1{81} + \frac{1}{1215} + \frac{1}{15309} + \cdots\right)$ .
네 항의 합은 0.6931348, 참값 0.6931472와의 차이는 $1.2\times10^{-5}$ . 다섯 항이면 $1.1\times10^{-6}$ . 한 항마다 오차가 약 1/9로 준다( $x^2 = 1/9$ ). 교대 조화 급수의 백만 항보다 다섯 항이 더 정확하다.

예제 12.3 (11장의 약속: Σ n²/2ⁿ = 6)

$\sum_{n\ge1} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ 에 $x$ 를 곱하면 $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ .
다시 미분하고 $x$ 를 곱한다: $\sum n^2x^n = x\,\frac{d}{dx}\frac{x}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ .
$x = \frac12$ 은 반지름 1 안이므로 대입할 수 있다: $\frac{(1/2)(3/2)}{(1/2)^3} = \frac{3/4}{1/8} = 6$ . 같은 방법으로 기하 분포의 기댓값 $\sum k p(1-p)^{k-1} = \frac1p$ 도 나온다.

π를 급수로: 마친 공식

\arctan 1 = \frac\pi4

의 급수는 너무 느리지만(11장), 1706년 존 마친(John Machin)은

\frac\pi4 = 4\arctan\frac15 - \arctan\frac1{239}

이라는 항등식을 써서 π를 소수 100자리까지 계산했습니다.

x = \frac15

이면 항이 25배씩 줄어들기 때문입니다.

\arctan\frac15

을 6항,

\arctan\frac1{239}

를 2항만 써도 π의 오차가

10^{-9}

정도입니다. 같은 꼴의 공식은 컴퓨터 시대에도 π 자릿수 기록에 쓰였습니다.

테일러 급수와 매클로린 급수

함수가 주어지면 계수는 어떻게 정하나

지금까지는 기하 급수라는 출발점이 있었습니다. $e^x$ 이나 $\sin x$ 에는 그런 출발점이 없습니다. 이 함수들이 어떤 거듭제곱 급수와 같다고 가정한다면, 계수 $c_n$ 은 무엇이어야 할까요?

$f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$ 라 하고 $x = a$ 를 넣으면 $c_0 = f(a)$ . 한 번 미분하고 넣으면 $c_1 = f'(a)$ . 두 번 미분하면 $2c_2 + 3\cdot2c_3(x-a) + \cdots$ 이므로 $c_2 = \frac{f''(a)}{2}$ . 이렇게 $n$ 번 미분하면 $c_n$ 앞에 $n!$ 이 남습니다.

정리 12.6 (계수의 유일성)

f(x) = \sum c_n(x-a)^n

이

|x - a| \lt R

(

R > 0

)에서 성립하면

c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}.

그러므로 한 함수를 같은 중심으로 전개한 거듭제곱 급수는 하나뿐이다. 어떤 방법(대입, 미분, 곱셈)으로 얻든 같은 급수다.

증명. 정리 12.5로 $n$ 번 항별 미분하면 $f^{(n)}(x) = \sum_{k\ge n} k(k-1)\cdots(k-n+1)c_k(x-a)^{k-n}$ . $x = a$ 를 넣으면 $k = n$ 항만 남아 $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ . ∎

정의 12.7 (테일러 급수)

a

에서 모든 차수로 미분 가능한

f

에 대해

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots

를

a

에서의 테일러 급수(Taylor series)라 하고,

a = 0

일 때를 매클로린 급수(Maclaurin series)라 한다.

n

차까지 자른 다항식

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

를

n

차 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라 한다.

T_n

은

a

에서

f

와 함숫값 및

n

계 도함수까지 모두 일치하는 유일한

n

차 이하 다항식이다.

$T_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ 는 6장의 선형 근사이고, $T_2$ 는 그 장 끝에서 예고한 2차 근사입니다. 2계 도함수 판정이 통하는 이유도 여기서 보입니다. 임계점( $f'(a) = 0$ ) 근처에서 $f(x) \approx f(a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ 이므로 $f''(a)$ 의 부호가 위로 볼록인 포물선인지 아래로 볼록인지를 정합니다.

