Chapter 05

평균값 정리와 그래프

도함수는 한 점에서의 순간 변화율입니다. 그런데 우리가 정말 알고 싶은 것은 대개 구간 전체에 대한 이야기입니다. 이 함수는 어디서 오르고 어디서 내리는가, 가장 높은 곳은 어디인가, 곡선은 어느 쪽으로 휘는가. 한 점의 정보와 구간의 정보를 잇는 다리가 평균값 정리입니다. "구간의 평균 기울기는 어딘가 한 점의 순간 기울기와 같다"는 이 소박한 문장 하나에서 증가·감소 판정, 극값 판정, 로피탈 정리, 오차 한계가 차례로 나옵니다. 이 장을 마치면 공식 하나를 보고 그래프의 모양을 손으로 그릴 수 있게 됩니다.

페르마 정리, 롤의 정리, 평균값 정리를 진술하고, 가정(연속·미분 가능)이 깨지면 결론이 왜 무너지는지 반례로 설명한다.
평균값 정리로 "f′ = 0이면 상수", 부등식 $|\sin a - \sin b| \le |a - b|$ , 근의 유일성을 증명한다.
f′의 부호로 증가·감소 구간과 극값을, f″의 부호로 오목성과 변곡점을 찾고, 1계·2계 도함수 판정을 쓴다.
로피탈 정리로 $0/0$ , $\infty/\infty$ 꼴을 계산하고, $0\cdot\infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ , $\infty^0$ 꼴을 그 꼴로 바꾼다.
정의역·절편·점근선·f′·f″을 차례로 조사해 함수의 그래프를 그린다.
$\ln x \ll x^p \ll a^x$ 의 성장 위계를 증명하고, 알고리즘·감쇠·성장 모델에서 어떤 항이 이기는지 판단한다.

이 수식이 없었다면구간 단속 카메라는 증거가 없다

고속도로의 구간 단속은 차가 카메라 앞을 지나는 순간의 속력을 재지 않습니다. 두 지점에서 번호판과 통과 시각만 기록하고, 구간 길이를 걸린 시간으로 나눕니다. 15 km를 7분 30초에 지났다면 평균 속력은 120 km/h입니다. 그런데 법이 처벌하는 것은 "평균"이 아니라 "어느 순간 제한 속도를 넘은 것"입니다. 카메라 앞에서는 분명 80 km/h였다고 우겨도 될까요?

안 됩니다. 위치가 시간에 대해 매끄럽게 변한다면, 평균 속력이 120 km/h인 구간에는 순간 속력이 정확히 120 km/h였던 시각이 반드시 있습니다. 이것이 평균값 정리입니다. 이 정리는 계산 공식이 아니라 존재 보장이어서, "그 순간이 언제였는지"는 알려 주지 않지만 "그런 순간이 없었다"는 변명은 막습니다. 미적분의 많은 정리가 이 보장 위에 서 있습니다.

두 지점의 통과 시각→평균 속력 Δs/Δt→평균값 정리 f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)→어느 순간 반드시 그 속력

롤의 정리: 제자리로 돌아오면 어딘가 평평하다

던진 공은 언제 멈추나

공을 위로 던졌다가 같은 높이에서 받았습니다. 공의 높이 $h(t)$ 는 처음과 끝이 같습니다. 그 사이 어느 순간 공의 수직 속도가 정확히 0이었다고 단언할 수 있을까요? 직관은 "꼭대기에서"라고 답합니다. 그런데 꼭대기가 있다는 것, 그리고 꼭대기에서 속도가 0이라는 것은 각각 따로 증명해야 하는 사실입니다.

먼저 "꼭대기"라는 말을 정확히 합시다. 2장의 최대·최소 정리는 닫힌 구간의 연속 함수가 최댓값과 최솟값을 반드시 가진다고 말합니다. 여기에 "주변에서만 가장 큰 값"이라는 더 약한 개념이 필요합니다.

정의 5.1 (극댓값과 극솟값)

c

를 포함하는 어떤 열린 구간의 모든

x

에 대해

f(c) \ge f(x)

이면

f(c)

를 극댓값(local maximum),

f(c) \le f(x)

이면 극솟값(local minimum)이라 한다. 둘을 합쳐 극값(local extremum)이라 부른다. 정의역 전체에서 가장 큰(작은) 값은 최댓값(최솟값)이다.

정리 5.2 (페르마 정리)

f

가

c

에서 극값을 가지고

f'(c)

가 존재하면

f'(c) = 0

이다. 이를 페르마 정리(Fermat's theorem)라 한다.

증명. 극댓값인 경우만 보자(극솟값은 $-f$ 에 적용). $c$ 근처에서 $f(c+h) - f(c) \le 0$ 이다. $h > 0$ 이면 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0$ 이므로 오른쪽 극한도 $\le 0$ , $h \lt 0$ 이면 분모가 음수라 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0$ 이므로 왼쪽 극한도 $\ge 0$ . 두 한쪽 극한이 모두 $f'(c)$ 와 같으므로 $0 \le f'(c) \le 0$ , 즉 $f'(c) = 0$ . ∎

역은 거짓이다

f'(c) = 0

이라고 극값인 것은 아닙니다.

f(x) = x^3

은

f'(0) = 0

이지만 0의 양쪽에서 계속 증가합니다. 또 극값이 있어도

f'(c)

가 없을 수 있습니다.

|x|

는

x = 0

에서 최솟값이지만 미분 불가능합니다(3장). 페르마 정리는 "극값이 될 수 있는 후보"를 좁혀 줄 뿐입니다.

이제 공 문제를 풀 수 있습니다. 처음과 끝의 높이가 같으면 함수는 구간 안 어디선가 최댓값이나 최솟값을 가지고, 그곳은 끝점이 아닌 내부입니다(둘 다 끝점이면 함수가 상수입니다). 내부의 최댓값은 극댓값이므로 페르마 정리에 따라 기울기가 0입니다.

정리 5.3 (롤의 정리)

f

가

[a, b]

에서 연속이고

(a, b)

에서 미분 가능하며

f(a) = f(b)

이면,

f'(c) = 0

인

c \in (a, b)

가 적어도 하나 있다.

