Chapter 13

다변수 함수와 편미분

지금까지 다룬 함수는 수 하나를 받아 수 하나를 내놓았습니다. 하지만 공학에서 만나는 양은 대개 여러 원인에 동시에 달려 있습니다. 금속판의 온도는 위치 (x,y)(x, y)에, 기체의 압력은 온도와 부피에, 신경망의 오차는 수백만 개의 가중치에 달려 있습니다. 이런 다변수 함수의 그래프는 곡선이 아니라 곡면이고, "기울기"도 하나가 아닙니다. 동쪽으로 걸을 때와 북쪽으로 걸을 때 산의 경사가 다르니까요. 이 장은 곡면을 등고선 지도로 읽고, 한 번에 한 변수만 움직여 기울기를 재는 편도함수를 만들고, 곡면을 아주 가까이서 보면 평면이 된다는 사실(접평면)에서 일변수 미분의 모든 도구를 다시 세웁니다.

이 수식이 없었다면타지 않는 반도체 칩

손톱만 한 프로세서 칩은 작동하는 동안 수십~수백 와트의 열을 냅니다. 칩 위의 온도는 위치와 시간에 따라 달라지는 함수 u(x,y,t)u(x, y, t)이고, 설계자가 알고 싶은 것은 "이 지점은 시간이 지나면 얼마나 빨리 뜨거워지는가", "이 방향으로 열이 얼마나 세게 흘러 나가는가"입니다. 둘 다 다른 변수는 그대로 두고 한 변수만 바꿀 때의 변화율, 즉 편도함수입니다.

푸리에는 1822년 『열의 해석적 이론』에서 열의 흐름을 편도함수로 적은 열 방정식 ∂u/∂t=α (∂2u/∂x2+∂2u/∂y2)\partial u/\partial t = \alpha\,(\partial^2 u/\partial x^2 + \partial^2 u/\partial y^2)을 세우고 푸는 방법을 내놓았습니다. 오늘날 방열판, 배터리 팩, 엔진 블록의 열 해석 소프트웨어는 모두 이런 편미분 방정식을 격자 위에서 수치로 풉니다. 이 장은 그 언어의 알파벳인 편도함수에서 출발합니다.

위치·시간마다 다른 온도→변화율이 여러 개→편도함수 ∂u/∂t, ∂²u/∂x²→열 방정식으로 방열 설계

곡면과 등고선: 2변수 함수를 보는 두 방법

종이 한 장에 산을 그리려면

등산 지도는 평면 종이에 3차원 산을 담습니다. 높이를 숫자로 일일이 적는 대신, 같은 높이의 점을 이은 선을 일정한 간격으로 그립니다. 이 선들만 보고도 우리는 봉우리와 골짜기, 가파른 비탈과 완만한 능선을 알아봅니다. 함수 z=f(x,y)z = f(x, y)도 똑같이 볼 수 있을까요?

정의 13.1 (2변수 함수와 그래프) 평면의 집합 D⊂R2D \subset \mathbb{R}^2의 각 점 (x,y)(x, y)에 실수 f(x,y)f(x, y)를 하나씩 대응시키는 규칙 ff를 2변수 함수(function of two variables)라 하고, DD를 정의역, 함숫값의 모임을 치역이라 한다. ff의 그래프는 3차원 공간의 점들의 모임
{(x,y,z):(x,y)∈D,  z=f(x,y)}\{(x, y, z) : (x, y) \in D,\; z = f(x, y)\}
이며 보통 곡면이다. 변수가 셋 이상인 f(x1,…,xn)f(x_1, \dots, x_n)도 같은 방식으로 정의한다.
정의 13.2 (등위선과 등위면) 상수 kk에 대해 f(x,y)=kf(x, y) = k를 만족하는 점들의 모임을 ff의 등위선(level curve)이라 한다. 여러 kk의 등위선을 한 평면에 겹쳐 그린 그림이 등고선도(contour map)다. 3변수 함수에서는 f(x,y,z)=kf(x, y, z) = k가 곡면이 되고, 이것을 등위면(level surface)이라 한다.

등위선은 곡면을 높이 z=kz = k인 수평면으로 잘라 생긴 단면을 바닥에 내려 그린 것입니다. 높이 간격을 일정하게 잡으면 등고선이 촘촘한 곳일수록 가파릅니다. 같은 높이 차를 짧은 수평 거리에서 오르내리기 때문입니다.

옆에서 본 곡면: 높이 k로 자른다 위에서 본 등고선도 k = 1k = 2k = 3 왼쪽 비탈은 가파르고, 오른쪽은 완만하다 123 왼쪽: 간격이 좁다(가파름) · 오른쪽: 넓다(완만)
그림 13-1. 곡면을 일정한 높이 간격 k = 1, 2, 3으로 잘라 위에서 내려다보면 등고선도가 된다. 같은 높이 차를 짧은 수평 거리에서 오르는 왼쪽 비탈은 등고선이 촘촘하고, 완만한 오른쪽은 듬성듬성하다.
예제 13.1 (반구의 정의역·치역·등고선) f(x,y)=9−x2−y2f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}를 분석하라.
  1. 정의역: 제곱근 안이 0 이상이어야 하므로 x2+y2≤9x^2 + y^2 \le 9, 반지름 3인 닫힌 원판.
  2. 치역: x2+y2x^2 + y^2이 0에서 9까지 움직이므로 ff는 3에서 0까지, 치역은 [0,3][0, 3].
  3. 그래프: z=9−x2−y2z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}를 제곱하면 x2+y2+z2=9x^2 + y^2 + z^2 = 9 (z≥0z \ge 0), 반지름 3인 위쪽 반구.
  4. 등위선: f=kf = k이면 x2+y2=9−k2x^2 + y^2 = 9 - k^2, 반지름 9−k2\sqrt{9 - k^2}인 원. k=0,1,2,3k = 0, 1, 2, 3에서 반지름은 3, 8≈2.83, 5≈2.24, 03,\ \sqrt8 \approx 2.83,\ \sqrt5 \approx 2.24,\ 0.
  5. 해석: k=0k = 0과 1 사이의 원은 0.17만큼, 2와 3 사이는 2.24만큼 떨어져 있다. 가장자리(적도)로 갈수록 등고선이 촘촘해지는 것은 반구의 옆면이 수직에 가까워지기 때문이다.

아래 시뮬레이터에서 곡면을 끌어 돌려 보세요. 반투명한 평면이 높이 z=cz = c이고, 그 평면이 곡면을 자르는 곡선(진한 선)을 위에서 내려다본 것이 아래 등고선도의 강조된 선입니다.

SIMULATOR

곡면과 등고선도: 높이 c로 자르기

곡면 z = f(x, y)끌어서 돌리기
위에서 본 등고선도
높이 범위—
높이 c—
등고선 간격—
해볼 것: ① '반구'에서 c를 0에서 3으로 올리며 원이 줄어드는 속도를 보세요. 예제 13.1의 결론처럼 가장자리 근처의 등고선이 촘촘합니다. ② '안장'에서 c = 0의 등고선은 두 직선 y = ±x로 갈라집니다. c의 부호에 따라 쌍곡선이 좌우·상하로 바뀝니다. ③ '원뿔'은 등고선 간격이 일정합니다. 경사가 어디서나 같기 때문입니다. 모델: 정사영(원근 없음), 곡면은 32×32 조각을 먼 것부터 칠해 가립니다. 바닥 등고선은 높이를 10등분한 9개입니다.

