Chapter 09

적분 기법

미적분의 기본 정리는 정적분을 "역도함수를 찾아 양 끝 값을 빼는 일"로 바꿔 주었습니다. 문제는 역도함수를 찾는 일이 미분처럼 기계적이지 않다는 것입니다. 곱의 미분은 공식 한 줄이지만 곱의 적분에는 공식이 없고, 1−x2\sqrt{1-x^2}이나 1x2−1\frac{1}{x^2-1}처럼 단순해 보이는 함수도 그대로는 적분표에 없습니다. 이 장은 적분을 아는 꼴로 바꾸는 네 가지 도구, 부분 적분·삼각 적분·삼각 치환·부분 분수를 익히고, 구간이 무한하거나 함수가 폭발하는 이상 적분을 다룬 다음, 어떤 기법으로도 닫힌 꼴이 나오지 않을 때 쓰는 수치 적분과 그 오차까지 갑니다.

이 수식이 없었다면종 모양 곡선 아래의 넓이

공장에서 깎은 축의 지름이 정규분포를 따른다면, 공차 ±1σ 안에 들어오는 부품의 비율은 종 모양 곡선 e−x2/2e^{-x^2/2} 아래 넓이입니다. 그런데 이 함수의 역도함수는 다항식·지수·로그·삼각 함수를 유한 번 조합한 어떤 식으로도 쓸 수 없습니다. 19세기에 리우빌(Joseph Liouville)이 이런 "초등 함수로 적분되지 않는 함수"를 판정하는 이론을 세웠고, e−x2e^{-x^2}은 그 대표 예입니다.

그래서 공학은 두 갈래 길을 갑니다. 하나는 적분을 아는 꼴로 바꾸는 기법입니다. 부분 적분·치환·부분 분수로 바꿀 수 있는 적분은 정확한 식이 나오고, 그 식이 설계 공식이 됩니다. 다른 하나는 바꿀 수 없는 적분을 정해진 정확도의 숫자로 계산하는 수치 적분입니다. 정규분포표, 계산기의 erf 버튼, 유한 요소 해석의 강성 행렬 적분이 모두 그 결과입니다. 이 장은 두 길을 다 걷습니다.

측정값의 분포→곡선 아래 넓이→적분 기법 + 수치 적분→공차·수율 설계

부분 적분: 곱의 법칙을 거꾸로

곱의 적분에는 공식이 없다

축전기에 지수적으로 줄어드는 전류 i(t)=I0 e−t/τi(t) = I_0\,e^{-t/\tau}가 흐를 때, 시간 가중 평균 ∫0∞t e−t/τ dt\int_0^\infty t\,e^{-t/\tau}\,dt는 전하가 평균적으로 언제 빠져나가는지 알려 줍니다. 그런데 tt와 e−t/τe^{-t/\tau}의 곱을 적분하는 공식은 없습니다. 미분에는 곱의 법칙이 있는데 적분에는 무엇이 대응할까요?

곱의 법칙 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'을 양변 적분하면 uv=∫u′v dx+∫uv′ dxuv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx입니다. 이것을 정리하면 곱의 적분 하나를 다른 곱의 적분으로 바꾸는 식이 나옵니다. 바꾼 적분이 더 쉬우면 이긴 것입니다.

정리 9.1 (부분 적분) u,vu, v가 [a,b][a, b]에서 연속 미분 가능하면
∫u dv=uv−∫v du,∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abv(x)u′(x) dx.\int u\,dv = uv - \int v\,du, \qquad \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)\,dx.
du=u′(x) dxdu = u'(x)\,dx, dv=v′(x) dxdv = v'(x)\,dx. 적분할 곱을 "미분할 쪽 uu"와 "적분할 쪽 dvdv"로 나누는 것이 전부다.