증명. $f$ 가 상수이면 모든 $c$ 가 답이다. 상수가 아니면 $f(x) \ne f(a)$ 인 $x$ 가 있다. $f(x) > f(a)$ 인 경우, 최대·최소 정리로 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 최댓값을 가지고 그 값은 $f(a) = f(b)$ 보다 크므로 최댓값을 주는 점 $c$ 는 내부 $(a,b)$ 에 있다. 내부의 최댓값은 극댓값이고 $f'(c)$ 가 존재하므로 페르마 정리로 $f'(c) = 0$ . $f(x) \lt f(a)$ 인 경우는 최솟값으로 같은 논리를 쓴다. ∎

롤의 정리(Rolle's theorem)라는 이름은 미셸 롤(Michel Rolle)이 1691년 이 사실을 다항식에 대해 발표한 데서 왔습니다. 위 증명은 그보다 훨씬 뒤에 다듬어진 현대적인 형태입니다. 증명이 짧은 것은 무거운 일을 최대·최소 정리(실수의 완비성)가 대신했기 때문입니다.

SIMULATOR

롤의 정리: 곡선을 주물러도 평평한 점은 남는다

함수

점 A를 위아래로 끌면 B도 같이 움직입니다(f(a) = f(b) 유지). 가운데 세 점으로 곡선 모양을 바꾸세요.

f(a) = f(b)—

f′(c) = 0인 c의 개수—

c 값—

해볼 것: ① 가운데 점을 아무리 끌어도 수평 접선(초록)이 적어도 하나 남는지 확인하세요. 곡선이 크게 출렁이면 여러 개가 됩니다. ② '뾰족점'에서는 꼭대기가 있지만 그곳의 기울기가 정의되지 않아 결론이 깨집니다. ③ '끝점 불연속'은 오른쪽 끝에서만 값이 떨어지는 함수로, 연속 가정이 빠지면 계속 증가하기만 해도 f(a) = f(b)가 될 수 있습니다. 모델: 매끄러운 곡선은 다섯 점을 지나는 4차 다항식(라그랑주 보간). c는 f′의 부호 변화를 이분법으로 찾습니다.

예제 5.1 (근이 정확히 하나) 방정식

x^3 + x - 1 = 0

이 실근을 정확히 하나 가짐을 보여라.

존재. $f(x) = x^3 + x - 1$ 은 연속이고 $f(0) = -1 \lt 0$ , $f(1) = 1 > 0$ 이므로 중간값 정리(2장)로 $(0, 1)$ 에 근이 있다.
유일성. 서로 다른 두 근 $r_1 \lt r_2$ 가 있다고 하자. $f(r_1) = f(r_2) = 0$ 이고 $f$ 는 다항식이라 연속·미분 가능하므로 롤의 정리로 $f'(c) = 0$ 인 $c \in (r_1, r_2)$ 가 있어야 한다.
그런데 $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ 이므로 $f'$ 은 어디서도 0이 아니다. 모순. 따라서 근은 정확히 하나다.

같은 논리로 " $f'$ 이 0이 되는 점이 $k$ 개면 $f$ 의 근은 많아야 $k+1$ 개"입니다. 근의 개수를 세는 이 요령은 수치 해석에서 근을 빠뜨리지 않았는지 확인할 때 씁니다.

평균값 정리: 평균 기울기는 어딘가의 순간 기울기

끝점 높이가 다르면

구간 단속 구간에서 차는 처음과 끝의 위치가 다릅니다. 롤의 정리는 "제자리로 돌아오는" 경우만 다룹니다. 출발점과 도착점이 다른 일반적인 경우에도 비슷한 보장이 있을까요?

롤의 정리 그림을 기울여 보면 답이 보입니다. 끝점을 잇는 할선이 수평이 아니라 기울어져 있을 뿐, 할선과 평행한 접선이 어딘가에 있다는 그림은 그대로입니다.

그림 5-1. 왼쪽: 끝점 높이가 같으면 내부 어딘가에 수평 접선이 있다(롤의 정리). 오른쪽: 그림을 기울이면 수평선이 할선(점선)이 되고, 그와 평행한 접선이 내부에 있다(평균값 정리). 그런 점은 여러 개일 수 있고, 정리는 그중 적어도 하나가 있다는 것만 말한다.

정리 5.4 (평균값 정리)

f

가

[a, b]

에서 연속이고

(a, b)

에서 미분 가능하면

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

인

c \in (a, b)

가 적어도 하나 있다. 같은 말로

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)

증명. 할선과의 차이 $g(x) = f(x) - \Bigl[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)\Bigr]$ 를 생각하자. $g$ 는 연속·미분 가능하고 $g(a) = g(b) = 0$ 이므로 롤의 정리로 $g'(c) = 0$ 인 $c \in (a,b)$ 가 있다. $g'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$ . ∎

증명의 아이디어는 "곡선에서 할선을 빼면 롤의 정리 상황이 된다"입니다. 이 정리는 흔히 라그랑주(Lagrange)의 이름과 함께 불리며, 영어로 Mean Value Theorem, MVT라 합니다.

SIMULATOR

평균값 정리의 점 c 찾기

함수

끝점 a, b를 곡선을 따라 끄세요.

[a, b]—

할선 기울기—

f′(c) = 할선 기울기인 c—

해볼 것: ① '√x'에서 a = 1, b = 4로 두고 c = 2.25가 나오는지 확인하세요(예제 5.2). ② 3차 함수에서 구간을 좁히면 c가 구간 가운데 근처로 모입니다. ③ '|x − 2|'에서 2를 사이에 두거나, '1/x'에서 0을 사이에 두면 c가 사라집니다. 어떤 가정이 깨졌는지 말해 보세요. 모델: c는 f′(x) − (할선 기울기)의 부호 변화를 찾아 이분법으로 다듬습니다.

예제 5.2 (c를 직접 구하기)

f(x) = \sqrt{x}

[1, 4]

에서 평균값 정리의

c

를 구하라.

가정 확인: $\sqrt{x}$ 는 $[1,4]$ 에서 연속이고 $(1,4)$ 에서 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ 로 미분 가능하다.
할선 기울기: $\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{2 - 1}{3} = \frac13$ .
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac13$ 에서 $\sqrt{c} = \frac32$ , $c = \frac94 = 2.25$ . 이 값은 $(1, 4)$ 안에 있다.

