Chapter 03

도함수: 순간의 변화율

자동차 속도계는 "지금 이 순간" 시속 몇 km인지 보여 줍니다. 그런데 순간에는 시간이 흐르지 않고, 흐르지 않은 시간 동안 간 거리는 0입니다. 0을 0으로 나눈 값을 어떻게 읽을 수 있을까요? 답은 1장의 극한입니다. 짧은 구간의 평균 속도를 구하고 구간을 0으로 좁혀 가면 평균이 한 값으로 모여듭니다. 그 값이 미분계수이고, 모든 점의 미분계수를 모은 함수가 도함수입니다. 그림에서는 곡선 위 두 점을 잇는 할선이 한 점에서 스치는 접선으로 바뀌는 순간입니다. 이 장에서는 그 극한을 직접 계산하고, 어디서 극한이 깨지는지 확대해 보고, 극한을 매번 계산하지 않아도 되게 해 주는 미분 법칙을 증명합니다.

할선의 기울기 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 가 $h \to 0$ 에서 접선의 기울기 $f'(a)$ 로 수렴하는 과정을 그림과 수치표로 설명한다.
도함수를 정의로 계산하고(다항식, $\sqrt{x}$ , $1/x$ ), 수치 미분에서 $h$ 를 너무 작게 잡으면 오히려 틀리는 이유를 안다.
미분 가능하면 연속임을 증명하고, 뾰족점·수직 접선·진동처럼 미분 가능하지 않은 경우를 확대해서 구별한다.
$f$ 의 그래프에서 $f'$ 의 그래프를 그리고, 반대로 $f'$ 에서 $f$ 의 증가·감소를 읽는다.
거듭제곱·상수배·합·곱·몫의 법칙을 증명하고 손으로 쓴다. 곱의 법칙을 넓이 그림으로 이해한다.
위치–속도–가속도를 1계·2계 도함수로 해석하고, 라이프니츠 표기 $dy/dx$ 와 단위를 바르게 쓴다.

이 수식이 없었다면속도계, 그리고 "순간"이라는 말

17세기 후반, 뉴턴과 라이프니츠는 서로 독립적으로 미적분을 만들었습니다. 뉴턴은 시간에 따라 흐르는 양의 변화율을 '유율'(fluxion)이라 불렀고, 라이프니츠는 1684년 논문에서 무한히 작은 차이 $dx$ , $dy$ 와 그 비 $dy/dx$ 라는 표기를 내놓았습니다. 우리가 지금 쓰는 $dy/dx$ 는 라이프니츠의 것입니다. 두 사람 모두 행성의 운동, 접선 긋기, 최댓값 찾기를 한 가지 계산으로 다루려 했습니다.

오늘날 순간의 변화율은 기계 속에 숨어 있습니다. 차의 속도계와 GPS는 위치를 짧은 간격으로 재어 차분으로 속도를 내고, 스마트폰의 가속도 센서는 속도의 변화율을, 전력계는 에너지의 변화율인 전력을 보여 줍니다. 제어기는 오차의 변화율을 보고 미리 브레이크를 겁니다(PID 제어의 D가 미분입니다). 모두 이 장의 극한 하나에서 출발합니다.

짧은 구간의 평균 변화율→구간을 0으로 좁히는 극한→도함수 f′(x)→속도·전류·전력·한계 비용

할선에서 접선으로

0초 동안의 속도

공을 떨어뜨리면 $t$ 초 뒤 낙하 거리는 대략 $s(t) = 4.9t^2$ m입니다. 2초에서 3초 사이 평균 속도는 $(44.1 - 19.6)/1 = 24.5$ m/s입니다. 그렇다면 "정확히 2초일 때"의 속도는? 구간 길이를 0으로 두면 $0/0$ 이 되어 계산이 멈춥니다.

구간을 0으로 만들지 말고 0에 가까이 줄여 봅시다. 2초에서 $2+h$ 초 사이의 평균 속도는

\frac{s(2+h) - s(2)}{h} = \frac{4.9(4 + 4h + h^2) - 19.6}{h} = \frac{19.6h + 4.9h^2}{h} = 19.6 + 4.9h \qquad (h \ne 0).

$h$ 가 0이 아닌 동안에는 약분이 정당하고, 남은 식 $19.6 + 4.9h$ 는 $h \to 0$ 에서 19.6으로 갑니다. 2초 순간의 속도는 19.6 m/s입니다. $h = 1, 0.1, 0.01$ 이면 평균 속도는 24.5, 20.09, 19.649로 19.6에 다가갑니다. 이 "평균 변화율의 극한"이 이 장 전체의 출발점입니다.

그래프로 보면 평균 변화율은 곡선 위 두 점 $P = (a, f(a))$ 와 $Q = (a+h, f(a+h))$ 를 잇는 할선(secant line)의 기울기입니다. $Q$ 를 $P$ 쪽으로 미끄러뜨리면 할선이 돌다가 어떤 직선에 자리 잡습니다. 그 극한 직선이 접선(tangent line)입니다.

