Chapter 11

수열과 급수

계산기가 sin 0.3을 내놓을 때, 신호 처리 필터가 지난 입력의 메아리를 끝없이 더할 때, 은행이 매년 받을 돈의 현재 가치를 셈할 때, 모두 무한히 많은 수를 더하는 일을 합니다. 항이 무한히 많은데 합이 유한할 수 있을까요? 항이 0으로 줄어들기만 하면 될까요? 이 장은 "무한 번 더한다"를 부분합의 극한으로 정확히 정의하고, 계산하지 않고도 수렴과 발산을 가려내는 판정법을 하나씩 세웁니다. 더 나아가 "몇 항에서 멈추면 오차가 얼마 이하"라는 보장을 얻는 법을 배웁니다. 다음 장의 테일러 급수는 이 도구 위에 서 있습니다.

이 수식이 없었다면무한 번 더한 값을 믿을 수 있을까

1650년 이탈리아의 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli)는 제곱수의 역수 합 1+14+19+116+⋯1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \tfrac1{16} + \cdots이 얼마인지 물었습니다. 이 합이 유한하다는 것은 쉽게 보였지만 값은 수십 년 동안 아무도 구하지 못했고, 베르누이 형제가 살던 도시의 이름을 따 바젤 문제로 불렸습니다. 1730년대 중반 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 그 값이 π2/6\pi^2/6임을 보였습니다. 그보다 훨씬 앞선 14세기에 프랑스의 니콜 오렘(Nicole Oresme)은 반대로 1+12+13+⋯1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots이 한없이 커진다는 것을 항을 묶는 간단한 논증으로 보였습니다.

두 급수는 겉보기에 거의 같습니다. 둘 다 항이 0으로 줄어듭니다. 그런데 하나는 1.6449…에서 멈추고 다른 하나는 끝없이 자랍니다. 이 차이를 가려내는 일은 오늘날 수치 계산의 기본입니다. 계산기·제어기·시뮬레이터 안의 수많은 반복 계산은 "이 합은 수렴하고, 여기서 멈추면 오차는 이만큼 이하"라는 판정 위에서 돌아갑니다.

무한히 많은 항→부분합의 극한→판정법과 오차 한계→유한한 계산으로 보장된 정밀도

수열의 극한: 결국 어디로 가는가

반복 계산은 언제 멈춰도 되나

제곱근을 구하는 고대 바빌로니아의 방법은 xn+1=12(xn+2xn)x_{n+1} = \tfrac12\left(x_n + \tfrac{2}{x_n}\right)을 되풀이합니다. x1=1x_1 = 1에서 시작하면 1.5, 1.41667, 1.414216, 1.4142136, …으로 2\sqrt2에 다가갑니다. 컴퓨터가 이런 반복을 "이제 충분하다"고 멈추려면 "다가간다"를 숫자로 말할 수 있어야 합니다.

숫자를 차례로 늘어놓은 것 a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots을 수열(sequence)이라 하고 {an}\{a_n\}으로 씁니다. 수학적으로는 자연수 nn마다 실수 ana_n을 하나씩 대응시키는 함수입니다. 1장에서 함수의 극한을 "공차 계약"으로 정의했듯이, 수열의 극한도 같은 계약으로 정의합니다. 차이는 x→ax \to a 대신 n→∞n \to \infty라는 점뿐입니다.

정의 11.1 (수열의 극한) 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 어떤 자연수 NN이 있어서
n>N  ⟹  ∣an−L∣<εn > N \;\Longrightarrow\; |a_n - L| \lt \varepsilon
이 성립하면 수열 {an}\{a_n\}이 LL로 수렴(converge)한다고 하고 lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L로 쓴다. 수렴하지 않는 수열은 발산(diverge)한다고 한다. 특히 모든 MM에 대해 n>N⇒an>Mn > N \Rightarrow a_n > M인 NN이 있으면 an→∞a_n \to \infty로 쓴다(이것도 발산의 한 종류다).

그림으로 읽으면 이렇습니다. LL을 중심으로 폭 2ε2\varepsilon인 띠를 긋습니다. 아무리 좁은 띠를 그어도 어떤 번호 이후의 항이 모두 띠 안에 들어와야 합니다. 앞쪽의 유한 개 항은 띠 밖에 있어도 상관없습니다. 극한은 수열의 "결국"만 봅니다.

N = 6 L L + εL − ε n = 1n = 22 n > N인 항은 모두 띠 안(진분홍)
그림 11-1. 수열 an = L + 1.6(−1)n+1/n과 폭 2ε = 0.5인 띠. 6번째 항까지는 띠 밖으로 튀어나가지만 7번째 항부터는 모두 띠 안에 있으므로 이 ε에는 N = 6이면 된다. ε를 줄이면 N이 커진다. 정의는 "모든 ε에 대해 그런 N이 있다"는 약속이다.
예제 11.1 (ε를 주면 N을 고르기) an=2n+1n+3a_n = \dfrac{2n+1}{n+3}이 2로 수렴함을 정의로 보이고, ε=0.01\varepsilon = 0.01일 때 필요한 NN을 구하라.
  1. 거리 계산: ∣an−2∣=∣2n+1−2n−6n+3∣=5n+3|a_n - 2| = \left|\dfrac{2n+1 - 2n - 6}{n+3}\right| = \dfrac{5}{n+3}.
  2. 조건 풀기: 5n+3<ε  ⟺  n>5ε−3\dfrac{5}{n+3} \lt \varepsilon \iff n > \dfrac5\varepsilon - 3. 그러므로 NN을 5ε−3\dfrac5\varepsilon - 3 이상의 자연수로 잡으면 n>Nn > N일 때 늘 ∣an−2∣<ε|a_n - 2| \lt \varepsilon이다. 어떤 ε>0\varepsilon > 0에도 이런 NN이 있으니 극한은 2다.
  3. 숫자: ε=0.01\varepsilon = 0.01이면 5/0.01−3=4975/0.01 - 3 = 497, 즉 N=497N = 497. 실제로 a497=995/500=1.99a_{497} = 995/500 = 1.99로 거리가 정확히 0.01이라 띠의 경계에 걸리고, a498a_{498}부터는 띠 안이다.

수열의 극한 계산은 함수의 극한 법칙을 거의 그대로 물려받습니다. 증명도 1장의 ε–δ 증명에서 δ를 N으로 바꾸면 됩니다.

정리 11.2 (수열의 극한 법칙) an→Aa_n \to A, bn→Bb_n \to B이면 an±bn→A±Ba_n \pm b_n \to A \pm B, can→cAca_n \to cA, anbn→ABa_nb_n \to AB, B≠0B \ne 0이면 an/bn→A/Ba_n/b_n \to A/B이다. 또
  • 함수와의 연결: f(x)→Lf(x) \to L (x→∞x \to \infty)이고 an=f(n)a_n = f(n)이면 an→La_n \to L. 그래서 ln⁡nn→0\frac{\ln n}{n} \to 0은 로피탈 정리(5장)로 ln⁡xx\frac{\ln x}{x}의 극한을 구해 얻는다.
  • 연속 함수: an→Aa_n \to A이고 gg가 AA에서 연속이면 g(an)→g(A)g(a_n) \to g(A).
  • 조임 정리: an≤cn≤bna_n \le c_n \le b_n이고 an,bn→La_n, b_n \to L이면 cn→Lc_n \to L. 예: ∣sin⁡nn∣≤1n\left|\frac{\sin n}{n}\right| \le \frac1n이므로 sin⁡nn→0\frac{\sin n}{n} \to 0.

자주 쓰는 극한 몇 가지를 기억해 두면 판정법을 쓸 때 편합니다. ∣r∣<1|r| \lt 1이면 rn→0r^n \to 0, r>1r > 1이면 rn→∞r^n \to \infty, r=−1r = -1이면 (−1)n(-1)^n은 ±1을 오가며 발산합니다. 또 n1/n→1n^{1/n} \to 1, (1+xn)n→ex\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x(2장), 그리고 모든 xx에 대해 xnn!→0\frac{x^n}{n!} \to 0입니다. 마지막 것은 계승이 어떤 거듭제곱보다도 빨리 자란다는 뜻이고, 다음 장의 테일러 급수가 모든 xx에서 수렴하는 이유입니다.