예제 12.4 (eˣ, cos x, √x)

$e^x$ 은 모든 도함수가 $e^x$ 이라 $f^{(n)}(0) = 1$ . $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ , $R = \infty$ .
$\cos x$ 의 도함수는 $\cos, -\sin, -\cos, \sin$ 을 돌고, $x = 0$ 에서 $1, 0, -1, 0$ 을 돈다. $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ . 짝함수라 짝수 차 항만 남는다.
$\sqrt x$ 를 $a = 4$ 에서: $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ , $f''(4) = -\frac{1}{4\cdot 4^{3/2}} = -\frac1{32}$ . $T_2(x) = 2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64}$ . $\sqrt{4.1} \approx 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$ , 참값 2.02484567과 $1.9\times10^{-6}$ 차이다.

테일러 급수가 함수와 다를 수도 있다

f(x) = e^{-1/x^2}

(

x \ne 0

f(0) = 0

인 함수는

x = 0

에서 모든 차수의 도함수가 0입니다(

e^{-1/x^2}

이

x

의 어떤 거듭제곱보다도 빨리 0으로 가기 때문입니다). 그래서 매클로린 급수는 모든

x

에서 수렴하는

0 + 0x + 0x^2 + \cdots = 0

인데, 함수는

x \ne 0

에서 양수입니다. 급수가 수렴한다는 것과 그 합이 $f$ 라는 것은 별개의 문제입니다. 그 둘을 이어 주는 것이 다음 절의 나머지 항입니다. 테일러 급수가 근처에서

f

와 같은 함수를 해석 함수(analytic function)라 부릅니다.

MathBook의 테일러 다항식 실험실은 sin 0.5를 계산기처럼 구하는 입문 데모입니다. 아래 시뮬레이터에서는 전개점 a를 곡선 위에서 끌고 다니며 T_n이 a에서 함수에 "접하는" 정도가 차수마다 어떻게 깊어지는지 봅니다.

SIMULATOR

테일러 다항식: 차수 슬라이더와 움직이는 전개점

함수 f(x) 차수 n 0차부터 n차까지 모두 겹쳐 그리기

전개점 a—

T_n(x)—

x = a + 1에서 |f − T_n|—

해볼 것: ① sin x에서 n을 1, 3, 5, …로 올리며 T_n이 a에서 함수에 붙어 있는 구간이 점점 넓어지는 것을 보세요. sin은 R = ∞라 결국 어디든 닿습니다. ② ln(1 + x)는 a를 어디에 두든 x = −1까지의 거리(1 + a)를 넘지 못합니다. a를 2로 끌면 반지름이 3이 됩니다. ③ 평평한 함수는 a = 0에서 모든 T_n이 0입니다. 급수는 수렴하지만 함수와 다릅니다. a를 옮기면 정상적으로 근사합니다. 모델: 계수는 도함수의 정확한 공식으로 계산합니다(평평한 함수는 f⁽ⁿ⁾ = Pₙ(1/x)·f의 다항식 점화식).

나머지 항: 오차를 보장하는 법

e를 소수 여섯째 자리까지 믿을 수 있게

$e = 1 + 1 + \frac12 + \frac16 + \cdots$ 를 몇 항에서 멈춰야 오차가 $10^{-6}$ 아래라고 장담할 수 있을까요? 항이 작아졌다는 것만으로는 부족합니다. 11장에서 보았듯이 양항 급수의 꼬리는 다음 항보다 훨씬 클 수 있습니다.

$f(x) - T_n(x)$ 를 나머지 항(remainder) $R_n(x)$ 이라 합니다. 테일러 급수가 $f$ 로 수렴한다는 것은 정확히 $R_n(x) \to 0$ 이라는 뜻입니다. 평균값 정리(5장)가 $f(x) - f(a) = f'(\xi)(x-a)$ 였던 것을 기억하세요. 이것은 $n = 0$ 인 나머지 공식입니다. 일반 차수로 늘리면 다음이 됩니다.

정리 12.8 (테일러 정리, 라그랑주 나머지)

f

가

a

와

x

를 포함하는 구간에서

n+1

번 미분 가능하면,

a

와

x

사이의 어떤

\xi

가 있어

f(x) = T_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

이

R_n

을 라그랑주 나머지(Lagrange remainder)라 한다.