정의 3.1 (미분계수와 접선) 함수

f

가

a

를 포함하는 열린 구간에서 정의되어 있을 때, 극한

f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

가 (유한한 값으로) 존재하면

f

는

a

에서 미분 가능(differentiable)하다고 하고, 이 값을

a

에서의 미분계수(derivative at a)라 한다. 이때 점

(a, f(a))

를 지나고 기울기가

f'(a)

인 직선

y = f(a) + f'(a)(x-a)

를

a

에서의 접선이라 한다.

x = a + h

로 바꿔 쓰면

f'(a) = \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

로도 적는다.

접선을 "곡선과 한 점에서만 만나는 직선"이라고 배웠다면 그 정의는 여기서 버립니다. $y = x^3$ 의 $x = 1$ 에서의 접선 $y = 3x - 2$ 는 $x = -2$ 에서 곡선과 다시 만나고, 직선 $y = 2x + 1$ 의 접선은 자기 자신입니다. 접선은 그 점 근처에서 곡선을 가장 잘 흉내 내는 직선이고, 그 기준은 할선 기울기의 극한입니다.

그림 3-1. 점 Q가 곡선을 따라 P로 다가가면 할선 PQ(진분홍, 진해질수록 가까운 Q)가 돌다가 점선의 접선에 자리 잡는다. 할선의 기울기는 평균 변화율, 접선의 기울기는 순간 변화율이다.

아래에서 직접 $Q$ 를 끌어 $P$ 에 붙여 보세요. 할선 기울기가 접선 기울기로 다가가는 속도도 함께 볼 수 있습니다.

SIMULATOR

할선을 접선으로: Q를 P에 붙이기

P와 Q를 끌어 보세요

함수 f 간격 h

접선 보기

a—

할선 기울기 Δy/h—

접선 기울기 f′(a)—

차이—

해볼 것: ① x²에서 a = 1.5로 두고 h를 줄이면 차이가 정확히 h만큼씩 줄어드는 것을 확인하세요(예제 3.1). ② h를 음수로 넘겨도(Q가 P의 왼쪽) 같은 값으로 모입니다. 양쪽 극한이 같아야 미분 가능합니다. ③ √x에서 P를 x = 0 근처로 끌면 접선이 거의 수직으로 섭니다. 모델: 접선 기울기는 정확한 공식 f′(a)로 그립니다. h는 0이 될 수 없으므로 |h| ≥ 0.001로 둡니다.

예제 3.1 (정의로 구하는 접선)

f(x) = x^2

의

x = 3

에서의 접선을 구하라.

할선 기울기: $\dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h\quad(h \ne 0)$ .
극한: $h \to 0$ 이면 $6 + h \to 6$ . 따라서 $f'(3) = 6$ .
접선: 점 $(3, 9)$ 를 지나고 기울기 6이므로 $y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9$ .
검산: $h = 0.1$ 이면 할선 기울기 6.1, $h = -0.1$ 이면 5.9. 양쪽에서 6을 끼고 다가간다. 오차가 정확히 $h$ 라는 것은 $x^2$ 이 2차식이라서 생기는 특별한 일이고, 일반적으로는 오차가 대략 $h$ 에 비례한다(5장의 테일러 생각).

도함수: 기울기를 모은 함수

점마다 극한을 다시 계산해야 할까

$x = 3$ 에서 6, $x = 1$ 에서 2, $x = -0.5$ 에서 −1. $x^2$ 의 접선 기울기를 점마다 계산하다 보면 규칙이 보입니다. 기울기는 언제나 $2x$ 입니다. 점을 고정하지 말고 $x$ 를 변수로 둔 채 극한을 한 번만 계산하면 어떨까요?

정의 3.2 (도함수) 함수

f

에 대해

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

가 존재하는 모든

x

에서 값

f'(x)

를 주는 함수

f'

을

f

의 도함수(derivative)라 한다. 도함수를 구하는 일을 미분(differentiation)이라 한다.

f'

의 정의역은

f

가 미분 가능한 점들의 모임으로,

f

의 정의역보다 작을 수 있다.

분수 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 를 차분몫(difference quotient)이라 부릅니다. $h = 0$ 을 바로 넣으면 $0/0$ 이므로, 극한 계산의 요령은 언제나 분자에서 $h$ 를 인수로 끌어내 약분하는 것입니다. 1장에서 연습한 인수분해·유리화·통분이 그대로 쓰입니다.

예제 3.2 (유리화: $\sqrt{x}$ )

f(x) = \sqrt{x}

의 도함수를 구하라.

차분몫의 분자·분모에 $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$ 를 곱한다: $\dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$ .
$x \gt 0$ 이면 $\sqrt{\,\cdot\,}$ 의 연속성(2장)으로 $h \to 0$ 에서 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . 따라서 $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\quad(x \gt 0)$ .
$x = 0$ 에서는 오른쪽 차분몫만 뜻이 있고 $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}} \to \infty$ . 그래프는 원점에서 수직으로 서고, $f'(0)$ 은 존재하지 않는다. $f$ 의 정의역은 $[0, \infty)$ , $f'$ 의 정의역은 $(0, \infty)$ .