SIMULATOR

ε 띠 안으로: N은 얼마인가

후보 극한 L—
필요한 N—
|aN − L|—
해볼 것: ① (2n + 1)/(n + 3)에서 ε = 0.01을 골라 예제 11.1의 N = 497을 확인하세요. ε를 10배 줄이면 N도 약 10배 커집니다. ② (1 + 1/n)n은 아래에서 올라오기만 하고, (−1)n·3/n은 위아래로 오가며 다가갑니다. 둘 다 수렴입니다. ③ (−1)n은 어떤 L을 골라도 ε < 1인 띠에 들어가지 않습니다. 모델: N은 n = 20000까지 직접 검사해 마지막으로 띠 밖에 있는 번호로 정합니다(이 수열들은 그 뒤로 더 나가지 않음이 해석적으로 보장됩니다).

단조 수렴 정리: 극한값을 몰라도 수렴을 안다

답을 모르는데 수렴을 어떻게 증명하나

정의 11.1은 극한값 LL을 먼저 알아야 쓸 수 있습니다. 하지만 an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}처럼 점화식으로 주어진 수열이나 (1+1n)n\left(1 + \frac1n\right)^n처럼 극한이 새로운 수(e)인 경우에는 LL을 미리 알 수 없습니다. 극한값을 모른 채 "수렴한다"는 것만 먼저 보일 방법이 필요합니다.

답은 실수의 성질에 있습니다. 수열이 계속 커지기만 하는데 넘을 수 없는 천장이 있다면, 수열은 어딘가에 쌓일 수밖에 없습니다. 유리수만 있는 세계에서는 이것이 거짓입니다(1,1.4,1.41,1.414,…1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots는 유리수 안에 극한이 없습니다). 실수는 이런 "구멍"이 없도록 만든 수 체계이고, 그 성질을 완비성이라 부릅니다.

정리 11.3 (단조 수렴 정리) 모든 nn에서 an≤an+1a_n \le a_{n+1}이면 수열을 증가, an≥an+1a_n \ge a_{n+1}이면 감소한다고 하고, 둘 중 하나면 단조 수열(monotonic sequence)이라 한다. 모든 nn에서 ∣an∣≤M|a_n| \le M인 MM이 있으면 유계 수열(bounded sequence)이라 한다.
유계이고 단조인 수열은 수렴한다.\text{유계이고 단조인 수열은 수렴한다.}

증명. 증가하고 위로 유계인 경우만 보이면 된다(감소는 −an-a_n을 보면 된다). 실수의 완비성에 따라 집합 {an}\{a_n\}에는 최소 상계 L=sup⁡anL = \sup a_n이 있다. ε>0\varepsilon > 0을 주면 L−εL - \varepsilon은 상계가 아니므로 aN>L−εa_N > L - \varepsilon인 NN이 있다. 수열이 증가하므로 n>Nn > N이면 L−ε<aN≤an≤LL - \varepsilon \lt a_N \le a_n \le L, 즉 ∣an−L∣<ε|a_n - L| \lt \varepsilon. ∎

이 정리의 쓸모는 두 성질을 따로따로 보이면 된다는 데 있습니다. 보통 귀납법으로 유계성을, 차이 an+1−ana_{n+1} - a_n의 부호로 단조성을 보이고, 수렴이 확보된 다음에 점화식에 극한을 넣어 값을 구합니다.

예제 11.2 (점화식으로 주어진 수열) a1=2a_1 = \sqrt2, an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}이 수렴함을 보이고 극한을 구하라.
  1. 유계: an<2a_n \lt 2임을 귀납법으로 보인다. a1=2<2a_1 = \sqrt2 \lt 2이고, an<2a_n \lt 2이면 an+1=2+an<4=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \lt \sqrt4 = 2. 또 모든 항이 양수다.
  2. 증가: an+12−an2=2+an−an2=(2−an)(1+an)>0a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = (2 - a_n)(1 + a_n) > 0이고 두 항이 모두 양수이므로 an+1>ana_{n+1} > a_n.
  3. 수렴: 단조 수렴 정리에 따라 극한 LL이 있다. 점화식 양변에 극한을 취하면(√는 연속) L=2+LL = \sqrt{2 + L}, 즉 L2−L−2=(L−2)(L+1)=0L^2 - L - 2 = (L-2)(L+1) = 0. 모든 항이 양수이므로 L=2L = 2.
  4. 수치 확인: 1.41421, 1.84776, 1.96157, 1.99037, 1.99759, 1.99940, …. 2와의 거리가 매번 약 1/4로 줄어든다.
수렴을 먼저 확인할 것 수렴을 확인하지 않고 극한을 대입하면 엉뚱한 답이 나옵니다. a1=1a_1 = 1, an+1=2ana_{n+1} = 2a_n에 L=2LL = 2L을 넣으면 L=0L = 0이지만 수열은 1, 2, 4, 8, …로 발산합니다. "극한이 있다면 그 값은 이것뿐"이라는 정보만 줄 뿐입니다.

점화식 an+1=g(an)a_{n+1} = g(a_n)은 거미줄 그림(cobweb plot)으로 보면 한눈에 들어옵니다. 점 (an,an)(a_n, a_n)에서 세로로 곡선 y=g(x)y = g(x)까지 올라가면 높이가 an+1a_{n+1}이고, 가로로 직선 y=xy = x까지 가면 다음 출발점 (an+1,an+1)(a_{n+1}, a_{n+1})입니다. 극한 후보는 y=g(x)y = g(x)와 y=xy = x가 만나는 고정점이고, 고정점에서의 기울기 ∣g′(L)∣<1|g'(L)| \lt 1이면 근처의 거미줄이 안으로 감겨 듭니다.

SIMULATOR

거미줄 그림: 점화식 an+1 = g(an) 한 단계씩

시작점 a₁을 가로축에서 끌어 보세요
an vs n
n—
an—
고정점 L, |g′(L)|—
지금까지의 모양—
해볼 것: ① √(2 + x)에서 a₁을 0과 4 사이 여기저기에 두고 계단이 늘 고정점 2로 올라가거나 내려오는지 보세요. 2보다 위에서 시작하면 감소하고 아래로 유계라 역시 수렴합니다. ② 바빌로니아 방법은 몇 단계 만에 √2에 붙습니다. 고정점에서 g′(√2) = 0이라 오차가 매번 제곱으로 줄어듭니다(6장 뉴턴 방법과 같은 식). ③ cos x와 2.8x(1 − x)는 고정점 주위를 감아 돌며 수렴합니다. 단조는 아니지만 홀수 번째와 짝수 번째 항이 각각 단조입니다. 3.3x(1 − x)는 |g′(L)| > 1이라 두 값 사이를 영원히 오갑니다. 모델: 실수 반복, 화면 밖으로 나가면 멈춥니다.

같은 정리로 (1+1n)n\left(1 + \frac1n\right)^n이 증가하고 3보다 작다는 것(이항 정리로 보일 수 있습니다)에서 그 극한 ee의 존재가 보장됩니다. n=1,2,10,100,1000n = 1, 2, 10, 100, 1000일 때 값은 2, 2.25, 2.5937, 2.7048, 2.7169로, 아주 느리게 e=2.71828…e = 2.71828\ldots로 올라갑니다.

급수와 부분합, 기하 급수

약을 6시간마다 먹으면 몸속 양은 끝없이 늘어날까

반감기가 6시간인 약 100 mg을 6시간마다 먹는다고 합시다. 복용 직후 몸속 양은 100, 150, 175, 187.5, …로 늘어납니다. 매번 더해지므로 한없이 쌓일 것 같지만, 동시에 이전 양이 절반씩 빠져나갑니다. 오래 먹으면 복용 직후 양은 어디로 갈까요?

MathBook의 "무한을 길들이기" 제논 절에서 본 것처럼, 무한히 많은 수의 합은 "끝까지 더한 결과"가 아니라 "앞에서부터 더한 결과의 극한"으로 정의합니다. 이 절은 그 정의를 정리로 다지고, 공학에서 가장 자주 만나는 급수 둘을 계산합니다.

정의 11.4 (급수의 수렴) 수열 {an}\{a_n\}에 대해 Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n을 nn번째 부분합(partial sum)이라 한다. 부분합 수열 {Sn}\{S_n\}이 SS로 수렴하면 급수(series) ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n이 수렴한다고 하고 SS를 그 합이라 쓴다.
∑n=1∞an=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nak.\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} a_k.
{Sn}\{S_n\}이 발산하면 급수가 발산한다고 한다.

이 정의에서 바로 따라 나오는 성질이 있습니다. 수렴하는 두 급수의 합·상수배는 항별로 더하고 곱하면 됩니다(∑(an+bn)=∑an+∑bn\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n). 또 앞의 유한 개 항을 바꾸거나 빼도 수렴 여부는 바뀌지 않습니다(합의 값만 바뀝니다). 그래서 수렴을 판정할 때는 n=1n = 1부터인지 n=5n = 5부터인지 신경 쓰지 않아도 됩니다.