변수가 셋인 함수 T(x,y,z)T(x, y, z), 예컨대 방 안의 온도 분포는 그래프를 그리려면 4차원이 필요합니다. 그때는 등위면 T=kT = k, 즉 등온면을 그립니다. 기상도의 등압선, 전기장의 등전위면, 지도의 등고선이 모두 같은 생각입니다.

다변수 극한: 다가가는 길이 무한히 많다

원점으로 들어오는 길

일변수에서 x→ax \to a는 왼쪽과 오른쪽, 두 방향만 확인하면 됐습니다. 평면의 점 (x,y)→(0,0)(x, y) \to (0, 0)은 직선으로, 포물선으로, 나선으로, 무한히 많은 길로 다가갈 수 있습니다. 극한이 "있다"고 말하려면 무엇을 확인해야 할까요?

정의 13.3 (2변수 함수의 극한) 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 δ>0\delta > 0가 있어서
0<(x−a)2+(y−b)2<δ  ⟹  ∣f(x,y)−L∣<ε0 \lt \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} \lt \delta \;\Longrightarrow\; |f(x, y) - L| \lt \varepsilon
이면 lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)=L\displaystyle\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = L이라 쓴다. 일변수의 ε–δ 정의(1장)에서 ∣x−a∣|x - a|를 평면 위의 거리로 바꾼 것이다.

조건 "(a,b)(a, b)를 중심으로 한 반지름 δ\delta인 원 안의 모든 점"이 핵심입니다. 어떤 길로 다가가든 그 길은 결국 이 원 안으로 들어오므로, 극한이 있으면 모든 경로를 따라 같은 값 LL로 가야 합니다. 이것을 뒤집으면 극한이 없음을 보이는 가장 쉬운 방법이 됩니다.

정리 13.4 (두 경로 판정) (a,b)(a, b)로 가는 두 경로를 따라 ff가 서로 다른 값으로 가면(또는 한 경로에서라도 극한이 없으면) lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)\displaystyle\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)는 존재하지 않는다.

증명. 극한 LL이 있다고 하자. 경로 r(t)→(a,b)\mathbf{r}(t) \to (a, b) (r(t)≠(a,b)\mathbf{r}(t) \ne (a, b))를 따라가면 충분히 큰 tt부터 r(t)\mathbf{r}(t)가 반지름 δ\delta인 원 안에 들어오므로 ∣f(r(t))−L∣<ε|f(\mathbf{r}(t)) - L| \lt \varepsilon. 즉 모든 경로에서 극한이 LL이어야 하는데 두 값이 다르니 모순이다. ∎

예제 13.2 (세 함수, 세 가지 결말)
  1. f(x,y)=xyx2+y2f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}. 직선 y=mxy = mx를 따라가면 f=mx2x2+m2x2=m1+m2f = \dfrac{mx^2}{x^2 + m^2x^2} = \dfrac{m}{1 + m^2}로 기울기 mm마다 다른 상수다. m=0m = 0이면 0, m=1m = 1이면 12\tfrac12. 정리 13.4에 따라 극한이 없다.
  2. g(x,y)=x2yx4+y2g(x, y) = \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2}. 직선 y=mxy = mx에서는 g=mx3x4+m2x2=mxx2+m2→0g = \dfrac{mx^3}{x^4 + m^2x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0 (m=0m = 0이나 yy축을 따라가도 0). 그런데 포물선 y=x2y = x^2에서는 g=x4x4+x4=12g = \dfrac{x^4}{x^4 + x^4} = \tfrac12. 모든 직선에서 같아도 극한이 있다는 보장은 없다.
  3. h(x,y)=x2yx2+y2h(x, y) = \dfrac{x^2y}{x^2 + y^2}. x2≤x2+y2x^2 \le x^2 + y^2이므로 ∣h∣≤∣y∣≤x2+y2|h| \le |y| \le \sqrt{x^2 + y^2}. 조임 정리로 h→0h \to 0이다. 극좌표로 쓰면 h=rcos⁡2θsin⁡θh = r\cos^2\theta\sin\theta, ∣h∣≤r|h| \le r이 θ\theta와 상관없이 성립한다.
극좌표 판정의 함정 "r→0r \to 0일 때 0으로 간다"를 보이려면 θ\theta에 상관없는 상한 ∣f−L∣≤B(r)→0|f - L| \le B(r) \to 0이 필요합니다. 예제 13.2의 gg를 극좌표로 쓰면 g=rcos⁡2θsin⁡θr2cos⁡4θ+sin⁡2θg = \dfrac{r\cos^2\theta\sin\theta}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}인데, θ\theta를 고정하면 r→0r \to 0에서 0으로 가지만, sin⁡θ≈rcos⁡2θ\sin\theta \approx r\cos^2\theta처럼 θ\theta가 rr과 함께 움직이면(포물선 경로) 12\tfrac12이 나옵니다. 고정된 θ\theta마다 확인하는 것은 직선 경로만 확인하는 것과 같습니다.
정의 13.5 (연속) lim⁡(x,y)→(a,b)f(x,y)=f(a,b)\displaystyle\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b)이면 ff는 (a,b)(a, b)에서 연속(continuous)이다. 다항식은 어디서나 연속이고, 유리 함수는 분모가 0이 아닌 곳에서 연속이며, 연속 함수의 합·곱·합성은 연속이다(증명은 일변수와 같다).

그래서 ex−ycos⁡(xy)e^{x - y}\cos(xy)나 ln⁡(1+x2+y2)\ln(1 + x^2 + y^2) 같은 식은 정의된 곳 어디서나 값을 대입하면 극한이 나옵니다. 문제는 예제 13.2처럼 분모가 0이 되는 점뿐입니다. 아래 시뮬레이터에서 직선 경로와 포물선 경로를 동시에 원점으로 보내 보세요.

SIMULATOR

경로마다 다른 극한: 직선 vs 포물선

색 = f의 값(파랑 −1 … 빨강 +1)
경로를 따라 본 f (가로: 원점까지의 x, 로그)
직선 위 f—
포물선 위 f—
직선 경로 극한—
포물선 경로 극한—
해볼 것: ① 함수 ①에서 m을 바꾸면 직선 경로의 극한이 m/(1 + m²)로 바뀝니다. 색 지도에서 원점을 중심으로 색이 부채꼴로 갈라지는 것이 그 이유입니다. ② 함수 ②에서는 어떤 m을 골라도 직선 극한이 0인데, 포물선 극한은 k/(1 + k²)입니다. 지도에서 포물선 모양의 빨간 띠를 찾아보세요. ③ 함수 ③은 모든 경로가 0으로 모입니다. 모델: 경로 극한은 x = 10−7에서 계산한 값으로 표시합니다. 원점 자체에서는 함수가 정의되지 않습니다.

편도함수: 단면의 기울기

온도만 올리면 압력은 얼마나 오를까

밀폐된 용기 속 기체의 압력 PP는 온도 TT와 부피 VV에 달려 있습니다. 부피를 고정한 채 온도만 1 K 올리면 압력이 얼마나 오르는지, 온도를 고정한 채 부피만 1 L 줄이면 얼마나 오르는지는 서로 다른 질문입니다. 변수가 둘이면 "변화율"이 적어도 둘입니다.

요령은 간단합니다. 변수 하나만 움직이고 나머지는 얼려 두면 일변수 함수가 되므로, 그 함수를 미분하면 됩니다. 기하적으로는 곡면 z=f(x,y)z = f(x, y)를 수직 평면 y=by = b로 자른 단면 곡선 z=f(x,b)z = f(x, b)의 기울기입니다.