예제 3.3 (통분: $1/x$ )

f(x) = 1/x

이면

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{h}\cdot\frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)} \;\longrightarrow\; -\frac{1}{x^2}\quad (x \ne 0).

기울기는 언제나 음수이고,

x

가 0에 가까울수록 가파르며,

|x|

가 커지면 0에 가까워진다. 그래프

y = 1/x

를 떠올리면 모두 맞다.

수치로 미분하기: h는 얼마나 작게?

공식을 모르는 함수(측정 데이터, 시뮬레이션 결과)라면 차분몫을 작은 $h$ 로 직접 계산합니다. 그러면 $h$ 는 작을수록 좋을까요? 수학적으로는 그렇지만 컴퓨터에서는 아닙니다. 배정밀도 실수는 유효 숫자가 약 16자리라서 $f(x+h)$ 와 $f(x)$ 가 거의 같아지면 뺄셈에서 앞자리가 모두 지워지고 반올림 잡음만 남습니다(MathBook 수치 계산의 '자릿수 상쇄'). 오차는 두 부분의 합입니다.

\text{오차} \approx \underbrace{C_1 h}_{\text{절단 오차}} + \underbrace{\frac{C_2\,\varepsilon}{h}}_{\text{반올림 오차}}, \qquad \varepsilon \approx 2.2\times 10^{-16}.

두 항의 합은

h \approx \sqrt{\varepsilon} \approx 10^{-8}

근처에서 가장 작다. 양쪽을 쓰는 중앙 차분

\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}

은 절단 오차가

h^2

에 비례해

h \approx 10^{-5}

에서

10^{-11}

수준까지 내려간다.

SIMULATOR

차분몫 표: h를 줄이면 정말 정확해질까

|오차| vs h (로그–로그)

함수 f 점 a 중앙 차분도 보기

참값 f′(a)—

전진 차분 최적 h—

중앙 차분 최적 h—

해볼 것: ① 그래프의 V자 바닥을 찾으세요. 왼쪽 비탈(작은 h)이 반올림 오차, 오른쪽 비탈이 절단 오차입니다. ② 오른쪽 비탈의 기울기를 비교하세요. 전진 차분은 기울기 1(오차 ∝ h), 중앙 차분은 기울기 2(오차 ∝ h²)입니다. ③ 표에서 h = 10⁻¹⁴이면 맞는 자릿수가 한두 개뿐입니다. 모델: 브라우저의 배정밀도(IEEE 754) 계산을 그대로 보여 줍니다. 참값은 도함수 공식으로 계산합니다.

미분 가능성과 연속

꺾인 곳에서 속도계는 무엇을 보여야 하나

공이 벽에 부딪혀 튕겨 나오는 순간, 위치 그래프는 뾰족하게 꺾입니다. 부딪히기 직전 속도는 +5 m/s, 직후는 −5 m/s라면 "충돌 순간의 속도"는 무엇일까요? 이런 점에서 도함수는 아예 존재하지 않습니다. 언제 존재하고 언제 존재하지 않는지 분명히 해 둡시다.

정리 3.3 (미분 가능하면 연속이다)

f

가

a

에서 미분 가능하면

f

는

a

에서 연속이다.

증명. $x \ne a$ 에서 $f(x) - f(a) = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x - a)$ . 극한의 곱 법칙으로 $\lim_{x\to a}[f(x) - f(a)] = f'(a)\cdot 0 = 0$ , 즉 $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ . ∎

역은 성립하지 않습니다. 연속이지만 미분 가능하지 않은 함수가 흔합니다. 대우를 쓰면 쓸모 있는 판정법이 됩니다. 불연속인 점에서는 결코 미분 가능하지 않다. 미분 가능성이 깨지는 대표적인 모양은 넷입니다.

정의 3.4 (한쪽 미분계수)

f'_+(a) = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

를 오른쪽 미분계수,

f'_-(a) = \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

를 왼쪽 미분계수라 한다.

f'(a)

가 존재할 필요충분조건은 두 한쪽 미분계수가 존재하고 같은 것이다(1장의 한쪽 극한). 닫힌 구간

[a, b]

에서 미분 가능하다는 말은 열린 구간에서 미분 가능하고 끝점에서 해당 한쪽 미분계수가 존재한다는 뜻으로 쓴다.

그림 3-2. 미분 가능성이 깨지는 네 가지 모양. 앞의 셋은 연속이지만 미분 가능하지 않고, 넷째는 정리 3.3의 대우로 미분 가능하지 않다. 미분 가능한 함수의 그래프는 확대하면 직선처럼 펴진다. 이 네 모양은 아무리 확대해도 펴지지 않는다.

"미분 가능하다 = 확대하면 직선이 된다"를 직접 확인해 봅시다. 같은 배율로 가로·세로를 확대하면 미분 가능한 점에서는 곡선이 점점 곧아져 기울기 $f'(a)$ 인 직선과 구별되지 않습니다. 이 성질을 국소 선형성(local linearity)이라 합니다.