증명 아이디어. $x$ 를 고정하고 $R_n(x) = K(x-a)^{n+1}$ 이 되도록 상수 $K$ 를 잡는다. $g(t) = f(t) - T_n(t) - K(t-a)^{n+1}$ 은 $g(a) = g'(a) = \cdots = g^{(n)}(a) = 0$ 이고 $g(x) = 0$ 이다. 롤의 정리를 $g$ 에 쓰면 $a$ 와 $x$ 사이에 $g'(\xi_1) = 0$ , 다시 $g'$ 에 쓰면 $a$ 와 $\xi_1$ 사이에 $g''(\xi_2) = 0$ , …, $n+1$ 번 되풀이하면 $g^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - (n+1)!\,K = 0$ . ∎

$\xi$ 가 어디인지는 모릅니다. 하지만 $f^{(n+1)}$ 의 크기를 구간 전체에서 막을 수 있으면 오차의 상한이 나옵니다.

정리 12.9 (테일러 부등식)

a

와

x

사이의 모든

t

에서

|f^{(n+1)}(t)| \le M

이면

|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}.

이것을 테일러 부등식(Taylor's inequality)이라 한다. 특히

n \to \infty

일 때 우변이 0으로 가면 테일러 급수는

f(x)

로 수렴한다.

이 부등식으로 $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ 가 모든 $x$ 에서 자기 테일러 급수와 같다는 것이 증명됩니다. sin과 cos은 모든 도함수의 크기가 1 이하라 $M = 1$ 이고, $e^x$ 은 $|t| \le |x|$ 에서 $M = e^{|x|}$ 입니다. 어느 쪽이든 $\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$ (11장의 $x^n/n! \to 0$ )이므로 나머지가 0으로 갑니다.

예제 12.5 (e와 sin 10°를 보장된 정밀도로)

$e = e^1$ 을 $T_n(1) = \sum_{k=0}^n \frac1{k!}$ 로 계산한다. $[0, 1]$ 에서 $|f^{(n+1)}| = e^t \le e \lt 3$ 이므로 $|R_n(1)| \lt \frac{3}{(n+1)!}$ . $\frac{3}{(n+1)!} \lt 10^{-6}$ 이려면 $(n+1)! > 3\times10^6$ 이고, $10! = 3628800$ 이므로 $n = 9$ . $T_9(1) = 2.7182815$ , 실제 오차는 $3.0\times10^{-7}$ 으로 상한 $8.3\times10^{-7}$ 안이다.
$\sin 10°$ : 라디안으로 $x = \pi/18 = 0.174533$ . $T_3(x) = x - \frac{x^3}{6} = 0.1736468$ . sin의 $T_3$ 과 $T_4$ 는 같은 다항식이므로(4차 계수가 0) 오차는 $n = 4$ 의 부등식으로 $\frac{x^5}{5!} = 1.35\times10^{-6}$ 이하다. 참값 0.1736482와의 차이는 $1.35\times10^{-6}$ 로 상한에 거의 붙어 있다.

SIMULATOR

실제 오차 vs 라그랑주 상한 (로그 눈금)

함수 (a = 0) 차수 n 살펴볼 x 목표 오차

실제 |R_n(x)|—

상한 M|x|ⁿ⁺¹/(n+1)!—

목표를 보장하는 최소 n—

실제 오차 |f − T_n|라그랑주 상한

해볼 것: ① eˣ에서 x = 1, 목표 10⁻⁶으로 두면 최소 n = 9(예제 12.5)가 나옵니다. 주황 곡선은 어디서나 진분홍 곡선 위에 있습니다. ② sin x에서 n을 3과 4로 바꿔도 실제 오차 곡선은 그대로인데 상한만 내려갑니다. T₃ = T₄이기 때문입니다. ③ ln(1 + x)에서 x를 −0.9 쪽으로 옮기면 M이 n!/(1 + x)ⁿ⁺¹로 커져 상한이 쓸모없어집니다. x > 1이면 급수 자체가 발산합니다. 모델: M은 0과 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 정확한 최댓값. 10⁻¹⁶ 아래는 배정밀도 반올림 잡음입니다.

기본 급수표와 이항 급수

e^(−x²)의 급수를 20번 미분해서 구해야 하나

$e^{-x^2}$ 을 정의대로 미분하면 도함수가 금세 감당할 수 없이 길어집니다. 하지만 $e^u$ 의 급수에 $u = -x^2$ 을 넣으면 한 줄로 끝납니다. 계수의 유일성(정리 12.6) 덕분에 그렇게 얻은 급수가 바로 테일러 급수입니다. 몇 개의 기본 급수만 외우면 대부분의 전개를 대입과 곱셈으로 얻습니다.