정리 11.5 (기하 급수) a≠0a \ne 0일 때 기하 급수(geometric series)
∑n=0∞arn=a+ar+ar2+⋯=a1−r(∣r∣<1)\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1 - r} \qquad (|r| \lt 1)
이고 ∣r∣≥1|r| \ge 1이면 발산한다. 공비 rr이 1보다 작은지가 전부를 정한다.

증명. Sn=a+ar+⋯+arn−1S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1}에서 rSnrS_n을 빼면 가운데 항이 모두 지워져 (1−r)Sn=a(1−rn)(1 - r)S_n = a(1 - r^n). r≠1r \ne 1이면 Sn=a 1−rn1−rS_n = a\,\frac{1 - r^n}{1 - r}. ∣r∣<1|r| \lt 1이면 rn→0r^n \to 0이라 Sn→a1−rS_n \to \frac{a}{1-r}. ∣r∣>1|r| > 1이면 ∣rn∣→∞|r^n| \to \infty, r=−1r = -1이면 SnS_n이 a,0,a,0,…a, 0, a, 0, \dots을 오가고, r=1r = 1이면 Sn=naS_n = na라 모두 발산한다. ∎

공식보다 중요한 것은 남은 꼬리입니다. nn항에서 멈췄을 때의 오차는 S−Sn=arn1−rS - S_n = \frac{ar^n}{1-r}로 정확히 알려져 있습니다. r=0.9r = 0.9이면 오차를 1/1000로 줄이는 데 약 66항이 필요하고, r=0.1r = 0.1이면 3항이면 됩니다. 수렴하느냐만큼 얼마나 빨리 수렴하느냐가 공학에서는 중요합니다.

예제 11.3 (반복 소수와 튀는 공)
  1. 0.27‾=0.272727…=27100+271002+⋯0.\overline{27} = 0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{100^2} + \cdots는 a=0.27a = 0.27, r=0.01r = 0.01인 기하 급수이므로 0.270.99=2799=311\frac{0.27}{0.99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}. 같은 계산으로 0.9‾=0.90.9=10.\overline{9} = \frac{0.9}{0.9} = 1이다. 0.999…와 1은 같은 수를 두 가지로 적은 것이다.
  2. 2 m 높이에서 떨어뜨린 공이 매번 직전 높이의 60%까지 튀어 오른다. 공이 움직이는 총 거리는 처음 낙하 2 m에, 높이 2(0.6)k2(0.6)^k까지 올라갔다 내려오는 왕복 2⋅2(0.6)k2\cdot 2(0.6)^k (k=1,2,…k = 1, 2, \dots)을 더한 것이다. 2+4⋅0.61−0.6=2+6=82 + 4\cdot\frac{0.6}{1 - 0.6} = 2 + 6 = 8 m.
  3. 시간도 유한하다. 높이 hh에서 떨어지는 시간은 2h/g\sqrt{2h/g}라 0.6≈0.7746\sqrt{0.6} \approx 0.7746씩 줄어든다. g=9.8g = 9.8 m/s²이면 처음 낙하가 0.639 s이고 총 시간은 0.639(1+2(0.7746)1−0.7746)≈5.030.639\left(1 + \frac{2(0.7746)}{1 - 0.7746}\right) \approx 5.03 s. 공은 무한 번 튀지만 약 5초 만에 멈춘다.
예제 11.4 (약물의 정상 상태) 문제 상자의 약을 계속 먹을 때 nn번째 복용 직후 양은 100+100⋅12+⋯+100⋅(12)n−1100 + 100\cdot\frac12 + \cdots + 100\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}이다. 공비 1/2인 기하 급수의 부분합이므로 n→∞n \to \infty일 때 1001−1/2=200\frac{100}{1 - 1/2} = 200 mg으로 다가간다. 일반적으로 복용량 DD, 복용 간격 동안 남는 비율 rr이면 정상 상태 최고치는 D1−r\frac{D}{1-r}이다. 간격을 반감기의 절반(3시간)으로 줄이면 r=2−1/2≈0.707r = 2^{-1/2} \approx 0.707이라 최고치가 약 341 mg으로 커진다. 약의 복용 간격을 정할 때 실제로 쓰는 계산이다.

기하 급수 말고 정확한 합을 구할 수 있는 또 하나의 꼴은 항이 이웃끼리 지워지는 망원 급수(telescoping series)입니다. 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac{1}{n+1}이므로

Sn=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1  ⟶  1.S_n = \left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \cdots + \left(\tfrac1n - \tfrac1{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \;\longrightarrow\; 1.
같은 요령: ∑n=2∞1n2−1=∑n=2∞12(1n−1−1n+1)=12(1+12)=34\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2 - 1} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac12\left(\frac1{n-1} - \frac1{n+1}\right) = \frac12\left(1 + \frac12\right) = \frac34. 이번에는 한 칸 건너 지워지므로 앞의 두 항이 남는다. 부분 분수(9장)가 여기서도 쓰인다.
SIMULATOR

항과 부분합: 막대는 줄어드는데 합은 어디로

마지막 항 aₙ—
부분합 Sₙ—
합 S—
남은 꼬리 S − Sₙ—
항 aₙ부분합 Sₙ합 S (수렴할 때)
해볼 것: ① 기하 급수에서 r을 0.9, 0.5, −0.5로 바꾸며 꼬리 S − Sₙ이 arⁿ/(1 − r)과 같은지 확인하세요. r = −0.5이면 부분합이 위아래로 오가며 다가갑니다. ② r을 1 이상으로 밀면 부분합이 화면 밖으로 달아납니다. ③ Σ 1/n²과 Σ 1/n은 막대 모양이 비슷하지만 부분합 하나는 멈추고 하나는 계속 오릅니다. 다음 절의 주제입니다. 모델: 합 S는 알려진 정확한 값(π²/6, ln 2 등)을 씁니다.

기하 급수의 합 공식은 그림으로도 증명할 수 있습니다. 넓이 1인 정사각형에서 남은 부분의 비율 1−r1 - r만큼을 잘라 내는 일을 되풀이하면, kk번째 조각의 넓이는 (1−r)rk(1-r)r^{k}이고 nn조각을 잘라 낸 뒤 남은 넓이는 rnr^n입니다. 조각이 결국 정사각형 전체를 채우므로 (1−r)(1+r+r2+⋯ )=1(1-r)(1 + r + r^2 + \cdots) = 1입니다.

SIMULATOR

정사각형 쪼개기로 보는 기하 급수

쪼개는 방법
칠한 넓이—
남은 넓이—
읽어 낸 합—
해볼 것: ① r = 0.5로 두면 제논의 정사각형(1/2 + 1/4 + ⋯ = 1)이 됩니다. r = 0.8로 바꾸면 조각이 얇게 오래 이어집니다. 수렴이 느린 급수의 모습입니다. ② '네 칸 중 세 칸'은 매번 남은 정사각형을 넷으로 나눠 세 칸을 세 가지 색으로 칠합니다. 세 색은 대칭이라 넓이가 같고, 합치면 1이므로 각 색은 1/4 + 1/16 + ⋯ = 1/3입니다. 모델: 넓이 1인 정사각형, 조각은 가로·세로를 번갈아 자릅니다.

발산 판정과 조화 급수

항이 0으로 가면 충분한가

합이 유한하려면 더하는 항이 점점 작아져야 할 것 같습니다. 그렇다면 거꾸로, 항이 0으로 줄어들기만 하면 합은 유한할까요? MathBook의 블록 쌓기 오버행은 그렇지 않다는 놀라운 예를 보여 주었습니다. 이 절은 그 이유를 정확히 증명합니다.

정리 11.6 (발산 판정) ∑an\sum a_n이 수렴하면 an→0a_n \to 0이다. 따라서 대우로, lim⁡an≠0\lim a_n \ne 0이거나 극한이 없으면 ∑an\sum a_n은 발산한다. 이것을 발산 판정(divergence test, n-th term test)이라 한다.

증명. an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}이다. Sn→SS_n \to S이면 Sn−1→SS_{n-1} \to S이므로 an→S−S=0a_n \to S - S = 0. ∎

예: ∑n2n+1\sum \frac{n}{2n+1}은 항이 1/2로 가므로 발산합니다. ∑(−1)n\sum (-1)^n은 항의 극한이 없으므로 발산합니다. 이 판정은 발산만 알려 줄 수 있습니다. 항이 0으로 가는 급수에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다. 그 대표적인 예가 조화 급수(harmonic series)입니다.

정리 11.7 (조화 급수의 발산) ∑n=1∞1n=1+12+13+⋯\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1n = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots은 발산한다. 더 정확히 Hn=∑k=1n1kH_n = \sum_{k=1}^n \frac1k에 대해 H2m≥1+m2H_{2^m} \ge 1 + \frac m2이다.