SIMULATOR

확대경: 확대하면 직선이 되는가

배율 ×1

함수와 점 배율 (10의 거듭제곱)

화면 반폭 w—

오른쪽 차분몫 (h = w/2)—

왼쪽 차분몫 (h = −w/2)—

해볼 것: ① 매끈한 x³ − x는 ×100배만 넘어도 직선과 구별되지 않습니다. 두 차분몫이 같은 값 0.92로 모입니다. ② |x|는 몇 배를 확대해도 같은 V자입니다. 차분몫이 −1과 1로 갈라진 채 그대로입니다. ③ x·sin(1/x)는 확대해도 차분몫이 −1과 1 사이를 계속 오가고, x²·sin(1/x)는 납작해져 기울기 0인 직선이 됩니다. 모델: 가로·세로를 같은 비율로 확대하므로 화면의 기울기가 실제 기울기입니다. 점선은 접선(있을 때), |x|의 한쪽 접선, x·sin(1/x)의 포락선 y = ±x 같은 기준선입니다.

깊이 보기: 미분 가능하지만 도함수가 불연속인 함수

f(x) = x^2\sin(1/x)

(

x \ne 0

f(0) = 0

을 보자.

x = 0

에서

\left|\frac{f(h) - f(0)}{h}\right| = |h\sin(1/h)| \le |h| \to 0

이므로(조임 정리)

f'(0) = 0

이다. 그런데

x \ne 0

에서는 4장의 연쇄 법칙으로

f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)

이고,

x \to 0

에서

-\cos(1/x)

가 −1과 1 사이를 진동하므로

\lim_{x\to 0}f'(x)

는 존재하지 않는다. "미분 가능"과 "도함수가 연속"은 다른 조건이다. 도함수가 연속인 함수를

C^1

함수라 부른다.

f의 그래프에서 f′의 그래프로

식이 없어도 도함수를 그릴 수 있을까

오실로스코프에 찍힌 전압 파형, 엑셀에 쌓인 탱크 수위 기록처럼 식 없이 그래프만 있는 경우가 많습니다. 그래프만 보고 변화율의 그래프를 그릴 수 있어야 측정값을 해석할 수 있습니다.

도함수의 그래프는 점마다 접선의 기울기를 높이로 옮겨 적은 그래프입니다. 그릴 때는 다음 대응만 기억하면 됩니다.

f의 그래프	f′의 그래프
올라간다(증가)	가로축 위(양수)
내려간다(감소)	가로축 아래(음수)
꼭대기·바닥(수평 접선)	가로축과 만난다(0)
가장 가파르게 오르는 곳	f′의 꼭대기
꺾인 점(뾰족점)	f′이 끊긴다(점프)
직선 구간	상수(수평선)

이 대응의 엄밀한 판정(왜 $f' \gt 0$ 이면 증가하는가)은 5장의 평균값 정리로 증명합니다. 지금은 그림으로 익혀 둡시다. 아래 위쪽 그래프에서 점을 끌면 그 점의 접선 기울기가 아래 그래프에 점으로 찍힙니다.

SIMULATOR

기울기를 찍어 f′ 그리기

y = f(x) · 점을 좌우로 끌기

y = f′(x) · 찍힌 기울기

함수 f

실제 f′ 겹쳐 보기

x—

f(x)—

기울기 f′(x)—

f는 지금—

해볼 것: ① 실제 f′을 끈 채로 x³/3 − x를 훑어 아래 점들이 위로 열린 포물선을 그리는지 보세요. f′의 근 ±1이 f의 꼭대기·바닥입니다. ② 언덕 2e^(−x²)에서 f′이 가장 큰 곳은 언덕의 꼭대기가 아니라 가장 가파른 비탈입니다. ③ |x| − 1은 f′이 −1에서 1로 점프합니다. 모델: 기울기는 중앙 차분(h = 10⁻⁵)으로 계산하고, |x|는 x = 0을 정의되지 않은 점으로 남깁니다.

반대 방향도 연습해 봅시다. 다음 시뮬레이터는 $f$ 의 그래프를 주고 네 후보 중 $f'$ 을 고르게 합니다. 수평 접선의 위치(→ $f'$ 의 근)와 증가·감소 구간(→ $f'$ 의 부호)을 먼저 확인하면 대부분 바로 풀립니다.

SIMULATOR

도함수 짝 맞추기

f의 그래프 · 아래에서 f′을 고르세요

A~D 중 하나를 누르세요.

맞힌 문제0 / 0

해볼 것: ① f가 수평 접선을 갖는 x를 찾아 그 x에서 0을 지나는 후보만 남기세요. ② 남은 후보 중 f가 증가하는 구간에서 양수인 것을 고르세요. ③ 틀린 후보는 대개 'f′의 부호를 뒤집은 것', 'f 자신', '다른 함수의 도함수'입니다. 모델: 모든 그래프는 같은 x 범위 [−3, 3]과 같은 y 눈금으로 그립니다.