증명. (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'은 연속이므로 미적분의 기본 정리(8장)에 의해 ∫ab(uv)′ dx=u(b)v(b)−u(a)v(a)\int_a^b (uv)'\,dx = u(b)v(b) - u(a)v(a). 좌변을 둘로 나누고 ∫abu′v dx\int_a^b u'v\,dx를 이항하면 된다. ∎

이름 그대로 부분 적분(integration by parts)은 피적분 함수의 일부만 적분합니다. 그림으로 보면 더 분명합니다. 가로축을 uu, 세로축을 vv로 하는 평면에 xx가 aa에서 bb로 갈 때의 점 (u(x),v(x))(u(x), v(x))을 찍으면 곡선이 하나 생깁니다. 곡선과 vv축 사이 넓이가 ∫u dv\int u\,dv, 곡선과 uu축 사이 넓이가 ∫v du\int v\,du이고, 둘을 합치면 큰 직사각형 u(b)v(b)u(b)v(b)에서 작은 직사각형 u(a)v(a)u(a)v(a)를 뺀 것입니다.

uv (u(a), v(a))(u(b), v(b)) ∫ u dv곡선 왼쪽(가로 띠) ∫ v du곡선 아래(세로 띠) 두 넓이의 합 = 큰 직사각형 ∫u dv + ∫v du = u(b)v(b) − u(a)v(a) 그림에서는 u(a) = 0이라 작은 직사각형이 없다. 한쪽 넓이를 알면 다른 쪽은 빼기로 나온다.
그림 9-1. (u, v) 평면에서 본 부분 적분. 곡선의 왼쪽 넓이 ∫u dv와 아래쪽 넓이 ∫v du는 함께 직사각형을 채운다. 어려운 쪽 넓이를 쉬운 쪽 넓이로 바꾸는 것이 부분 적분이다.
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부분 적분 넓이 그림: 두 넓이가 직사각형을 채운다

u = ln x, v = x
∫ u dv (구하려는 적분)—
∫ v du (바꾼 적분)—
[uv] 양 끝 차—
∫u dv + ∫v du − [uv]—
해볼 것: ① '∫ ln x dx'에서 b = e로 두면 분홍 넓이가 정확히 1입니다. 파란 넓이 ∫v du = ∫x·(1/x)dx = b − 1이 너무 쉬운 적분이라 ln x를 적분할 수 있었던 것입니다. ② '∫ x eˣ dx'에서 b를 키우면 두 넓이가 모두 빠르게 자라지만 합은 늘 직사각형 넓이입니다. ③ 마지막 줄이 늘 0인지 확인하세요. 모델: 두 넓이는 심프슨 공식(n = 400)으로 계산합니다. 모든 예에서 u(a) = 0입니다.

어느 쪽을 uu로 고를지에는 경험칙이 있습니다. 미분하면 단순해지는 쪽을 uu로, 적분해도 복잡해지지 않는 쪽을 dvdv로 고릅니다. 흔히 쓰는 순서는 LIATE(로그 → 역삼각 → 대수(다항식) → 삼각 → 지수)로, 앞에 있는 것일수록 uu로 고릅니다. 로그와 역삼각 함수는 미분하면 유리 함수가 되어 단순해지고, 지수와 삼각 함수는 적분해도 모양이 그대로이기 때문입니다.

예제 9.1 (기본형 두 개)
  1. ∫xex dx\int x e^x\,dx: 다항식 xx를 uu로. u=x, dv=exdxu = x,\ dv = e^x dx이면 du=dx, v=exdu = dx,\ v = e^x. 따라서 ∫xex dx=xex−∫ex dx=(x−1)ex+C\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = (x-1)e^x + C. 정적분 ∫01xex dx=[(x−1)ex]01=0−(−1)=1\int_0^1 xe^x\,dx = [(x-1)e^x]_0^1 = 0 - (-1) = 1.
  2. ∫ln⁡x dx\int \ln x\,dx: 곱이 아닌 것 같지만 ln⁡x⋅1\ln x \cdot 1로 봅니다. u=ln⁡x, dv=dxu = \ln x,\ dv = dx이면 du=dx/x, v=xdu = dx/x,\ v = x. ∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx=xln⁡x−x+C\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\tfrac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C.
  3. 검산은 언제나 미분으로: ddx(xln⁡x−x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\tfrac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. ✓ 같은 방법으로 ∫arctan⁡x dx=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1+x^2) + C입니다.