증명 (오렘의 묶기). 항을 1개, 1개, 2개, 4개, 8개, …씩 묶는다. 13+14≥14+14=12\frac13 + \frac14 \ge \frac14 + \frac14 = \frac12, 15+⋯+18≥4⋅18=12\frac15 + \cdots + \frac18 \ge 4\cdot\frac18 = \frac12처럼 2j−1+12^{j-1} + 1번째부터 2j2^j번째까지의 2j−12^{j-1}개 항은 각각 12j\frac{1}{2^j} 이상이므로 합이 12\frac12 이상이다. 2m2^m번째 항까지는 이런 묶음이 mm개 있으므로 H2m≥1+m2→∞H_{2^m} \ge 1 + \frac m2 \to \infty. 부분합이 증가하므로 전체 수열도 발산한다. ∎

11/2 ≥ 1/2 ≥ 1/2 ≥ 1/2 1/3 + 1/41/5 + ⋯ + 1/8 (4개)1/9 + ⋯ + 1/16 (8개) 점선: 묶음 안의 가장 작은 항으로 모두 바꾼 높이. 묶음마다 합 ≥ 1/2, 묶음은 끝없이 이어진다
그림 11-2. 오렘의 묶기. 항 1/k의 막대를 1, 1, 2, 4, 8, …개씩 색으로 묶었다. 각 묶음의 막대를 그 묶음에서 가장 낮은 높이(점선)로 깎아도 묶음의 합은 정확히 1/2이다. 1/2을 무한 번 더하면 무한대이므로 원래 합도 무한대다.

오렘의 부등식은 조화 급수가 얼마나 느리게 자라는지도 알려 줍니다. 부분합을 1 늘리려면 항의 개수를 대략 e≈2.7e \approx 2.7배 늘려야 합니다. 다음 절의 적분 판정으로 보면 HnH_n은 ln⁡n\ln n과 거의 같고, 그 차이는 상수로 수렴합니다.

lim⁡n→∞(Hn−ln⁡n)=γ=0.5772156649…\lim_{n\to\infty}\left(H_n - \ln n\right) = \gamma = 0.5772156649\ldots
γ\gamma는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant). 예: H1000=7.48547…H_{1000} = 7.48547\ldots, ln⁡1000+γ=7.48497…\ln 1000 + \gamma = 7.48497\ldots. 차이는 대략 12n\frac{1}{2n}이다. HnH_n이 10을 넘는 첫 nn은 12367이다. γ\gamma가 유리수인지는 아직 아무도 모른다.
SIMULATOR

조화 급수 vs 적분: 계단과 곡선 사이의 틈

직사각형 넓이 1/k 와 곡선 y = 1/x
Hₙ, ln n, ln n + γ (가로축 로그)
Hₙ (큰 n)—
ln n—
Hₙ − ln n—
Hₙ > M 인 첫 n—
해볼 것: ① 위 그림에서 [k, k + 1] 위의 직사각형(높이 1/k)이 늘 곡선 위로 튀어나오는 것을 보세요. 그래서 Hₙ ≥ ∫₁ⁿ⁺¹ dx/x = ln(n + 1) → ∞입니다. ② 튀어나온 진분홍 조각들을 모두 왼쪽으로 밀면 높이 1, 폭 1인 칸 안에 겹치지 않고 들어갑니다. 그 합이 γ입니다. ③ 목표 M을 20으로 올리면 필요한 항이 약 2.7억 개입니다. 컴퓨터로도 더해서 확인하기 힘든 크기입니다. 모델: n ≤ 10⁵은 직접 더하고, 그보다 크면 Hₙ ≈ ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²)을 씁니다(오차 10⁻²⁰ 이하).

적분 판정과 p-급수

바젤 문제의 합을 소수 셋째 자리까지 믿으려면

∑1/n2\sum 1/n^2을 10항까지 더하면 1.5498입니다. 정답 π2/6=1.6449\pi^2/6 = 1.6449과 0.1이나 차이 납니다. 오일러의 답을 모른다고 할 때, 10항의 합만 보고 진짜 합이 어느 범위에 있는지 말할 수 있을까요? 몇 항을 더해야 소수 넷째 자리가 맞을까요?

양의 항 an=f(n)a_n = f(n)을 높이로 하는 폭 1의 직사각형을 세우면, 급수는 직사각형 넓이의 합이고 ∫f\int f는 곡선 아래 넓이입니다. ff가 감소하면 두 넓이가 서로를 위아래에서 조입니다. 7–9장의 도구로 적분은 계산할 수 있으니, 급수의 운명을 적분에 물어볼 수 있습니다. 이상 적분은 9장에서 다뤘습니다.

1234567 y = f(x) = 1/x² 점선: 높이 f(n), [n, n+1] 위 → 넓이 합 a₁ + ⋯ + aₙ ≥ ∫₁ⁿ⁺¹ f 칠한 칸: 높이 f(n+1), [n, n+1] 위 → 넓이 합 a₂ + ⋯ + aₙ ≤ ∫₁ⁿ f
그림 11-3. 감소하는 f에서 왼쪽 끝 높이 직사각형(점선)은 곡선 위로, 오른쪽 끝 높이 직사각형(칠한 칸)은 곡선 아래로 들어간다. 그래서 급수의 부분합은 적분으로 위아래가 막힌다. 적분이 유한하면 칠한 칸의 합도 유한하고, 적분이 무한하면 점선 칸의 합도 무한하다.
정리 11.8 (적분 판정) ff가 [1,∞)[1, \infty)에서 연속이고 양수이며 감소하고 an=f(n)a_n = f(n)이면,
∑n=1∞an 수렴  ⟺  ∫1∞f(x) dx 수렴.\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 수렴} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ 수렴}.
이것을 적분 판정(integral test)이라 한다. (조건은 어떤 x≥cx \ge c부터만 성립해도 된다.)

증명. ff가 감소하므로 k≤x≤k+1k \le x \le k+1에서 ak+1=f(k+1)≤f(x)≤f(k)=aka_{k+1} = f(k+1) \le f(x) \le f(k) = a_k. 이를 [k,k+1][k, k+1]에서 적분하고 kk에 대해 더하면(그림 11-3) ∑k=2nak≤∫1nf(x) dx≤∑k=1n−1ak.\sum_{k=2}^{n} a_k \le \int_1^n f(x)\,dx \le \sum_{k=1}^{n-1} a_k. 적분이 수렴하면 왼쪽 부등식에서 Sn≤a1+∫1∞fS_n \le a_1 + \int_1^\infty f로 위로 유계이고, 양항이라 SnS_n이 증가하므로 단조 수렴 정리로 수렴한다. 적분이 발산하면 오른쪽 부등식에서 Sn−1→∞S_{n-1} \to \infty. ∎

가장 중요한 응용은 거듭제곱 꼴의 급수입니다. 이 급수들은 이후의 비교 판정에서 "잣대"로 쓰입니다.

정리 11.9 (p-급수) p-급수(p-series) ∑n=1∞1np\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}은 p>1p > 1이면 수렴하고 p≤1p \le 1이면 발산한다.

증명. p≤0p \le 0이면 항이 0으로 가지 않아 발산한다. p>0p > 0이면 f(x)=x−pf(x) = x^{-p}은 양수이고 감소한다. ∫1∞x−pdx\int_1^\infty x^{-p}dx는 p>1p > 1이면 1p−1\frac{1}{p-1}로 수렴하고, p≤1p \le 1이면 발산한다(9장의 p-적분). 적분 판정을 적용한다. ∎

적분 판정은 수렴 여부만이 아니라 꼬리의 크기도 줍니다. NN항까지 더하고 멈췄을 때의 나머지 RN=S−SN=aN+1+aN+2+⋯R_N = S - S_N = a_{N+1} + a_{N+2} + \cdots도 같은 그림으로 적분 사이에 끼웁니다.