함수	매클로린 급수	수렴 구간
$\frac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$	$(-1, 1)$
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\sin x$	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\cos x$	$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$	$(-\infty, \infty)$
$\ln(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$	$(-1, 1]$
$\arctan x$	$x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$	$[-1, 1]$
$(1+x)^k$	$1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots$	$(-1, 1)$ (k가 자연수가 아닐 때)

마지막 줄이 뉴턴이 일반화한 이항 정리입니다. 자연수 $k$ 에 대한 이항 계수 $\binom{k}{n}$ 을 실수 $k$ 로 넓힙니다.

정리 12.10 (이항 급수) 실수

k

에 대해 일반화된 이항 계수(generalized binomial coefficient)를

\binom{k}{n} = \frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}

\binom{k}{0} = 1

로 정의하면

(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{6}x^3 + \cdots \quad (|x| \lt 1).

이 급수를 이항 급수(binomial series)라 한다.

k

가 0 이상의 정수이면

n > k

에서 계수가 0이 되어 보통의 이항 전개(다항식)가 된다.

증명 아이디어. 비 판정: $\left|\frac{\binom{k}{n+1}}{\binom{k}{n}}\right| = \left|\frac{k - n}{n+1}\right| \to 1$ 이라 $R = 1$ . 급수의 합을 $g(x)$ 라 하면 항별 미분으로 $(1+x)g'(x) = kg(x)$ , $g(0) = 1$ 을 확인할 수 있고, 이 미분방정식의 해는 $(1+x)^k$ 뿐이다. ∎

예제 12.6 (대입·곱·미분으로 새 급수 만들기)

$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots$ . $\sqrt{1.1} \approx 1 + 0.05 - 0.00125 = 1.04875$ . 참값 1.0488088과의 차이 $5.9\times10^{-5}$ 는 다음 항 $\frac{0.1^3}{16} = 6.25\times10^{-5}$ 보다 작다.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{3x^4}{8} + \cdots$ 을 항별 적분하면 $\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots$ .
$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ ( $e^u$ 에 $u = -x^2$ ).
$x e^x = x + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \cdots$ , $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots$ (곱셈과 나눗셈도 항별로).
$e^x\sin x$ 처럼 두 급수의 곱은 다항식처럼 전개해 같은 차수끼리 모은다: $(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots)(x - \frac{x^3}{6} + \cdots) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \cdots$ .

SIMULATOR

이항 급수: k가 정수가 아니면 끝나지 않는다

지수 k 항 수 N 살펴볼 x

계수 1, k, k(k−1)/2, …—

부분합 (항 N개)—

(1 + x)^k—

해볼 것: ① k = 3이면 계수가 1, 3, 3, 1 다음부터 0입니다. 부분합이 N ≥ 4에서 모든 x에 대해 정확합니다. ② k = 0.5에서 x = 0.1, N = 3이 예제 12.6의 √1.1입니다. ③ x를 1보다 크게 두면 k가 정수가 아닐 때 부분합이 발산합니다. 함수 (1 + x)ᵏ는 x = −1에서만 특이점(또는 0)을 가지므로 반지름이 1입니다. 모델: 일반화된 이항 계수를 점화식 cₙ₊₁ = cₙ(k − n)/(n + 1)로 계산합니다.

오일러 공식: 지수와 회전이 하나가 되는 곳

eˣ에 허수를 넣으면

$e^{2}$ 은 "e를 두 번 곱한 수"라고 말할 수 있지만 $e^{i}$ 은 "e를 i번 곱한 수"라고 할 수 없습니다. 그런데 $e^x$ 의 급수에는 덧셈과 곱셈만 있으니, 복소수를 넣어도 계산이 됩니다. 무엇이 나올까요?

$e^z = \sum\frac{z^n}{n!}$ 은 복소수에서도 모든 $z$ 에 대해 절대 수렴하므로, 이것을 복소 지수 함수의 정의로 삼습니다. $z = i\theta$ 를 넣고 $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ 을 쓰면 항이 실수부와 허수부로 갈라집니다. 절대 수렴하므로 항의 순서를 바꿔 모아도 됩니다(11장 정리 11.17).

e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\right)

정리 12.11 (오일러 공식) 모든 실수

\theta

에 대해

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.

이것을 오일러 공식(Euler's formula)이라 한다. 특히

\theta = \pi

이면

e^{i\pi} + 1 = 0

이다.

