Chapter 08

미적분의 기본 정리

지금까지 미적분에는 두 개의 눈이 있었습니다. 3~6장의 미분은 곡선의 한 점에서 기울기를 보고, 7장의 적분은 곡선 아래에 쌓인 넓이를 봅니다. 하나는 순간을, 하나는 누적을 다루니 서로 무관해 보입니다. 이 장의 주인공인 미적분의 기본 정리는 둘이 서로의 역연산임을 말합니다. 넓이를 쌓아 가는 함수를 미분하면 원래 함수가 나오고, 그래서 넓이를 구하는 데 리만 합의 극한 대신 도함수를 거꾸로 찾는 일, 즉 역도함수를 쓰면 됩니다. 7장에서 합 공식과 극한으로 한참 걸려 얻은 $\int_0^2 x^2\,dx = 8/3$ 이 이제 한 줄이 됩니다.

누적 함수 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 를 그래프로 읽고, $f$ 의 부호와 $A$ 의 증가·감소를 연결한다.
기본 정리 1부 $A'(x) = f(x)$ 를 좁은 띠 그림과 적분의 평균값 정리로 증명한다.
기본 정리 2부 $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ 를 증명하고, 역도함수로 정적분을 계산한다.
부정적분 기호와 기본 적분 공식표를 쓰고, 적분 상수 $C$ 의 뜻을 초기 조건으로 설명한다.
치환 적분을 연쇄 법칙의 역으로 이해하고, 정적분에서 적분 한계를 바꾸어 계산한다.
순변화량 정리로 유량→부피, 전류→전하, 속도→변위를 계산하고, 상한이 함수인 적분을 미분한다.

이 수식이 없었다면넓이 하나에 극한 계산 하나

7장에서 $\int_0^b x^2\,dx$ 를 구하려면 $\sum k^2$ 공식을 알고 극한을 보내야 했습니다. $x^5$ 이면 $\sum k^5$ 공식이, $\sin x$ 이면 $\sum\sin(k\Delta x)$ 의 닫힌 꼴이 필요합니다. 함수마다 새로운 요령을 찾아야 하는 이 상태가 17세기 중반까지 넓이 문제의 모습이었습니다. 카발리에리, 페르마 등은 거듭제곱 함수의 넓이를 이런 식으로 구했습니다.

17세기 후반 뉴턴(Isaac Newton)과 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)는 각자 독립적으로, 접선 문제(미분)와 넓이 문제(적분)가 서로 거꾸로 된 문제라는 것을 알아보고 이를 계산 체계로 만들었습니다. 뉴턴의 스승 배로(Isaac Barrow)도 이 역관계를 기하학적인 형태로 다룬 바 있습니다. 적분 기호 ∫는 라이프니츠가 '합'을 뜻하는 라틴어 summa의 머리글자 S를 길게 늘여 만든 것이고, $dx$ 의 d는 '차이'(differentia)에서 왔습니다. 두 사람 중 누가 먼저였는지를 두고 긴 우선권 논쟁이 벌어졌지만, 오늘날 우리가 쓰는 기호는 대부분 라이프니츠의 것입니다.

넓이 = 리만 합의 극한→누적 함수 A(x)를 미분하면 f→∫ₐᵇ f = F(b) − F(a)→적분이 공식표 계산이 된다

누적 함수: 넓이를 쌓아 가는 함수

저수지의 수위 기록

저수지에 들어오고 나가는 물의 순유량 $f(t)$ (m³/s, 들어오면 양수)가 기록되어 있습니다. 관리자가 알고 싶은 것은 유량이 아니라 지금까지 쌓인 물의 양입니다. 0시부터 시각 $x$ 까지 쌓인 양은 $\int_0^x f(t)\,dt$ 이고, $x$ 가 움직이면 이 값도 움직입니다. 이 값을 $x$ 의 함수로 보면 어떤 모양일까요?

7장의 정적분은 양 끝 $a$ , $b$ 가 정해진 하나의 수였습니다. 이제 위끝을 변수로 풀어 줍니다.

정의 8.1 (누적 함수)

f

가

a

를 포함하는 구간

I

에서 연속일 때,

I

의 각

x

에 대해

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt

로 정의한 함수를

f

의 누적 함수(accumulation function)라 한다.

A(a) = 0

이고,

x \lt a

이면 7장의 약속대로

A(x) = -\int_x^a f(t)\,dt

이다.

적분 변수를 $x$ 가 아니라 $t$ 로 쓴 까닭은, $x$ 가 이미 위끝이라는 다른 역할을 맡았기 때문입니다. 7장에서 본 것처럼 적분 변수는 이름만 빌린 더미 변수라서 $t$ 든 $s$ 든 상관없습니다. $\int_a^x f(x)\,dx$ 처럼 쓰면 같은 글자가 두 가지 뜻을 가져 헷갈리므로 피합니다.

그래프로 읽는 규칙은 간단합니다. $x$ 를 오른쪽으로 조금 옮기면 $A$ 에 띠 하나만큼의 넓이가 더해지고, 그 띠의 부호는 $f(x)$ 의 부호입니다.

$f > 0$ 인 곳에서 $A$ 는 증가, $f \lt 0$ 인 곳에서 $A$ 는 감소한다.
$f$ 가 양에서 음으로 바뀌는 곳에서 $A$ 는 극대, 음에서 양으로 바뀌는 곳에서 극소다.
$f$ 가 클수록 $A$ 가 가파르게 변한다. 즉 $f$ 의 값이 $A$ 의 기울기처럼 행동한다.

그림 8-1. 위: f(t)의 부호 있는 넓이. 아래: 누적 함수 A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt. f가 양수인 동안 A는 오르고, f가 0을 지나며 음수가 되는 점에서 A가 극대가 된다. f의 그래프가 A의 기울기 그래프처럼 보인다.

예제 8.1 (기하로 구하는 누적 함수)

f(t) = 2 - t

일 때

A(x) = \int_0^x f(t)\,dt

를 구하고, 최댓값을 찾아라.