정리 11.10 (나머지 추정) 정리 11.8의 조건에서 급수가 수렴하면
∫N+1∞f(x) dx  ≤  RN  ≤  ∫N∞f(x) dx,즉SN+∫N+1∞f≤S≤SN+∫N∞f.\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \;\le\; R_N \;\le\; \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx, \qquad\text{즉}\qquad S_N + \int_{N+1}^\infty f \le S \le S_N + \int_N^\infty f.
예제 11.5 (바젤 합의 범위) ∑1/n2\sum 1/n^2을 10항까지 더한 값으로 진짜 합의 범위를 구하라. 오차 10−410^{-4} 이하를 보장하려면 몇 항이 필요한가?
  1. 부분합: S10=1+14+⋯+1100=1.549768S_{10} = 1 + \frac14 + \cdots + \frac1{100} = 1.549768.
  2. 꼬리: ∫N∞x−2dx=1N\int_N^\infty x^{-2}dx = \frac1N이므로 111≤R10≤110\frac1{11} \le R_{10} \le \frac1{10}.
  3. 범위: 1.549768+0.090909=1.640677≤S≤1.6497681.549768 + 0.090909 = 1.640677 \le S \le 1.649768. 진짜 값 π2/6=1.644934\pi^2/6 = 1.644934가 그 안에 있다. 10항만으로 소수 둘째 자리(1.64)가 확정된다.
  4. 항 수: SNS_N만 쓰면 오차가 최대 1N\frac1N이므로 N=104N = 10^4항이 필요하다. 대신 범위의 가운데 SN+12(1N+1N+1)S_N + \frac12\left(\frac1N + \frac1{N+1}\right)을 답으로 쓰면 오차가 범위 폭의 절반 12N(N+1)\frac{1}{2N(N+1)} 이하라 N(N+1)≥5000N(N+1) \ge 5000, 즉 N=71N = 71이면 충분하다. 꼬리를 추정해 보태는 것이 항을 더 더하는 것보다 훨씬 싸다.

적분 판정은 p-급수 경계 바로 근처의 미묘한 급수도 가려 줍니다. ∑n≥21nln⁡n\sum_{n\ge2} \frac{1}{n\ln n}은 ∫2∞dxxln⁡x=[ln⁡ln⁡x]2∞=∞\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = [\ln\ln x]_2^\infty = \infty라 발산합니다. 하지만 백만 항까지 더해도 3.42에 불과합니다. 반면 ∑n≥21n(ln⁡n)2\sum_{n\ge2}\frac{1}{n(\ln n)^2}은 ∫2∞dxx(ln⁡x)2=1ln⁡2\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln 2}이라 수렴합니다. 수치로 부분합을 보는 것만으로는 이 둘을 구분할 수 없습니다. 판정법이 필요한 이유입니다.

SIMULATOR

p-급수와 적분 꼬리: p = 1이 경계인 이유

직사각형 aₙ = 1/nᵖ 와 곡선 1/xᵖ
부분합 Sₙ과 적분 범위 (가로축 로그)
직사각형
SN—
∫1∞ x−p dx—
S의 범위 (정리 11.10)—
참값 S—
해볼 것: ① p = 2에서 N을 키우며 범위가 참값 π²/6을 조여 들어가는 것을 보세요. ② p를 1.05까지 내리면 여전히 수렴하지만 합이 약 20.6으로 크고, 아래 그래프의 부분합은 10⁸항에서도 참값에 한참 못 미칩니다. ③ p = 1을 넘어 0.9로 가면 적분이 무한대가 되고 부분합도 끝없이 오릅니다. 모델: 참값은 오일러–매클로린 공식으로 계산한 ζ(p)이고, 큰 n의 부분합도 같은 공식으로 구합니다.

비교 판정과 극한 비교 판정

적분이 안 되는 항은 어떻게 판정하나

∑1n2+n+1\sum \frac{1}{n^2 + n + 1}, ∑12n−1\sum \frac{1}{2^n - 1}, ∑ln⁡nn3\sum \frac{\ln n}{n^3}, ∑sin⁡1n\sum \sin\frac1n처럼 항이 조금씩 복잡해지면 적분 판정의 적분을 계산하기 어렵거나 귀찮아집니다. 그런데 큰 nn에서 이 항들은 각각 1n2\frac1{n^2}, 12n\frac1{2^n}, 1n3\frac1{n^3}보다 조금 큰 무엇, 1n\frac1n과 거의 같습니다. "닮은 급수"의 운명을 빌려 올 수 있을까요?

정리 11.11 (비교 판정) 어떤 번호 이후 0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n이라 하자.
  • ∑bn\sum b_n이 수렴하면 ∑an\sum a_n도 수렴한다(큰 쪽이 유한하면 작은 쪽도 유한).
  • ∑an\sum a_n이 발산하면 ∑bn\sum b_n도 발산한다(작은 쪽이 무한하면 큰 쪽도 무한).
이것을 비교 판정(comparison test)이라 한다.

증명. 양항 급수의 부분합은 증가한다. ∑bn=B\sum b_n = B이면 ∑k≤nak≤∑k≤nbk≤B\sum_{k\le n} a_k \le \sum_{k\le n} b_k \le B이라 위로 유계이므로 단조 수렴 정리로 수렴한다. 둘째 문장은 첫째의 대우다. ∎

비교 판정은 부등식의 방향이 맞아야 합니다. 1n2+n+1≤1n2\frac{1}{n^2+n+1} \le \frac1{n^2}이고 ∑1n2\sum\frac1{n^2}이 수렴하므로 수렴. 하지만 12n−1\frac{1}{2^n - 1}은 12n\frac1{2^n}보다 크기 때문에 ∑12n\sum\frac1{2^n}과 바로 비교할 수 없습니다. 이럴 때 부등식을 찾느라 애쓰는 대신 두 항의 비를 봅니다.

정리 11.12 (극한 비교 판정) an,bn>0a_n, b_n > 0이고
lim⁡n→∞anbn=c,0<c<∞\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = c, \qquad 0 \lt c \lt \infty
이면 ∑an\sum a_n과 ∑bn\sum b_n은 함께 수렴하거나 함께 발산한다. 이것을 극한 비교 판정(limit comparison test)이라 한다. (c=0c = 0이면 ∑bn\sum b_n 수렴 ⇒ ∑an\sum a_n 수렴, c=∞c = \infty이면 ∑bn\sum b_n 발산 ⇒ ∑an\sum a_n 발산.)

증명. 극한이 cc이므로 어떤 NN 이후 c2<anbn<3c2\frac c2 \lt \frac{a_n}{b_n} \lt \frac{3c}{2}, 즉 c2bn<an<3c2bn\frac c2 b_n \lt a_n \lt \frac{3c}2 b_n. 오른쪽 부등식과 비교 판정으로 ∑bn\sum b_n 수렴 ⇒ ∑an\sum a_n 수렴, 왼쪽 부등식으로 ∑bn\sum b_n 발산 ⇒ ∑an\sum a_n 발산. ∎

극한 비교 판정의 요령은 항에서 가장 빨리 자라는 부분만 남기는 것입니다. 분자와 분모에서 최고차항만 남긴 bnb_n을 만들고, 그 급수가 p-급수나 기하 급수라면 판정이 끝납니다.

예제 11.6 (잣대 고르기) 다음 급수의 수렴 여부를 판정하라.
  1. ∑12n−1\sum \frac{1}{2^n - 1}: bn=12nb_n = \frac1{2^n}이면 anbn=2n2n−1→1\frac{a_n}{b_n} = \frac{2^n}{2^n - 1} \to 1. 기하 급수 ∑12n\sum\frac1{2^n}이 수렴하므로 수렴(합은 약 1.6067).
  2. ∑3n2+5n4−n+7\sum \frac{3n^2 + 5}{n^4 - n + 7}: 최고차항만 남기면 3n2n4=3n2\frac{3n^2}{n^4} = \frac3{n^2}. bn=1n2b_n = \frac1{n^2}로 두면 anbn=3n4+5n2n4−n+7→3\frac{a_n}{b_n} = \frac{3n^4 + 5n^2}{n^4 - n + 7} \to 3. p = 2이므로 수렴.
  3. ∑1n+1\sum \frac{1}{\sqrt{n} + 1}: bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt n}이면 비가 nn+1→1\frac{\sqrt n}{\sqrt n + 1} \to 1. p = 1/2이므로 발산.
  4. ∑sin⁡1n\sum \sin\frac1n: bn=1nb_n = \frac1n이면 sin⁡(1/n)1/n→1\frac{\sin(1/n)}{1/n} \to 1(2장의 sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1). 조화 급수와 함께 발산.
  5. ∑ln⁡nn2\sum \frac{\ln n}{n^2}: ln⁡n\ln n은 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 자라므로 bn=1n1.5b_n = \frac{1}{n^{1.5}}과 비교하면 anbn=ln⁡nn0.5→0\frac{a_n}{b_n} = \frac{\ln n}{n^{0.5}} \to 0. c=0c = 0인 경우이고 ∑bn\sum b_n이 수렴(p = 1.5)하므로 수렴. 로그는 지수를 11에서 조금 깎아 먹을 뿐이다.
성장 속도의 사다리 비교의 잣대를 고를 때는 5장에서 본 성장 순서를 씁니다. 큰 nn에서 ln⁡n≪np≪rn≪n!≪nn\ln n \ll n^{p} \ll r^n \ll n! \ll n^n (p>0p > 0, r>1r > 1). 분모에 사다리의 높은 단이 있을수록 수렴이 쉽습니다. n1001.01n\frac{n^{100}}{1.01^n}도 결국 기하 급수처럼 줄어 수렴합니다.

