Chapter 04

연쇄 법칙과 초월 함수

3장의 법칙으로는 다항식과 분수식까지만 미분할 수 있습니다. 하지만 공학에 나오는 함수는 대부분 함수 안에 함수가 든 모양입니다. 교류 전압 $\sin(\omega t)$ , 감쇠하는 신호 $e^{-t/\tau}$ , 정규분포 $e^{-x^2/2}$ 가 모두 그렇습니다. 이런 합성 함수를 미분하는 규칙이 연쇄 법칙입니다. 바깥 함수의 변화율과 안쪽 함수의 변화율을 곱하면 됩니다. 이 한 규칙과 몇 가지 기본 도함수(sin, cos, eˣ)만 있으면 역함수 ln과 arctan, 곡선 위의 접선, 서로 묶여 변하는 양들의 변화율까지 모두 계산할 수 있습니다.

합성 함수 $f(g(x))$ 의 도함수가 $f'(g(x))\,g'(x)$ 인 이유를 배율의 곱으로 설명하고, 증명을 따라간다.
$\sin, \cos$ 의 도함수를 단위원과 $\lim \frac{\sin h}{h} = 1$ 로 유도하고, 나머지 삼각 함수의 도함수를 얻는다.
$a^x$ 의 기울기/값 비가 상수임을 보이고, 그 비가 1인 밑으로 $e$ 를 정의해 $(e^x)' = e^x$ 를 얻는다.
역함수의 도함수 $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ 로 $\ln x$ , $\arcsin x$ , $\arctan x$ 를 미분한다.
음함수 미분으로 원·타원·엽선의 접선을 구하고, 로그 미분으로 $x^x$ 같은 함수를 미분한다.
사다리·풍선·물탱크 문제에서 변수 사이의 관계식을 시간으로 미분해 관련 변화율을 구한다.

이 수식이 없었다면스스로 배우는 신경망

오늘날의 인공 신경망은 수백만~수십억 개의 숫자(가중치)를 조금씩 고쳐 가며 배웁니다. 고칠 방향은 "이 가중치를 아주 조금 바꾸면 오차가 얼마나 변하는가", 즉 오차를 가중치로 미분한 값입니다. 신경망은 함수를 수십 겹 합성한 거대한 합성 함수라서, 이 도함수는 바깥 층부터 안쪽 층까지 층마다의 변화율을 곱해 나가는 연쇄 법칙으로 계산합니다. 이 계산법을 역전파(backpropagation)라 하며, 1986년 러멜하트·힌턴·윌리엄스의 논문이 신경망 학습법으로 널리 알렸습니다.

역전파가 효율적인 이유는 같은 곱을 다시 계산하지 않고 출력에서 입력 쪽으로 한 번 훑으며 재사용하기 때문입니다. 연쇄 법칙을 "변화율을 사슬처럼 곱한다"로 이해하면 이 알고리즘이 바로 보입니다. 이 장에서는 두세 겹짜리 합성으로 그 사슬을 직접 확인합니다.

입력→층 1, 층 2, …(합성)→연쇄 법칙: 변화율의 곱→가중치마다 오차의 기울기

합성 함수와 연쇄 법칙

톱니바퀴 세 개

톱니바퀴 A가 한 바퀴 돌 때 B가 3바퀴 돌고, B가 한 바퀴 돌 때 C가 2바퀴 돈다면, A가 한 바퀴 돌 때 C는 몇 바퀴 돌까요? 6바퀴입니다. 배율은 곱해집니다. 변화율도 마찬가지일까요?

$y = f(u)$ 이고 $u = g(x)$ 이면 $y$ 는 $x$ 의 함수 $y = f(g(x)) = (f\circ g)(x)$ 입니다. 이것을 합성 함수(composite function)라 하고, $g$ 를 안쪽 함수, $f$ 를 바깥 함수라 부릅니다. $x$ 를 조금 $\Delta x$ 만큼 움직이면 $u$ 는 대략 $g'(x)$ 배인 $\Delta u \approx g'(x)\Delta x$ 만큼, 다시 $y$ 는 대략 $f'(u)$ 배인 $\Delta y \approx f'(u)\Delta u$ 만큼 움직입니다. 두 배율을 곱하면 $\Delta y \approx f'(u)\,g'(x)\,\Delta x$ 입니다.

그림 4-1. 연쇄 법칙의 톱니바퀴 비유. 바퀴가 작을수록 빨리 돈다. 안쪽 함수의 배율 g′(x)와 바깥 함수의 배율 f′(u)를 곱한 것이 전체 배율이다. 바깥 함수의 배율은 '지금 u가 있는 곳'에서 잰다.