다항식 차수가 높으면 부분 적분을 여러 번 해야 합니다. x3exx^3e^x이라면 세 번입니다. 매번 uu는 미분하고 dvdv는 적분하며 부호가 번갈아 바뀌므로, 이것을 표로 정리한 것이 표 방법(tabular integration)입니다. 왼쪽 열에 uu를 0이 될 때까지 미분해 적고, 오른쪽 열에 dvdv를 거듭 적분해 적은 다음, 대각선으로 곱하며 부호 +,−,+,…+, -, +, \dots를 붙여 더합니다.

예제 9.2 (표 방법) ∫x2sin⁡x dx\int x^2\sin x\,dx와 ∫0πx2sin⁡x dx\int_0^\pi x^2\sin x\,dx를 구하라.
  1. 미분 열: x2→2x→2→0x^2 \to 2x \to 2 \to 0. 적분 열: sin⁡x→−cos⁡x→−sin⁡x→cos⁡x\sin x \to -\cos x \to -\sin x \to \cos x.
  2. 대각선 곱에 부호 +,−,++,-,+: +x2(−cos⁡x)−2x(−sin⁡x)+2cos⁡x+x^2(-\cos x) - 2x(-\sin x) + 2\cos x. 따라서 ∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
  3. 정적분: x=πx = \pi에서 π2+0−2\pi^2 + 0 - 2, x=0x = 0에서 0+0+20 + 0 + 2. 답은 π2−4≈5.870\pi^2 - 4 \approx 5.870.
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표 방법 계산기: xᵏ · g(x)

f = xᵏg(x) (분홍), 표로 얻은 F (파랑)
짝 함수 g(x)
∫ f dx—
미분 검산 max |F′ − f|—
해볼 것: ① k = 2, sin x가 예제 9.2입니다. ② k를 하나 올릴 때마다 표가 한 줄 늘어납니다. 미분 열이 0에 닿는 순간 표가 끝나므로 다항식이 반드시 u입니다. ③ eˣ에서는 모든 항에 eˣ이 붙어 결과가 (다항식)·eˣ 꼴입니다. 모델: 결과는 표를 그대로 기호 계산한 것이고, 검산은 F를 중앙 차분으로 미분해 f와 비교합니다.

어떤 적분은 부분 적분을 두 번 하면 원래 적분이 다시 나타납니다. 이때 포기하지 말고 방정식으로 풉니다. 이것이 순환형입니다.

예제 9.3 (순환형) I=∫exsin⁡x dxI = \int e^x\sin x\,dx를 구하라.
  1. u=sin⁡x, dv=exdxu = \sin x,\ dv = e^xdx: I=exsin⁡x−∫excos⁡x dxI = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx.
  2. 다시 u=cos⁡x, dv=exdxu = \cos x,\ dv = e^xdx: ∫excos⁡x dx=excos⁡x+∫exsin⁡x dx=excos⁡x+I\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I.
  3. 대입하면 I=exsin⁡x−excos⁡x−II = e^x\sin x - e^x\cos x - I, 즉 2I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2I = e^x(\sin x - \cos x). 답: I=12ex(sin⁡x−cos⁡x)+CI = \tfrac12 e^x(\sin x - \cos x) + C.
  4. 주의: 두 번째 단계에서 uu와 dvdv의 역할을 바꾸면(u=exu = e^x) 첫 단계를 되돌려 I=II = I라는 쓸모없는 식만 남습니다. 같은 종류를 계속 uu로 고르세요.
정리 9.2 (축소 공식) n≥2n \ge 2이면
∫sin⁡nx dx=−1nsin⁡n−1xcos⁡x+n−1n∫sin⁡n−2x dx.\int \sin^n x\,dx = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\,dx.