교대 급수, 절대 수렴과 조건 수렴

부호가 번갈아 바뀌면 무엇이 달라지나

조화 급수는 발산하지만 부호를 번갈아 붙인 1−12+13−14+⋯1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots은 어떨까요? 앞으로 한 걸음, 그보다 짧게 뒤로 한 걸음, 또 더 짧게 앞으로…를 반복하면 어딘가에 멈출 것 같습니다. 그런데 이 합은 항의 순서를 바꾸면 값이 달라지는 기묘한 성질도 가지고 있습니다.

항의 부호가 번갈아 바뀌는 급수 ∑(−1)n+1bn\sum (-1)^{n+1}b_n (bn>0b_n > 0)을 교대 급수(alternating series)라 합니다. 지금까지의 판정법은 모두 양항 급수용이었습니다. 교대 급수에는 항이 서로 상쇄된다는 새로운 무기가 있습니다.

정리 11.13 (교대 급수 판정, 라이프니츠 판정) bnb_n이 감소하고(bn+1≤bnb_{n+1} \le b_n) bn→0b_n \to 0이면 교대 급수 ∑n=1∞(−1)n+1bn=b1−b2+b3−⋯\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - \cdots은 수렴한다. 이것을 교대 급수 판정(alternating series test)이라 한다.

증명. 짝수 번째 부분합 S2m=(b1−b2)+(b3−b4)+⋯+(b2m−1−b2m)S_{2m} = (b_1 - b_2) + (b_3 - b_4) + \cdots + (b_{2m-1} - b_{2m})은 괄호가 모두 0 이상이라 증가한다. 또 S2m=b1−(b2−b3)−⋯−(b2m−2−b2m−1)−b2m≤b1S_{2m} = b_1 - (b_2 - b_3) - \cdots - (b_{2m-2} - b_{2m-1}) - b_{2m} \le b_1이라 위로 유계다. 단조 수렴 정리로 S2m→SS_{2m} \to S. 홀수 번째는 S2m+1=S2m+b2m+1→S+0=SS_{2m+1} = S_{2m} + b_{2m+1} \to S + 0 = S. 짝수와 홀수 부분합이 같은 값으로 가므로 Sn→SS_n \to S. ∎

증명에서 부분합이 SS를 사이에 두고 위아래로 번갈아 오간다는 것을 보았습니다. 그래서 오차가 바로 다음 항보다 작다는 강력한 보장이 따라옵니다.

정리 11.14 (교대 급수의 오차 한계) 정리 11.13의 조건에서
∣S−Sn∣≤bn+1,|S - S_n| \le b_{n+1},
그리고 S−SnS - S_n의 부호는 첫 번째로 버린 항 (−1)n+2bn+1(-1)^{n+2}b_{n+1}의 부호와 같다.

증명. S−Sn=(−1)n(bn+1−bn+2+bn+3−⋯ )S - S_n = (-1)^{n}\left(b_{n+1} - b_{n+2} + b_{n+3} - \cdots\right)이고, 괄호 안은 다시 감소하는 교대 급수다. 정리 11.13의 증명처럼 그 합은 0과 첫 항 bn+1b_{n+1} 사이에 있다. ∎

예제 11.7 (몇 항이면 충분한가)
  1. 교대 조화 급수의 합은 ln⁡2=0.693147\ln 2 = 0.693147이다(12장에서 증명한다). 10항의 합 S10=0.645635S_{10} = 0.645635의 오차 상한은 b11=111≈0.091b_{11} = \frac1{11} \approx 0.091이고 실제 오차는 0.0475다. 소수 여섯째 자리까지 맞추려면 1n+1<5×10−7\frac1{n+1} \lt 5\times10^{-7}, 약 200만 항이 필요하다. 수렴하지만 느리다.
  2. ∑n=0∞(−1)nn!=1e\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \frac1e(12장)을 10−610^{-6} 이내로 계산하려면 1(n+1)!<10−6\frac{1}{(n+1)!} \lt 10^{-6}이어야 한다. 9!=3628809! = 362880, 10!=362880010! = 3628800이므로 n+1=10n + 1 = 10, 즉 n=0n = 0부터 99까지 10항이면 된다. S9=0.3678792S_9 = 0.3678792이고 1/e=0.36787941/e = 0.3678794와의 차이는 2.5×10−72.5\times10^{-7}이다.
  3. 라이프니츠 급수 π=4(1−13+15−⋯ )\pi = 4\left(1 - \frac13 + \frac15 - \cdots\right)은 NN항의 오차가 42N+1\frac{4}{2N+1} 이하다. 1000항이면 오차가 약 0.001(실제로 3.1406)이고, 10−610^{-6}을 보장하려면 약 200만 항이 필요하다. 실제 π 계산에 이 급수를 쓰지 않는 이유다(12장의 마친 공식 참고).

교대 조화 급수는 수렴하지만 각 항에 절댓값을 씌우면 조화 급수가 되어 발산합니다. 반면 1−14+19−⋯1 - \frac14 + \frac19 - \cdots은 절댓값을 씌워도 수렴합니다. 이 두 종류는 근본적으로 다르게 행동합니다.

정의 11.15 (절대 수렴과 조건 수렴) ∑∣an∣\sum |a_n|이 수렴하면 ∑an\sum a_n이 절대 수렴(absolute convergence)한다고 한다. ∑an\sum a_n은 수렴하지만 ∑∣an∣\sum|a_n|이 발산하면 조건 수렴(conditional convergence)한다고 한다.
정리 11.16 (절대 수렴하면 수렴한다) ∑∣an∣\sum|a_n|이 수렴하면 ∑an\sum a_n도 수렴한다.

증명. 0≤an+∣an∣≤2∣an∣0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|이므로 비교 판정으로 ∑(an+∣an∣)\sum(a_n + |a_n|)이 수렴한다. 수렴하는 두 급수의 차 ∑an=∑(an+∣an∣)−∑∣an∣\sum a_n = \sum(a_n + |a_n|) - \sum|a_n|도 수렴한다. ∎

이 정리 덕분에 부호가 불규칙한 급수도 양항 판정법으로 다룰 수 있습니다. 예: ∣cos⁡nn2∣≤1n2\left|\frac{\cos n}{n^2}\right| \le \frac1{n^2}이므로 ∑cos⁡nn2\sum\frac{\cos n}{n^2}은 절대 수렴합니다. 하지만 조건 수렴은 위험합니다. 유한 개의 수는 순서를 바꿔 더해도 합이 같지만, 조건 수렴하는 급수는 그렇지 않습니다.

정리 11.17 (리만 재배열 정리, 요약) 절대 수렴하는 급수는 항의 순서를 어떻게 바꿔도 같은 합으로 수렴한다. 반대로 조건 수렴하는 급수는 항의 순서를 적절히 바꾸면 임의의 실수로 수렴하게 하거나 발산하게 할 수 있다.

아이디어. 조건 수렴하면 양의 항만의 합과 음의 항만의 합이 각각 +∞+\infty, −∞-\infty로 발산한다(둘 중 하나라도 유한하면 절대 수렴이 된다). 목표 TT를 넘을 때까지 양의 항을 쓰고, TT 아래로 내려갈 때까지 음의 항을 쓰는 일을 반복한다. 쓸 항은 결코 떨어지지 않고, 항이 0으로 가므로 TT를 넘나드는 폭이 0으로 줄어든다.

예를 들어 교대 조화 급수를 양수 하나, 음수 둘의 순서 1−12−14+13−16−18+⋯1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18 + \cdots로 재배열하면 합이 12ln⁡2\frac12\ln 2가 됩니다. 같은 항을 같은 개수만큼 쓰는데 합이 절반이 된 것입니다. 수치 계산 프로그램이 조건 수렴하는 합을 병렬로 나눠 더할 때 이 점을 조심해야 합니다.