정리 4.1 (연쇄 법칙)

g

가

x

에서 미분 가능하고

f

가

u = g(x)

에서 미분 가능하면

f\circ g

는

x

에서 미분 가능하고

(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\,g'(x), \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

증명. $\Delta u = g(x+h) - g(x)$ 라 두고 $\frac{\Delta y}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h}$ 라 쓰고 싶지만, $\Delta u$ 가 0이 될 수 있어(예: $g$ 가 상수인 구간) 나눌 수 없다. 그래서 함수 $\varphi(k) = \frac{f(u+k) - f(u)}{k}$ ( $k \ne 0$ ), $\varphi(0) = f'(u)$ 를 만든다. $f$ 가 $u$ 에서 미분 가능하므로 $\varphi$ 는 $k = 0$ 에서 연속이고, 모든 $k$ 에 대해 $f(u+k) - f(u) = \varphi(k)\,k$ 가 성립한다( $k = 0$ 이면 양변이 0). $k = \Delta u$ 를 넣으면 $\dfrac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \varphi(\Delta u)\cdot\dfrac{\Delta u}{h}$ . $h \to 0$ 이면 $g$ 의 연속성(정리 3.3)으로 $\Delta u \to 0$ 이므로 $\varphi(\Delta u) \to f'(u)$ , 그리고 $\frac{\Delta u}{h} \to g'(x)$ . ∎

계산할 때는 "바깥을 미분하고(안은 그대로 둔 채), 안을 미분해 곱한다"로 외웁니다. 괄호 안을 하나의 덩어리 $u$ 로 보는 연습이 전부입니다.

예제 4.1 (거듭제곱의 연쇄)

y = (3x^2 + 1)^5

을 미분하고

x = 1

에서의 값을 구하라.

안쪽 $u = 3x^2 + 1$ , 바깥 $y = u^5$ . $\frac{dy}{du} = 5u^4$ , $\frac{du}{dx} = 6x$ .
곱하고 $u$ 를 되돌린다: $y' = 5(3x^2+1)^4\cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4$ .
$x = 1$ : $30\cdot 4^4 = 30\cdot 256 = 7680$ . 전개해서 10차 다항식을 미분하는 것보다 훨씬 짧다.

예제 4.2 (제곱근의 연쇄)

y = \sqrt{1 + x^2}

이면

u = 1 + x^2

y = u^{1/2}

이고 3장 예제 3.2의

(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt u}

을 쓰면

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.

|y'| \lt 1

이고

x \to \pm\infty

에서

y' \to \pm 1

: 그래프는 멀리서

y = |x|

에 다가가는 쌍곡선이다(

y^2 - x^2 = 1

의 위쪽 가지).

SIMULATOR

연쇄 법칙 배율 체인: x → u → y

합성 x Δx

g′(x) = du/dx—

f′(u) = dy/du—

곱 f′(u)·g′(x)—

실제 Δy/Δx—

해볼 것: ① Δx를 줄이며 '실제 Δy/Δx'가 배율의 곱에 다가가는 것을 보세요. ② 'u = 2x, y = sin u'에서 x를 0.8보다 크게 하면 u > π/2라 f′(u) = cos u < 0이고 아래 구간이 뒤집힙니다(띠가 꼬임). ③ 'u = 1 − x²'은 안쪽이 줄어드는 함수라 첫 단계에서 이미 뒤집힙니다. x = 1이면 u = 0이라 f′(u) = 0, 전체 배율도 0입니다. 모델: 세 수직선은 같은 축척이고, Δx 구간은 늘 같은 길이로 그립니다. 화면 밖으로 나가는 구간은 끝을 화살표로 표시합니다.

흔한 실수

\frac{d}{dx}(3x^2+1)^5 = 5(3x^2+1)^4

에서 멈추는 것(안쪽 도함수

6x

를 빠뜨림), 그리고 바깥 도함수를

x

에서 계산하는 것(

f'(x)g'(x)

로 쓰는 것)입니다. 바깥 함수의 기울기는 언제나 안쪽 값

g(x)

에서 잽니다.

삼각 함수의 도함수: 단위원 위를 도는 점

회전하는 바퀴의 그림자

반지름 1인 바퀴 가장자리의 점이 1 rad/s로 돌고 있습니다. 이 점의 높이는 $\sin t$ 입니다. 높이가 가장 빨리 변하는 순간은 언제이고, 그 속도는 얼마일까요?

단위원 위의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 가 각속도 1로 돌면 속력은 1이고(호의 길이 = 반지름 × 라디안), 속도 방향은 반지름에 수직인 $(-\sin\theta, \cos\theta)$ 입니다. 높이 $\sin\theta$ 의 변화율은 속도의 세로 성분 $\cos\theta$ , 가로 좌표 $\cos\theta$ 의 변화율은 가로 성분 $-\sin\theta$ 입니다.