미분 법칙: 극한 없이 미분하기

$x^{10}$ 을 정의로 미분하기는 괴롭다

$(x+h)^{10}$ 을 전개해 $h$ 로 나누는 일은 한 번은 해 볼 만해도 매번 할 일은 아닙니다. 곱이나 분수 꼴이면 더 막막합니다. 한 번 증명해 두면 계속 쓸 수 있는 규칙들을 만듭시다.

정리 3.5 (상수와 자연수 거듭제곱)

\dfrac{d}{dx}c = 0

, 그리고 자연수

n

에 대해

\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

증명. 상수는 차분몫이 늘 0이다. 이항 정리로 $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$ . $x^n$ 을 빼고 $h$ 로 나누면 $nx^{n-1} + h\cdot(\text{다항식})$ 이 남고, $h \to 0$ 에서 $nx^{n-1}$ 이다. ∎

정리 3.6 (선형성)

f, g

가 미분 가능하고

c

가 상수이면

(cf)' = cf'

(f \pm g)' = f' \pm g'

증명. 차분몫이 $c\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \pm \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ 로 갈라지므로 극한의 선형성(1장)에서 바로 나온다. ∎

두 정리만으로 모든 다항식을 미분할 수 있습니다. 예를 들어 $\frac{d}{dx}(4x^5 - 3x^2 + 7x - 2) = 20x^4 - 6x + 7$ . 선형대수의 눈으로 보면 미분 $\frac{d}{dx}$ 는 함수 공간 위의 선형 사상입니다(LinearBook 7장에서 다항식 공간의 미분 행렬을 만듭니다).

곱의 법칙: 넓이로 보기

곱은 선형이 아니라서 $(fg)' = f'g'$ 가 아닙니다. 가장 간단한 반례: $x\cdot x = x^2$ 의 도함수는 $2x$ 인데 $1\cdot 1 = 1$ 이 아닙니다. 올바른 규칙은 직사각형의 넓이로 보면 자연스럽습니다. 가로 $u$ , 세로 $v$ 인 직사각형에서 가로가 $\Delta u$ , 세로가 $\Delta v$ 만큼 늘면 넓이의 증가는 세 조각입니다.

그림 3-3. 곱의 법칙의 넓이 그림. u와 v가 함께 자라면 넓이는 두 띠(v·Δu, u·Δv)와 모서리 조각 ΔuΔv만큼 는다. Δx로 나누어 극한을 취하면 두 띠만 남고 모서리는 사라진다.

정리 3.7 (곱의 법칙)

f, g

가

x

에서 미분 가능하면

fg

도 미분 가능하고

(fg)' = f'g + fg'.

증명. 가운데에 $f(x+h)g(x)$ 를 빼고 더한다. $\dfrac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . $f$ 가 미분 가능하므로 연속이고(정리 3.3) $f(x+h) \to f(x)$ . 따라서 극한은 $f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$ . ∎

SIMULATOR

곱의 법칙: 자라는 직사각형

u(x), v(x) x Δx

Δ(uv)/Δx—

두 띠 (vΔu + uΔv)/Δx—

모서리 ΔuΔv/Δx—

u′v + uv′—

해볼 것: ① Δx를 줄이며 모서리 조각의 몫이 Δx에 비례해 0으로 가는 것을 보세요. 두 띠의 합은 u′v + uv′로 다가갑니다. ② 'u = v = x'에서 두 띠가 같은 크기 x·Δx입니다. 그래서 (x²)′ = 2x입니다. ③ 'u가 줄어듦'에서는 Δu < 0이라 오른쪽 띠가 '깎이는' 넓이(점선)가 됩니다. 모델: u, v는 양수 범위에서만 그립니다. Δu = u(x+Δx) − u(x)의 정확한 값을 씁니다.

정리 3.8 (몫의 법칙)

f, g

가 미분 가능하고

g(x) \ne 0

이면

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.

증명. 먼저 $1/g$ : $\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{g(x+h)} - \dfrac{1}{g(x)}\right) = -\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\dfrac{1}{g(x+h)g(x)} \to -\dfrac{g'}{g^2}$ ( $g$ 의 연속성으로 분모가 0이 아닌 채 $g(x)^2$ 로 간다). 곱의 법칙으로 $\left(f\cdot\frac1g\right)' = \dfrac{f'}{g} - \dfrac{fg'}{g^2} = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ . ∎

정리 3.9 (정수 거듭제곱) 모든 정수

n

에 대해

\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

(

n \lt 0

이면

x \ne 0

증명. $n = -m$ ( $m$ 은 자연수)이면 몫의 법칙으로 $\left(\dfrac{1}{x^m}\right)' = \dfrac{0\cdot x^m - 1\cdot mx^{m-1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n-1}$ . ∎ 실수 지수 $x^r$ 에도 같은 꼴이 성립하는데, 그 증명은 4장의 음함수 미분과 로그로 한다.

예제 3.4 (곱의 법칙과 검산)

y = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)

를 미분하라.