속력 단속, 다시

위치 $s(t)$ 에 평균값 정리를 쓰면 $s'(c) = \frac{s(T) - s(0)}{T}$ , 즉 순간 속도 = 평균 속도인 시각 $c$ 가 있습니다. 아래 시뮬레이터에서 통과 시간과 운전 습관을 바꿔 보세요. 카메라 앞에서만 속도를 줄이는 운전자도 평균 속력과 정확히 같은 순간 속력을 지나갑니다.

SIMULATOR

구간 단속 15 km: 평균 속력을 지나는 순간

통과 시간

운전 습관

평균 속력—

카메라 앞 속력—

평균과 같았던 시각—

지금 속력—

해볼 것: ① 통과 시간을 7.5분에 두고 '카메라 앞만 감속'을 고르세요. 카메라 앞 속력은 66 km/h지만 v(t) 그래프는 평균선(파랑)을 두 번 가로지릅니다. ② 통과 시간을 9분보다 길게 하면 평균이 제한 속도 아래로 내려갑니다. 그래도 '들쭉날쭉'에서는 순간 과속이 있을 수 있지만, 구간 단속은 그것을 증명하지 못합니다. 정리는 평균 이상의 속력이 있었다는 것만 보장합니다. 모델: v(t) = (평균 속력) × s(t/T), s의 평균이 1이 되도록 만든 세 가지 모양.

평균값 정리가 주는 것들

평균값 정리의 진짜 쓰임은 $c$ 를 구하는 것이 아니라 도함수에 대한 정보를 함숫값에 대한 정보로 바꾸는 것입니다. $c$ 가 정확히 어디인지 몰라도 $f'$ 의 범위만 알면 충분합니다.

따름정리 5.5 (1) 구간

I

의 모든 점에서

f'(x) = 0

이면

f

는

I

에서 상수다. (2)

I

에서

f'(x) = g'(x)

이면

f(x) = g(x) + C

(상수

C

)다.

증명. (1) $I$ 의 두 점 $x_1 \lt x_2$ 에 평균값 정리를 쓰면 $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) = 0$ . (2) $h = f - g$ 에 (1)을 쓴다. ∎

당연해 보이지만 이것이 없으면 적분이 성립하지 않습니다. "도함수가 같은 두 함수는 상수만큼만 다르다"는 사실이 부정적분의 $+C$ 이고, 8장 미적분의 기본 정리의 증명을 받칩니다. 구간이 끊겨 있으면 성립하지 않는다는 점도 기억하세요. $f(x) = \frac{x}{|x|}$ 는 $x \ne 0$ 에서 $f' = 0$ 이지만 상수가 아닙니다.

예제 5.3 (부등식과 어림)

$|\sin a - \sin b| \le |a - b|$ . 평균값 정리로 $\sin a - \sin b = \cos c\,(a - b)$ 이고 $|\cos c| \le 1$ 이므로 바로 나온다. 사인 함수는 두 점 사이 거리를 늘리지 않는다. 이런 성질을 립시츠 연속이라 하며, 반복법의 수렴을 증명할 때 쓴다.
$\sqrt{101}$ 의 범위. $[100, 101]$ 에서 $\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt{c}}$ , $100 \lt c \lt 101$ . 따라서 $\frac{1}{2\sqrt{101}} \lt \sqrt{101} - 10 \lt \frac{1}{2\cdot 10} = 0.05$ .
왼쪽 끝도 어림한다. $10.05^2 = 101.0025 > 101$ 이므로 $\sqrt{101} \lt 10.05$ , 따라서 $\frac{1}{2\sqrt{101}} > \frac{1}{20.1} > 0.0497$ .
결론: $10.0497 \lt \sqrt{101} \lt 10.05$ . 실제 값은 $10.04987\cdots$ 이다. 계산기 없이 소수 셋째 자리까지 얻었다.

증가·감소와 1계 도함수 판정

기울기가 양수면 정말 올라가나

"f′ > 0이면 f가 증가한다"는 그림으로는 당연합니다. 하지만 f′은 한 점에서의 정보이고, 증가는 서로 멀리 떨어진 두 점을 비교하는 정보입니다. 한 점 한 점의 기울기가 양수라는 것이 어떻게 멀리 떨어진 두 점의 대소를 보장할까요?

바로 평균값 정리가 그 다리입니다. 두 점 사이의 차이는 그 사이 어떤 점의 기울기 × 거리입니다.

정리 5.6 (증가·감소 판정)

f

가 구간

I

에서 미분 가능하다고 하자.

$I$ 에서 $f'(x) > 0$ 이면 $f$ 는 $I$ 에서 증가 함수(increasing function)다: $x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2)$ .
$I$ 에서 $f'(x) \lt 0$ 이면 $f$ 는 $I$ 에서 감소 함수다.

증명. $x_1 \lt x_2$ 이면 평균값 정리로 $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$ . 오른쪽은 양수 × 양수이므로 양수다. ∎

역은 조금 약합니다. $x^3$ 은 증가 함수지만 $f'(0) = 0$ 입니다. 증가 함수에 대해 말할 수 있는 것은 $f' \ge 0$ 까지입니다. 이제 극값을 찾을 차례입니다. 페르마 정리에 따르면 내부의 극값은 $f' = 0$ 이거나 $f'$ 이 없는 곳에서만 생깁니다.

정의 5.7 (임계점)

f

의 정의역 안의 점

c

에서

f'(c) = 0

이거나

f'(c)

가 존재하지 않으면

c

를

f

의 임계점(critical point)이라 한다.

정리 5.8 (1계 도함수 판정)

c

가 연속 함수

f

의 임계점이고,

c

근처에서

c

를 제외하고 미분 가능하다고 하자.

$f'$ 이 $c$ 를 지나며 +에서 −로 바뀌면 $f(c)$ 는 극댓값.
−에서 +로 바뀌면 극솟값.
부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다.

이 판정을 1계 도함수 판정(First Derivative Test)이라 한다.

증명. 첫째 경우, 정리 5.6에 따라 $c$ 의 왼쪽 구간에서 증가하고 오른쪽 구간에서 감소하므로 $c$ 근처의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \le f(c)$ 이다(연속성으로 끝점 $c$ 까지 포함). 나머지도 같다. ∎

계산은 부호표로 정리하면 실수가 없습니다. $f'$ 을 인수분해하고, 임계점으로 수직선을 나눈 뒤, 각 구간에서 인수의 부호를 곱합니다.