정의 13.6 (편도함수) ff의 점 (a,b)(a, b)에서 xx에 대한 편도함수(partial derivative)는
fx(a,b)=∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h,b)−f(a,b)h,f_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h},
yy에 대한 편도함수는 fy(a,b)=lim⁡h→0f(a,b+h)−f(a,b)hf_y(a, b) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a, b + h) - f(a, b)}{h}이다. 극한이 있을 때 정의된다. 기호 ∂\partial("라운드 디" 또는 "파셜")는 다른 변수가 고정되어 있음을 알리는 표시다.
y = b로 자른 단면: z = f(x, b) x = a로 자른 단면: z = f(a, y) xz a 기울기 = fₓ(a, b) yz b 기울기 = f_y(a, b) < 0
그림 13-2. 같은 점 (a, b)에서도 x 방향 단면(왼쪽)은 오르막이고 y 방향 단면(오른쪽)은 내리막일 수 있다. 편도함수 fₓ와 f_y는 각 단면 곡선의 접선 기울기다. 두 숫자로는 곡면의 경사를 다 말할 수 없고, 다른 방향의 기울기는 14장의 방향 도함수가 다룬다.

계산 규칙은 일변수와 똑같습니다. fxf_x를 구할 때는 yy를 숫자처럼 다루고 xx로 미분하면 됩니다. 곱·몫·연쇄 법칙이 모두 그대로 통합니다.

예제 13.3 (편도함수 계산) f(x,y)=x2y−3xy2+ex−yf(x, y) = x^2y - 3xy^2 + e^{x - y}의 fxf_x, fyf_y와 점 (1,1)(1, 1)에서의 값을 구하라.
  1. yy를 상수로: fx=2xy−3y2+ex−yf_x = 2xy - 3y^2 + e^{x - y}. (ex−ye^{x-y}를 xx로 미분하면 연쇄 법칙으로 ex−y⋅1e^{x-y}\cdot 1.)
  2. xx를 상수로: fy=x2−6xy−ex−yf_y = x^2 - 6xy - e^{x - y}. (∂(x−y)/∂y=−1\partial(x - y)/\partial y = -1.)
  3. (1,1)(1, 1)에서: f(1,1)=1−3+1=−1f(1, 1) = 1 - 3 + 1 = -1, fx=2−3+1=0f_x = 2 - 3 + 1 = 0, fy=1−6−1=−6f_y = 1 - 6 - 1 = -6.
  4. 해석: 이 점에서 xx 방향 단면은 수평이고(접선 기울기 0), yy 방향으로는 1만큼 갈 때 약 6만큼 내려간다.
예제 13.4 (편도함수의 단위: 이상 기체) 1 mol의 이상 기체는 P=RT/VP = RT/V (R=8.314 J/(mol⋅K)R = 8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)})를 따른다. T=300 KT = 300\ \mathrm{K}, V=0.025 m3V = 0.025\ \mathrm{m^3}에서
  1. P=8.314×300/0.025≈99 770 PaP = 8.314 \times 300 / 0.025 \approx 99\,770\ \mathrm{Pa}, 대략 1기압.
  2. ∂P/∂T=R/V=8.314/0.025≈332.6 Pa/K\partial P/\partial T = R/V = 8.314/0.025 \approx 332.6\ \mathrm{Pa/K}. 부피를 고정하고 1 K 데우면 약 333 Pa 오른다.
  3. ∂P/∂V=−RT/V2≈−3.99×106 Pa/m3\partial P/\partial V = -RT/V^2 \approx -3.99\times 10^6\ \mathrm{Pa/m^3}, 즉 1 L(10−3 m310^{-3}\,\mathrm{m^3})당 약 −3.99 kPa-3.99\ \mathrm{kPa}. 온도를 고정하고 1 L 줄이면 약 4 kPa 오른다.
편도함수의 단위는 언제나 (함수의 단위)/(그 변수의 단위)다. 열역학 교과서가 (∂P/∂T)V(\partial P/\partial T)_V처럼 고정한 변수를 아래 첨자로 적는 것은, 무엇을 고정하느냐에 따라 값이 달라지기 때문이다.
SIMULATOR

단면 자르기: x 고정, y 고정

곡면과 자르는 평면끌어서 돌리기
단면 곡선과 접선
자르는 방향
f(a, b)—
∂f/∂x (a, b)—
∂f/∂y (a, b)—
해볼 것: ① 예제 13.3의 점 (1, 1)에서 두 방향을 번갈아 보세요. x 방향 접선은 수평(0), y 방향은 −6입니다. ② '4 − x² − 2y²'에서 ∂f/∂x = −2a는 b와 상관이 없습니다. b를 움직여도 x 방향 기울기가 그대로인지 확인해 보세요. ③ 곡면을 돌려 자르는 평면을 정면에서 보면 아래 그래프와 같은 모양이 됩니다. 모델: 편도함수는 중심 차분 (f(a + h, b) − f(a − h, b))/2h, h = 10−5로 계산합니다.
편도함수가 있어도 연속이 아닐 수 있다 예제 13.2의 f=xy/(x2+y2)f = xy/(x^2 + y^2)에 f(0,0)=0f(0, 0) = 0을 붙여 정의하면, xx축 위에서 f(h,0)=0f(h, 0) = 0이므로 fx(0,0)=0f_x(0, 0) = 0, 마찬가지로 fy(0,0)=0f_y(0, 0) = 0입니다. 두 편도함수가 다 있는데도 ff는 원점에서 극한조차 없습니다. 편도함수는 두 축 방향의 정보만 보기 때문입니다. 일변수에서 "미분 가능하면 연속"이었던 것을 되찾으려면 더 강한 개념이 필요합니다. 그것이 5절의 미분 가능성입니다.

고계 편도함수와 클레로 정리

fxf_x와 fyf_y도 다시 2변수 함수이므로 또 편미분할 수 있습니다. 2계 편도함수는 네 개입니다.

fxx=∂2f∂x2,fyy=∂2f∂y2,fxy=(fx)y=∂2f∂y ∂x,fyx=(fy)x=∂2f∂x ∂y.f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy} = (f_x)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x},\qquad f_{yx} = (f_y)_x = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}.
아래 첨자 표기는 왼쪽부터 미분하고, ∂\partial 표기는 오른쪽(분모 쪽 가까운 것)부터 미분한다. fxyf_{xy}와 fyxf_{yx}를 혼합 편도함수(mixed partial derivatives)라 한다.

fxxf_{xx}는 xx 방향 단면의 오목·볼록(휘어짐)이고, 혼합 편도함수 fxyf_{xy}는 "yy로 옮겨 갈수록 xx 방향 기울기가 얼마나 변하는가", 즉 곡면의 비틀림입니다.

예제 13.5 (2계 편도함수 넷) f(x,y)=x3+x2y3−2y2f(x, y) = x^3 + x^2y^3 - 2y^2.
  1. 1계: fx=3x2+2xy3f_x = 3x^2 + 2xy^3, fy=3x2y2−4yf_y = 3x^2y^2 - 4y.
  2. 2계: fxx=6x+2y3f_{xx} = 6x + 2y^3, fyy=6x2y−4f_{yy} = 6x^2y - 4.
  3. 혼합: fxy=∂y(3x2+2xy3)=6xy2f_{xy} = \partial_y(3x^2 + 2xy^3) = 6xy^2, fyx=∂x(3x2y2−4y)=6xy2f_{yx} = \partial_x(3x^2y^2 - 4y) = 6xy^2. 두 값이 같다.
  4. 점 (1,2)(1, 2)에서: fxx=22f_{xx} = 22, fyy=4f_{yy} = 4, fxy=fyx=24f_{xy} = f_{yx} = 24.