곱의 법칙: $y' = 2x(x^3 - 2x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2 = 5x^4 - 3x^2 - 2$ .
검산(전개 후 미분): $y = x^5 - x^3 - 2x$ 이므로 $y' = 5x^4 - 3x^2 - 2$ . 같다.
흔한 실수: $y' = 2x\cdot(3x^2 - 2)$ 로 쓰면 $x = 1$ 에서 2가 나오지만 맞는 값은 $5 - 3 - 2 = 0$ 이다.

예제 3.5 (몫의 법칙)

y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

의 도함수와

x = 1

에서의 접선을 구하라.

$f = x^2 - 1$ , $g = x^2 + 1$ , $f' = g' = 2x$ . $y' = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$ .
$x = 1$ : $y(1) = 0$ , $y'(1) = 4/4 = 1$ . 접선은 $y = x - 1$ .
해석: $y'$ 의 부호는 $x$ 의 부호와 같으므로 $y$ 는 $x \lt 0$ 에서 감소, $x \gt 0$ 에서 증가하고 $x = 0$ 에서 최솟값 −1을 갖는다. $y = 1 - \frac{2}{x^2+1}$ 로 고쳐 쓰면 확인된다.

법칙 한눈표

(c)' = 0

(x^n)' = nx^{n-1}

(cf)' = cf'

(f \pm g)' = f' \pm g'

(fg)' = f'g + fg'

(f/g)' = (f'g - fg')/g^2

. 몫의 법칙 분자의 순서는 "아래에서 위를 미분한 것을 먼저"로 외우면 부호를 틀리지 않습니다(

f'g

가 앞).

고계 도함수: 위치, 속도, 가속도

엘리베이터가 불편한 이유

엘리베이터가 같은 속도로 올라가는 동안에는 아무것도 느끼지 못합니다. 몸이 느끼는 것은 출발·정지할 때의 속도의 변화, 즉 가속도이고, 갑자기 덜컥하는 느낌은 가속도의 변화입니다. 도함수를 한 번, 두 번, 세 번 취하는 이유가 여기 있습니다.

정의 3.10 (고계 도함수)

f'

이 미분 가능하면 그 도함수

f'' = (f')'

을 이계 도함수(second derivative)라 한다. 같은 방식으로

f'''

f^{(4)}, \dots, f^{(n)}

을 정의하고 통틀어 고계 도함수(higher-order derivatives)라 한다. 라이프니츠 표기로는

\dfrac{d^2y}{dx^2}, \dfrac{d^3y}{dx^3}, \dots

로 적는다.

직선 위를 움직이는 물체의 위치가 $s(t)$ 이면

v(t) = s'(t) \;\;(\text{속도}), \qquad a(t) = v'(t) = s''(t) \;\;(\text{가속도}), \qquad j(t) = a'(t) = s'''(t) \;\;(\text{저크}).

속도는 부호가 있다(+는 앞, −는 뒤). 속력(speed)은

|v(t)|

v

와

a

의 부호가 같으면 속력이 커지고(빨라지고), 다르면 속력이 줄어든다.

엘리베이터와 지하철은 저크 $j$ 를 일정 한도 아래로 두도록 속도 곡선을 설계합니다. 가속도가 계단처럼 뛰면 저크가 무한대가 되어 승객이 덜컥 흔들리기 때문입니다. 로봇 팔의 궤적 계획도 같은 이유로 위치를 다항식이나 스플라인으로 매끄럽게 잇습니다.

SIMULATOR

위치–속도–가속도 동기화

운동 시각 t

위치 s—

속도 v = s′—

가속도 a = s″—

상태—

해볼 것: ① 예제 3.6에서 v = 0인 t = 1, 3에 물체가 방향을 바꾸는 것을 맨 위 트랙에서 확인하세요. ② 같은 운동에서 1 < t < 2는 뒤로 가면서 빨라지는 구간(v, a 모두 음수)입니다. ③ 던진 공은 v가 직선, a가 −9.8로 일정합니다. 꼭대기에서도 a ≠ 0입니다. ④ 엘리베이터는 a가 매끄럽게 변해 저크가 유한합니다. 모델: 1차원 직선 운동, 단위 m·s. 엘리베이터는 s = 10(10τ³ − 15τ⁴ + 6τ⁵), τ = t/8 (8초에 10 m).

예제 3.6 (방향 바꾸기와 이동 거리) 직선 위 물체의 위치가

s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t

(m,

0 \le t \le 4

s)이다. 속도와 가속도, 방향을 바꾸는 시각, 4초 동안의 변위와 이동 거리를 구하라.

$v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ , $a(t) = 6t - 12$ .
$v = 0$ 인 $t = 1, 3$ 에서 방향이 바뀐다. $v \gt 0$ 은 $[0, 1)$ 과 $(3, 4]$ , $v \lt 0$ 은 $(1, 3)$ .
위치: $s(0) = 0$ , $s(1) = 4$ , $s(3) = 27 - 54 + 27 = 0$ , $s(4) = 64 - 96 + 36 = 4$ .
변위 $s(4) - s(0) = 4$ m. 이동 거리는 구간별 $|\Delta s|$ 의 합 $4 + 4 + 4 = 12$ m.
속력의 변화: $a \lt 0$ 은 $t \lt 2$ , $a \gt 0$ 은 $t \gt 2$ . $(0, 1)$ 감속, $(1, 2)$ 가속(뒤로), $(2, 3)$ 감속, $(3, 4)$ 가속.