예제 5.4 (부호표로 극값 찾기)

f(x) = x^4 - 4x^3

의 증가·감소 구간과 극값을 구하라.

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$ . 임계점은 $x = 0$ 과 $x = 3$ .
부호: $4x^2 \ge 0$ 은 0에서만 0이므로, $f'$ 의 부호는 $(x - 3)$ 이 정한다. $x \lt 3$ (0 제외)에서 $f' \lt 0$ , $x > 3$ 에서 $f' > 0$ .
따라서 $(-\infty, 3]$ 에서 감소, $[3, \infty)$ 에서 증가. $x = 3$ 에서 −→+이므로 극솟값 $f(3) = 81 - 108 = -27$ .
$x = 0$ 에서는 $f'$ 이 −→−로 부호가 바뀌지 않는다. 기울기가 0인 점이지만 극값이 아니다. 그래프는 0에서 잠시 평평해졌다가 계속 내려간다.

x	(−∞, 0)	0	(0, 3)	3	(3, ∞)
4x²	+	0	+	+	+
x − 3	−	−	−	0	+
f′	−	0	−	0	+
f	↘	0 (극값 아님)	↘	−27 (극소)	↗

오목성, 변곡점, 2계 도함수 판정

같은 증가라도 모양이 다르다

감염자 수, 반도체 수율, 주가가 모두 "증가 중"일 때도 사람들은 "증가세가 꺾였다"와 "가속되고 있다"를 구분합니다. 이 차이는 f′의 부호가 아니라 f′이 늘고 있는지 줄고 있는지, 즉 f″의 부호에 들어 있습니다.

그림 5-2. f′의 부호(오르나 내리나)와 f″의 부호(어느 쪽으로 휘나)의 네 조합. 위로 오목한 곡선은 컵(∪)의 일부, 아래로 오목한 곡선은 뚜껑(∩)의 일부다. 고등학교에서는 각각 '아래로 볼록', '위로 볼록'이라고도 부른다.

정의 5.9 (오목성과 변곡점) 구간

I

에서

f

의 그래프가 모든 접선의 위에 있으면

f

는

I

에서 위로 오목(concave up)하다고 하고, 모든 접선의 아래에 있으면 아래로 오목(concave down)하다고 한다. 연속인 곡선 위의 점에서 오목성이 바뀌면 그 점을 변곡점(inflection point)이라 한다.

정리 5.10 (오목성 판정) 구간

I

에서

f''(x) > 0

이면

f

는 위로 오목하고,

f''(x) \lt 0

이면 아래로 오목하다.

증명. $f'' > 0$ 이면 정리 5.6에 따라 $f'$ 이 증가한다. $a \in I$ 에서의 접선을 $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ 라 하면, 평균값 정리로 $f(x) - L(x) = (f'(c) - f'(a))(x - a)$ 인 $c$ 가 $a$ 와 $x$ 사이에 있다. $x > a$ 이면 $c > a$ 라서 $f'(c) > f'(a)$ 이고 두 인수가 모두 양수, $x \lt a$ 이면 둘 다 음수다. 어느 쪽이든 $f(x) - L(x) > 0$ . ∎

그림으로 읽으면 이렇습니다. 곡선을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 운전할 때 위로 오목한 구간에서는 핸들을 왼쪽(반시계)으로, 아래로 오목한 구간에서는 오른쪽(시계)으로 꺾습니다. 변곡점은 핸들이 반대로 넘어가는 순간이고, 그 점에서 접선은 곡선을 가로지릅니다.

SIMULATOR

접선을 굴리면 보이는 오목성

함수

곡선 위의 점을 끌어도 됩니다.

x—

f′(x)—

f″(x)—

곡선 vs 접선—

해볼 것: ① 접선과 곡선 사이가 초록(곡선이 위)인지 빨강(곡선이 아래)인지 보면서 점을 움직이세요. 색이 한쪽으로만 칠해지는 구간이 오목성이 일정한 구간입니다. ② 종 모양에서 x = ±1/√2 ≈ ±0.707을 지날 때 접선이 곡선을 가로지르는 것을 확인하세요. 종 모양 확률 밀도의 변곡점은 평균 ± 표준편차에 있습니다. ③ x⁴에서는 f″(0) = 0이지만 양쪽이 모두 초록입니다. 모델: f′, f″은 해석적으로 계산합니다.

변곡점의 후보는 $f'' = 0$ 이거나 $f''$ 이 없는 점이지만, 거기서 $f''$ 의 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 합니다. $x^4$ 은 $f''(0) = 0$ 인데 양쪽 모두 $f'' > 0$ 이라 변곡점이 아닙니다. 한편 $f''$ 은 극값 판정에도 쓰입니다.

정리 5.11 (2계 도함수 판정)

f''

이

c

근처에서 연속이고

f'(c) = 0

이라 하자.

f''(c) > 0

이면

f(c)

는 극솟값,

f''(c) \lt 0

이면 극댓값이다.

f''(c) = 0

이면 이 판정으로는 알 수 없다. 이를 2계 도함수 판정(Second Derivative Test)이라 한다.

증명. $f''(c) > 0$ 이고 $f''$ 이 연속이므로 $c$ 근처에서 $f'' > 0$ , 따라서 그 구간에서 $f'$ 이 증가한다. $f'(c) = 0$ 이므로 $c$ 의 왼쪽에서 $f' \lt 0$ , 오른쪽에서 $f' > 0$ 이고, 1계 판정으로 극솟값이다. ∎

예제 5.5 (예제 5.4 이어서)

f(x) = x^4 - 4x^3

의 오목성과 변곡점을 구하고, 2계 판정으로 임계점을 다시 판정하라.

$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$ . 후보는 $x = 0, 2$ .
부호: $x \lt 0$ 에서 +, $0 \lt x \lt 2$ 에서 −, $x > 2$ 에서 +. 두 점 모두에서 부호가 바뀌므로 변곡점은 $(0, 0)$ 과 $(2, f(2)) = (2, -16)$ .
2계 판정: $f''(3) = 108 - 72 = 36 > 0$ 이므로 $x = 3$ 은 극소(1계 판정과 일치). $f''(0) = 0$ 이라 $x = 0$ 은 판정 불가. 1계 판정에서 이미 극값이 아님을 보였고, 실제로 $x = 0$ 은 접선이 수평인 변곡점이다.