혼합 편도함수가 같은 것은 우연이 아닙니다. 웬만큼 매끄러운 함수에서는 언제나 그렇습니다.

정리 13.7 (클레로 정리) fxyf_{xy}와 fyxf_{yx}가 점 (a,b)(a, b)를 포함하는 열린 원판에서 연속이면 fxy(a,b)=fyx(a,b)f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)이다. 이를 클레로 정리(Clairaut's theorem) 또는 슈바르츠 정리라 부른다.

증명 아이디어. 네 점에서의 값으로 만든 혼합 차분 Δ(h,k)=f(a+h,b+k)−f(a+h,b)−f(a,b+k)+f(a,b)\Delta(h, k) = f(a + h, b + k) - f(a + h, b) - f(a, b + k) + f(a, b)을 보자. g(x)=f(x,b+k)−f(x,b)g(x) = f(x, b + k) - f(x, b)로 두면 Δ=g(a+h)−g(a)\Delta = g(a + h) - g(a)이고, 평균값 정리를 xx에 한 번, 그다음 fxf_x에 yy로 한 번 쓰면 Δ=hk fxy(ξ,η)\Delta = hk\,f_{xy}(\xi, \eta)인 점 (ξ,η)(\xi, \eta)가 사각형 안에 있다. 순서를 바꿔 yy를 먼저 하면 Δ=hk fyx(ξ′,η′)\Delta = hk\,f_{yx}(\xi', \eta'). 따라서 fxy(ξ,η)=fyx(ξ′,η′)f_{xy}(\xi, \eta) = f_{yx}(\xi', \eta')이고, h,k→0h, k \to 0일 때 두 점이 모두 (a,b)(a, b)로 가므로 연속성에서 결론이 나온다. ∎

증명의 Δ(h,k)/(hk)\Delta(h, k)/(hk)는 fxyf_{xy}와 fyxf_{yx} 어느 쪽의 근사이기도 합니다. 그런데 연속성 조건이 깨지면 hh를 먼저 0으로 보내느냐, kk를 먼저 보내느냐에 따라 다른 값이 나올 수 있습니다.

반례 f(x,y)=xy(x2−y2)x2+y2f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, f(0,0)=0f(0, 0) = 0. 원점 밖에서 계산하면 fx(0,y)=−yf_x(0, y) = -y이므로 fxy(0,0)=−1f_{xy}(0, 0) = -1, fy(x,0)=xf_y(x, 0) = x이므로 fyx(0,0)=1f_{yx}(0, 0) = 1입니다. 두 혼합 편도함수가 다릅니다. 이 함수는 두 축 위에서 0이라 Δ(h,k)=f(h,k)\Delta(h, k) = f(h, k)이고, Δ/(hk)=(h2−k2)/(h2+k2)\Delta/(hk) = (h^2 - k^2)/(h^2 + k^2)는 k≪hk \ll h이면 1, h≪kh \ll k이면 −1에 가깝습니다. fxyf_{xy}는 hh를 먼저 0으로 보낸 뒤 kk를 보내는 반복 극한(h≪kh \ll k 쪽)이라 −1, fyxf_{yx}는 그 반대라 +1이 됩니다. 혼합 편도함수가 원점에서 연속이 아닌 것입니다.
SIMULATOR

혼합 차분 Δ(h, k)/(hk): 확대하면 한 값으로 모이나

(h, k) 평면 · 색 = Δ/(hk)
끈 점의 Δ/(hk)—
k ≪ h 쪽 (h를 나중에 → fyx)—
h ≪ k 쪽 (h를 먼저 → fxy)—
fxy, fyx (정확값)—
해볼 것: ① 'e^(xy)'에서 r을 줄이면 색이 한 가지(값 1)로 고르게 바뀝니다. 혼합 편도함수가 연속이면 어느 방향으로 다가가도 같은 값입니다. ② '반례'는 아무리 확대해도 무늬가 그대로입니다. 가로축 근처는 +1(빨강), 세로축 근처는 −1(파랑)이고, 확대는 무늬를 바꾸지 못합니다. ③ 점을 끌면 사각형 네 꼭짓점(+, −, −, +)이 혼합 차분에 들어가는 네 함숫값입니다. 모델: 색 범위는 기준값 ± 1.5, 축 위(h = 0 또는 k = 0)는 정의되지 않습니다.
쓰이는 곳: 열역학의 맥스웰 관계식 내부 에너지 U(S,V)U(S, V)의 전미분이 dU=T dS−P dVdU = T\,dS - P\,dV라는 것은 ∂U/∂S=T\partial U/\partial S = T, ∂U/∂V=−P\partial U/\partial V = -P라는 뜻입니다. 클레로 정리 USV=UVSU_{SV} = U_{VS}를 쓰면 곧바로 (∂T/∂V)S=−(∂P/∂S)V(\partial T/\partial V)_S = -(\partial P/\partial S)_V가 나옵니다. 재기 어려운 양(엔트로피의 변화)을 재기 쉬운 양(온도·압력)으로 바꾸는 맥스웰 관계식들은 모두 이런 식으로 혼합 편도함수의 대칭에서 나옵니다.

접평면과 선형 근사: 확대하면 평면이 된다

곡면을 아주 가까이서 보면

일변수에서 매끄러운 곡선은 확대할수록 직선(접선)처럼 보였고, 그것이 미분의 기하적 뜻이었습니다(3장). 지구 표면이 우리 발밑에서 평평해 보이듯, 매끄러운 곡면은 확대하면 평면처럼 보일까요? 그 평면은 무엇일까요?

점 (a,b,f(a,b))(a, b, f(a, b))를 지나는 두 단면 곡선의 접선을 생각합니다. xx 방향 접선의 방향은 (1,0,fx)(1, 0, f_x), yy 방향 접선의 방향은 (0,1,fy)(0, 1, f_y)입니다. 두 직선을 모두 품는 평면은 하나뿐이고, 그것이 후보입니다.

z=f(a,b)+fx(a,b) (x−a)+fy(a,b) (y−b).z = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b).
이 평면을 점 (a,b)(a, b)에서의 접평면(tangent plane)이라 하고, 우변의 1차식 L(x,y)L(x, y)를 ff의 선형화(linearization)라 한다. 법선 벡터는 (fx,fy,−1)(f_x, f_y, -1)이다.

그런데 3절의 경고가 말하듯, 두 편도함수가 있다고 해서 곡면이 정말 이 평면에 붙어 있는 것은 아닙니다. 편도함수는 두 축 방향만 보니까요. 그래서 다변수에서는 "확대하면 평면이 된다"를 직접 정의로 삼습니다.

정의 13.8 (미분 가능성) fx(a,b)f_x(a, b), fy(a,b)f_y(a, b)가 있고
lim⁡(h,k)→(0,0)f(a+h,b+k)−f(a,b)−fx(a,b) h−fy(a,b) kh2+k2=0\lim_{(h, k) \to (0, 0)}\frac{f(a + h, b + k) - f(a, b) - f_x(a, b)\,h - f_y(a, b)\,k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0
이면 ff는 (a,b)(a, b)에서 미분 가능(differentiable)하다고 한다. 즉 선형 근사의 오차가 거리 h2+k2\sqrt{h^2 + k^2}보다 빨리 0으로 가야 한다.
정리 13.9 (미분 가능성의 두 얼굴)
  1. ff가 (a,b)(a, b)에서 미분 가능하면 그 점에서 연속이다.
  2. fxf_x와 fyf_y가 (a,b)(a, b) 근처에서 존재하고 (a,b)(a, b)에서 연속이면 ff는 (a,b)(a, b)에서 미분 가능하다.