그림 4-2. 단위원 위를 각속도 1로 도는 점의 속도는 반지름에 수직이고 크기가 1이다. 그 세로 성분 cos θ가 높이 sin θ의 변화율, 가로 성분 −sin θ가 cos θ의 변화율이다.

그림은 설득력 있지만 "호의 길이로 잰 속력이 1"이라는 데 이미 극한이 숨어 있습니다. 2장에서 부채꼴 넓이로 증명한 극한으로 정식 증명을 합시다.

정리 4.2 (sin과 cos의 도함수)

x

를 라디안으로 잴 때

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.

증명. 2장의 $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ 을 쓴다. 먼저 $\frac{\cos h - 1}{h} = \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = -\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h + 1} \to -1\cdot\frac{0}{2} = 0$ . 덧셈 정리로 $\dfrac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h} \to \sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x$ . cos도 같다: $\dfrac{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\dfrac{\sin h}{h} \to -\sin x$ . ∎

SIMULATOR

sin과 cos: 도는 점과 그래프의 기울기

단위원 · 점을 끌어 보세요

y = sin θ와 접선 · 점선: 도함수

추적할 좌표

각을 도(°)로 재면?

θ—

속도의 해당 성분—

그래프 접선 기울기—

해볼 것: ① 점을 맨 오른쪽(θ = 0)에 두면 속도가 위를 향하고 sin의 기울기가 1로 가장 큽니다. ② 꼭대기(θ = π/2)에서는 속도가 수평이라 높이의 변화율이 0, 그래프는 수평 접선입니다. ③ '도로 재면'을 켜면 같은 그래프를 가로축 0°~360°로 늘여 그리므로 기울기가 모두 π/180 ≈ 0.01745배로 작아집니다. 모델: 각속도 1 rad/s. 접선 기울기는 중앙 차분으로, 속도 성분은 정확한 식으로 계산합니다.

나머지 네 삼각 함수는 몫의 법칙으로 나옵니다. 예를 들어 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 이면

\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.

정리 4.3 (삼각 함수의 도함수표)

f(x)	f′(x)	f(x)	f′(x)
$\sin x$	$\cos x$	$\csc x$	$-\csc x\cot x$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$\cot x$	$-\csc^2 x$

외우는 요령: 'co'가 붙은 함수(cos, csc, cot)의 도함수에는 음의 부호가 붙는다.

예제 4.3 (삼각 함수와 연쇄 법칙)

$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ . (바깥 sin, 안쪽 $x^2$ )
$\frac{d}{dx}\sin^2 x = \frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ . (바깥 제곱, 안쪽 sin) 1번과 혼동하지 않는다.
$\frac{d}{dx}\cos^3(2x) = 3\cos^2(2x)\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = -6\cos^2(2x)\sin(2x)$ . 세 겹: 세제곱 → cos → 2x.
교류: $v(t) = V_0\sin(\omega t + \phi)$ 이면 $\frac{dv}{dt} = \omega V_0\cos(\omega t + \phi)$ . 진폭이 $\omega$ 배가 되고 위상이 90° 앞선다.

지수 함수 eˣ: 기울기가 자기 자신인 함수

불어나는 속도가 지금 양에 비례한다면

세균 수, 복리 예금, 연쇄 반응의 중성자 수처럼 "늘어나는 속도가 지금 있는 양에 비례하는" 양이 많습니다. $y' = ky$ . 이런 함수는 어떤 모양일까요? 가장 단순한 경우 $y' = y$ , 즉 기울기가 자기 자신과 같은 함수가 있을까요?

$f(x) = a^x$ ( $a \gt 0$ )의 차분몫을 계산해 보면 놀라운 일이 생깁니다.

\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x\cdot\frac{a^h - 1}{h} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}a^x = a^x\cdot L(a), \qquad L(a) = \lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h} = f'(0).

a^x

이 미분 가능하면 기울기는 언제나 값 × 상수 L(a)이다. 상수

L(a)

는

x = 0

에서의 기울기다.

지수 함수는 어느 점에서든 "기울기 ÷ 값"이 같습니다. 그 비 $L(a)$ 는 $a$ 에 따라 달라서, 수치로 재면 $L(2) \approx 0.6931$ , $L(3) \approx 1.0986$ 입니다. $a$ 를 2에서 3으로 키우는 동안 $L(a)$ 는 1을 지나갑니다. 그때의 밑이 특별한 수입니다. (극한 $L(a)$ 가 존재하고 $a$ 에 대해 연속·증가한다는 사실은 여기서는 받아들입니다. 8장에서 $\ln x$ 를 적분으로 정의하면 깔끔하게 증명됩니다.)