지금까지의 정보를 한 화면에 모아 봅시다. 아래 시뮬레이터는 $f$ , $f'$ , $f''$ 을 위아래로 겹쳐 그려, 한 $x$ 에서 세 값이 어떻게 맞물리는지 보여 줍니다.

SIMULATOR

f · f′ · f″ 세 그래프 동기화

함수 커서 위치

그래프 위를 누르거나 끌어도 커서가 움직입니다.

f′ 부호—

f″ 부호—

모양—

임계점 · 변곡점—

해볼 것: ① f′ 그래프가 가로축을 뚫고 지나가는 곳(초록 점선)마다 f가 꼭대기나 바닥을 가지는지, x⁴ − 4x³의 x = 0처럼 축에 닿기만 하는 곳은 어떤지 보세요. ② f″이 0을 지나는 곳(주황 점선)은 f′의 꼭대기·바닥과 같은 x입니다. 변곡점은 기울기가 가장 크거나 작은 점입니다. ③ 위 칸의 초록 배경은 증가 구간, 아래 칸의 초록 배경은 위로 오목한 구간입니다. 모델: 해석적 도함수, 점은 부호 변화로 찾습니다.

로피탈 정리: 0/0을 기울기의 비로

둘 다 0으로 가면 비는 어디로 가나

$\frac{\sin x}{x}$ 는 $x \to 0$ 에서 분자·분모가 모두 0으로 갑니다. 2장에서는 부채꼴 넓이 비교로 극한 1을 얻었습니다. $\frac{e^{2x}-1}{\sin x}$ , $\frac{\ln x}{x - 1}$ , $\frac{x - \sin x}{x^3}$ 마다 새로운 기하학적 요령을 찾아야 할까요?

확대해 보면 답이 보입니다. $f(a) = g(a) = 0$ 이고 둘 다 $a$ 에서 미분 가능하면, $a$ 근처를 충분히 확대했을 때 두 그래프는 각자의 접선과 구별되지 않습니다. 즉 $f(x) \approx f'(a)(x - a)$ , $g(x) \approx g'(a)(x - a)$ 이고, 비를 취하면 $(x - a)$ 가 약분됩니다.

그림 5-3.

f(a) = g(a) = 0

인 두 함수. 점 a를 확대할수록 두 곡선은 기울기 f′(a), g′(a)인 직선(점선)에 붙고, 같은 x에서 두 높이의 비는 기울기의 비로 간다. 로피탈 정리는 이 그림을 f′(a), g′(a)가 0이거나 없을 때까지 넓힌 것이다.

그림의 논리를 엄밀하게 만들려면 $f$ 와 $g$ 를 한 번에 다루는 평균값 정리가 필요합니다.

정리 5.12 (코시 평균값 정리)

f, g

가

[a, b]

에서 연속,

(a, b)

에서 미분 가능하고

(a, b)

에서

g'(x) \ne 0

이면

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

인

c \in (a, b)

가 있다. 이를 코시 평균값 정리(Cauchy's Mean Value Theorem)라 한다.

증명. 먼저 롤의 정리로 $g(b) \ne g(a)$ 이다(같으면 $g' = 0$ 인 점이 있다). $h(x) = [f(b) - f(a)]\,g(x) - [g(b) - g(a)]\,f(x)$ 라 하면 $h(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a) = h(b)$ 이므로 롤의 정리로 $h'(c) = 0$ 인 $c$ 가 있고, 정리하면 위 식이다. 매개 곡선 $(g(t), f(t))$ 에서 할선과 평행한 접선이 있다는 뜻으로 읽을 수 있다. $g(x) = x$ 이면 평균값 정리가 된다. ∎

정리 5.13 (로피탈 정리)

f, g

가

a

근처(

a

제외)에서 미분 가능하고

g'(x) \ne 0

이며, 다음 중 하나라 하자.

$\lim_{x\to a} f(x) = 0$ 이고 $\lim_{x\to a} g(x) = 0$ ( $0/0$ 꼴), 또는
$\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ 이고 $\lim_{x\to a} g(x) = \pm\infty$ ( $\infty/\infty$ 꼴).

이때

\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

이 존재하면(또는

\pm\infty

이면)

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

a

가 한쪽 극한이나

\pm\infty

여도 성립한다. 이를 로피탈 정리(L'Hôpital's rule)라 한다.

증명 (0/0, $x \to a^+$ ). $f(a) = g(a) = 0$ 으로 정의하면 $f, g$ 는 $[a, x]$ 에서 연속이다. 코시 평균값 정리로 $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}$ 인 $c_x \in (a, x)$ 가 있다. $x \to a^+$ 이면 $c_x \to a^+$ 이므로 오른쪽은 $\lim \frac{f'}{g'}$ 로 간다. $\infty/\infty$ 꼴은 같은 아이디어에 조금 더 섬세한 어림이 필요하다. ∎

이 규칙은 1696년 로피탈 후작(Guillaume de l'Hôpital)이 펴낸 최초의 미분학 교과서에 실려 그의 이름으로 불리지만, 내용은 그가 사례를 주고 배운 요한 베르누이(Johann Bernoulli)의 것으로 알려져 있습니다.

SIMULATOR

로피탈 확대경: 분자와 분모가 직선이 될 때까지

f(x), g(x)와 a에서의 접선

f/g (실선)와 f′/g′ (점선)

극한 확대: 창 반폭 w

x = a + w에서 f/g—

f′(a), g′(a)—

극한—

해볼 것: ① w를 줄이면 왼쪽 두 곡선이 점선(접선)에 붙어 직선처럼 보입니다. 그때 오른쪽 f/g가 극한값(가로선)에 붙습니다. ② '(1 − cos x)/x²'은 f′(0) = g′(0) = 0이라 접선이 둘 다 수평입니다. 한 번 더 미분하면 sin x / 2x → cos x / 2 → 1/2입니다. 확대하면 두 곡선이 직선이 아니라 포물선 x²/2와 x²으로 보입니다. 모델: 정확한 함숫값을 배정밀도로 계산합니다. w가 10⁻³까지는 반올림 오차가 보이지 않습니다.