$0 \le x \le 2$ : 높이 2와 $2 - x$ , 폭 $x$ 인 사다리꼴이므로 $A(x) = \frac{(2 + (2 - x))x}{2} = 2x - \frac{x^2}{2}$ .
$x > 2$ : $[0, 2]$ 의 삼각형 넓이 2에서 $[2, x]$ 의 아래쪽 삼각형 넓이 $\frac{(x-2)^2}{2}$ 을 뺀다. $2 - \frac{(x-2)^2}{2} = 2x - \frac{x^2}{2}$ . 같은 식이다.
$A$ 는 $f$ 가 부호를 바꾸는 $x = 2$ 에서 최대 $A(2) = 2$ 이고, $x = 4$ 에서 다시 0이 된다(위아래 넓이가 같아짐).
관찰: $A(x) = 2x - \frac{x^2}{2}$ 를 미분하면 $A'(x) = 2 - x = f(x)$ . 우연이 아니다. 다음 절의 정리다.

아래 시뮬레이터에서 위 그래프의 점 7개를 끌어 $f$ 의 모양을 바꿔 보세요. 아래 그래프의 $A$ 가 즉시 다시 그려집니다. 축 위의 점 $x$ 를 끌면 지금까지 쌓인 넓이와 $A(x)$ 의 값이 함께 움직입니다.

SIMULATOR

f를 끌면 A가 바뀐다: 누적 함수 그리기

f(t): 점을 위아래로 끌어 모양 바꾸기

A(x) = ∫₀ˣ f(t) dt

A의 접선 (기울기 = f(x)) f = 0인 곳 표시

x—

f(x)—

A(x)—

A는 지금—

해볼 것: ① ▶로 x를 쓸며 f가 0을 지나는 순간(초록 점선) A가 꼭대기나 바닥에 닿는 것을 보세요. ② '상수 f'를 누르면 A는 직선이 됩니다. 기울기가 그 상수입니다. ③ 한 점만 크게 올리면 A는 그 근처에서만 가파르게 오르고, 나머지 모양은 평행 이동만 합니다. 모델: f는 점 7개를 지나는 3차 에르미트 스플라인, A는 촘촘한 수치 적분입니다.

기본 정리 1부: 쌓은 것을 미분하면 원래 함수

시뮬레이터에서 $A$ 의 접선 기울기가 늘 $f(x)$ 와 같았습니다. 이것을 증명합시다. 도함수의 정의(3장)에 따라 $A(x + h) - A(x)$ 를 봅니다. 구간 가법성(정리 7.7)으로

A(x + h) - A(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt.

x

와

x + h

사이의 좁은 띠 하나의 넓이다.

띠의 폭이 $h$ 로 아주 좁으면 띠는 높이가 거의 $f(x)$ 인 직사각형입니다. 그래서 $A(x + h) - A(x) \approx f(x)\,h$ , 양변을 $h$ 로 나누면 $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx f(x)$ 이고 $h \to 0$ 이면 근사가 등식이 됩니다. 정리 7.9(적분의 평균값 정리)가 이 "거의"를 정확하게 만듭니다.

그림 8-2. 누적 함수의 증분은 폭 h인 띠의 넓이다. 띠는 높이 f(x)인 직사각형(점선)과 거의 같고, 적분의 평균값 정리가 띠 안의 어떤 높이 f(cₕ)로 정확히 같게 만든다.

정리 8.2 (미적분의 기본 정리 1부)

f

가

[a, b]

에서 연속이면

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt

는

[a, b]

에서 연속이고

(a, b)

에서 미분 가능하며

A'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).

증명. $x \in (a, b)$ 와 $x + h \in [a, b]$ 인 $h \ne 0$ 을 잡는다. 위의 계산과 정리 7.9로 $A(x + h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c_h)\,h$ 인 $c_h$ 가 $x$ 와 $x + h$ 사이에 있다( $h \lt 0$ 이면 $\int_x^{x+h} = -\int_{x+h}^x$ 로 같은 결론). 그러면 $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(c_h)$ . $h \to 0$ 이면 $|c_h - x| \le |h| \to 0$ 이므로 $c_h \to x$ 이고, $f$ 의 연속성으로 $f(c_h) \to f(x)$ . 따라서 $A'(x) = f(x)$ . 연속성은 $|A(x + h) - A(x)| \le M|h|$ ( $M = \max|f|$ )에서 나온다. ∎

이 정리의 뜻을 한 문장으로 말하면 "연속 함수는 모두 역도함수를 가진다"입니다. 역도함수를 식으로 쓸 수 없는 함수도 마찬가지입니다. 예를 들어 $e^{-t^2}$ 의 역도함수는 기본 함수로 쓸 수 없지만, $\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ 가 바로 그 역도함수입니다(7절의 오차 함수).

예제 8.2 (1부 쓰기) 다음을 구하라. (가)

\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{1 + t^3}\,dt

, (나)

\frac{d}{dx}\int_x^5 \cos(t^2)\,dt

(가) 피적분 함수 $\sqrt{1 + t^3}$ 는 $t \ge -1$ 에서 연속이므로 정리 8.2로 $\sqrt{1 + x^3}$ . 예를 들어 $x = 2$ 에서 기울기는 $\sqrt9 = 3$ . 적분을 계산하지 않고도 도함수를 안다.
(나) 변수가 아래끝에 있다. 방향을 뒤집어 $\int_x^5 = -\int_5^x$ 로 쓰면 $-\cos(x^2)$ .