정의 4.4 (e와 자연 지수 함수)

L(e) = \lim_{h\to 0}\dfrac{e^h - 1}{h} = 1

인 밑을

e

라 하고 자연 상수(Euler's number)라 부른다.

e = 2.718281828\ldots

이다. 함수

e^x

을 자연 지수 함수(natural exponential function)라 하고

\exp x

로도 쓴다. 정의에서 바로

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}\;\;(\text{연쇄 법칙}).

그래프로는

y = e^x

가

(0, 1)

에서 기울기 1로 지나는 유일한 지수 함수다.

SIMULATOR

기울기 ÷ 값이 1인 밑 a 찾기

y = aˣ · 점을 끌어 보세요

L(a) = 기울기 ÷ 값

밑 a

x₀—

값 aˣ⁰—

기울기—

기울기 ÷ 값—

해볼 것: ① a를 고정하고 점을 좌우로 끌어도 '기울기 ÷ 값'이 변하지 않는 것을 확인하세요. 지수 함수만의 성질입니다. ② a를 움직여 비가 1이 되는 곳을 찾으세요. ③ '이분법으로 찾기'는 [2, 3]을 반씩 줄여 e = 2.71828…에 다가갑니다(2장의 이분법). 모델: 기울기는 중앙 차분(h = 10⁻⁶). 아래 그래프의 L(a)는 실제로 ln a와 같습니다(정리 4.7 뒤의 설명).

다른 밑의 지수 함수는 $a = e^{\ln a}$ 로 $e$ 의 거듭제곱으로 바꿔 미분합니다( $\ln$ 은 다음 절에서 정의합니다). $a^x = e^{x\ln a}$ 이므로 연쇄 법칙으로 $(a^x)' = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$ . 즉 $L(a) = \ln a$ 이고, 위 시뮬레이터 아래 그래프가 바로 $\ln a$ 의 그래프입니다.

예제 4.4 (지수 함수의 연쇄)

방사성 붕괴 $N(t) = N_0e^{-t/\tau}$ : $N'(t) = -\frac{1}{\tau}N_0e^{-t/\tau} = -\frac{N}{\tau}$ . 줄어드는 속도가 남은 양에 비례한다.
가우스 함수 $y = e^{-x^2}$ : $y' = -2xe^{-x^2}$ . $x = 0$ 에서 0(꼭대기), $x \gt 0$ 에서 음수.
$y = 2^x$ : $y' = 2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x$ . $x = 3$ 이면 $8\ln 2 \approx 5.545$ .

역함수의 도함수: 거울에 비친 접선

eˣ의 기울기를 알면 ln x의 기울기도 알까

$y = \ln x$ 는 $e^y = x$ 를 $y$ 에 대해 푼 함수, 즉 $e^x$ 의 역함수입니다. 역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 $y = x$ 에 대해 뒤집은 것입니다. 뒤집으면 접선의 기울기는 어떻게 바뀔까요?

직선 $y = x$ 에 대해 뒤집으면 가로와 세로가 바뀝니다. 기울기 $m = \Delta y/\Delta x$ 인 선분은 $\Delta x/\Delta y = 1/m$ 인 선분이 됩니다. 그러니 $f$ 의 점 $(a, b)$ 에서 접선 기울기가 $m$ 이면 $f^{-1}$ 의 점 $(b, a)$ 에서 기울기는 $1/m$ 입니다.

그림 4-3. 함수 f(파랑)와 역함수 f⁻¹(진분홍)는 y = x에 대해 대칭이다. 대응하는 두 점의 접선도 서로 대칭이라 기울기가 역수 관계다.

정리 4.5 (역함수의 도함수)

f

가 구간에서 연속이고 순증가(또는 순감소)이며

a

에서 미분 가능하고

f'(a) \ne 0

이면, 역함수

f^{-1}

은

b = f(a)

에서 미분 가능하고

(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}, \qquad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.

증명. $y = b + k$ , $x = f^{-1}(y)$ 라 두면 $f$ 가 일대일이라 $k \ne 0$ 일 때 $x \ne a$ 이고 $\dfrac{f^{-1}(b+k) - f^{-1}(b)}{k} = \dfrac{x - a}{f(x) - f(a)} = 1\Big/\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . 연속인 순단조 함수의 역함수는 연속이므로(2장) $k \to 0$ 이면 $x \to a$ 이고, 분모가 $f'(a) \ne 0$ 으로 가서 결과가 나온다. ∎ 도함수가 있다는 것만 알면 $f(f^{-1}(y)) = y$ 를 연쇄 법칙으로 미분해 $f'(f^{-1}(y))\,(f^{-1})'(y) = 1$ 로 공식을 기억할 수 있다.

자연 로그와 역삼각 함수

$e^x$ 은 순증가이고 값이 $(0, \infty)$ 전체이므로 역함수가 있습니다. 이것이 자연 로그(natural logarithm) $\ln x$ 이고, $y = \ln x \Leftrightarrow e^y = x$ 입니다. 정리 4.5로 $(\ln x)' = 1/e^{\ln x} = 1/x$ .