증명. ① 정의의 분자를 E(h,k)E(h, k)라 하면 E=h2+k2⋅(E/h2+k2)→0⋅0E = \sqrt{h^2 + k^2}\cdot\bigl(E/\sqrt{h^2 + k^2}\bigr) \to 0\cdot 0이므로 f(a+h,b+k)→f(a,b)f(a + h, b + k) \to f(a, b). ② f(a+h,b+k)−f(a,b)=[f(a+h,b+k)−f(a,b+k)]+[f(a,b+k)−f(a,b)]f(a + h, b + k) - f(a, b) = [f(a + h, b + k) - f(a, b + k)] + [f(a, b + k) - f(a, b)]로 쪼개 각 괄호에 평균값 정리를 쓰면 =fx(a+θ1h,b+k) h+fy(a,b+θ2k) k= f_x(a + \theta_1 h, b + k)\,h + f_y(a, b + \theta_2 k)\,k (0<θi<10 \lt \theta_i \lt 1). 편도함수가 연속이므로 fx(a+θ1h,b+k)=fx(a,b)+ε1f_x(a + \theta_1h, b + k) = f_x(a, b) + \varepsilon_1, fy(⋅)=fy(a,b)+ε2f_y(\cdot) = f_y(a, b) + \varepsilon_2 (εi→0\varepsilon_i \to 0)이고, 오차는 ∣ε1h+ε2k∣≤(∣ε1∣+∣ε2∣)h2+k2|\varepsilon_1 h + \varepsilon_2 k| \le (|\varepsilon_1| + |\varepsilon_2|)\sqrt{h^2 + k^2}. ∎

정리 13.9 ②의 조건(편도함수가 연속, 이른바 C1C^1 함수)은 다항식, 지수·삼각 함수의 조합처럼 우리가 쓰는 거의 모든 식에서 성립합니다. 그래서 실제 계산에서는 "편도함수를 구하고, 그것이 연속인지 본다"가 미분 가능성 판정의 표준 절차입니다.

예제 13.6 (선형 근사로 어림하기) f(x,y)=x exyf(x, y) = x\,e^{xy}의 (1,0)(1, 0)에서 선형화를 구하고 f(1.1,−0.1)f(1.1, -0.1)를 어림하라.
  1. f(1,0)=1f(1, 0) = 1. fx=exy+xy exyf_x = e^{xy} + xy\,e^{xy}이므로 fx(1,0)=1f_x(1, 0) = 1. fy=x2exyf_y = x^2e^{xy}이므로 fy(1,0)=1f_y(1, 0) = 1. 편도함수가 모두 연속이니 미분 가능하다.
  2. L(x,y)=1+(x−1)+y=x+yL(x, y) = 1 + (x - 1) + y = x + y.
  3. f(1.1,−0.1)≈L(1.1,−0.1)=1.0f(1.1, -0.1) \approx L(1.1, -0.1) = 1.0. 참값은 1.1 e−0.11≈0.98541.1\,e^{-0.11} \approx 0.9854, 오차 약 0.015.
  4. 오차의 크기: 거리 0.12+0.12≈0.141\sqrt{0.1^2 + 0.1^2} \approx 0.141에 대해 오차/거리 ≈ 0.10. 거리를 절반으로 줄이면 이 비도 대략 절반으로 준다(다음 시뮬레이터).
SIMULATOR

접평면 확대경: 곡면이 평면에 붙는가

곡면과 접평면끌어서 돌리기
최대 오차 / 창 크기 (로그–로그)
선형화 L(x, y)—
창 안 최대 오차 E—
E / w—
해볼 것: ① 예제 13.6에서 w를 줄이면 곡면과 평면이 구별되지 않을 만큼 붙고, 아래 그래프의 E/w가 기울기 1의 직선으로 줄어듭니다(오차 ∝ w²). ② '원뿔'의 원점에서는 아무리 확대해도 뾰족한 모양이 그대로이고 E/w가 상수입니다. 편도함수가 없습니다. ③ 'xy/(x² + y²)'의 원점에서는 두 편도함수가 0이라 평면 z = 0이 나오지만, 곡면이 그 평면에서 계속 떨어져 있어 E/w가 오히려 커집니다. 모델: 높이 축은 창 안의 값에 맞춰 늘립니다. E는 창 안 25×25 격자의 최대 |f − L|입니다.

선형 근사는 벡터로 쓰면 더 간결합니다. h=(h,k)\mathbf{h} = (h, k)라 하면 f(a+h)≈f(a)+(fx,fy)⋅hf(\mathbf{a} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + (f_x, f_y)\cdot\mathbf{h}. 편도함수를 모은 벡터 (fx,fy)(f_x, f_y)가 바로 14장의 주인공 그래디언트 ∇f\nabla f이고, 그 장에서 이 내적이 모든 방향의 기울기를 한꺼번에 준다는 것을 봅니다.

전미분과 오차 전파

자로 잰 치수, 계산한 부피

원기둥 탱크의 반지름과 높이를 줄자로 쟀습니다. 두 측정 모두 오차가 있습니다. 계산한 부피는 얼마나 틀릴 수 있을까요? 그리고 정밀도를 높이려면 반지름과 높이 중 어느 쪽을 더 잘 재야 할까요?

선형 근사의 변화량 부분만 떼어 이름을 붙인 것이 전미분입니다. 6장의 일변수 미분 dy=f′(x) dxdy = f'(x)\,dx를 변수마다 더한 것입니다.

정의 13.10 (전미분) 미분 가능한 z=f(x,y)z = f(x, y)의 전미분(total differential)은
dz=∂f∂x dx+∂f∂y dydz = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy
이다. dx=Δxdx = \Delta x, dy=Δydy = \Delta y가 작으면 실제 변화량 Δz\Delta z는 dzdz로 근사된다. 변수가 nn개이면 dz=∑i(∂f/∂xi) dxidz = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,dx_i.

측정 오차에 적용하면 두 가지 어림이 나옵니다. 오차의 부호를 모르고 최악의 경우를 대비하면 절댓값을 더하고, 두 오차가 서로 독립인 우연 오차(표준 편차 σx,σy\sigma_x, \sigma_y)이면 제곱해서 더합니다.

∣Δz∣≲∣fx∣∣Δx∣+∣fy∣∣Δy∣(최악),σz≈fx2 σx2+fy2 σy2(독립 오차).|\Delta z| \lesssim \left|f_x\right||\Delta x| + \left|f_y\right||\Delta y| \quad(\text{최악}), \qquad \sigma_z \approx \sqrt{f_x^2\,\sigma_x^2 + f_y^2\,\sigma_y^2} \quad(\text{독립 오차}).
두 번째 식은 1차 근사 Δz≈fxΔx+fyΔy\Delta z \approx f_x\Delta x + f_y\Delta y의 분산에서 나온다. 상관이 있을 때의 공식과 유도는 확률과 통계 6장 오차 전파.

곱과 거듭제곱 꼴 z=C xpyqz = C\,x^p y^q에서는 로그를 취해 미분하면 상대 오차가 지수만큼의 가중치로 더해집니다: dzz=p dxx+q dyy\dfrac{dz}{z} = p\,\dfrac{dx}{x} + q\,\dfrac{dy}{y}. 지수가 큰 변수의 측정이 가장 중요합니다.