그림 12-3. e^(iθ)는 실수축에서 각 θ만큼 돌아간 단위원 위의 점이다. 실수부가 cos θ, 허수부가 sin θ. 지수 법칙 e^(iα)·e^(iβ) = e^(i(α+β))가 회전을 이어 붙이는 것이므로 삼각 함수의 덧셈 정리가 지수 법칙 한 줄로 바뀐다.

공학에서 이 공식은 교류 회로·진동·신호 처리의 공용어입니다. $\cos\omega t$ 를 $\operatorname{Re}\,e^{i\omega t}$ 로 쓰면 미분이 $i\omega$ 를 곱하는 일이 되어, 미분방정식이 대수 방정식으로 바뀝니다(페이저). 복소수의 기하는 MathBook의 복소수 장에서, 진동 해석은 LinearBook 고유값 장의 복소 고유값에서 이어집니다.

SIMULATOR

오일러 나선: Σ(iθ)ⁿ/n!이 단위원에 내려앉는 길

각 θ (라디안) 더한 항 수 N

부분합 S_N—

cos θ + i sin θ—

거리 |S_N − e^iθ|—

해볼 것: ① θ = π에서 항을 하나씩 더해 보세요. 각 항은 직전 항을 90° 돌리고 θ/n배 한 화살표라, 길은 각진 나선을 그리며 −1에 내려앉습니다. 13항(N = 13)이면 거리가 5×10⁻⁴ 아래입니다. ② θ를 2π로 키우면 길이 한참 멀리 돌아 나갔다가 1로 돌아옵니다. |θ|ⁿ/n!이 줄어들기 시작하는 n ≈ θ까지는 항이 커지기 때문입니다. ③ 아주 작은 θ에서는 1 + iθ만으로 거의 맞습니다. 회전의 1차 근사입니다. 모델: 복소수 산술로 부분합을 직접 계산합니다.

공학의 근사: 진자, 상대론, 계산기

"sin θ ≈ θ"는 얼마나 믿을 만한가

물리 교과서는 진자의 방정식 $\theta'' = -\frac gL\sin\theta$ 에서 $\sin\theta$ 를 $\theta$ 로 바꿔 주기 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ 를 얻습니다. 이 소각 근사(small-angle approximation)는 진폭이 몇 도까지 괜찮을까요? 그리고 근사를 더 정확하게 고칠 수는 없을까요?

테일러 전개는 근사가 얼마나 틀리는지를 함께 알려 줍니다. $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \cdots$ 이므로 상대 오차는 약 $\frac{\theta^2}{6}$ 입니다. 10°(0.1745 rad)에서 0.5%, 30°에서 4.6%입니다. 진폭 $\theta_0$ 인 진자의 정확한 주기는 타원 적분으로 주어지는데, 그것을 $\theta_0$ 에 대해 전개하면

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\theta_0^4}{3072} + \cdots\right)

\theta_0

은 라디안. 30°에서 첫 보정항

\theta_0^2/16 = 0.0171

을 더하면 1.01713, 둘째 항까지 1.01740이고 정확한 값은 1.01741이다. 진자시계가 진폭 변화에 민감한 이유가 이 첫 보정항이다.

SIMULATOR

진자: sin θ 와 θ, 두 진자의 경주

진분홍: 진짜 진자 (sin θ) · 파랑: 선형 진자 (θ)

θ(t) (°), 가로축 t/T₀

진폭 θ₀

정확한 T/T₀—

1 + θ₀²/16—

+ 11θ₀⁴/3072—

10주기 뒤 어긋남—

해볼 것: ① 10°에서는 두 진자가 오래도록 함께 움직입니다(주기 차 0.19%). ② 90°로 올리면 진짜 진자가 눈에 띄게 늦고, 보정항 둘까지 써도 1.1760으로 정확한 값 1.1803에 0.4% 못 미칩니다. ③ 170°에서는 진짜 진자가 꼭대기 근처에서 오래 머뭅니다. θ₀ → 180°이면 주기가 무한대로 가므로 어떤 유한 차수의 다항식도 이를 따라갈 수 없습니다. 모델: 감쇠 없는 단진자, 비선형 방정식은 RK4로 적분, 정확한 주기는 T/T₀ = 1/AGM(1, cos(θ₀/2))로 계산합니다.