정리 4.6 (로그와 역삼각 함수의 도함수)

\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}\;(x \ne 0), \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a},

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;(|x| \lt 1), \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}.

증명. $x \lt 0$ 이면 $\ln|x| = \ln(-x)$ 이고 연쇄 법칙으로 $\frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac1x$ . $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ . $y = \arcsin x$ 이면 $\sin y = x$ , $-\frac\pi2 \le y \le \frac\pi2$ 라 $\cos y \ge 0$ 이므로 $y' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ . $y = \arctan x$ 이면 $\tan y = x$ , $y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}$ . ∎

삼각 함수의 역함수인 역삼각 함수(inverse trigonometric functions)가 대수 함수 $\frac{1}{1+x^2}$ 을 도함수로 갖는다는 것은 뜻밖입니다. 덕분에 9장에서 $\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$ 가 되고, 12장에서 $\pi$ 를 급수로 계산하는 길이 열립니다.

SIMULATOR

역함수의 접선: 기울기 m과 1/m

f 위의 점을 끌어 보세요

함수 f / 역함수 f⁻¹ 대응점 잇기

점 (a, b)—

f′(a) = m—

(f⁻¹)′(b) = 1/m—

공식으로—

해볼 것: ① eˣ에서 a = 0이면 m = 1, 역함수 ln의 (1, 0)에서도 기울기 1입니다. a = 1이면 m = e, ln의 (e, 1)에서는 1/e입니다. ② x³에서 점을 원점에 두면 m = 0이고 ∛x는 수직 접선이 됩니다. ③ sin에서 a = π/6이면 b = 1/2, arcsin의 기울기는 1/cos(π/6) = 2/√3 ≈ 1.155입니다. 모델: 가로세로 같은 축척. 역함수 곡선은 f의 그래프를 (x, y) → (y, x)로 뒤집어 그립니다.

정리 4.7 (e의 두 얼굴)

\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{1/h} = e

, 특히

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n = e

. 2장에서 복리 계산으로 만난 수가 정의 4.4의

e

와 같은 수다.

증명. $(\ln x)' = 1/x$ 이므로 $x = 1$ 에서 $\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h) - \ln 1}{h} = 1$ , 즉 $\ln\left((1+h)^{1/h}\right) = \frac{\ln(1+h)}{h} \to 1$ . $\exp$ 가 연속이므로 $(1+h)^{1/h} = \exp\left(\frac{\ln(1+h)}{h}\right) \to e^1 = e$ . $h = 1/n$ 을 넣으면 수열의 극한도 나온다. ∎

음함수 미분: y를 풀지 않고 기울기 구하기

원 위의 접선

원 $x^2 + y^2 = 25$ 는 함수 하나의 그래프가 아닙니다. 한 $x$ 에 $y$ 가 둘( $\pm\sqrt{25 - x^2}$ )이니까요. 위쪽 반원으로 풀어 미분할 수도 있지만, 데카르트의 엽선 $x^3 + y^3 = 6xy$ 처럼 $y$ 에 대해 풀기 어려운 곡선도 있습니다. 풀지 않고 기울기를 구할 수 있을까요?

요령은 $y$ 를 " $x$ 의 함수인데 식을 모를 뿐"이라고 여기고, 식의 양변을 $x$ 로 미분하는 것입니다. $y$ 가 들어간 항은 연쇄 법칙으로 $y'$ 이 하나씩 붙습니다. 예를 들어 $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\,y'$ , $\frac{d}{dx}(xy) = y + xy'$ . 그다음 $y'$ 에 대해 일차방정식을 풉니다. 이것이 음함수 미분(implicit differentiation)입니다.

예제 4.5 (원)

x^2 + y^2 = 25

의

(3, 4)

에서의 접선을 구하라.

양변을 $x$ 로 미분: $2x + 2y\,y' = 0$ . 따라서 $y' = -\dfrac{x}{y}$ ( $y \ne 0$ ).
$(3, 4)$ 에서 $y' = -3/4$ . 접선: $y - 4 = -\tfrac34(x - 3)$ , 즉 $3x + 4y = 25$ .
검산: 반지름 방향 $(3, 4)$ 의 기울기는 $4/3$ 이고 $\tfrac43\cdot(-\tfrac34) = -1$ . 접선은 반지름에 수직이다. $y = 0$ 인 $(\pm 5, 0)$ 에서는 분모가 0이 되어 수직 접선이다.

예제 4.6 (데카르트의 엽선)

x^3 + y^3 = 6xy

의

(3, 3)

에서의 기울기와, 수평 접선을 갖는 점을 구하라.