증명. u=sin⁡n−1x, dv=sin⁡x dxu = \sin^{n-1}x,\ dv = \sin x\,dx로 부분 적분하면 ∫sin⁡nx dx=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xcos⁡2x dx\int\sin^n x\,dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx. cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x를 넣으면 우변에 −(n−1)∫sin⁡nx dx-(n-1)\int\sin^n x\,dx가 생기고, 이항해 nn으로 나눈다. ∎

이런 축소 공식(reduction formula)은 지수를 2씩 낮춰 결국 ∫dx\int dx나 ∫sin⁡x dx\int\sin x\,dx에 닿게 합니다. 정적분 ∫0π/2sin⁡nx dx\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx에서는 첫 항이 양 끝에서 0이 되어 n−1n\frac{n-1}{n}을 곱하는 일만 남습니다. 예를 들어 ∫0π/2sin⁡4x dx=34⋅12⋅π2=3π16\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx = \frac34\cdot\frac12\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}입니다.

삼각 적분: 홀수 지수는 떼어 내고, 짝수 지수는 반각으로

교류 전력의 평균

저항 RR에 전압 V0sin⁡ωtV_0\sin\omega t를 걸면 순간 전력은 V02Rsin⁡2ωt\frac{V_0^2}{R}\sin^2\omega t입니다. 한 주기 평균 전력을 알려면 ∫02πsin⁡2θ dθ\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta가 필요합니다. 가정용 전기의 "220 V"가 최댓값이 아니라 실효값이라는 말도 이 적분에서 나옵니다.

∫sin⁡mxcos⁡nx dx\int\sin^m x\cos^n x\,dx 꼴은 지수의 홀짝으로 갈립니다. 핵심 도구는 피타고라스 항등식 sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1과 반각 공식입니다.

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2,sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2.\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}.
꼴방법치환
sin⁡x\sin x의 지수가 홀수sin⁡x\sin x 하나를 떼고 나머지를 1−cos⁡2x1-\cos^2x로u=cos⁡xu = \cos x
cos⁡x\cos x의 지수가 홀수cos⁡x\cos x 하나를 떼고 나머지를 1−sin⁡2x1-\sin^2x로u=sin⁡xu = \sin x
둘 다 짝수반각 공식으로 지수를 반으로 낮춘다(반복)
tan⁡mxsec⁡nx\tan^m x\sec^n x, nn 짝수sec⁡2x\sec^2x 하나를 떼고 나머지를 1+tan⁡2x1+\tan^2x로u=tan⁡xu = \tan x
tan⁡mxsec⁡nx\tan^m x\sec^n x, mm 홀수sec⁡xtan⁡x\sec x\tan x를 떼고 나머지 tan⁡2x\tan^2x를 sec⁡2x−1\sec^2x - 1로u=sec⁡xu = \sec x
예제 9.4 (홀수·짝수 지수)
  1. ∫sin⁡3x dx=∫(1−cos⁡2x)sin⁡x dx\int\sin^3 x\,dx = \int(1-\cos^2x)\sin x\,dx. u=cos⁡x, du=−sin⁡x dxu = \cos x,\ du = -\sin x\,dx이면 −∫(1−u2) du=−cos⁡x+13cos⁡3x+C-\int(1-u^2)\,du = -\cos x + \tfrac13\cos^3x + C.
  2. ∫sin⁡2xcos⁡3x dx=∫sin⁡2x(1−sin⁡2x)cos⁡x dx\int\sin^2x\cos^3x\,dx = \int\sin^2x(1-\sin^2x)\cos x\,dx. u=sin⁡xu = \sin x이면 ∫(u2−u4) du=13sin⁡3x−15sin⁡5x+C\int(u^2 - u^4)\,du = \tfrac13\sin^3x - \tfrac15\sin^5x + C.
  3. ∫02πsin⁡2θ dθ=∫02π1−cos⁡2θ2 dθ=π\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi}\tfrac{1-\cos2\theta}{2}\,d\theta = \pi. 한 주기 평균은 π/2π=1/2\pi/2\pi = 1/2이므로 평균 전력은 V022R\frac{V_0^2}{2R}, 실효값은 V0/2V_0/\sqrt2입니다. 220 V 실효값의 최댓값은 약 311 V입니다.
  4. ∫sec⁡x dx\int\sec x\,dx: 분자·분모에 sec⁡x+tan⁡x\sec x + \tan x를 곱하면 분자가 분모의 도함수가 되어 ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\ln|\sec x + \tan x| + C. 처음 보면 기교 같지만, 미분으로 검산할 수 있습니다.