예제 12.7 (상대론의 운동 에너지) 상대론의 운동 에너지는

K = (\gamma - 1)mc^2

\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2}

\beta = v/c

이다. 이항 급수(

k = -\frac12

x = -\beta^2

)로

$\gamma = 1 + \frac12\beta^2 + \frac38\beta^4 + \frac5{16}\beta^6 + \cdots$ ( $\beta \lt 1$ ).
$K = mc^2\left(\frac12\beta^2 + \frac38\beta^4 + \cdots\right) = \frac12mv^2 + \frac38\frac{mv^4}{c^2} + \cdots$ . 첫 항이 뉴턴 역학의 운동 에너지이고, 둘째 항부터가 상대론 보정이다.
$v = 0.1c$ 이면 $K/(\frac12mv^2) = 1.00756$ : 뉴턴 공식이 0.76% 작다. 보정항의 비 $\frac34\beta^2 = 0.0075$ 가 바로 그 크기다.
GPS 위성(궤도 속도 약 3.87 km/s)의 시계는 $\gamma - 1 \approx \frac{\beta^2}{2} = 8.3\times10^{-11}$ 만큼 느리게 간다. 하루(86400 s)면 약 7.2 μs다. 중력에 의한 반대 효과와 함께 보정하지 않으면 위치 오차가 하루에 수 km씩 쌓인다.

계산기의 sin도 같은 원리입니다. 다만 $x$ 가 클 때 테일러 급수를 그대로 쓰면 항이 커졌다 작아지며 반올림 오차가 쌓이므로, 먼저 범위 축소(range reduction)를 합니다.

그림 12-4. 수학 라이브러리가 sin x를 계산하는 기본 구조. 범위 축소로 |r| ≤ π/4로 옮기면 라그랑주 상한 (π/4)¹⁷/17! < 1.1×10⁻¹⁶이라 차수 15(0이 아닌 항 8개)면 배정밀도에 충분하다. 실제 라이브러리는 같은 구간에서 오차를 고르게 퍼뜨린 최소최대 다항식을 써서 차수를 조금 더 줄이고, 큰 x의 범위 축소는 π를 아주 많은 자리로 저장해 정밀하게 한다.

적분할 수 없는 함수와 급수로 구하는 극한

정규 분포의 확률을 계산하려면

표준 정규 분포에서 $|Z| \lt 1$ 일 확률은 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^{1}e^{-t^2/2}dt$ 입니다. 그런데 $e^{-x^2}$ 의 부정적분은 다항식·지수·로그·삼각 함수를 어떻게 조합해도 쓸 수 없다는 것이 알려져 있습니다(리우빌의 정리). 9장의 어떤 기법도 통하지 않습니다. 확률표의 숫자는 어디서 왔을까요?

급수는 적분 기호 안으로 들어갈 수 있습니다. $e^{-t^2}$ 의 급수를 항별로 적분하면

\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots

이것에

\frac{2}{\sqrt\pi}

를 곱한 것이 오차 함수(error function, erf)

\operatorname{erf}(x)

이다. 정규 분포에서

P(|Z| \lt z) = \operatorname{erf}(z/\sqrt2)

. 예:

\operatorname{erf}(1/\sqrt2) = 0.6827

, 이른바 "68% 규칙".

예제 12.8 (∫₀¹ e^(−x²) dx를 10⁻⁴ 이내로)

$x = 1$ 이면 급수는 $1 - \frac13 + \frac1{10} - \frac1{42} + \frac1{216} - \frac1{1320} + \frac1{9360} - \cdots$ , 항의 크기가 감소하며 0으로 가는 교대 급수다.
11장의 교대 급수 오차 한계: 첫 번째로 버린 항이 $10^{-4}$ 보다 작아야 한다. $n = 6$ 항이 $\frac{1}{720\cdot13} = 1.07\times10^{-4}$ , $n = 7$ 항이 $\frac{1}{5040\cdot15} = 1.32\times10^{-5}$ 이므로 $n = 0$ 부터 6까지 7항을 더한다.
합은 0.7468360, 정확한 값 0.7468241과의 차이는 $1.2\times10^{-5}$ 로 보장값 $1.32\times10^{-5}$ 이하다.