예제 13.7 (원기둥 부피의 오차) 반지름 r=5 cmr = 5\ \mathrm{cm} (오차 ±0.1 cm), 높이 h=12 cmh = 12\ \mathrm{cm} (오차 ±0.2 cm)로 잰 원기둥의 부피 V=πr2hV = \pi r^2h의 오차를 어림하라.
  1. 명목값: V=π⋅25⋅12=300π≈942.5 cm3V = \pi\cdot 25\cdot 12 = 300\pi \approx 942.5\ \mathrm{cm^3}.
  2. 편도함수: Vr=2πrh=120πV_r = 2\pi rh = 120\pi, Vh=πr2=25πV_h = \pi r^2 = 25\pi.
  3. 최악의 경우: ∣dV∣≤120π(0.1)+25π(0.2)=12π+5π=17π≈53.4 cm3|dV| \le 120\pi(0.1) + 25\pi(0.2) = 12\pi + 5\pi = 17\pi \approx 53.4\ \mathrm{cm^3}, 상대 오차 17/300≈5.7%17/300 \approx 5.7\%. 상대 오차 공식으로도 2(0.1/5)+0.2/12=4%+1.67%≈5.7%2(0.1/5) + 0.2/12 = 4\% + 1.67\% \approx 5.7\%.
  4. 독립 우연 오차로 보면: (12π)2+(5π)2=13π≈40.8 cm3\sqrt{(12\pi)^2 + (5\pi)^2} = 13\pi \approx 40.8\ \mathrm{cm^3}.
  5. 결론: 반지름 항(12π)이 높이 항(5π)보다 두 배 넘게 크다. 반지름을 지수 2로 쓰기 때문이다. 정밀도를 높이려면 반지름을 더 잘 재야 한다.
SIMULATOR

오차 전파 계산기: 전미분 vs 몬테카를로

계산값의 분포 (입력에 정규 오차 4000번)
명목값—
기여 |f₁|Δ₁, |f₂|Δ₂—
최악 합 (상대)—
제곱합 √ vs 몬테카를로 σ—
해볼 것: ① 예제 13.7의 값에서 반지름 오차를 절반으로 줄여 보세요. 높이 오차를 절반으로 줄일 때보다 분포가 훨씬 좁아집니다. ② 진자 공식에서 주기 T의 오차는 지수 2로 들어갑니다. 상대 오차 2ΔT/T + ΔL/L을 확인하세요. ③ 오차를 크게 키우면 몬테카를로 분포가 비대칭이 되고 σ가 제곱합 어림에서 벗어납니다. 1차 근사의 한계입니다. 모델: 입력은 서로 독립인 정규 분포(표준 편차 = Δ), 고정 시드 난수. 빨간 점선은 ±최악 합, 파란 점선은 ±제곱합.

다변수 연쇄 법칙과 음함수 미분

움직이는 센서가 느끼는 온도 변화

공장 바닥의 온도 분포 T(x,y)T(x, y)는 알고, 드론이 정해진 경로 (x(t),y(t))(x(t), y(t))를 따라 날며 온도를 잽니다. 드론의 센서가 느끼는 온도 변화율 dT/dtdT/dt는 얼마일까요? TT를 tt의 식으로 다 대입해서 미분할 수도 있지만, 공간의 기울기와 드론의 속도를 따로 알고 있다면 그 둘로 곧장 계산할 수 있어야 합니다.

정리 13.11 (연쇄 법칙: 경로를 따라) z=f(x,y)z = f(x, y)가 미분 가능하고 x=x(t)x = x(t), y=y(t)y = y(t)가 미분 가능하면
dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt.\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.

증명. tt가 Δt\Delta t만큼 변할 때 Δx\Delta x, Δy\Delta y가 생긴다. 미분 가능성(정의 13.8)으로 Δz=fxΔx+fyΔy+εΔx2+Δy2\Delta z = f_x\Delta x + f_y\Delta y + \varepsilon\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}, ε→0\varepsilon \to 0. 양변을 Δt\Delta t로 나누고 Δt→0\Delta t \to 0으로 보내면 Δx/Δt→x′(t)\Delta x/\Delta t \to x'(t), Δy/Δt→y′(t)\Delta y/\Delta t \to y'(t)이고 마지막 항은 ε(Δx/Δt)2+(Δy/Δt)2→0⋅x′2+y′2=0\varepsilon\sqrt{(\Delta x/\Delta t)^2 + (\Delta y/\Delta t)^2} \to 0\cdot\sqrt{x'^2 + y'^2} = 0. ∎

이 증명에서 미분 가능성이 필요한 이유가 드러납니다. 편도함수만 있으면 축 방향으로 움직일 때만 기울기를 알 수 있는데, 경로는 비스듬히 움직이니까요. 일변수 연쇄 법칙(4장)이 "배율의 곱"이었다면, 다변수 연쇄 법칙은 경로마다 배율을 곱하고, 경로끼리 더하는 규칙입니다.

z x y t t ∂z/∂x∂z/∂y dx/dtdy/dt z에서 t까지 가는 길이 두 갈래 dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt) 한 갈래 안에서는 배율을 곱하고, 갈래끼리는 더한다. 변수가 s, t 둘이면 ∂z/∂s = (∂z/∂x)(∂x/∂s) + (∂z/∂y)(∂y/∂s) 나무의 맨 아래 잎을 s로 바꾸고, t는 고정한다.
그림 13-3. 연쇄 법칙의 나무 그림. 위에서 아래로 의존 관계를 그리고, z에서 원하는 변수까지 가는 모든 길에 대해 가지의 도함수를 곱해 더한다. 중간 변수가 몇 개든, 층이 몇 단이든 같은 규칙이다.
예제 13.8 (드론이 느끼는 온도) T(x,y)=100−x2−2y2T(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2 (°C), 드론의 경로는 타원 x=2cos⁡tx = 2\cos t, y=sin⁡ty = \sin t. t=π/4t = \pi/4에서 dT/dtdT/dt를 구하라.
  1. 위치: x=2x = \sqrt2, y=2/2y = \sqrt2/2. 속도: x′=−2sin⁡t=−2x' = -2\sin t = -\sqrt2, y′=cos⁡t=2/2y' = \cos t = \sqrt2/2.
  2. 공간 기울기: Tx=−2x=−22T_x = -2x = -2\sqrt2, Ty=−4y=−22T_y = -4y = -2\sqrt2.
  3. 연쇄 법칙: dT/dt=(−22)(−2)+(−22)(2/2)=4−2=2dT/dt = (-2\sqrt2)(-\sqrt2) + (-2\sqrt2)(\sqrt2/2) = 4 - 2 = 2 °C/단위시간.
  4. 검산: 대입하면 T(t)=100−4cos⁡2t−2sin⁡2tT(t) = 100 - 4\cos^2t - 2\sin^2t, T′(t)=8cos⁡tsin⁡t−4sin⁡tcos⁡t=4sin⁡tcos⁡tT'(t) = 8\cos t\sin t - 4\sin t\cos t = 4\sin t\cos t. t=π/4t = \pi/4에서 4⋅12=24\cdot\tfrac12 = 2. ✓
SIMULATOR

경로 위의 변화율: 기울기와 속도의 내적

T(x, y)의 등고선과 경로
T(x(t), y(t))와 접선
Tx·x′—
Ty·y′—
dT/dt (연쇄 법칙)—
dT/dt (수치 차분)—
해볼 것: ① 예제 13.8의 t = π/4 ≈ 0.785에서 두 항 4와 −2, 합 2를 확인하세요. ② 경로가 등고선에 접하는 순간 dT/dt = 0입니다. 그때 분홍 화살표(∇T)와 파란 화살표(속도)가 수직입니다. ③ 아래 그래프의 접선 기울기가 연쇄 법칙의 합과 늘 같습니다. 모델: 그림의 ∇T는 길이를 줄여 그립니다(방향만 비교). 수치 차분은 (T(t + h) − T(t − h))/2h, h = 10−4.