SIMULATOR

띠의 넓이 ÷ 폭 → f(x): A의 기울기 확인

f(t)와 띠 [x, x + h]

A(x)의 할선(파랑)과 기울기 f(x)인 직선(분홍)

함수 f x 띠의 폭 h

띠 넓이 ΔA—

ΔA / h—

f(x)—

차이—

해볼 것: ① h를 1에서 0.01로 줄이며 ΔA/h가 f(x)로 다가가는 것을 보세요. 파란 할선이 분홍 직선에 겹칩니다. ② h를 음수로 하면 띠가 왼쪽에 생기고 ΔA도 음수가 되지만, 몫 ΔA/h는 여전히 f(x)로 갑니다. ③ '계단'에서 x를 3에 맞추면 h > 0일 때는 2로, h < 0일 때는 1로 갑니다. f가 불연속인 점에서는 A가 꺾여 미분 가능하지 않습니다. 모델: ΔA는 정확한 역도함수로 계산합니다.

기본 정리 2부: 넓이를 역도함수로 계산하기

합 공식 없이 $\int_0^\pi \sin x\,dx$ 를

7장의 방법으로 $\int_0^\pi \sin x\,dx$ 를 구하려면 $\sum_{k=1}^n \sin(k\pi/n)$ 의 닫힌 꼴을 찾아 극한을 보내야 합니다. 가능은 하지만 함수마다 이런 요령을 찾을 수는 없습니다. 1부가 "넓이 함수의 도함수는 $f$ "라고 했으니, 거꾸로 "도함수가 $f$ 인 함수"를 알면 넓이를 바로 읽을 수 있지 않을까요?

정의 8.3 (역도함수) 구간

I

에서

F'(x) = f(x)

인 함수

F

를

I

에서

f

의 역도함수(antiderivative) 또는 원시함수라 한다.

역도함수는 하나가 아닙니다. $F$ 가 역도함수이면 $F + C$ 도 역도함수입니다. 거꾸로, 같은 구간에서 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼만 다릅니다. 이것은 평균값 정리의 따름정리입니다(5장): $(F - G)' = 0$ 인 함수는 구간에서 상수입니다.

정리 8.4 (미적분의 기본 정리 2부)

f

가

[a, b]

에서 연속이고

F

가

[a, b]

에서

f

의 역도함수이면

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b.

증명 1 (1부에서). 1부로 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 도 $f$ 의 역도함수이므로 $F(x) = A(x) + C$ 인 상수 $C$ 가 있다. 그러면 $F(b) - F(a) = (A(b) + C) - (A(a) + C) = A(b) - A(a) = \int_a^b f - 0$ . ∎

증명 2 (망원 합). 아무 분할 $a = x_0 \lt \cdots \lt x_n = b$ 를 잡으면 $F(b) - F(a) = \sum_{k=1}^n \bigl(F(x_k) - F(x_{k-1})\bigr)$ 이다(중간 항이 모두 지워진다). 각 소구간에 평균값 정리를 쓰면 $F(x_k) - F(x_{k-1}) = F'(c_k)\Delta x_k = f(c_k)\Delta x_k$ 인 $c_k$ 가 있다. 따라서 $F(b) - F(a) = \sum f(c_k)\Delta x_k$ 는 모든 분할에 대해 정확히 같은 값을 갖는 리만 합이고, $\|P\| \to 0$ 의 극한도 같은 값이다. ∎

두 번째 증명은 그림으로 보면 더 분명합니다. 역도함수 $F$ 의 그래프에서 각 소구간의 오르막 $F(x_k) - F(x_{k-1})$ 을 쌓으면 전체 오르막 $F(b) - F(a)$ 이고, 평균값 정리는 각 오르막을 $f$ 그래프 아래의 직사각형 하나로 바꿉니다. 직사각형을 몇 개로 나누든 전체 넓이는 그대로입니다.

SIMULATOR

오르막을 쌓으면 넓이: 망원 합 증명

F(x): 소구간마다 오르막 ΔFₖ, 오른쪽 끝에 쌓기

f(x) = F′(x): 높이 f(cₖ)인 직사각형

f와 역도함수 F 소구간 수 n 평균값 정리의 cₖ와 접선

Σ f(cₖ)Δxₖ—

F(b) − F(a)—

비교: 왼쪽 합 Lₙ—

해볼 것: ① n을 1부터 12까지 바꿔도 Σ f(cₖ)Δxₖ는 F(b) − F(a)와 정확히 같습니다. 왼쪽 합은 n에 따라 변하는 것과 비교하세요. ② 위 그래프에서 각 cₖ의 접선(파랑)이 그 소구간의 할선과 평행한 것을 보세요. 평균값 정리입니다. ③ cos x에서는 [π/2, π]의 오르막이 음수라 아래 직사각형도 x축 아래에 놓입니다. 모델: cₖ는 f(c) = ΔFₖ/Δx를 수치로 풀어 찾습니다.

예제 8.3 (2부로 계산하기)

$\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac83 - 0 = \tfrac83$ . 7장 예제 7.3의 극한 계산과 같다.
$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ . 사인 곡선 한 봉우리의 넓이는 정확히 2다.
$\displaystyle\int_1^e \frac{dx}{x} = \Big[\ln x\Big]_1^e = 1 - 0 = 1$ . 자연로그의 밑 $e$ 는 $y = 1/x$ 아래 넓이가 1이 되는 위끝이다.
$\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} = \Big[\arctan x\Big]_0^1 = \frac\pi4$ . 유리 함수의 넓이에서 $\pi$ 가 나온다.
$\displaystyle\int_1^4 \Bigl(3\sqrt x - \frac{2}{x^2}\Bigr)dx = \Big[2x^{3/2} + \frac2x\Big]_1^4 = (16 + 0.5) - (2 + 2) = 12.5$ .

연속 조건을 확인하라

\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2}

에 공식을 기계적으로 쓰면

\big[-\frac1x\big]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2

입니다. 양수 함수의 넓이가 음수일 리 없습니다.

1/x^2

은

x = 0

에서 정의되지 않고 유계도 아니라서 정리 8.4의 가정(연속)이 깨졌습니다. 이 적분은 사실 무한대로 발산하며, 9장의 이상 적분(적분 기법)으로 다룹니다.