SIMULATOR

∫₀ˣ e^(−t²) dt: 급수 몇 항이면 되나

정확한 적분(검정)과 급수 부분합(진분홍)

선택한 x에서 항의 크기 |aₙ| (로그 눈금)

위끝 x 항 수 N

급수 (항 N개)—

정확한 값—

오차 / 보장(다음 항)—

P(|Z| < √2·x)—

해볼 것: ① x = 1, N = 7이 예제 12.8입니다. ② x = 3으로 올리면 항이 처음에는 커져 n = 9 부근에서 약 190까지 갔다가 줄어듭니다. 결국 수렴하지만 큰 항끼리 빼느라 유효 숫자를 잃습니다. 큰 x에서는 다른 전개(점근 전개)나 수치 적분을 씁니다. ③ 아래 그래프의 막대가 주황 선(10⁻⁶) 아래로 내려가는 n이 필요한 항 수의 감입니다. 모델: 정확한 값은 심프슨 공식(2000구간)으로 계산합니다.

같은 생각으로 0/0꼴 극한을 로피탈 정리 없이 한 줄로 끝낼 수 있습니다. 분자와 분모를 전개해 가장 낮은 차수끼리 비교하면 됩니다.

예제 12.9 (급수로 구하는 극한)

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \lim\frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots}{x^3} = -\frac16$ . 로피탈을 세 번 쓰는 것과 같은 답이다.
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac12$ .
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$ 이므로 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3} = \frac13$ . 수치 확인: $x = 0.1$ 이면 $\tan 0.1 - 0.1 = 3.347\times10^{-4}$ , $0.1^3/3 = 3.333\times10^{-4}$ .

급수는 극한값만이 아니라 "얼마나 빨리 다가가는가"(다음 항)까지 알려 준다.

이 도구가 쓰이는 곳

테일러 전개는 "복잡한 것을 동작점 근처에서 다항식으로"라는 공학의 습관 그 자체입니다.

다이오드의 소신호 모델 다이오드 전류는

I = I_s\left(e^{V/V_T} - 1\right)

, 실온에서

V_T \approx 25.9

mV입니다. 동작점

V_0

에 작은 신호

v

를 얹으면

e^{(V_0 + v)/V_T} = e^{V_0/V_T}\left(1 + \frac{v}{V_T} + \frac12\frac{v^2}{V_T^2} + \cdots\right)

이므로, 1차 항만 남기면 전류 변화가

i \approx \frac{I_0}{V_T}v

, 즉 저항

r_d = V_T/I_0

처럼 행동합니다.

I_0 = 1

mA이면

r_d \approx 26

Ω. 2차 항과 1차 항의 비는

\frac{v}{2V_T}

이라, 신호가 5 mV면 약 10%의 2차 왜곡이 생깁니다. 증폭기 설계에서 "소신호"의 기준이

v \ll V_T

인 이유입니다.

11장 · 수열과 급수판정법과 오차 한계
비 판정이 수렴 반지름을, 교대 급수 오차가 계산의 보장을 준다. 6장 · 최적화와 근사선형 근사와 뉴턴 방법
T₁이 선형 근사, T₂가 뉴턴 방법의 수렴 속도와 2계 판정의 근거. 13장 · 편미분다변수 테일러 전개
접평면은 다변수 T₁, 헤세 행렬은 다변수 T₂의 계수다. MATHBOOK복소수와 회전
오일러 공식 e^iθ로 회전·교류·페이저를 다룬다. MATHBOOK미분방정식의 수치 해법
오일러·룽게–쿠타 방법의 오차 차수는 해의 테일러 전개를 몇 차까지 맞추는가로 정해진다. MATHBOOK수치 계산과 반올림
큰 항끼리의 상쇄, 범위 축소, 유한 차분의 오차를 테일러 전개로 분석한다. 확률과 통계정규 분포
e^−x²/2의 적분, 오차 함수, 정규 분포표. LINEARBOOK행렬 지수 e^At
e^x의 급수에 행렬을 넣은 I + At + (At)²/2! + ⋯가 연립 미분방정식의 해다.