예제 5.6 (로피탈을 두 번, 그리고 ∞/∞)

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ : $0/0$ 이므로 $\displaystyle\lim\frac{e^x - 1}{2x}$ . 여전히 $0/0$ 이므로 다시 $\displaystyle\lim\frac{e^x}{2} = \frac12$ . 매번 0/0인지 확인하고 쓴다.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ : $\infty/\infty$ 이므로 $\displaystyle\lim\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \lim\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$ . 로그는 제곱근보다 느리게 자란다(8절).
$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim\frac{3x^2}{2x} = \frac{12}{4} = 3$ . 인수분해 $\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}$ 로도 같은 답이 나온다.

로피탈 정리를 잘못 쓰는 세 가지 방법

부정형이 아닌데 쓴다. $\lim_{x\to0}\frac{x^2+1}{x+1} = 1$ 인데, 미분해 $\frac{2x}{1} \to 0$ 이라 하면 틀린다. 분자·분모가 0이나 ∞로 가는지 먼저 확인한다.
몫의 미분을 한다. 로피탈 정리는 $\left(\frac fg\right)'$ 이 아니라 $\frac{f'}{g'}$ 이다.
$f'/g'$ 의 극한이 없으면 원래 극한도 없다고 결론 내린다. $\lim_{x\to\infty}\frac{x + \sin x}{x} = 1$ 이지만 $\frac{1 + \cos x}{1}$ 은 진동해 극한이 없다. 정리는 $f'/g'$ 의 극한이 있을 때만 말해 준다.

다른 부정형을 0/0이나 ∞/∞로 바꾸기

로피탈 정리가 직접 다루는 것은 몫의 꼴뿐입니다. 곱, 차, 거듭제곱 꼴의 부정형(indeterminate form)은 대수적으로 몫으로 바꾼 뒤 씁니다. "부정"이라는 말은 극한이 없다는 뜻이 아니라, 꼴만 보고는 값을 정할 수 없다는 뜻입니다. $0\cdot\infty$ 는 함수에 따라 0도, 5도, ∞도 될 수 있습니다.

꼴	바꾸는 법	예
$0\cdot\infty$	$fg = \dfrac{f}{1/g}$ 또는 $\dfrac{g}{1/f}$	$x\ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$
$\infty - \infty$	통분, 유리화, 공통 인수 묶기	$\dfrac1x - \dfrac1{\sin x} = \dfrac{\sin x - x}{x\sin x}$
$1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0$	$y = f^g$ 로 두고 $\ln y = g\ln f$ ( $0\cdot\infty$ 꼴)의 극한을 구한 뒤 $y = e^{\ln y}$	$(1 + 3/x)^x$ , $x^x$

반대로 $0^\infty$ (→ 0)나 $\infty\cdot\infty$ (→ ∞), $\frac{0}{\infty}$ (→ 0)는 부정형이 아닙니다. 꼴만으로 답이 정해집니다.

예제 5.7 (곱, 거듭제곱 꼴)

$\displaystyle\lim_{x\to0^+} x\ln x$ ( $0\cdot(-\infty)$ ): $\displaystyle\lim\frac{\ln x}{1/x}$ 은 $-\infty/\infty$ 꼴이므로 $\displaystyle\lim\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim(-x) = 0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to0^+} x^x$ ( $0^0$ ): $\ln y = x\ln x \to 0$ (1번)이므로 $y \to e^0 = 1$ . 계산기에 0.001^0.001을 넣으면 0.99312…가 나온다.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac3x\right)^x$ ( $1^\infty$ ): $\ln y = x\ln(1 + 3/x) = \dfrac{\ln(1+3/x)}{1/x}$ 은 $0/0$ . 분자·분모를 미분하면 $\dfrac{\frac{-3/x^2}{1 + 3/x}}{-1/x^2} = \dfrac{3}{1 + 3/x} \to 3$ . 따라서 $y \to e^3 \approx 20.09$ . 연이율 300%를 무한히 잘게 나눈 연속 복리다(2장의 e).

로피탈보다 먼저 생각할 것 로피탈 정리는 강력하지만 언제나 최선은 아닙니다. 인수분해나 유리화로 한 줄에 끝나는 극한도 많고,

\frac{\tan x - x}{x^3}

처럼 미분할수록 식이 복잡해지는 경우도 있습니다. 그럴 때는 12장의 테일러 전개가 더 빠릅니다.

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \cdots

를 넣으면 극한

\frac13

이 바로 보입니다.

도함수로 그래프 그리기

점을 찍지 않고 모양을 안다

그래프 프로그램은 수백 개의 점을 찍어 곡선을 그립니다. 그런데 화면 범위를 잘못 잡으면 점근선을 놓치고, 간격이 넓으면 좁은 봉우리를 건너뜁니다. 프로그램이 그린 그림이 맞는지 판단하려면 함수의 모양을 결정하는 정보를 스스로 뽑아낼 수 있어야 합니다.

지금까지 배운 도구를 순서대로 쓰면 그래프의 뼈대가 나옵니다.

정의역과 대칭성(짝·홀, 주기).
절편: $f(0)$ 과 $f(x) = 0$ 의 근.
점근선(1장): 수직 점근선(분모가 0), 수평 점근선( $x \to \pm\infty$ ), 그리고 $f(x) - (mx + k) \to 0$ 인 사선 점근선(slant asymptote).
f′의 부호: 증가·감소 구간, 임계점, 극값.
f″의 부호: 오목성과 변곡점.
위 정보를 모아 매끄럽게 잇는다.

예제 5.8 (유리 함수)

f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}

의 그래프를 그려라.

정의역 $x \ne 1$ . 절편은 원점 하나. 다항식 나눗셈으로 $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x-1}$ .
점근선: $x \to 1^\pm$ 에서 $\frac{1}{x-1} \to \pm\infty$ 이므로 수직 점근선 $x = 1$ . $x \to \pm\infty$ 에서 $f(x) - (x + 1) = \frac1{x-1} \to 0$ 이므로 사선 점근선 $y = x + 1$ .
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ . 임계점 0, 2. 부호는 $(-\infty,0)$ 에서 +, $(0,1)$ 과 $(1,2)$ 에서 −, $(2,\infty)$ 에서 +.
극댓값 $f(0) = 0$ , 극솟값 $f(2) = 4$ . 극댓값이 극솟값보다 작다는 데 놀라지 말자. 두 점은 점근선으로 갈라진 다른 가지에 있다.
$f''(x) = \dfrac{2}{(x-1)^3}$ . $x \lt 1$ 에서 아래로 오목, $x > 1$ 에서 위로 오목. $x = 1$ 은 정의역 밖이라 변곡점이 없다.