그림 8-3. 기본 정리의 두 부분. 1부는 "적분한 다음 미분하면 제자리", 2부는 "미분한 다음 적분하면 양 끝의 차이"다. 미분은 상수를 지우므로 되돌릴 때 상수 하나만큼의 자유가 남는다.

부정적분과 기본 공식표

2부 덕분에 정적분 계산은 역도함수 찾기가 되었습니다. 그래서 역도함수 전체를 가리키는 기호를 따로 둡니다.

정의 8.5 (부정적분)

f

의 역도함수 전체를

\int f(x)\,dx = F(x) + C \qquad (F' = f)

로 쓰고

f

의 부정적분(indefinite integral)이라 한다.

C

는 임의의 상수로 적분 상수(constant of integration)라 부른다.

정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$ 는 수이고, 부정적분 $\int f(x)\,dx$ 는 함수들의 모임입니다. 기호가 닮은 것은 기본 정리가 둘을 이어 주기 때문입니다. 부정적분 공식은 모두 미분 공식(3·4장)을 거꾸로 읽은 것이고, 검산은 늘 미분해 보는 것입니다.

도함수 공식	부정적분 공식	비고
$(x^{n+1})' = (n+1)x^n$	$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \ne -1$ , 실수 $n$
$(\ln\|x\|)' = \frac1x$	$\int \frac{dx}{x} = \ln\|x\| + C$	$x \ne 0$ 인 각 구간에서
$(e^x)' = e^x$	$\int e^x\,dx = e^x + C$
$(a^x)' = a^x\ln a$	$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$	$a > 0$ , $a \ne 1$
$(\cos x)' = -\sin x$	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
$(\sin x)' = \cos x$	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$
$(\tan x)' = \sec^2 x$	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$
$(\sec x)' = \sec x\tan x$	$\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$	$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$	$\|x\| \lt 1$
$(\cosh x)' = \sinh x$	$\int \sinh x\,dx = \cosh x + C$	$\int\cosh x\,dx = \sinh x + C$

부정적분도 선형입니다: $\int [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int f\,dx + \beta\int g\,dx$ . 하지만 곱과 몫에 대한 간단한 공식은 없습니다. 곱의 법칙을 거꾸로 쓴 부분 적분과 그 밖의 기법은 9장의 주제이고, 이 장에서는 연쇄 법칙을 거꾸로 쓴 치환 적분을 다음 절에서 봅니다.

심화: $\ln x$ 를 적분으로 정의하기 4장에서는 "

a^x

의 기울기 ÷ 값이 1이 되는 밑

e

"가 있다는 사실을 받아들이고 넘어갔습니다. 기본 정리를 쓰면 이 빈틈을 거꾸로 메울 수 있습니다. 먼저

x > 0

에 대해

L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}

로 정의합니다.

1/t

은

(0, \infty)

에서 연속이므로 기본 정리 1부에 따라

L'(x) = 1/x > 0

이고,

L

은 미분 가능하고 순증가합니다. 치환

t = as

로

\int_a^{ax} \frac{dt}{t} = \int_1^x \frac{ds}{s}

이므로

L(ax) = L(a) + L(x)

, 즉 로그의 곱셈 법칙이 나옵니다.

L(2^n) = nL(2) \to \infty

이니

L

의 값은 모든 실수를 지나고, 중간값 정리(2장)로

L(e) = 1

인 수

e

가 하나 정해집니다.

L

의 역함수를

\exp

라 하면 역함수의 도함수(4장)에서

\exp' = \exp

가 됩니다. 이렇게 하면

\ln x = L(x)

와

e^x = \exp(x)

가 극한의 존재를 가정하지 않고 세워집니다. 위 예제의 "

y = 1/x

아래 넓이가 1이 되는 위끝이

e

"는 바로 이 정의를 그림으로 읽은 것입니다.

$\ln|x|$ 의 절댓값과 상수

1/x

은

x \lt 0

에서도 정의되므로 역도함수도 그쪽에서 필요합니다.

x \lt 0

이면

(\ln(-x))' = \frac{-1}{-x} = \frac1x

이니

\ln|x|

가 양쪽을 다 덮습니다. 엄밀히 말하면 정의역이 두 조각이라 양쪽에 서로 다른 상수를 붙여도 도함수는

1/x

입니다. 아래 시뮬레이터의 '1/x'에서 확인해 보세요.

상수 $C$ 는 정보가 하나 더 있을 때 정해집니다. 이런 문제를 초기값 문제(initial value problem)라 합니다. 미분방정식의 가장 간단한 형태입니다(MathBook 미분방정식).

예제 8.4 (초기 조건으로 C 정하기) (가)

F'(x) = 3x^2 - 4x + 1

F(1) = 2

인

F

를 구하라. (나) 공을 초속 20 m/s로 똑바로 위로 던졌다. 가속도가

-9.8

m/s²일 때 최고 높이는?

(가) $F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C$ . $F(1) = 1 - 2 + 1 + C = C = 2$ 이므로 $F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2$ . 검산: 미분하면 $3x^2 - 4x + 1$ . ✓
(나) $v(t) = \int -9.8\,dt = -9.8t + C_1$ , $v(0) = 20$ 에서 $C_1 = 20$ . $s(t) = \int v\,dt = 20t - 4.9t^2 + C_2$ , $s(0) = 0$ 에서 $C_2 = 0$ .
최고점은 $v = 0$ 인 $t = 20/9.8 \approx 2.04$ s. $s = 20\cdot 2.041 - 4.9\cdot 2.041^2 \approx 20.4$ m. 정확한 값은 $v_0^2/(2g) = 400/19.6 \approx 20.41$ m.