변수가 ss와 tt 둘이면 각 변수에 대해 따로 연쇄 법칙을 씁니다. 예컨대 극좌표 x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta로 쓴 함수 uu는 ur=uxcos⁡θ+uysin⁡θu_r = u_x\cos\theta + u_y\sin\theta, uθ=−uxrsin⁡θ+uyrcos⁡θu_\theta = -u_x r\sin\theta + u_y r\cos\theta입니다. 이것을 행렬로 모으면 [ ur    uθ ]=[ ux    uy ] J[\,u_r\;\; u_\theta\,] = [\,u_x\;\; u_y\,]\,J이고, J=∂(x,y)/∂(r,θ)J = \partial(x, y)/\partial(r, \theta)가 야코비 행렬입니다. 다변수 연쇄 법칙은 야코비 행렬의 곱이고, 이것이 신경망의 역전파가 하는 계산입니다.

정리 13.12 (음함수 미분) F(x,y)=0F(x, y) = 0이 yy를 xx의 미분 가능한 함수로 정하고 Fy≠0F_y \ne 0이면
dydx=−FxFy.\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}.
마찬가지로 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0이 z=z(x,y)z = z(x, y)를 정하고 Fz≠0F_z \ne 0이면 ∂z∂x=−FxFz\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}, ∂z∂y=−FyFz\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z}.

증명. 항등식 F(x,y(x))=0F(x, y(x)) = 0을 xx로 미분하면 정리 13.11로 Fx⋅1+Fy⋅y′(x)=0F_x\cdot 1 + F_y\cdot y'(x) = 0. ∎ 조건 Fy≠0F_y \ne 0이면 F=0F = 0 근처에서 y(x)y(x)가 실제로 존재한다는 것이 음함수 정리(implicit function theorem)이고, 그 증명은 해석학에서 다룬다.

예제 13.9 (데카르트의 엽선) 곡선 x3+y3=6xyx^3 + y^3 = 6xy 위의 점 (3,3)(3, 3)에서 접선의 기울기를 구하라.
  1. 점 확인: 27+27=54=6⋅927 + 27 = 54 = 6\cdot 9. ✓
  2. F=x3+y3−6xyF = x^3 + y^3 - 6xy: Fx=3x2−6y=27−18=9F_x = 3x^2 - 6y = 27 - 18 = 9, Fy=3y2−6x=9F_y = 3y^2 - 6x = 9.
  3. dy/dx=−9/9=−1dy/dx = -9/9 = -1. 4장에서 양변을 미분해 y′y'에 대해 정리하던 계산을 한 줄로 끝냈다.

열 방정식과 파동 방정식 맛보기

막대의 온도는 어떻게 고르게 퍼지나

가운데만 뜨겁게 달군 금속 막대를 놓아두면 열이 양옆으로 퍼지며 온도가 고르게 됩니다. 각 점의 온도가 얼마나 빨리 변하는지는 무엇이 정할까요? 편도함수가 있으면 이 질문을 한 줄의 방정식으로 쓸 수 있습니다.

막대 위치 xx, 시각 tt의 온도를 u(x,t)u(x, t)라 합시다. 한 점의 온도는 이웃이 자기보다 평균적으로 뜨거우면 오르고, 차가우면 내립니다. "이웃의 평균 − 자기 값"은 Δx\Delta x가 작을 때 12[u(x+Δx)+u(x−Δx)]−u(x)≈12uxx Δx2\tfrac12\bigl[u(x + \Delta x) + u(x - \Delta x)\bigr] - u(x) \approx \tfrac12 u_{xx}\,\Delta x^2이므로, 온도 변화율은 2계 편도함수 uxxu_{xx}에 비례합니다.

∂u∂t=α ∂2u∂x2⏟열 방정식,∂2u∂t2=c2 ∂2u∂x2⏟파동 방정식,∂2u∂x2+∂2u∂y2=0⏟라플라스 방정식.\underbrace{\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\text{열 방정식}}, \qquad \underbrace{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\text{파동 방정식}}, \qquad \underbrace{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0}_{\text{라플라스 방정식}}.
α\alpha는 열확산 계수, cc는 파동의 속력. 편도함수가 들어간 방정식을 편미분 방정식(partial differential equation, PDE)이라 한다.
예제 13.10 (해인지 확인하기)
  1. u=e−αk2tsin⁡kxu = e^{-\alpha k^2 t}\sin kx: ut=−αk2uu_t = -\alpha k^2 u, uxx=−k2uu_{xx} = -k^2u이므로 ut=αuxxu_t = \alpha u_{xx}. ✓ 파수 kk가 클수록(잘게 출렁일수록) e−αk2te^{-\alpha k^2t}로 훨씬 빨리 사라진다. kk가 3배면 감쇠율은 9배다.
  2. u=f(x−ct)u = f(x - ct) (ff는 아무 매끄러운 함수): 연쇄 법칙으로 ut=−cf′u_t = -c f', utt=c2f′′u_{tt} = c^2f'', uxx=f′′u_{xx} = f''이므로 utt=c2uxxu_{tt} = c^2u_{xx}. ✓ 모양 ff를 유지한 채 속력 cc로 오른쪽으로 가는 파동이다. g(x+ct)g(x + ct)는 왼쪽으로 가고, 둘의 합이 일반해다(달랑베르 해).
  3. u=x2−y2u = x^2 - y^2와 u=exsin⁡yu = e^x\sin y: 각각 2+(−2)=02 + (-2) = 0, exsin⁡y−exsin⁡y=0e^x\sin y - e^x\sin y = 0으로 라플라스 방정식을 만족한다.
SIMULATOR

막대 위의 열과 줄 위의 파동: uxx가 움직임을 정한다

u(x, t) · 화살표 = uxx의 방향
방정식
시각 t—
max |u|—
수치 안정성—
해볼 것: ① '열'에서 sin πx + 0.5 sin 5πx를 돌리면 잔물결(5πx)이 먼저 사라지고 큰 물결만 남습니다. 감쇠율이 k²에 비례하기 때문입니다(예제 13.10). ② '파동'에서 삼각형은 두 조각으로 갈라져 양쪽으로 갔다가 벽에서 뒤집혀 돌아옵니다(달랑베르 해). ③ s를 열은 0.5, 파동은 1보다 크게 하면 수치해가 톱니 모양으로 폭발합니다. 방정식이 아니라 계산법의 문제입니다. 모델: 양 끝 u = 0 고정, 격자 50칸, 열은 양해법 ui += s(ui+1 − 2ui + ui−1), 파동은 중심 차분(립프로그).

시뮬레이터의 계산은 uxxu_{xx}를 세 점의 차분 (ui+1−2ui+ui−1)/Δx2(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1})/\Delta x^2로 바꾼 것뿐입니다. 이 단순한 대체가 Δt≤Δx2/(2α)\Delta t \le \Delta x^2/(2\alpha)일 때만 안정하다는 것은 수치 해석의 고전적인 결과이고, 격자를 두 배로 촘촘히 하면 시간 간격은 네 배로 줄여야 한다는 뜻입니다. 2차원·3차원의 열 방정식, 그리고 그것을 적분으로 다루는 발산 정리는 16장에서 다시 만납니다.

이 도구가 쓰이는 곳

편도함수는 "여러 원인 중 하나만 바꾸면"이라는 공학의 가장 흔한 질문에 대한 답입니다.