SIMULATOR

그래프 그리기 여섯 단계

0단계

함수

단계

정의역·절편점근선f′ 부호극값f″ 부호완성

정답 곡선 흐리게 미리 보기

해볼 것: ① 각 단계에서 다음 단계 버튼을 누르기 전에 종이에 먼저 써 보세요. ② 'x^(2/3)(x − 5)'의 x = 0은 f′이 존재하지 않는 임계점(뾰족점)입니다. 1계 판정은 여기서도 통합니다. ③ 'x/(x² + 1)'의 변곡점 세 개는 한 직선 위에 있습니다. 모델: 모든 부호표와 특수점은 손으로 계산한 정확한 값이며(본문 예제와 같은 방법), 곡선은 마지막 단계에서만 그립니다.

계산기를 믿기 전에 그래프 도구로

f(x) = x^{2/3}

을 그리면

x \lt 0

쪽이 비어 나오는 경우가 있습니다. 많은 프로그램이

x^{2/3}

을

e^{(2/3)\ln x}

로 계산해 음수에서 실패하기 때문입니다. 수학적으로

x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2

은 모든 실수에서 정의됩니다. 손으로 구한 뼈대가 있으면 이런 오류를 바로 알아챕니다.

성장 경주: 로그 ≪ 거듭제곱 ≪ 지수

어느 알고리즘이 결국 이기나

문제 크기가 $n$ 일 때 알고리즘 A는 $n^{10}$ 번, 알고리즘 B는 $2^n$ 번 계산합니다. $n = 20$ 이면 A는 $10^{13}$ 번, B는 약 $10^6$ 번이라 B가 훨씬 빠릅니다. 그렇다면 B가 언제나 더 나을까요?

로피탈 정리를 반복하면 함수들의 성장 순서를 증명할 수 있습니다. $f \ll g$ 는 $\lim_{x\to\infty} f(x)/g(x) = 0$ , 즉 "결국 $g$ 가 압도한다"는 뜻으로 씁니다.

정리 5.14 (성장의 위계) 모든

p > 0

과

a > 1

에 대해

\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^p} = 0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x^p}{a^x} = 0.

즉

\ln x \ll x^p \ll a^x

이다. 로그의 거듭제곱

(\ln x)^q

도 어떤

x^p

보다 느리다.

증명. 첫째: $\infty/\infty$ 이므로 $\lim\frac{1/x}{px^{p-1}} = \lim\frac{1}{px^p} = 0$ . 둘째: $p$ 를 자연수 $n \ge p$ 로 올려도 비는 커지기만 하므로 $x^n/a^x$ 만 보면 된다. 로피탈 정리를 $n$ 번 쓰면 $\lim\frac{n!}{(\ln a)^n a^x} = 0$ . 셋째 주장은 $\frac{(\ln x)^q}{x^p} = \left(\frac{\ln x}{x^{p/q}}\right)^q$ 에 첫째를 쓴다. ∎

그림 5-4. 자주 만나는 함수의 성장 순서. 이웃한 두 함수의 비는 결국 0으로 간다. 2ˣ ≪ eˣ는 (2/e)ˣ → 0에서, eˣ ≪ x!은 비 eⁿ/n!이 매 단계 e/(n+1)배가 되는 데서(11장 비 판정) 나온다. 순서는 '결국'의 이야기일 뿐, 작은 x에서는 얼마든지 뒤집힐 수 있다.

"결국"이 얼마나 먼 곳인지는 상수에 달려 있습니다. $x^{10}$ 과 $2^x$ 는 $x \approx 1.08$ 과 $x \approx 58.8$ 에서 두 번 만나고, $x > 58.8$ 부터는 $2^x$ 가 영원히 앞섭니다. 알고리즘 문제로 돌아가면, 입력이 59보다 크면 B가 지고 그 뒤로는 격차가 끝없이 벌어집니다. $x^{100}$ 과 $1.01^x$ 는 $x \approx 1.17\times10^5$ 에서야 순서가 정해집니다.

SIMULATOR

성장 경주: ln x, xᵖ, aˣ

거듭제곱 p 지수의 밑 a 경주 거리 X

보기

aˣ가 영원히 앞서는 x—

x = X에서 xᵖ / aˣ—

x = X에서 ln x / xᵖ—

해볼 것: ① p = 10, a = 2에서 X를 늘려 x ≈ 58.8에서 지수(진분홍)가 거듭제곱(파랑)을 추월하는 것을 보세요. ② a를 1.05 가까이 낮추면 추월 지점이 수천으로 밀려나지만, 사라지지는 않습니다. ③ '비율' 보기에서 log₁₀(xᵖ/aˣ)는 처음에 오르다가 결국 직선으로 떨어집니다. 기울기는 −log₁₀ a입니다. 모델: 큰 수를 다루기 위해 모든 값을 log₁₀으로 바꿔 그립니다. 추월점은 x ln a = p ln x의 큰 근을 이분법으로 구합니다.

성장 위계를 쓰는 곳 회로의 RC 방전

te^{-t/\tau}

이나 약물 농도

te^{-kt}

는 처음엔

t

처럼 오르지만 결국 지수 감쇠가 이겨 0으로 갑니다(4장). 확률 분포의 꼬리가

x^n e^{-x}

이면 모든 적률이 유한하고,

1/x^p

처럼 거듭제곱으로만 줄면 적률이 무한대일 수 있습니다(9장 이상 적분).

이 도구가 쓰이는 곳

평균값 정리는 직접 계산에 쓰이기보다 보장과 오차 한계를 만드는 데 쓰입니다. "어딘가에 c가 있다"는 문장을 "오차는 최대 M × 거리"로 바꾸는 것이 공학에서의 쓰임입니다.

센서 보간 오차의 상한 온도 센서를 1초마다 읽고 그 사이를 직선으로 잇는다고 합시다. 온도 변화율이

|T'(t)| \le 0.2

℃/s로 제한된다면, 평균값 정리로 측정 시각

t_k

와 그 사이 시각

t

의 차이는

|T(t) - T(t_k)| \le 0.2\,|t - t_k| \le 0.2

℃입니다. 진짜 온도를 몰라도 오차의 상한을 말할 수 있습니다. 같은 논리가 ADC 샘플링, 수치 미분, 6장의 선형 근사 오차로 이어집니다.