SIMULATOR

역도함수의 가족 F(x) + C: 한 점을 지나는 하나 고르기

f(x) 기울기장 (각 x에서 기울기 f(x)) 다른 C의 곡선들

고른 곡선—

C—

지나는 점 (x₀, y₀)—

그 점의 기울기 f(x₀)—

해볼 것: ① 분홍 점을 위아래로 끌면 곡선이 통째로 평행 이동합니다. 모양(기울기)은 그대로이고 C만 바뀝니다. ② 기울기장의 짧은 선분이 같은 세로줄에서 모두 평행한 것을 보세요. f가 x에만 의존하기 때문입니다. ③ '1/x'에서 점을 x < 0 쪽으로 옮기면 그쪽 곡선만 바뀝니다. 두 조각의 C는 서로 독립입니다. 모델: 초기값 문제 y′ = f(x), y(x₀) = y₀의 해 y = F(x) − F(x₀) + y₀.

치환 적분: 연쇄 법칙을 거꾸로

$\int 2x\cos(x^2)\,dx$ 는 공식표에 없다

공식표에는 $\cos x$ 는 있지만 $2x\cos(x^2)$ 은 없습니다. 그런데 $\sin(x^2)$ 을 연쇄 법칙(4장)으로 미분하면 $\cos(x^2)\cdot 2x$ 입니다. 피적분 함수가 "어떤 함수의 도함수 × 안쪽 함수의 도함수" 모양이면 연쇄 법칙을 거꾸로 돌릴 수 있습니다.

$F' = f$ 이면 연쇄 법칙으로 $\frac{d}{dx}F(g(x)) = f(g(x))\,g'(x)$ 입니다. 이것을 적분으로 읽으면

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C.

u = g(x)

로 놓으면

du = g'(x)\,dx

이고, 식은

\int f(u)\,du = F(u) + C

가 된다. 라이프니츠 기호

du = g'(x)\,dx

가 미분처럼 계산되는 것이 이 기호의 큰 장점이다.

정리 8.6 (치환 적분)

g'

이

[a, b]

에서 연속이고

f

가

g

의 치역에서 연속이면

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\Big|_{u = g(x)},\qquad \int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.

정적분에서는 적분 한계도 $u$ 의 값으로 바꾼다. 이 방법을 치환 적분(substitution, u-substitution)이라 한다.

증명. $F$ 를 $f$ 의 역도함수라 하면 연쇄 법칙으로 $F(g(x))$ 는 $f(g(x))g'(x)$ 의 역도함수다. 2부를 두 번 쓰면 왼쪽은 $F(g(b)) - F(g(a))$ , 오른쪽도 $F(g(b)) - F(g(a))$ . ∎

그림으로 보면 치환은 가로축을 늘이고 줄이는 변환입니다. $x$ 축의 폭 $\Delta x$ 인 띠는 $u = g(x)$ 로 보내면 폭이 $\Delta u \approx g'(x)\Delta x$ 가 됩니다. 띠의 넓이를 지키려면 높이를 $g'(x)$ 로 나눠야 하고, 그러면 높이 $f(g(x))g'(x)$ 가 $f(u)$ 가 됩니다. 피적분 함수에 붙은 $g'(x)$ 는 바로 이 늘어남을 미리 보정해 둔 인자입니다.

그림 8-4. 치환 u = g(x)는 띠를 가로로 g′(x)배 늘인다(여기서는 g′ = 3). 넓이를 지키려면 높이가 1/g′배가 되어야 하고, 그 결과가 f(u)다. 그래서 두 적분의 값이 같다.

예제 8.5 (정적분의 치환: 한계 바꾸기)

\displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx

를 구하라.

안쪽 함수 $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\,dx$ 이므로 $x\,dx = \frac12du$ .
한계: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ , $x = 2 \Rightarrow u = 5$ .
$\displaystyle\frac12\int_1^5 u^3\,du = \frac12\Big[\frac{u^4}{4}\Big]_1^5 = \frac12\cdot\frac{625 - 1}{4} = 78$ .
흔한 실수: 한계를 그대로 0과 2로 두면 $\frac12\cdot\frac{16}{4} = 2$ 가 된다. $u$ 로 바꿨으면 한계도 $u$ 의 값이어야 한다. 또는 $F(g(x)) = \frac18(x^2+1)^4$ 으로 $x$ 에 되돌려 0과 2를 넣어도 $\frac18(625 - 1) = 78$ 이다.

예제 8.6 (부정적분의 치환) (가)

\int \tan x\,dx

, (나)

\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx

를 구하라.

(가) $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . $u = \cos x$ , $du = -\sin x\,dx$ 이므로 $\int \frac{\sin x}{\cos x}dx = -\int\frac{du}{u} = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$ .
(나) $u = -x^2$ , $du = -2x\,dx$ . 한계 $0 \to 0$ , $1 \to -1$ . $\int_0^{-1} e^u\left(-\frac12\right)du = \frac12\int_{-1}^0 e^u\,du = \frac12(1 - e^{-1}) \approx 0.3161$ .

치환은 대칭성도 설명합니다. $\int_{-a}^0 f(x)\,dx$ 에 $u = -x$ 를 넣으면 $\int_0^a f(-u)\,du$ 이므로, $f$ 가 기함수면 $\int_{-a}^a f = 0$ , 우함수면 $2\int_0^a f$ 입니다(7장의 팁). 예를 들어 $x^2\sin x$ 는 기함수이므로 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2\sin x\,dx = 0$ 입니다.

SIMULATOR

넓이를 지키는 변환: x 세계에서 u 세계로

적분 변환 진행 t 띠 수

x 구간 → u 구간—

지금 모양의 넓이—

∫ f(u) du (참값)—

해볼 것: ① t를 0 → 1로 밀며 각 띠가 u = g(x)의 위치로 미끄러지는 동안 넓이 값이 그대로인 것을 보세요. ② x = 0 근처에서 g′(x) = 2x가 작은 띠는 좁아지며 키가 커지고, g′ > 1인 띠는 넓어지며 키가 작아집니다. ③ 'u = ln x'에서는 모든 띠가 좁아집니다(g′ = 1/x < 1). 모델: 중간 단계 t에서 점 x는 (1 − t)x + t·g(x)로 가고, 높이는 f(g(x))g′(x) / ((1 − t) + t·g′(x))로 바뀌어 모든 t에서 넓이가 정확히 보존됩니다.

u를 고르는 감각 피적분 함수에서 "안쪽 함수"를 찾고, 그 도함수가(상수배를 빼고) 곁에 곱해져 있는지 봅니다.