SIMULATOR

교대 급수: 지그재그와 오차 띠, 그리고 재배열

Sₙ—
실제 오차 |S − Sₙ|—
보장 bₙ₊₁—
수렴의 종류—
해볼 것: ① 1/e 급수에서 n = 10 부근의 오차가 보장 bₙ₊₁보다 늘 작은지 확인하세요. 계승 때문에 몇 항 만에 그래프가 평평해집니다. ② ln 2와 π/4는 200항에서도 오차가 10⁻³ 근처입니다. 조건 수렴하는 급수는 대개 느립니다. ③ '재배열'에서 T를 2.5나 −1.5로 옮겨 보세요. 똑같은 항 1, −1/2, 1/3, …을 순서만 바꿔 써서 아무 값에나 다가갑니다. 모델: 재배열은 정리 11.17의 탐욕 규칙(합이 T 이하면 다음 양수, 아니면 다음 음수)을 씁니다.

비 판정과 근 판정

계승과 거듭제곱이 섞인 항

∑n22n\sum \frac{n^2}{2^n}, ∑n!nn\sum \frac{n!}{n^n}, ∑(2n)!(n!)25n\sum \frac{(2n)!}{(n!)^2 5^n}처럼 계승이나 nn제곱이 들어 있는 항은 적분할 수도 없고, 비교할 잣대를 찾기도 어렵습니다. 이런 항은 대부분 큰 nn에서 기하 급수처럼 행동합니다. 그 공비를 직접 재면 어떨까요?

기하 급수는 연속한 항의 비가 일정한 급수입니다. 일반 급수에서 연속한 항의 비 ∣an+1/an∣|a_{n+1}/a_n|이 어떤 값 LL로 간다면, 꼬리는 공비 LL인 기하 급수와 닮았을 것입니다.

정리 11.18 (비 판정) L=lim⁡n→∞∣an+1an∣\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|이 존재하거나 ∞\infty라 하자.
  • L<1L \lt 1이면 ∑an\sum a_n은 절대 수렴한다.
  • L>1L > 1 (또는 L=∞L = \infty)이면 발산한다.
  • L=1L = 1이면 이 판정으로는 알 수 없다.
이것을 비 판정(ratio test)이라 한다.

증명. L<1L \lt 1이면 L<r<1L \lt r \lt 1인 rr을 고른다. 어떤 NN 이후 ∣an+1∣≤r∣an∣|a_{n+1}| \le r|a_n|이므로 ∣aN+k∣≤∣aN∣rk|a_{N+k}| \le |a_N|r^k. 공비 rr인 기하 급수와 비교해 ∑∣an∣\sum|a_n|이 수렴한다. L>1L > 1이면 어떤 번호 이후 ∣an+1∣>∣an∣|a_{n+1}| > |a_n|이라 항이 0으로 가지 않으므로 발산 판정으로 발산한다. ∎

L=1L = 1이 판정 불가인 것은 p-급수를 보면 알 수 있습니다. 1n\frac1n과 1n2\frac1{n^2}은 둘 다 비가 1로 가지만 하나는 발산, 하나는 수렴합니다. 비 판정은 기하 급수만큼 빨리 줄어드는 항을 위한 도구이고, 거듭제곱처럼 느리게 줄어드는 항은 구분하지 못합니다.

정리 11.19 (근 판정) L=lim⁡n→∞∣an∣n\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}이 존재하거나 ∞\infty이면, 결론은 비 판정과 같다: L<1L \lt 1이면 절대 수렴, L>1L > 1이면 발산, L=1L = 1이면 알 수 없다. 이것을 근 판정(root test)이라 한다.

증명. L<r<1L \lt r \lt 1이면 어떤 번호 이후 ∣an∣≤rn|a_n| \le r^n이므로 기하 급수와 비교한다. L>1L > 1이면 어떤 번호 이후 ∣an∣>1|a_n| > 1이라 발산한다. ∎

예제 11.8 (비와 근)
  1. ∑n22n\sum\frac{n^2}{2^n}: an+1an=(n+1)22n2→12\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{2n^2} \to \frac12. 수렴. (합은 정확히 6이다. 12장에서 거듭제곱 급수를 미분해 구한다.)
  2. ∑n!nn\sum\frac{n!}{n^n}: an+1an=(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn!=(nn+1)n=1(1+1/n)n→1e<1\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{(1 + 1/n)^n} \to \frac1e \lt 1. 수렴(합 ≈ 1.8799). 계승이 nnn^n보다 느리게 자란다는 정량적 증거다.
  3. ∑(2n)!(n!)2(15)n\sum\frac{(2n)!}{(n!)^2}\left(\frac15\right)^n: an+1an=(2n+2)(2n+1)(n+1)2⋅15→45\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot\frac15 \to \frac45. 수렴. 공비를 15\frac15 대신 13\frac13으로 바꾸면 L=43L = \frac43이라 발산한다.
  4. ∑(n2n+1)n\sum\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n: 근 판정이 자연스럽다. ann=n2n+1→12\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12. 수렴.
  5. ∑3nn!\sum\frac{3^n}{n!}: an+1an=3n+1→0\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{n+1} \to 0. 수렴. 어떤 xx에서도 ∑xnn!\sum\frac{x^n}{n!}이 수렴한다는 뜻이고, 12장에서 그 합이 exe^x임을 본다.
비 판정은 다음 장의 주인공 거듭제곱 급수 ∑cnxn\sum c_nx^n에 비 판정을 쓰면 ∣cn+1cn∣∣x∣→L∣x∣\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right||x| \to L|x|이 되어 "∣x∣<1/L|x| \lt 1/L이면 수렴"이라는 수렴 반지름이 바로 나옵니다. 끝점 ∣x∣=1/L|x| = 1/L에서는 L=1L = 1인 경우가 되어 이 장의 다른 판정(p-급수, 교대 급수)이 필요합니다. 12장의 첫 절이 이 이야기입니다.

판정법 고르기

시험지 위의 급수 한 줄

판정법이 일곱 가지나 되면, 새 급수를 보았을 때 무엇부터 써야 할지 막막합니다. 모든 판정법을 차례로 시도할 수도 있지만, 항의 모양을 보면 대개 어떤 판정이 맞는지 바로 보입니다.

① aₙ → 0 인가? 아니오 발산 예 (아직 모름) ② 기하 급수나 p-급수, 망원 급수인가? |r| < 1, p > 1이면 수렴 아니오 ③ 항의 모양은? n의 유리식·근호 최고차항만 남겨1/nᵖ와 극한 비교(또는 비교) n!, rⁿ, nⁿ 기하처럼 줄어든다 비 판정 (통째로 n제곱이면근 판정) (−1)ⁿ bₙ 먼저 Σ|aₙ| 판정 안 되면 교대 판정 → 조건 수렴 f(n), f를 적분 가능 양수·감소 확인 적분 판정 예: 1/(n ln n)
그림 11-4. 판정법 고르기 순서. 발산 판정은 0.5초면 되니 늘 먼저 한다. 이름 있는 급수(기하·p·망원)인지 본 다음, 항의 모양으로 판정법을 고른다. 비 판정이 L = 1로 끝나면 p-급수 같은 거듭제곱 꼴이라는 신호이니 극한 비교로 돌아간다.
판정법쓰는 곳결론주의
발산 판정모든 급수, 맨 먼저aₙ ↛ 0이면 발산aₙ → 0이어도 아무 결론 없음
기하 급수Σ arⁿ|r| < 1이면 a/(1 − r)첫 항의 번호 확인
p-급수Σ 1/nᵖp > 1이면 수렴p = 1(조화)은 발산
적분 판정aₙ = f(n), f 양수·감소∫와 운명이 같다, 꼬리 추정합 ≠ 적분값
비교·극한 비교양항, 유리식·근호·로그잣대와 운명이 같다부등식 방향, 0 < c < ∞
교대 급수 판정(−1)ⁿbₙ, bₙ 감소 → 0수렴, 오차 ≤ bₙ₊₁절대 수렴 여부는 따로
비 판정계승, 지수, 거듭제곱 급수L < 1 절대 수렴, L > 1 발산L = 1이면 판정 불가
근 판정항 전체가 n제곱비 판정과 같다L = 1이면 판정 불가

아래 선택기에서 급수를 하나 고르고 판정법 버튼을 눌러 보세요. 맞는 판정을 고르면 결론이 나오고, 맞지 않는 판정은 왜 결론을 못 내는지 알려 줍니다. 아래 그래프의 부분합은 참고용입니다. 앞에서 본 것처럼 부분합 그래프만 보고는 ∑1nln⁡n\sum\frac1{n\ln n}이 발산하는지 알 수 없습니다.

SIMULATOR

판정법 선택기

판정법 고르기
급수—
S₁₀₀ (참고)—
결론—
해볼 것: ① Σ n!/nⁿ에 비 판정을, Σ (2n/(3n + 1))ⁿ에 근 판정을 써 보세요. ② Σ 1/(n² + 1)에 비 판정을 쓰면 L = 1이 나옵니다. 판정 불가입니다. 같은 급수에 극한 비교를 쓰면 바로 끝납니다. ③ Σ (−1)ⁿ/ln n은 교대 판정으로 수렴하지만, 비교 판정으로 절댓값 급수가 발산함도 확인해 조건 수렴이라고 결론 내 보세요. 모델: 결론은 해석적으로 정리해 둔 것이고, 그래프는 부분합 S₁…S₁₀₀입니다.