다항식은 미분할 때마다 차수가 하나씩 내려가서 $n$ 차 다항식의 $(n+1)$ 계 도함수는 0입니다. 반대로 $x^{-1}$ 은 $-x^{-2}, 2x^{-3}, -6x^{-4}, \dots$ 로 끝없이 이어지고 $n$ 계 도함수는 $(-1)^n n!\,x^{-n-1}$ 입니다. 이런 무한한 도함수의 사슬이 12장 테일러 급수의 재료가 됩니다.

라이프니츠 표기와 단위

같은 도함수를 여러 표기로 씁니다. $y = f(x)$ 일 때

f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) = Df(x), \qquad f'(a) = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}.

물리에서 시간 미분은 점을 찍어

\dot{x} = dx/dt

\ddot{x} = d^2x/dt^2

로 쓰기도 한다(뉴턴식 표기).

라이프니츠 표기(Leibniz notation) $dy/dx$ 는 " $\Delta y/\Delta x$ 의 극한"을 그대로 보여 줍니다. 이 표기의 가장 큰 장점은 단위가 저절로 보인다는 것입니다. $dy/dx$ 의 단위는 (y의 단위)/(x의 단위)입니다.

위치 $s$ [m], 시간 $t$ [s] → $ds/dt$ [m/s], $d^2s/dt^2$ [m/s²]. $d^2s/dt^2$ 의 분모는 $(dt)^2$ 이라 단위가 s²다.
축전기 전하 $q$ [C] → 전류 $i = dq/dt$ [C/s = A].
생산 비용 $C(q)$ [원], 생산량 $q$ [개] → 한계 비용(marginal cost) $dC/dq$ [원/개]: 하나 더 만들 때 드는 대략의 비용.
온도 $T(x)$ [K], 위치 [m] → 온도 기울기 $dT/dx$ [K/m]. 열이 흐르는 세기가 이것에 비례한다(푸리에 법칙).

그림 3-4. 실제 변화량 Δy(주황)와 접선이 예측하는 변화량 dy = f′(a)dx(진분홍). 미분 가능하면 (Δy − dy)/Δx → 0이다. 즉 작은 범위에서는 접선의 예측이 거의 맞는다. 이 생각은 6장의 선형 근사로 이어진다.

dy/dx는 분수인가 이 장의 정의에서

dy/dx

는 하나의 기호이지

dy

를

dx

로 나눈 것이 아닙니다. 그런데 그림 3-4처럼

dx

를 독립 변수의 증분,

dy = f'(x)\,dx

를 접선 위의 증분으로 정의하면

dy \div dx = f'(x)

가 진짜 나눗셈이 됩니다. 4장의 연쇄 법칙

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

이 "약분"처럼 보이는 것도 이 표기 덕분입니다. 편리하지만,

\frac{d^2y}{dx^2} \ne \left(\frac{dy}{dx}\right)^2

처럼 분수로 다루면 틀리는 곳도 있으니 증명된 규칙 안에서만 씁니다.

예제 3.7 (단위와 해석) 물탱크의 물 부피가

V(t) = 200 + 30t - t^2

L (

t

는 분,

0 \le t \le 15

)이다.

$dV/dt = 30 - 2t$ [L/min]. $t = 5$ 에서 20 L/min으로 차오르고 있다.
$t = 15$ 에서 $dV/dt = 0$ : 들어오는 양과 나가는 양이 같아진 순간이다. 이때 $V(15) = 200 + 450 - 225 = 425$ L로 가장 많다.
$d^2V/dt^2 = -2$ [L/min²]: 차오르는 속도가 분마다 2 L/min씩 줄어든다.

이 도구가 쓰이는 곳

도함수는 "얼마나 빨리 변하는가"를 묻는 모든 곳에 있습니다. 측정 장비는 차분몫을, 설계 식은 도함수 공식을 씁니다.

축전기 전류와 인덕터 전압 축전기의 전하는

q = Cv

이므로 전류는

i = dq/dt = C\,dv/dt

, 인덕터의 전압은

v = L\,di/dt

입니다. 1 μF 축전기에 걸린 전압이 1 ms 동안 0 V에서 5 V로 일정하게 오르면

dv/dt = 5000

V/s이고 전류는

10^{-6}\times 5000 = 5

mA입니다. 전압이 계단처럼 갑자기 바뀌면(

dv/dt

가 매우 크면) 순간적으로 큰 전류가 흐르는데, 이것이 전원을 켤 때의 돌입 전류입니다.