\cos(x^2)\cdot x

e^{\sin x}\cos x

\frac{\ln x}{x}

\frac{2x}{x^2 + 1}

모두 그렇습니다. 곱해진 도함수가 없으면(예:

\int\cos(x^2)\,dx

) 치환으로는 풀리지 않고, 실제로 이 적분은 기본 함수로 쓸 수 없습니다.

순변화량 정리: 변화율을 쌓으면 변화량

물탱크에 물이 얼마나 남았나

물탱크에 펌프가 물을 넣고 수도꼭지가 물을 빼서, 순유량 $r(t)$ (L/min)이 들쭉날쭉합니다. 처음에 20 L가 있었다면 10분 뒤에는 몇 L가 있을까요? 탱크 수위를 직접 재지 않고 유량계 기록만으로 알 수 있을까요?

2부를 $F$ 대신 "어떤 양 $Q(t)$ "와 그 변화율 $Q'(t)$ 로 다시 쓰면 공학에서 가장 자주 쓰는 형태가 됩니다.

정리 8.7 (순변화량 정리)

Q'

이 연속이면

Q(b) - Q(a) = \int_a^b Q'(t)\,dt,\qquad Q(t) = Q(a) + \int_a^t Q'(s)\,ds.

변화율을 쌓으면 그 양의 순변화량(net change)이 된다.

양 $Q$	변화율 $Q'$	$\int_a^b Q'\,dt$ 의 뜻
탱크의 부피 $V$ (L)	순유량 $r$ (L/min)	그동안 늘어난 부피
전하 $q$ (C)	전류 $i$ (A = C/s)	도선의 단면을 지나간 전하
위치 $s$ (m)	속도 $v$ (m/s)	변위(displacement)
에너지 $E$ (J)	전력 $P$ (W = J/s)	사용한 에너지(전기 요금의 kWh)
인구 $N$	증가율 $N'$ (명/년)	그동안 늘어난 인구

속도의 경우에는 주의할 점이 있습니다. $\int_a^b v\,dt$ 는 변위(출발점에서 얼마나 떨어졌는가)이고, 실제로 달린 총 이동 거리는 $\int_a^b |v|\,dt$ 입니다. 앞으로 갔다 뒤로 오면 변위는 상쇄되지만 거리는 쌓입니다.

예제 8.7 (변위와 이동 거리) 직선 위를 움직이는 입자의 속도가

v(t) = t^2 - 4t + 3

m/s다.

[0, 4]

에서의 변위와 총 이동 거리를 구하라.

역도함수 $S(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t$ . 변위 $= S(4) - S(0) = \frac{64}{3} - 32 + 12 = \frac43 \approx 1.33$ m.
$v = (t - 1)(t - 3)$ 은 $(1, 3)$ 에서 음수다. 구간을 나눈다.
$\int_0^1 v = S(1) - S(0) = \frac13 - 2 + 3 = \frac43$ , $\int_1^3 v = S(3) - S(1) = 0 - \frac43 = -\frac43$ , $\int_3^4 v = S(4) - S(3) = \frac43 - 0 = \frac43$ .
총 이동 거리 $= \frac43 + \frac43 + \frac43 = 4$ m. 변위 $\frac43 - \frac43 + \frac43 = \frac43$ 과 다르다.

예제 8.8 (전류 → 전하) 축전기가 방전하며 흐르는 전류가

i(t) = 2e^{-t/3}

mA(

t

는 초)다. 처음 3초 동안 흐른 전하와, 끝없이 기다렸을 때 흐르는 전체 전하는?

$\int 2e^{-t/3}\,dt$ : $u = -t/3$ 으로 치환하면 $-6e^{-t/3} + C$ .
$q = \Big[-6e^{-t/3}\Big]_0^3 = 6(1 - e^{-1}) \approx 6\times 0.6321 \approx 3.79$ mC (mA·s = mC).
위끝을 $T$ 로 두면 $6(1 - e^{-T/3}) \to 6$ mC. 축전기에 처음 저장된 전하가 6 mC였다는 뜻이다. 무한 구간의 적분은 9장에서 정식으로 다룬다.

SIMULATOR

물탱크: 유량을 쌓으면 부피

순유량 r(t) (L/min): 점을 끌어 바꾸기

부피 V(t) = V₀ + ∫₀ᵗ r(s) ds

처음 부피 V₀ 시각 t

r(t)—

순변화량 ∫₀ᵗ r—

V(t)—

가장 많았던 때—

해볼 것: ① ▶로 시간을 흘리며 r이 양수인 동안 수위가 오르고, r = 0을 지나 음수가 되는 순간 수위가 최고점인 것을 확인하세요(1부). ② r의 분홍 넓이와 파랑 넓이를 같게 만들면 10분 뒤 부피가 처음과 같습니다. ③ V₀를 줄이면 그래프 전체가 아래로 평행 이동할 뿐 모양은 같습니다. 0 아래로 내려가면 탱크가 빈 것이라 실제로는 그 뒤로 모델이 맞지 않습니다. 모델: 용량 60 L, r은 점 6개를 지나는 스플라인, 넘침·바닥은 경고만 합니다.

SIMULATOR

변위 ∫v와 이동 거리 ∫|v|

속도 v(t) 시각 t

v(t)—

변위 ∫₀ᵗ v—

이동 거리 ∫₀ᵗ |v|—

해볼 것: ① 예제 8.7에서 t = 1, 3에서 입자가 방향을 바꾸는 것을 아래 궤적에서 보세요. 이때 v = 0입니다. ② 끝까지 가면 변위는 4/3 m, 거리는 4 m입니다. ③ '3 cos t'는 한 주기 뒤 제자리로 돌아와 변위 0, 거리 12 m. 모델: 직선 위 운동, 시작 위치 0. 아래 궤적은 방향이 바뀔 때마다 한 줄씩 내려 그립니다.