미분: $3x^2 + 3y^2y' = 6y + 6xy'$ . $y'$ 을 모으면 $y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$ , 즉 $y' = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ .
$(3, 3)$ : $27 + 27 = 54 = 6\cdot 9$ 이므로 곡선 위의 점이고, $y' = \dfrac{6 - 9}{9 - 6} = -1$ .
수평 접선: 분자 $2y - x^2 = 0$ , 즉 $y = x^2/2$ 을 원래 식에 넣으면 $x^3 + x^6/8 = 3x^3$ , $x^3(x^3 - 16) = 0$ . 원점이 아닌 해는 $x = 16^{1/3} = 2^{4/3} \approx 2.520$ , $y = 2^{5/3} \approx 3.175$ . 대칭으로 $(2^{5/3}, 2^{4/3})$ 에서는 수직 접선이다.
원점에서는 분자·분모가 모두 0이다. 곡선이 자기 자신과 교차하는 점이라 접선이 하나로 정해지지 않는다.

SIMULATOR

음함수 곡선 위의 접선

곡선 위의 점을 끌어 보세요

곡선 법선(접선에 수직)도 보기

점 (x, y)—

dy/dx 공식—

dy/dx 값—

해볼 것: ① 원에서 점을 (5, 0) 쪽으로 끌어 기울기가 ±∞로 커지는(수직 접선) 것을 보세요. 공식의 분모 y가 0이 됩니다. ② 엽선에서 수평 접선이 되는 점(2.52, 3.17)을 찾아보세요(예제 4.6). ③ 렘니스케이트와 엽선은 원점에서 곡선이 교차합니다. 그곳에서는 분자·분모가 동시에 0입니다. 모델: 곡선은 F(x, y) = 0의 등고선을 격자에서 찾아 그리고, 끄는 점은 뉴턴 반복으로 곡선 위에 붙입니다.

정리 4.8 (실수 지수의 거듭제곱 법칙) 실수

r

에 대해

\dfrac{d}{dx}x^r = rx^{r-1}

(

x \gt 0

;

r

이 정수이거나 분모가 홀수인 유리수이면

x \lt 0

에서도).

증명. $x \gt 0$ 에서 $x^r = e^{r\ln x}$ 이므로 연쇄 법칙으로 $e^{r\ln x}\cdot\frac{r}{x} = x^r\cdot\frac rx = rx^{r-1}$ . 유리수 $r = p/q$ 이면 음함수 미분으로도 보일 수 있다: $y = x^{p/q}$ 이면 $y^q = x^p$ , $qy^{q-1}y' = px^{p-1}$ , $y' = \frac pq\cdot\frac{x^{p-1}}{x^{p(q-1)/q}} = \frac pq x^{p/q - 1}$ . ∎

로그 미분: 곱과 거듭제곱을 덧셈으로

$x^x$ 의 도함수는 $x\cdot x^{x-1}$ 일까

밑과 지수가 모두 변하는 $x^x$ 에는 거듭제곱 법칙(지수가 상수)도, 지수 함수 법칙(밑이 상수)도 맞지 않습니다. $x\cdot x^{x-1} = x^x$ 도, $x^x\ln x$ 도 틀린 답입니다.

로그는 곱을 합으로, 거듭제곱을 곱으로 바꿉니다. 그래서 복잡한 곱·몫·거듭제곱은 먼저 로그를 취한 다음 미분하면 쉬워집니다. $\ln y$ 를 $x$ 로 미분하면 연쇄 법칙으로 $\frac{y'}{y}$ 이 나옵니다. 이 방법을 로그 미분(logarithmic differentiation)이라 하고, $y'/y$ 를 상대 변화율(relative rate of change)이라 부릅니다.

예제 4.7 ( $x^x$ )

y = x^x

(

x \gt 0

)를 미분하고 최솟값을 구하라.

로그: $\ln y = x\ln x$ .
양변을 미분: $\dfrac{y'}{y} = \ln x + x\cdot\dfrac1x = \ln x + 1$ . 따라서 $y' = x^x(\ln x + 1)$ .
$y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = 1/e \approx 0.3679$ . 그 왼쪽에서 $y' \lt 0$ , 오른쪽에서 $y' \gt 0$ 이므로 최솟값 $(1/e)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.6922$ .
검산: $x = 1$ 이면 $y' = 1\cdot(0 + 1) = 1$ . 수치로 $\frac{1.001^{1.001} - 0.999^{0.999}}{0.002} \approx 1.000$ .

예제 4.8 (곱과 몫을 한꺼번에)

y = \dfrac{x^3(x+1)^2}{\sqrt{x^2+1}}

의

x = 1

에서의 미분계수를 구하라.