삼각 적분에서 가장 쓸모 있는 결과는 서로 다른 진동수의 사인·코사인을 곱해 한 주기 적분하면 0이 된다는 사실입니다. 곱을 합으로 바꾸는 공식 sin⁡mxsin⁡nx=12[cos⁡(m−n)x−cos⁡(m+n)x]\sin mx\sin nx = \tfrac12[\cos(m-n)x - \cos(m+n)x]를 쓰면 바로 증명됩니다.

정리 9.3 (삼각 함수의 직교성) 음이 아닌 정수 m,nm, n에 대해
∫−ππsin⁡mxsin⁡nx dx=∫−ππcos⁡mxcos⁡nx dx={0m≠nπm=n≥1,∫−ππsin⁡mxcos⁡nx dx=0.\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx = \begin{cases}0 & m \ne n\\ \pi & m = n \ge 1\end{cases}, \qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\,dx = 0.
m=n=0m = n = 0이면 ∫cos⁡0⋅cos⁡0 dx=2π\int\cos 0\cdot\cos 0\,dx = 2\pi.

증명. m≠nm \ne n이면 sin⁡mxsin⁡nx=12[cos⁡(m−n)x−cos⁡(m+n)x]\sin mx\sin nx = \tfrac12[\cos(m-n)x - \cos(m+n)x]이고, 0이 아닌 정수 kk에 대해 ∫−ππcos⁡kx dx=[sin⁡kxk]−ππ=0\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\,dx = \big[\tfrac{\sin kx}{k}\big]_{-\pi}^{\pi} = 0. m=n≥1m = n\ge1이면 12[1−cos⁡2mx]\tfrac12[1 - \cos2mx]의 적분으로 π\pi. sin⁡mxcos⁡nx\sin mx\cos nx는 홀함수라 대칭 구간에서 0이다. ∎

이 직교성(orthogonality)은 벡터의 내적이 0인 것과 같은 구조입니다. 함수 두 개의 "내적"을 ∫fg dx\int f g\,dx로 정의하면 sin⁡x,sin⁡2x,…\sin x, \sin 2x, \dots는 서로 수직인 축이 되고, 신호를 이 축에 사영한 좌표가 푸리에 계수입니다(MathBook 푸리에, LinearBook 직교성).

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직교성: 곱의 부호 있는 넓이가 상쇄된다

sin mx · sin nx, [−π, π]
곱의 종류
양의 넓이—
음의 넓이—
∫−ππ (합)—
정리 9.3의 값—
해볼 것: ① m ≠ n이면 분홍(양)과 파랑(음) 넓이가 정확히 같아 합이 0입니다. ② m = n으로 맞추면 곱이 sin²이 되어 전부 0 이상이고, 합이 π로 뜁니다. ③ sin·cos는 m = n이어도 0입니다. 홀함수이기 때문입니다. 모델: 심프슨 공식(n = 800)으로 적분합니다.

삼각 치환: 근호를 삼각형의 한 변으로

원의 넓이를 적분으로

반지름 aa인 원의 넓이가 πa2\pi a^2이라는 것은 알지만, 원의 위쪽 반 y=a2−x2y = \sqrt{a^2 - x^2} 아래 넓이를 적분으로 구하려 하면 막힙니다. u=a2−x2u = a^2 - x^2로 치환하면 du=−2x dxdu = -2x\,dx인데 피적분 함수에 xx가 없습니다. 근호를 없앨 다른 방법이 필요합니다.

8장의 치환은 "안쪽 함수의 도함수가 바깥에 있을 때" 쓰는 방법이었습니다. 삼각 치환(trigonometric substitution)은 방향이 반대입니다. xx 자체를 θ\theta의 함수로 놓아서 근호 안이 완전제곱이 되게 만듭니다. 피타고라스 항등식 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta, 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta, sec⁡2θ−1=tan⁡2θ\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta가 세 가지 경우에 대응합니다.