민감도 분석: 어느 공차를 조여야 하나 설계 성능 J(p1,…,pn)J(p_1, \dots, p_n)이 부품 치수나 재료 상수 pip_i에 달려 있을 때, 편도함수 ∂J/∂pi\partial J/\partial p_i를 민감도라 부릅니다. 더 쓸모 있는 것은 무차원 민감도 piJ∂J∂pi\dfrac{p_i}{J}\dfrac{\partial J}{\partial p_i}(1% 바뀌면 몇 % 바뀌나)입니다. 예제 13.7의 원기둥에서 반지름의 무차원 민감도는 2, 높이는 1이었습니다. 공차 예산을 나눌 때 민감도가 큰 치수에 비싼 가공을 쓰는 것이 합리적입니다.
14장 · 그래디언트가장 가파른 방향
편도함수를 모은 벡터 ∇f, 방향 도함수, 극값 판정, 라그랑주 승수, 경사 하강법. 15장 · 중적분곡면 아래의 부피
2변수 함수를 한 변수씩 적분하는 반복 적분. 편미분의 거울상. 16장 · 벡터 미적분발산과 회전
벡터장의 편도함수를 조합한 div, curl과 발산 정리, 열 방정식의 유도. LINEARBOOK야코비안
다변수 연쇄 법칙의 행렬 판, 휘어진 좌표 변환의 국소 넓이 배율. 확률과 통계오차 전파와 델타 방법
입력의 분산과 공분산이 함수값의 분산으로 옮겨 가는 1차 근사. MATHBOOK미분방정식
변수가 시간 하나뿐인 상미분 방정식. 편미분 방정식을 격자로 쪼개면 상미분 방정식 묶음이 된다.

핵심 정리

  1. 2변수 함수의 그래프는 곡면이고, 등위선 f=kf = k를 겹친 등고선도로 평면에 그린다. 높이 간격이 일정하면 등고선이 촘촘한 곳이 가파르다.
  2. 다변수 극한은 모든 경로에서 같은 값이어야 한다. 두 경로에서 값이 다르면 극한이 없다. 모든 직선 경로가 같아도 극한이 없을 수 있다(x2y/(x4+y2)x^2y/(x^4 + y^2)).
  3. 편도함수 fxf_x는 yy를 고정한 단면 곡선의 기울기이고, 다른 변수를 상수로 보고 미분해 구한다. 편도함수가 있어도 연속이 아닐 수 있다.
  4. 혼합 편도함수가 연속이면 fxy=fyxf_{xy} = f_{yx} (클레로 정리). 연속이 아니면 다를 수 있다.
  5. 접평면 z=f(a,b)+fx(x−a)+fy(y−b)z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b). 미분 가능성은 선형 근사의 오차가 거리보다 빨리 0으로 가는 것이고, 편도함수가 연속이면 보장된다. 미분 가능하면 연속이다.
  6. 전미분 dz=fx dx+fy dydz = f_x\,dx + f_y\,dy로 오차를 어림한다. 최악은 절댓값의 합, 독립 우연 오차는 제곱합의 제곱근. 곱·거듭제곱 꼴은 상대 오차가 지수배로 더해진다.
  7. 연쇄 법칙 dz/dt=fxx′+fyy′dz/dt = f_x x' + f_y y': 경로마다 곱하고 더한다. 음함수 미분 dy/dx=−Fx/Fydy/dx = -F_x/F_y. 열·파동·라플라스 방정식은 편도함수로 쓴 자연 법칙이다.

확인 퀴즈

Q1. f(x,y)=xyx2+y2f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}에 대해 옳은 것은?

y=mxy = mx에서 f=m/(1+m2)f = m/(1 + m^2)로 기울기마다 값이 다르다. m=1m = 1이면 1/2, m=0m = 0이면 0. 극좌표로는 f=cos⁡θsin⁡θf = \cos\theta\sin\theta로 r이 사라지지만 θ에 따라 달라지므로 극한이 없다(정리 13.4).

Q2. f(x,y)=x2y3f(x, y) = x^2y^3의 fxyf_{xy}는?

fx=2xy3f_x = 2xy^3을 yy로 미분하면 6xy26xy^2. 반대 순서 fy=3x2y2f_y = 3x^2y^2을 xx로 미분해도 6xy26xy^2으로 같다(클레로 정리). 2y32y^3은 fxxf_{xx}, 6x2y6x^2y는 fyyf_{yy}다.

Q3. 곡면 z=x2+y2z = x^2 + y^2 위의 점 (1,2,5)(1, 2, 5)에서의 접평면은?

fx=2x=2f_x = 2x = 2, fy=2y=4f_y = 2y = 4이므로 z=5+2(x−1)+4(y−2)=2x+4y−5z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5. 점 (1, 2)를 넣으면 2 + 8 − 5 = 5로 곡면 위의 점을 지난다.

Q4. 어떤 점에서 fxf_x와 fyf_y가 모두 존재한다. 그 점에 대해 반드시 참인 것은?

xy/(x2+y2)xy/(x^2 + y^2) (f(0,0)=0f(0,0) = 0)은 원점에서 두 편도함수가 0인데 극한조차 없다. 편도함수는 축 방향만 본다. 편도함수가 그 점 근처에서 연속이면 미분 가능하고(정리 13.9), 그러면 연속이다.

Q5. 전력 P=I2RP = I^2R를 잴 때 전류의 상대 오차가 1%, 저항의 상대 오차가 2%다. 전미분으로 어림한 P의 최악 상대 오차는?

ln⁡P=2ln⁡I+ln⁡R\ln P = 2\ln I + \ln R을 미분하면 dP/P=2 dI/I+dR/RdP/P = 2\,dI/I + dR/R. 최악의 경우 2(1%)+2%=4%2(1\%) + 2\% = 4\%. 두 오차가 독립인 우연 오차라면 22+22%≈2.8%\sqrt{2^2 + 2^2}\% \approx 2.8\%로 어림한다.

Q6. z=x2yz = x^2y, x=t2x = t^2, y=t3y = t^3일 때 t=1t = 1에서 dz/dtdz/dt는?

연쇄 법칙: zxx′+zyy′=(2xy)(2t)+(x2)(3t2)z_x x' + z_y y' = (2xy)(2t) + (x^2)(3t^2). t=1t = 1에서 x=y=1x = y = 1이므로 2⋅2+1⋅3=72\cdot 2 + 1\cdot 3 = 7. 대입해서 z=t7z = t^7, dz/dt=7t6=7dz/dt = 7t^6 = 7로 검산된다.

Q7. 구면 x2+y2+z2=9x^2 + y^2 + z^2 = 9가 점 (1,2,2)(1, 2, 2) 근처에서 z=z(x,y)z = z(x, y)를 정한다. ∂z/∂x\partial z/\partial x는?

F=x2+y2+z2−9F = x^2 + y^2 + z^2 - 9에서 zx=−Fx/Fz=−2x/(2z)=−x/z=−1/2z_x = -F_x/F_z = -2x/(2z) = -x/z = -1/2. 위쪽 반구에서 x가 커지면 높이가 줄어드니 음수인 것이 맞다.

Q8. 다음 중 열 방정식 ut=uxxu_t = u_{xx}의 해는?

u=e−k2tsin⁡kxu = e^{-k^2t}\sin kx꼴이어야 한다. e−4tsin⁡2xe^{-4t}\sin 2x는 ut=−4uu_t = -4u, uxx=−4uu_{xx} = -4u로 같다. e−tsin⁡2xe^{-t}\sin 2x는 ut=−uu_t = -u인데 uxx=−4uu_{xx} = -4u라 맞지 않는다. 잘게 출렁이는 모드(k=2k = 2)는 k=1k = 1보다 4배 빨리 사라진다.