6장 · 최적화와 근사최대·최소 찾기
임계점과 끝점만 비교하면 된다. 선형 근사의 오차 한계도 평균값 정리에서 나온다. 12장 · 테일러 전개라그랑주 나머지 항
평균값 정리를 n차로 늘린 것. 계산기의 sin이 몇 자리까지 맞는지 보장한다. 7장 · 정적분적분의 평균값 정리
구간의 평균 높이가 되는 점이 반드시 있다. 14장 · 기울기 벡터헤세 행렬과 2계 판정
f″의 부호 판정이 다변수에서는 행렬의 고윳값 부호 판정이 된다. LINEARBOOK헤세 행렬과 양의 정부호
2계 판정의 다변수판. 고윳값이 모두 양수면 극소. 확률과 통계최대 가능도 추정
로그 가능도를 미분해 0이 되는 모수를 찾고, 2계 도함수로 극대를 확인한다. MATHBOOK수치 미분의 오차
차분 몫이 도함수와 얼마나 다른지 평균값 정리로 어림한다.

핵심 정리

페르마 정리: 내부의 극값에서 f′이 존재하면 f′ = 0. 역은 거짓(x³). 임계점은 f′ = 0이거나 f′이 없는 점이다.
롤의 정리: [a, b]에서 연속, (a, b)에서 미분 가능, f(a) = f(b)이면 f′(c) = 0인 c가 내부에 있다. 근의 유일성 증명에 쓴다.
평균값 정리: $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ . 도함수의 범위를 함숫값의 범위로 바꾼다. f′ = 0이면 상수, f′ = g′이면 f = g + C(구간에서).
f′ > 0이면 증가, f′ < 0이면 감소. 1계 판정: f′이 +→−면 극대, −→+면 극소, 부호가 그대로면 극값이 아니다.
f″ > 0이면 위로 오목(접선 위), f″ < 0이면 아래로 오목. 변곡점은 f″의 부호가 실제로 바뀌는 점이다. 2계 판정: f′(c) = 0이고 f″(c) > 0이면 극소, < 0이면 극대, = 0이면 판정 불가.
로피탈 정리: 0/0, ∞/∞ 꼴에서 $\lim f/g = \lim f'/g'$ (오른쪽이 있을 때). 다른 부정형은 몫으로 바꾸고, 거듭제곱 꼴은 로그를 취한다.
그래프 그리기: 정의역·절편 → 점근선 → f′ 부호 → 극값 → f″ 부호 → 연결. 성장 위계 $\ln x \ll x^p \ll a^x$ 는 결국의 순서이며, 추월 지점은 상수에 따라 멀 수 있다.

확인 퀴즈

Q1. $f(x) = x^{2/3}$ 은 $f(-1) = f(1) = 1$ 인데 $(-1, 1)$ 에서 $f'(c) = 0$ 인 점이 없다. 왜 롤의 정리와 모순이 아닌가?

f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3}

은

x = 0

에서 정의되지 않는다(뾰족점, 그래프가 수직 접선 쪽으로 꺾인다). f는 연속이고 끝점 값도 같지만 "(a, b)에서 미분 가능" 가정이 깨져 결론이 성립하지 않는다. 최솟값은 x = 0에 있지만 그곳의 기울기가 0이 아니라 존재하지 않는다.

Q2. $f(x) = x^3$ , 구간 $[0, 3]$ 에서 평균값 정리의 $c$ 는?

할선 기울기

\frac{27 - 0}{3} = 9

3c^2 = 9

에서

c = \sqrt3

(구간 안의 양수 근). 가운데 1.5가 아닌 것은 f′이 증가해 오른쪽 기울기가 더 크기 때문이다.

Q3. 모든 x에서 $f'(x) \le 2$ 이고 $f(0) = 1$ 이다. $f(4)$ 가 가질 수 있는 가장 큰 값은?

평균값 정리로

f(4) - f(0) = 4f'(c) \le 8

이므로

f(4) \le 9

f(x) = 2x + 1

이 이 값을 실제로 낸다. 구간 단속과 같은 논리를 거꾸로 쓴 것이다: 속도의 상한이 이동 거리의 상한을 준다.

Q4. $f'(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ 일 때 옳은 것은?

(x-1)^2 \ge 0

이므로 f′의 부호는

(x + 2)

가 정한다. x = −2에서 −→+이므로 극소. x = 1에서는 양쪽 모두 +라 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니다(수평 접선을 가진 변곡점 근처의 모양).

Q5. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x - \sin x}{x^3}$ 의 값은?

0/0이므로

\frac{1 - \cos x}{3x^2}

(여전히 0/0) →

\frac{\sin x}{6x}

→

\frac16

. 로피탈 정리를 세 번 썼고, 마지막은 sin x / x → 1을 써도 된다. 테일러 전개

\sin x = x - x^3/6 + \cdots

로도 바로 보인다.

Q6. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}$ 는?

∞⁰ 꼴이다.

\ln y = \frac{\ln x}{x}

는 ∞/∞이고 로피탈로

\frac{1/x}{1} \to 0

. 따라서

y \to e^0 = 1

. 로그가 x보다 느리게 자라는 성장 위계의 한 예다.

Q7. $f''(0) = 0$ 인 함수에 대해 항상 옳은 것은?

x^4

(극소, 변곡점 아님),

-x^4

(극대),

x^3

(변곡점, 극값 아님) 모두

f'(0) = f''(0) = 0

이다. f″ = 0이면 2계 판정은 아무 말도 하지 못하고, 1계 판정(f′의 부호 변화)으로 돌아가야 한다.

Q8. 아주 큰 x에서 작은 것부터 순서대로 놓은 것은?

로그의 어떤 거듭제곱도

x^p

(p > 0)보다 느리고, 어떤 거듭제곱도

a^x

(a > 1)보다 느리다(정리 5.14). 다만 "결국"은 멀다:

x^{100}

은

x \approx 1.17\times10^5

까지

1.01^x

보다 크고,

(\ln x)^{10}

이

x^{0.1}

보다 영원히 작아지는 것은

x \approx 10^{281}

부터다.