√(a² − x²) x = a sin θ ax √(a² − x²) θ √(a² + x²) x = a tan θ √(a² + x²)x a θ √(x² − a²) x = a sec θ x√(x² − a²) a θ a² − a²sin²θ = a²cos²θ a² + a²tan²θ = a²sec²θ a²sec²θ − a² = a²tan²θ
그림 9-2. 삼각 치환의 기준 삼각형. 근호는 언제나 삼각형의 한 변이 되도록 놓는다. θ로 적분을 마친 뒤에는 이 삼각형에서 sin θ, cos θ, tan θ를 x로 읽어 되돌린다.
정리 9.4 (삼각 치환) a>0a > 0일 때
  • a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}: x=asin⁡θx = a\sin\theta, −π2≤θ≤π2-\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}이면 a2−x2=acos⁡θ\sqrt{a^2-x^2} = a\cos\theta, dx=acos⁡θ dθdx = a\cos\theta\,d\theta.
  • a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}: x=atan⁡θx = a\tan\theta, −π2<θ<π2-\tfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \tfrac{\pi}{2}이면 a2+x2=asec⁡θ\sqrt{a^2+x^2} = a\sec\theta, dx=asec⁡2θ dθdx = a\sec^2\theta\,d\theta.
  • x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}: x=asec⁡θx = a\sec\theta, 0≤θ<π20 \le \theta \lt \tfrac{\pi}{2} (x≥ax \ge a)이면 x2−a2=atan⁡θ\sqrt{x^2-a^2} = a\tan\theta, dx=asec⁡θtan⁡θ dθdx = a\sec\theta\tan\theta\,d\theta.

각 범위에서 치환은 일대일이고 cos⁡θ≥0\cos\theta \ge 0 또는 tan⁡θ≥0\tan\theta \ge 0이라 근호를 벗길 때 절댓값이 필요 없다. 이것이 θ\theta의 범위를 정해 두는 이유다.

예제 9.5 (원의 넓이) ∫0aa2−x2 dx\int_0^a\sqrt{a^2 - x^2}\,dx를 구하라.
  1. x=asin⁡θx = a\sin\theta: x=0→θ=0x = 0 \to \theta = 0, x=a→θ=π2x = a \to \theta = \tfrac{\pi}{2}. 피적분 함수는 acos⁡θ⋅acos⁡θ dθa\cos\theta\cdot a\cos\theta\,d\theta.
  2. a2∫0π/2cos⁡2θ dθ=a2∫0π/21+cos⁡2θ2 dθ=a2⋅π4a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = a^2\int_0^{\pi/2}\tfrac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta = a^2\cdot\tfrac{\pi}{4}. 사분원 넓이 πa24\tfrac{\pi a^2}{4}, 네 배 하면 πa2\pi a^2. ✓
  3. 부정적분으로 되돌리면 ∫a2−x2 dx=a22θ+a22sin⁡θcos⁡θ+C=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \tfrac{a^2}{2}\theta + \tfrac{a^2}{2}\sin\theta\cos\theta + C = \tfrac{a^2}{2}\arcsin\tfrac{x}{a} + \tfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + C. 첫 항은 부채꼴, 둘째 항은 삼각형의 넓이입니다(아래 시뮬레이터).
예제 9.6 (선전하의 전기장) 길이 무한한 직선 위에 전하가 고르게 퍼져 있을 때, 거리 dd인 점의 전기장 수직 성분에는 ∫dx(x2+d2)3/2\int\frac{dx}{(x^2+d^2)^{3/2}}이 나옵니다.
  1. x=dtan⁡θx = d\tan\theta: (x2+d2)3/2=d3sec⁡3θ(x^2+d^2)^{3/2} = d^3\sec^3\theta, dx=dsec⁡2θ dθdx = d\sec^2\theta\,d\theta.
  2. ∫dsec⁡2θd3sec⁡3θ dθ=1d2∫cos⁡θ dθ=sin⁡θd2+C\int\frac{d\sec^2\theta}{d^3\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{d^2}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{d^2} + C.
  3. 기준 삼각형에서 sin⁡θ=xx2+d2\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}}. 답: xd2x2+d2+C\frac{x}{d^2\sqrt{x^2+d^2}} + C. 전 구간 (−∞,∞)(-\infty, \infty)이면 θ\theta가 −π2-\tfrac{\pi}{2}에서 π2\tfrac{\pi}{2}까지 가서 값은 2d2\frac{2}{d^2}이고, 전기장이 1/d1/d로 줄어드는 이유가 여기서 나옵니다. 유한 구간 예: d=1d = 1, ∫01dx(x2+1)3/2=12≈0.707\int_0^1\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707.
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삼각 치환 삼각형: x를 끌면 θ가 따라온다