$\ln y = 3\ln x + 2\ln(x+1) - \tfrac12\ln(x^2+1)$ ( $x \gt 0$ ).
미분: $\dfrac{y'}{y} = \dfrac3x + \dfrac{2}{x+1} - \dfrac{x}{x^2+1}$ .
$x = 1$ : $y(1) = \frac{1\cdot 4}{\sqrt2} = 2\sqrt2$ , $\frac{y'}{y} = 3 + 1 - \frac12 = 3.5$ . 따라서 $y'(1) = 3.5\cdot 2\sqrt2 = 7\sqrt2 \approx 9.899$ .

몫의 법칙과 곱의 법칙을 겹겹이 쓰는 것보다 짧고, 항마다 "이 인수가 상대 변화율에 얼마를 보태는가"가 보인다. 6장의 상대 오차 전파가 같은 계산이다.

도함수 한눈표

(x^r)' = rx^{r-1}

(e^x)' = e^x

(a^x)' = a^x\ln a

(\ln|x|)' = 1/x

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

(\tan x)' = \sec^2 x

(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}

(\arctan x)' = 1/(1+x^2)

. 여기에 연쇄 법칙

(f(g))' = f'(g)\,g'

을 더하면 초등 함수는 모두 미분할 수 있습니다.

쌍곡선 함수 짧게

$e^x$ 과 $e^{-x}$ 을 반씩 섞으면 삼각 함수와 놀랍도록 닮은 함수가 생깁니다.

정의 4.9 (쌍곡선 함수)

\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.

이들을 쌍곡선 함수(hyperbolic functions)라 한다.

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

이 성립해서 점

(\cosh t, \sinh t)

는 쌍곡선

x^2 - y^2 = 1

위에 있다(원

x^2 + y^2 = 1

위의

(\cos t, \sin t)

와 대응).

정의에서 바로 미분할 수 있습니다. $(e^{-x})' = -e^{-x}$ 이므로

\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x, \qquad \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x\;(\text{부호 없음!}), \qquad \frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x.

현수선(catenary): 양 끝을 잡은 사슬·전선이 늘어진 모양은 $y = a\cosh(x/a)$ 이다. 송전선의 처짐과 장력 계산에 쓴다. 포물선과 비슷해 보이지만 다른 곡선이다.
신경망의 활성화 함수 $\tanh$ : 도함수가 $1 - \tanh^2 x$ 로 함숫값만으로 계산되어 역전파에 편리하다. $x = 0.5$ 이면 $1 - \tanh^2 0.5 \approx 0.786$ .
역함수도 로그로 쓸 수 있다: $\operatorname{arsinh}x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ , 그 도함수는 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (연쇄 법칙으로 확인해 보라).

이 도구가 쓰이는 곳

초월 함수와 연쇄 법칙은 회로, 신호, 성장과 감쇠, 기계 학습의 기본 문법입니다.

축전기에 흐르는 교류 전류 축전기 양단 전압이

v(t) = V_0\sin\omega t

이면 전류는

i = C\,\frac{dv}{dt} = \omega CV_0\cos\omega t

입니다. 연쇄 법칙 때문에 진폭에

\omega

가 곱해지고, cos는 sin보다 90° 앞서므로 전류가 전압보다 90° 앞섭니다. 예:

C = 10

μF, 60 Hz(

\omega = 2\pi\cdot 60 \approx 377

rad/s),

V_0 = 170

V이면 전류 진폭은

377\times 10^{-5}\times 170 \approx 0.64

A. 진동수가 두 배가 되면 전류도 두 배입니다. 이 비

V_0/I_0 = 1/(\omega C)

를 용량성 리액턴스라 합니다.

5장 · 평균값 정리로피탈 정리와 성장 비교
ln x ≪ xⁿ ≪ eˣ를 도함수로 증명한다. 12장 · 테일러 전개eˣ, sin x의 급수
도함수가 되풀이되는 함수는 급수로 쓰기 쉽다. 오일러 공식. 13장 · 편미분다변수 연쇄 법칙
여러 경로로 이어진 변화율의 합, 음함수 정리. MATHBOOK페이저와 임피던스
d/dt가 jω 곱하기가 되는 이유. MATHBOOK1계 미분방정식
y′ = ky의 해 e^kt: RC 회로, 냉각, 인구. MATHBOOK경사 하강법
연쇄 법칙으로 구한 기울기로 오차를 줄인다. 확률과 통계정규분포와 지수분포
밀도 e^−x²/2, e^−λx의 미분과 최빈값.