적분 한계가 함수일 때의 미분

오차 함수의 기울기

통계와 열전달에서 자주 나오는 오차 함수 $\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ 는 기본 함수로 쓸 수 없습니다. 그래도 그 도함수, 극값, 접선은 알고 싶습니다. 또 $\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ 처럼 위끝이 $x$ 자체가 아니라 $x$ 의 함수이면 어떻게 미분할까요?

1부와 연쇄 법칙을 합치면 됩니다. $A(u) = \int_a^u f(t)\,dt$ 라 하면 $\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = A(g(x))$ 이고, $A'(u) = f(u)$ 이므로 연쇄 법칙으로 $f(g(x))\,g'(x)$ 입니다. 아래끝도 함수이면 구간 가법성으로 둘로 나눕니다.

정리 8.8 (라이프니츠 규칙, 한계만 움직일 때)

f

가 연속이고

g

h

가 미분 가능하면

\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x).

증명. 상수 $a$ 를 하나 잡아 $\int_{h(x)}^{g(x)} f = A(g(x)) - A(h(x))$ ( $A(u) = \int_a^u f$ )로 쓰고, 각 항에 연쇄 법칙과 1부를 쓴다. ∎

그림으로 읽으면, 위끝이 속도

g'(x)

로 움직이며 높이

f(g(x))

인 띠를 더하고, 아래끝이 속도

h'(x)

로 움직이며 높이

f(h(x))

인 띠를 덜어 내는 것이다.

예제 8.9 (한계가 함수인 적분의 미분)

$\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\cos t\,dt = \cos(x^2)\cdot 2x - \cos x\cdot 1$ . $x = 1$ 에서 $2\cos 1 - \cos 1 = \cos 1 \approx 0.540$ . 검산: 적분은 $\sin(x^2) - \sin x$ 이고 미분하면 같은 식.
$\frac{d}{dx}\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2} > 0$ . 오차 함수는 늘 증가하고, 기울기가 가장 큰 곳은 $x = 0$ (기울기 $2/\sqrt\pi \approx 1.128$ )이다.
$x > 0$ 에서 $G(x) = \int_x^{2x}\frac{dt}{t}$ : $G'(x) = \frac{1}{2x}\cdot 2 - \frac1x = 0$ . $G$ 는 상수이고, 실제로 $\ln 2x - \ln x = \ln 2$ 다. 구간이 늘어나는 만큼 높이가 줄어들어 넓이가 그대로다.
사인 적분 $\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt$ 의 극값: $\operatorname{Si}'(x) = \frac{\sin x}{x}$ 는 $x = \pi$ 에서 양에서 음으로 바뀌므로 $x = \pi$ 에서 극대(값은 수치로 약 1.852). 신호 처리에서 깁스 현상의 크기를 정하는 값이다.

SIMULATOR

움직이는 한계: G(x) = ∫_h(x)^g(x) f(t) dt의 기울기

f(t)와 h(x) ~ g(x) 사이 넓이

G(x)와 접선

적분 x

h(x), g(x)—

G(x)—

공식 f(g)g′ − f(h)h′—

수치 미분 (G(x+δ) − G(x−δ))/2δ—

해볼 것: ① 첫 적분에서 x를 키우면 위끝 x²이 점점 빠르게 움직여, G가 cos의 부호를 따라 오르내리며 점점 빨리 진동합니다. ② '∫ₓ^(2x) (1/t) dt'는 구간이 두 배로 늘어도 넓이가 ln 2 ≈ 0.693으로 그대로입니다. G의 그래프가 수평선입니다. ③ 마지막 적분에서 x < 1이면 x² < x라 위끝이 아래끝보다 작아 넓이가 음수로 셉니다. 모델: G는 심프슨 공식, 수치 미분은 δ = 10⁻⁴의 중심 차분입니다.

이 규칙은 확률에서 곧바로 쓰입니다. 연속 확률 변수의 누적 분포 함수 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$ 를 미분하면 확률 밀도 $f(x)$ 가 나오는 것이 1부이고(확률과 통계: 연속 확률 분포), 변수 변환 $Y = g(X)$ 의 밀도를 구할 때는 위끝이 함수인 이 규칙을 씁니다.

이 도구가 쓰이는 곳

기본 정리는 "변화율의 법칙을 알면 상태를 안다"는 공학의 기본 사고방식을 수식으로 만든 것입니다. 거의 모든 시뮬레이션과 측정 장치가 이 정리 위에 서 있습니다.

스마트 전력량계: 전력을 쌓아 kWh로 가정용 전력량계는 전압과 전류를 1초에 수천 번 재서 순간 전력

P(t) = v(t)\,i(t)

를 구하고, 이것을 쌓아 에너지

E = \int P\,dt

를 셉니다. 1 kWh는 1 kW를 한 시간 쌓은 것, 즉

1000\ \text{W}\times 3600\ \text{s} = 3.6\times 10^6

J입니다. 전력 회사가 "이번 달 사용량"을 아는 것은 순변화량 정리 덕분이고, 순간 전력이 가장 컸던 시각을 찾는 것은 누적 에너지 그래프의 기울기가 가장 큰 곳을 찾는 1부의 문제입니다.

9장 · 적분 기법부분 적분·부분 분수·이상 적분
공식표에 없는 역도함수를 찾는 기술과, 연속 조건이 깨지는 적분. 10장 · 적분의 응용부피·곡선의 길이·일·질량 중심
쌓는 양을 세운 뒤 기본 정리로 계산한다. 16장 · 벡터 미적분선적분의 기본 정리, 그린·스토크스·발산 정리
"경계에서의 값 = 안쪽의 도함수 적분"이라는 같은 모양의 고차원 판. 12장 · 테일러 전개적분할 수 없는 함수의 급수
e^−x²를 급수로 전개해 항별로 적분한다. MATHBOOK미분방정식
y′ = f(t, y)를 푸는 것은 기울기에서 곡선을 쌓아 올리는 일이다. 오일러·RK4. 확률과 통계누적 분포 함수와 밀도
CDF를 미분하면 PDF, PDF를 적분하면 확률.