x = a sin θ
근호의 꼴 (a = 2)
θ—
근호 = 삼각형의 변—
부채꼴 a²θ/2—
삼각형 + 부채꼴 vs 수치 적분—
해볼 것: ① √(a²−x²)에서 x를 0부터 a까지 밀며 넓이가 부채꼴(분홍)과 삼각형(파랑)으로 나뉘는 것을 보세요. 예제 9.5의 두 항입니다. ② √(a²+x²)로 바꾸면 곡선의 높이가 삼각형의 빗변과 같습니다. x가 커지면 θ는 90°에 다가가기만 합니다. ③ √(x²−a²)는 x ≥ a에서만 정의되고, 빗변이 x입니다. 모델: a = 2로 고정, 각은 정리 9.4의 범위를 씁니다.
근호가 없어도 쓴다 ∫dxx2+a2\int\frac{dx}{x^2+a^2}은 x=atan⁡θx = a\tan\theta로 1aarctan⁡xa+C\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C가 되고, x2+4x+8\sqrt{x^2 + 4x + 8}처럼 일차항이 있으면 먼저 완전제곱 (x+2)2+4(x+2)^2 + 4로 바꾼 뒤 x+2=2tan⁡θx + 2 = 2\tan\theta로 치환합니다.

부분 분수: 유리 함수를 쪼개 적분하기

회로의 응답을 시간 영역으로

RLC 회로나 제어계의 응답을 라플라스 변환으로 풀면 s+5s2+s−2\frac{s+5}{s^2+s-2} 같은 유리 함수가 나옵니다. 이것을 시간 함수로 되돌리려면, 또 로지스틱 방정식 dPP(1−P)=r dt\frac{dP}{P(1-P)} = r\,dt를 적분하려면, 분모가 인수분해된 유리 함수를 단순한 조각의 합으로 바꿔야 합니다.

통분의 역과정입니다. 2x−1−1x+2\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}을 통분하면 x+5(x−1)(x+2)\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}이므로, 거꾸로 오른쪽을 왼쪽처럼 쪼개면 각 조각은 ln⁡\ln으로 바로 적분됩니다. 쪼갠 조각들을 부분 분수 분해(partial fraction decomposition)라 합니다.

정리 9.5 (부분 분수 분해) 실수 계수 다항식 P,QP, Q에서 deg⁡P<deg⁡Q\deg P \lt \deg Q이고 QQ를 일차 인수와 기약 이차 인수(판별식이 음수)의 곱으로 인수분해하면, PQ\frac{P}{Q}는 다음 꼴의 합으로 유일하게 쓸 수 있다.
  • 일차 인수 (x−r)k(x - r)^k마다: A1x−r+A2(x−r)2+⋯+Ak(x−r)k\frac{A_1}{x-r} + \frac{A_2}{(x-r)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-r)^k}
  • 기약 이차 인수 (x2+bx+c)k(x^2 + bx + c)^k마다: B1x+C1x2+bx+c+⋯+Bkx+Ck(x2+bx+c)k\frac{B_1x + C_1}{x^2+bx+c} + \cdots + \frac{B_kx + C_k}{(x^2+bx+c)^k}

deg⁡P≥deg⁡Q\deg P \ge \deg Q이면 먼저 다항식 나눗셈으로 PQ=S+RQ\frac{P}{Q} = S + \frac{R}{Q} (deg⁡R<deg⁡Q\deg R \lt \deg Q)로 만든다. 증명 아이디어. 미지 계수의 개수가 deg⁡Q\deg Q와 같고, 양변에 QQ를 곱해 얻는 선형 연립방정식이 언제나 유일한 해를 가짐을 보인다(대수학의 기본 정리와 다항식의 서로소 성질을 쓴다).