핵심 정리

연쇄 법칙: $(f(g(x)))' = f'(g(x))\,g'(x)$ . 바깥 도함수는 안쪽 값에서 계산하고, 안쪽 도함수를 곱한다. 배율은 곱해진다.
라디안에서 $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ . 증명의 열쇠는 $\frac{\sin h}{h} \to 1$ 과 $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ 이다. 나머지 삼각 함수는 몫의 법칙으로.
$(a^x)' = a^x L(a)$ : 지수 함수의 기울기는 값에 비례한다. 비가 1인 밑이 $e$ 이고 $(e^x)' = e^x$ , $(a^x)' = a^x\ln a$ .
역함수의 도함수는 역수: $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ . 이로부터 $(\ln x)' = 1/x$ , $(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}$ , $(\arctan x)' = 1/(1+x^2)$ .
음함수 미분: 식 전체를 $x$ 로 미분하고 $y$ 가 든 항에 $y'$ 을 붙인 뒤 $y'$ 에 대해 푼다. 실수 지수 거듭제곱 법칙도 여기서 나온다.
로그 미분: $\ln y$ 를 미분하면 $y'/y$ . 곱·몫·변하는 지수( $x^x$ )에 쓴다.
관련 변화율: 관계식을 $t$ 로 미분한 뒤 순간의 값을 넣는다. 수위 상승 속도 = 유입량 ÷ 수면 넓이.

확인 퀴즈

Q1. $\dfrac{d}{dx}\sin(3x^2)$ 은?

바깥 sin의 도함수 cos를 안쪽 값

3x^2

에서 계산하고 안쪽 도함수

6x

를 곱한다.

\cos(3x^2)

만 쓰면 안쪽 도함수를 빠뜨린 것이다.

Q2. $f(x) = x^3 + x$ 의 역함수 $f^{-1}$ 에 대해 $(f^{-1})'(2)$ 는?

f(1) = 2

이므로

f^{-1}(2) = 1

f'(x) = 3x^2 + 1

이라

f'(1) = 4

, 따라서

(f^{-1})'(2) = 1/4

f'(2) = 13

을 쓰면 틀린다. 바깥 기울기는 역함수 쪽 점

a = 1

에서 잰다.

Q3. 원 $x^2 + y^2 = 25$ 의 점 $(-3, 4)$ 에서 접선의 기울기는?

음함수 미분으로

y' = -x/y = -(-3)/4 = 3/4

. 원의 왼쪽 위 부분이라 오른쪽으로 갈수록 올라간다. 반지름 기울기

-4/3

과 곱하면 −1로 수직이다.

Q4. $\dfrac{d}{dx}2^x$ 은?

2^x = e^{x\ln 2}

이므로 연쇄 법칙으로

e^{x\ln 2}\cdot\ln 2 = 2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x

x\cdot 2^{x-1}

은 지수가 상수일 때의 거듭제곱 법칙을 잘못 쓴 것이다.

Q5. 사다리 바닥 끝을 일정한 속도로 벽에서 멀리 끌 때, 위 끝이 내려오는 속력은?

|\dot y| = \frac{x}{y}\dot x

이고 끌수록

x

는 커지고

y

는 작아지므로 비

x/y

가 커진다. 위 끝이 바닥에 가까워지면 모형상 속력이 한없이 커진다.

Q6. 풍선에 같은 비율(cm³/s)로 공기를 계속 넣으면 반지름의 증가 속도 $dr/dt$ 는?

\dot V = 4\pi r^2\dot r

에서

\dot r = \dot V/(4\pi r^2)

. 부피의 증가가 겉넓이 전체에 얇게 퍼지므로 풍선이 클수록 반지름은 천천히 는다.

Q7. $y = x^x$ 의 $x = 1$ 에서의 미분계수는?

로그 미분으로

y' = x^x(\ln x + 1)

x = 1

이면

1\cdot(0 + 1) = 1

y

의 최솟값은

x = 1/e

에서다.

Q8. 각 $x$ 를 도(°)로 재는 함수 $S(x) = \sin(x^\circ)$ 의 도함수는?

x^\circ = \frac{\pi x}{180}

라디안이므로

S(x) = \sin\frac{\pi x}{180}

이고 연쇄 법칙으로

\frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi x}{180}

. 미적분에서 라디안을 쓰는 이유는 이 성가신 상수를 없애기 위해서다.

합성 함수와 연쇄 법칙

연쇄 법칙 배율 체인: x → u → y

삼각 함수의 도함수: 단위원 위를 도는 점

sin과 cos: 도는 점과 그래프의 기울기

지수 함수 eˣ: 기울기가 자기 자신인 함수

기울기 ÷ 값이 1인 밑 a 찾기

역함수의 도함수: 거울에 비친 접선

자연 로그와 역삼각 함수

역함수의 접선: 기울기 m과 1/m

음함수 미분: y를 풀지 않고 기울기 구하기

음함수 곡선 위의 접선

로그 미분: 곱과 거듭제곱을 덧셈으로

관련 변화율: 묶여서 함께 변하는 양

미끄러지는 사다리

물탱크 채우기: 수위 상승 속도 = 유입량 ÷ 수면 넓이

쌍곡선 함수 짧게

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핵심 정리

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