핵심 정리

누적 함수 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 는 $f > 0$ 인 곳에서 증가, $f \lt 0$ 인 곳에서 감소하고, $f$ 의 부호가 바뀌는 곳에서 극값을 가진다.
1부: $f$ 가 연속이면 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ . 증명은 좁은 띠 $\int_x^{x+h}f = f(c_h)h$ (적분의 평균값 정리)와 연속성.
2부: $F' = f$ (연속)이면 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ . 평균값 정리로 오르막을 직사각형으로 바꾼 망원 합으로도 증명된다. 연속 조건을 확인해야 한다( $\int_{-1}^1 x^{-2}dx \ne -2$ ).
부정적분 $\int f\,dx = F + C$ 는 역도함수 전체다. 공식표는 미분 공식을 거꾸로 읽은 것이고, $C$ 는 초기 조건이 정한다. $\int\frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ .
치환 적분은 연쇄 법칙의 역: $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ . 정적분에서는 한계도 바꾼다. 기하적으로는 넓이를 지키며 가로축을 늘이는 변환이다.
순변화량 정리 $Q(b) - Q(a) = \int_a^b Q'(t)\,dt$ : 유량→부피, 전류→전하, 전력→에너지. 속도의 적분은 변위, $\int|v|$ 가 이동 거리.
$\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$ . 오차 함수, 사인 적분처럼 식으로 쓸 수 없는 적분도 미분은 바로 된다.

확인 퀴즈

Q1. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_2^x \sin(t^2)\,dt$ 는?

기본 정리 1부: 위끝이

x

그대로이고 피적분 함수가 연속이므로 피적분 함수에

x

를 넣으면 된다. 아래끝 2는 상수라 미분에 영향이 없다.

\sin(t^2)

의 역도함수를 몰라도 된다.

Q2. $\displaystyle\int_1^4 3\sqrt{x}\,dx$ 의 값은?

3x^{1/2}

의 역도함수는

3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}

2\cdot 4^{3/2} - 2\cdot 1 = 16 - 2 = 14

Q3. 연속 함수 $f$ 가 $(0, 2)$ 에서 양수, $(2, 5)$ 에서 음수다. $[0, 5]$ 에서 $A(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ 가 최대인 곳은?

A' = f

이므로

A

는

[0, 2]

에서 증가,

[2, 5]

에서 감소한다. 따라서 최대는

x = 2

f

가 가장 큰 곳은

A

가 가장 가파르게 오르는 곳(변곡점)이지 최대가 아니다.

Q4. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3x\cos x\,dx$ 의 값은?

u = \sin x

du = \cos x\,dx

, 한계

0 \to 0

\pi/2 \to 1

\int_0^1 u^3\,du = \frac14

Q5. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^3} e^t\,dt$ 는?

위끝이

g(x) = x^3

이므로

f(g(x))g'(x) = e^{x^3}\cdot 3x^2

. 검산: 적분은

e^{x^3} - 1

이고 이를 연쇄 법칙으로 미분해도 같다.

Q6. 속도 $v(t) = t - 2$ m/s로 $[0, 4]$ 동안 움직인 물체의 변위와 이동 거리는?

\int_0^4 (t - 2)\,dt = [t^2/2 - 2t]_0^4 = 8 - 8 = 0

[0, 2]

에서 뒤로 2 m,

[2, 4]

에서 앞으로 2 m이므로

\int_0^4|v|\,dt = 4

Q7. 누군가 $\int_{-1}^1 x^{-2}\,dx = \big[-x^{-1}\big]_{-1}^1 = -2$ 라고 계산했다. 무엇이 잘못되었나?

-x^{-1}

을 미분하면

x^{-2}

이 맞지만, 2부는

[a, b]

전체에서 연속일 것을 요구한다.

x^{-2}

은 0 근처에서 무한히 커지고, 이 적분은 발산한다(9장의 이상 적분). 정적분에서는

C

가 지워지므로 상관없다.

Q8. 처음 10 L가 든 탱크에 순유량 $r(t) = 6 - 2t$ L/min으로 5분 동안 물이 드나든다. 이 동안 탱크의 물이 가장 많을 때의 양은?

V(t) = 10 + \int_0^t (6 - 2s)\,ds = 10 + 6t - t^2

V' = r = 0

인

t = 3

에서 최대

V(3) = 10 + 18 - 9 = 19

L. 5분 뒤에는

V(5) = 15

L로 줄어든다.

누적 함수: 넓이를 쌓아 가는 함수

f를 끌면 A가 바뀐다: 누적 함수 그리기

기본 정리 1부: 쌓은 것을 미분하면 원래 함수

띠의 넓이 ÷ 폭 → f(x): A의 기울기 확인

기본 정리 2부: 넓이를 역도함수로 계산하기

오르막을 쌓으면 넓이: 망원 합 증명

부정적분과 기본 공식표

역도함수의 가족 F(x) + C: 한 점을 지나는 하나 고르기

치환 적분: 연쇄 법칙을 거꾸로

넓이를 지키는 변환: x 세계에서 u 세계로

순변화량 정리: 변화율을 쌓으면 변화량

물탱크: 유량을 쌓으면 부피

변위 ∫v와 이동 거리 ∫|v|

적분 한계가 함수일 때의 미분

움직이는 한계: G(x) = ∫h(x)g(x) f(t) dt의 기울기

이 도구가 쓰이는 곳

핵심 정리

확인 퀴즈

움직이는 한계: G(x) = ∫_h(x)^g(x) f(t) dt의 기울기