핵심 정리

거듭제곱 급수 $\sum c_n(x-a)^n$ 은 $|x - a| \lt R$ 에서 절대 수렴하고 밖에서 발산한다. $R = 1/\lim|c_{n+1}/c_n|$ (비 판정), 끝점은 11장의 판정법으로 따로 확인한다.
수렴 반지름은 중심에서 가장 가까운 복소 특이점까지의 거리다. 1/(1 + x²)이 실수에서 매끄러워도 R = 1인 이유는 ±i다.
반지름 안에서 항별 미분·적분이 된다(반지름 불변). 기하 급수에서 ln(1 + x), arctan x, Σnxⁿ = x/(1 − x)²이 나온다.
테일러 계수는 $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ 로 유일하다. $T_n$ 은 a에서 n계 도함수까지 f와 일치한다. 급수가 수렴해도 f와 같다는 보장은 없다( $e^{-1/x^2}$ ).
라그랑주 나머지 $R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ , 테일러 부등식 $|R_n| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ . 이것으로 eˣ, sin, cos이 모든 x에서 급수와 같음이 증명되고, 필요한 차수를 미리 정한다.
기본 급수(eˣ, sin, cos, ln(1 + x), arctan, (1 + x)ᵏ)에 대입·곱·미분·적분을 하면 대부분의 전개가 나온다. 이항 급수는 k가 자연수가 아니면 무한히 이어지고 R = 1이다.
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . 응용: 소각 근사와 진자 주기 보정, 상대론의 ½mv², 계산기의 범위 축소 + 다항식, erf처럼 부정적분이 없는 함수의 계산, 급수로 푸는 0/0 극한.

확인 퀴즈

Q1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n\,x^n}{3^n}$ 의 수렴 반지름은?

\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \frac{n+1}{3n} \to \frac13

이므로

R = 3

. 계수의

n

은 반지름에 영향을 주지 않는다(

\sqrt[n]{n} \to 1

). 끝점

x = \pm3

에서는 항

n(\pm1)^n

이 0으로 가지 않아 둘 다 발산한다.

Q2. $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ 의 수렴 구간은?

반지름은 1이다.

x = 1

이면 조화 급수라 발산,

x = -1

이면 교대 조화 급수라 수렴한다. 이 급수의 합은

-\ln(1-x)

이고,

x = -1

에서

-\ln 2

다.

Q3. $\cos(2x)$ 의 매클로린 급수에서 $x^4$ 의 계수는?

\cos u = 1 - \frac{u^2}{2} + \frac{u^4}{24} - \cdots

에

u = 2x

를 넣으면

x^4

항은

\frac{16x^4}{24} = \frac23x^4

. 대입으로 얻은 급수도 계수의 유일성에 따라 테일러 급수다. 검산:

f^{(4)}(0) = 16\cos 0 = 16

16/4! = 2/3

Q4. $\lim_{x\to0}\frac{x - \sin x}{x^3}$ 은?

x - \sin x = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots

이므로

x^3

으로 나누면

\frac16

로 간다. 예제 12.9의 극한과 부호가 반대다.

Q5. $\frac{1}{1+x^2}$ 을 $a = 2$ 에서 테일러 전개할 때 수렴 반지름은?

특이점은

\pm i

이고

2

에서

i

까지의 거리는

|2 - i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5 \approx 2.236

. 실수축에서는 구간

(2 - \sqrt5, 2 + \sqrt5)

에서 수렴한다. 실수 위에서 매끄럽다는 것은 반지름을 정하지 않는다.

Q6. $\sin 0.5 \approx 0.5 - \frac{0.5^3}{6}$ 의 오차에 대해 테일러 부등식이 주는 가장 좋은 상한은?

sin의 4차 계수가 0이라

T_3 = T_4

이고,

n = 4

의 부등식(

M = 1

)으로

|R_4| \le \frac{0.5^5}{5!} = 2.6\times10^{-4}

. 실제 오차는

2.59\times10^{-4}

다.

0.5^7/7!

은

T_5

를 쓸 때의 상한이다.

Q7. $e^{i\pi/2}$ 의 값은?

오일러 공식으로

\cos\frac\pi2 + i\sin\frac\pi2 = 0 + i = i

. 단위원에서 90° 돌아간 점이다.

\frac{1+i}{\sqrt2}

는

e^{i\pi/4}

다.

Q8. 진폭 $\theta_0 = 0.2$ rad인 진자의 주기는 소각 근사 $T_0$ 보다 대략 몇 % 긴가?

첫 보정항

\frac{\theta_0^2}{16} = \frac{0.04}{16} = 0.0025

, 즉 0.25%. 다음 항

\frac{11\theta_0^4}{3072} \approx 5.7\times10^{-6}

은 무시할 만하다. 하루(86400 s) 동안 이 차이가 쌓이면 약 216초(3.6분)가 된다.