4장 · 연쇄 법칙합성 함수와 초월 함수의 미분
sin, eˣ, ln의 도함수와 관련 변화율. 5장 · 평균값 정리f′의 부호로 그래프 그리기
f′ > 0이면 증가하는 이유, 극값과 변곡점. 6장 · 최적화와 근사선형 근사와 뉴턴 방법
접선으로 값을 어림하고 방정식을 푼다. MATHBOOK수치 미분
차분몫의 절단 오차와 반올림 오차, 최적의 h. MATHBOOK미분방정식
변화율에 대한 식으로 냉각·충전·인구를 모델링한다. LINEARBOOK미분은 선형 사상
다항식 공간에서 d/dx를 행렬로 쓰기.

핵심 정리

미분계수 $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 는 할선 기울기(평균 변화율)의 극한, 즉 접선의 기울기(순간 변화율)다.
도함수 $f'$ 은 점마다 미분계수를 주는 함수다. 정의로 계산할 때는 분자에서 $h$ 를 끌어내 약분한다(인수분해·유리화·통분).
미분 가능하면 연속이다. 역은 거짓이다: 뾰족점(|x|), 첨점, 수직 접선(∛x), 진동(x sin(1/x))에서는 연속이어도 미분 가능하지 않다.
미분 가능한 함수는 확대하면 직선처럼 보인다(국소 선형성). $f$ 의 증가·감소·수평 접선은 $f'$ 의 양·음·0에 대응한다.
$(x^n)' = nx^{n-1}$ , 미분은 선형이고, $(fg)' = f'g + fg'$ , $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ . 곱의 미분은 미분의 곱이 아니다.
위치 $s$ 의 1계 도함수는 속도, 2계는 가속도, 3계는 저크다. $v$ 와 $a$ 의 부호가 같으면 빨라진다.
$dy/dx$ 의 단위는 (y의 단위)/(x의 단위). 수치 미분에서 $h$ 는 너무 크면 절단 오차, 너무 작으면 반올림 오차가 커진다.

확인 퀴즈

Q1. $f(x) = x^2$ 에서 $a = 3$ , $h = 0.1$ 인 할선의 기울기는?

\frac{(3.1)^2 - 9}{0.1} = \frac{9.61 - 9}{0.1} = 6.1

. 일반적으로

6 + h

이고,

h \to 0

에서 미분계수 6이 된다(예제 3.1).

Q2. $x = 0$ 에서 연속이지만 미분 가능하지 않은 함수는?

|x|

는 0에서 연속이지만 왼쪽 미분계수 −1과 오른쪽 미분계수 1이 달라 미분 가능하지 않다.

1/x

은 0에서 정의조차 되지 않고, 다항식은 어디서나 미분 가능하다.

Q3. $\dfrac{d}{dx}\bigl(x^3\cdot x^2\bigr)$ 은?

x^3x^2 = x^5

이므로

5x^4

. 곱의 법칙으로도

3x^2\cdot x^2 + x^3\cdot 2x = 5x^4

6x^3

은 미분의 곱

3x^2\cdot 2x

으로 잘못 계산한 값이다.

Q4. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ 의 도함수는?

x^{-2}

에 정수 거듭제곱 법칙(정리 3.9):

-2x^{-3}

. 몫의 법칙으로도

\frac{0\cdot x^2 - 1\cdot 2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}

Q5. 위치가 $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ 인 물체는 $t = 1.5$ 일 때 어떤 상태인가?

v(1.5) = 3(0.5)(-1.5) = -2.25

m/s (뒤로),

a(1.5) = 9 - 12 = -3

m/s². 속도와 가속도의 부호가 같으므로 속력

|v|

이 커진다.

Q6. 삼차 함수 $f$ 가 $x = -1$ 에서 극대, $x = 1$ 에서 극소이다. $f'$ 의 그래프는?

수평 접선의 위치 −1, 1이

f'

의 근이다.

x \lt -1

에서 증가(f′ > 0),

-1 \lt x \lt 1

에서 감소(f′ < 0),

x \gt 1

에서 증가(f′ > 0)이므로

f'

은 위로 열린 포물선이다. 예:

f = x^3/3 - x

f' = x^2 - 1

Q7. 배정밀도 계산에서 전진 차분 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 의 $h$ 를 $10^{-8}$ 에서 $10^{-15}$ 로 줄이면 결과는 보통 어떻게 되나?

유효 숫자가 약 16자리라

f(x+h) - f(x)

를 계산하면 앞자리가 지워지고 반올림 잡음(

\approx \varepsilon

)만 남는다. 이것을

h

로 나누면 오차가

\varepsilon/h

꼴로 커진다. 전진 차분의 최적

h

는 대략

\sqrt{\varepsilon} \approx 10^{-8}

이다.

Q8. 탱크의 물 부피 $V$ 를 리터(L), 시간 $t$ 를 분(min)으로 잴 때 $\dfrac{d^2V}{dt^2}$ 의 단위는?

dV/dt

는 L/min이고, 이것을 다시 시간으로 미분하면 (L/min)/min = L/min². 분모의

dt^2

은

(dt)^2

를 뜻한다.