이 도구가 쓰이는 곳

급수는 "작은 효과가 끝없이 이어질 때 전체가 얼마인가"를 묻는 모든 곳에 있습니다. 그리고 공학에서는 늘 "몇 항에서 멈출 것인가"가 함께 따라옵니다.

디지털 필터의 안정성: 메아리의 합이 유한한가 출력이 yn=xn+a yn−1y_n = x_n + a\,y_{n-1}인 1차 재귀 필터(IIR)에 크기 1인 펄스를 한 번 넣으면 출력은 1,a,a2,a3,…1, a, a^2, a^3, \dots으로 메아리칩니다. 이 메아리의 절댓값 합 ∑∣a∣n\sum|a|^n이 유한해야, 즉 ∣a∣<1|a| \lt 1이어야 유계 입력에 유계 출력이 나옵니다(BIBO 안정). 계수가 a=0.95a = 0.95이면 메아리 합은 11−0.95=20\frac{1}{1 - 0.95} = 20이라 직류 이득이 20배이고, 메아리가 1% 아래로 줄어드는 데 ln⁡0.01/ln⁡0.95≈90\ln 0.01/\ln 0.95 \approx 90 샘플이 걸립니다. 필터 설계에서 극점이 단위원 안에 있어야 한다는 조건이 바로 이 기하 급수의 수렴 조건입니다.
12장 · 테일러 전개거듭제곱 급수
비 판정으로 수렴 반지름을, 교대 급수 오차로 계산기의 정밀도를 정한다. 9장 · 적분 기법이상 적분
p-적분과 비교 판정은 적분 판정을 통해 급수 판정과 짝을 이룬다. MATHBOOK무한을 길들이기
제논의 정사각형, 블록 쌓기 오버행, 테일러 다항식 실험실로 보는 입문편. MATHBOOK푸리에 급수
주기 신호를 사인파의 무한 합으로. 계수가 1/n로 줄면 조건 수렴, 1/n²이면 절대 수렴. 확률과 통계기하 분포와 기댓값
성공까지의 시행 수 분포. 확률의 합과 기댓값이 기하 급수와 그 미분이다. LINEARBOOK반복법의 수렴
야코비·가우스–자이델 반복은 행렬 기하 급수 Σ Mᵏ가 수렴할 때(스펙트럼 반지름 < 1) 수렴한다. MATHBOOK부동소수점 합
작은 항을 큰 부분합에 더하면 반올림으로 사라진다. 긴 급수는 작은 항부터 더하거나 보정 합을 쓴다.

핵심 정리

  1. 수열 an→La_n \to L: 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 n>N⇒∣an−L∣<εn > N \Rightarrow |a_n - L| \lt \varepsilon인 NN이 있다. 유계이고 단조인 수열은 극한값을 몰라도 수렴한다(실수의 완비성).
  2. 급수의 합은 부분합 수열의 극한이다. 기하 급수 ∑arn=a1−r\sum ar^n = \frac{a}{1-r} (∣r∣<1|r| \lt 1), 꼬리는 정확히 arn1−r\frac{ar^n}{1-r}. 망원 급수는 부분합이 지워져 계산된다.
  3. 수렴하면 an→0a_n \to 0이지만 역은 거짓이다. 조화 급수 ∑1n\sum\frac1n은 발산하고 Hn−ln⁡n→γH_n - \ln n \to \gamma.
  4. 적분 판정: 양수·감소하는 ff에 대해 ∑f(n)\sum f(n)과 ∫∞f\int^\infty f는 운명이 같고, 꼬리는 ∫N+1∞f≤RN≤∫N∞f\int_{N+1}^\infty f \le R_N \le \int_N^\infty f. p-급수는 p>1p > 1에서만 수렴한다.
  5. 비교·극한 비교: 최고차항만 남긴 잣대(1/np1/n^p, rnr^n)와 비교한다. 극한 비교는 0<c<∞0 \lt c \lt \infty일 때 운명이 같다.
  6. 교대 급수는 bnb_n이 감소해 0으로 가면 수렴하고 오차는 bn+1b_{n+1} 이하다. 절대 수렴하면 수렴하며 순서를 바꿔도 합이 같지만, 조건 수렴하는 급수는 재배열로 합이 바뀐다.
  7. 비·근 판정은 기하 급수와의 비교다. L<1L \lt 1 절대 수렴, L>1L > 1 발산, L=1L = 1이면 판정 불가(p-급수 꼴이라는 신호).

확인 퀴즈

Q1. ∑n=1∞3(−25)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac25\right)^{n-1}의 값은?

첫 항 a=3a = 3, 공비 r=−25r = -\frac25인 기하 급수다. ∣r∣<1|r| \lt 1이므로 합은 31−(−2/5)=37/5=157\frac{3}{1 - (-2/5)} = \frac{3}{7/5} = \frac{15}{7}. 5는 공비를 +25+\frac25로 착각했을 때의 값이다.

Q2. 다음 중 항상 참인 것은?

정리 11.6(발산 판정)의 내용이다. 첫째는 조화 급수가 반례, 셋째는 교대 조화 급수가 반례(조건 수렴), 넷째는 역시 조화 급수가 반례다.

Q3. ∑n=1∞n2+1n4+3\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 1}{n^4 + 3}에 대한 판단으로 가장 알맞은 것은?

최고차항만 남기면 n2n4=1n2\frac{n^2}{n^4} = \frac1{n^2}. an1/n2=n4+n2n4+3→1\frac{a_n}{1/n^2} = \frac{n^4 + n^2}{n^4 + 3} \to 1이고 p = 2인 p-급수가 수렴하므로 수렴한다. 비 판정은 L=1L = 1이라 결론을 못 낸다. 첫째는 논리가 틀렸다(결론은 맞아도 근거가 아니다).

Q4. ∑1n3\sum\frac1{n^3}을 N=10N = 10항까지 더해 멈췄다. 적분 판정의 나머지 추정이 주는 오차 R10R_{10}의 상한은?

RN≤∫N∞x−3dx=12N2R_N \le \int_N^\infty x^{-3}dx = \frac{1}{2N^2}. N=10N = 10이면 1200=0.005\frac1{200} = 0.005. 아래쪽 한계는 12⋅112=1242\frac{1}{2\cdot 11^2} = \frac1{242}이다. 1/1331은 다음 항 하나의 크기일 뿐이고, 양항 급수에서는 꼬리가 다음 항보다 훨씬 클 수 있다.

Q5. ∑n=1∞(−1)n+1n3\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}을 4항까지 더한 S4S_4의 오차에 대해 교대 급수 오차 한계가 보장하는 것은?

bn=1/n3b_n = 1/n^3은 감소하며 0으로 가므로 정리 11.14에서 ∣S−S4∣≤b5=1125=0.008|S - S_4| \le b_5 = \frac1{125} = 0.008. 첫 번째로 버린 항 +1125+\frac1{125}이 양수이므로 S−S4>0S - S_4 > 0, 즉 S4S_4는 참값보다 작다.

Q6. ∑n=1∞(2n)!(n!)2xn\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2}x^n이 비 판정으로 수렴하는 x>0x > 0의 범위는?

an+1an=(2n+2)(2n+1)(n+1)2x→4x\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}x \to 4x. 4x<14x \lt 1이면 수렴, 4x>14x > 1이면 발산한다. 이것이 다음 장에서 말하는 수렴 반지름 R=1/4R = 1/4이다. 예제 11.8의 x=1/5x = 1/5은 이 범위 안에 있다.

Q7. ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt n}은?

1n\frac1{\sqrt n}은 감소하며 0으로 가므로 교대 급수 판정으로 수렴한다. 절댓값 급수 ∑1n\sum\frac1{\sqrt n}은 p = 1/2인 p-급수라 발산한다. 그러므로 조건 수렴이고, 재배열하면 다른 합을 만들 수 있다.

Q8. 반복 소수 0.36‾=0.363636…0.\overline{36} = 0.363636\ldots을 분수로 쓰면?

0.36+0.36(0.01)+0.36(0.01)2+⋯=0.361−0.01=3699=4110.36 + 0.36(0.01) + 0.36(0.01)^2 + \cdots = \frac{0.36}{1 - 0.01} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}. 9/25 = 0.36은 첫 항만 쓴 값이다.