분모가 서로 다른 일차 인수 (x−r1)⋯(x−rn)(x - r_1)\cdots(x - r_n)의 곱이면 계수를 구하는 지름길이 있습니다. AiA_i를 구하려면 양변에 (x−ri)(x - r_i)를 곱하고 x=rix = r_i를 넣습니다. 다른 조각은 모두 0이 되므로 Ai=P(ri)∏j≠i(ri−rj)=P(ri)Q′(ri)A_i = \frac{P(r_i)}{\prod_{j\ne i}(r_i - r_j)} = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}입니다. 원래 식에서 (x−ri)(x - r_i)를 손가락으로 가리고 나머지에 rir_i를 넣는 셈이라 헤비사이드 가리기 방법(Heaviside cover-up method)이라 부릅니다.

예제 9.7 (서로 다른 일차 인수) ∫x+5x2+x−2 dx\int\frac{x+5}{x^2+x-2}\,dx를 구하라.
  1. 인수분해: x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2). 분자 차수 1 <\lt 분모 차수 2.
  2. 가리기: A=1+51+2=2A = \frac{1+5}{1+2} = 2 (x=1x = 1), B=−2+5−2−1=−1B = \frac{-2+5}{-2-1} = -1 (x=−2x = -2).
  3. ∫(2x−1−1x+2)dx=2ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+2∣+C=ln⁡(x−1)2∣x+2∣+C\int\Big(\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}\Big)dx = 2\ln|x-1| - \ln|x+2| + C = \ln\frac{(x-1)^2}{|x+2|} + C.
예제 9.8 (중근과 기약 이차 인수)
  1. 2x+1(x−1)2(x+2)=Ax−1+B(x−1)2+Cx+2\frac{2x+1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}. 양변에 분모를 곱하면 2x+1=A(x−1)(x+2)+B(x+2)+C(x−1)22x+1 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2. x=1x = 1: 3=3B3 = 3B, B=1B = 1. x=−2x = -2: −3=9C-3 = 9C, C=−13C = -\tfrac13. x2x^2의 계수: 0=A+C0 = A + C, A=13A = \tfrac13. 적분은 13ln⁡∣x−1∣−1x−1−13ln⁡∣x+2∣+C\tfrac13\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} - \tfrac13\ln|x+2| + C. 중근 조각 1(x−1)2\frac{1}{(x-1)^2}은 로그가 아니라 −1x−1-\frac{1}{x-1}이 됩니다.
  2. 1x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1}. 1=A(x2+1)+(Bx+C)x1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x에서 A=1A = 1, B=−1B = -1, C=0C = 0. 적분은 ln⁡∣x∣−12ln⁡(x2+1)+C\ln|x| - \tfrac12\ln(x^2+1) + C. 기약 이차 조각의 분자가 xx이면 로그, 상수이면 arctan이 됩니다.
SIMULATOR

부분 분수 분해기: 그래프가 조각의 합이 된다

P(x)/Q(x) (굵은 선) = 조각들(점선)의 합
분자 P(x) = p₂x² + p₁x + p₀
분모의 근 Q(x) = Π(x − rᵢ)
분해—
적분—
해볼 것: ① 예제 9.7에서 굵은 곡선이 x = 1 근처에서는 2/(x−1)처럼, x = −2 근처에서는 −1/(x+2)처럼 폭발하는 것을 보세요. 각 근 근처의 행동은 그 근의 조각이 정합니다. ② 두 근을 서로 가깝게 하면 계수가 커지고 부호가 반대가 됩니다. 중근의 극한에서 1/(x−r)² 조각이 생기는 이유입니다. ③ 분자 차수를 분모 차수 이상으로 하면 나눗셈이 먼저라는 경고가 뜹니다. 모델: 서로 다른 실근만 다루고, 계수는 Aᵢ = P(rᵢ)/Q′(rᵢ)로 구합니다.

로지스틱 방정식 dPdt=rP(1−P)\frac{dP}{dt} = rP(1-P)도 1P(1−P)=1P+11−P\frac{1}{P(1-P)} = \frac1P + \frac{1}{1-P}로 쪼개면 ln⁡P1−P=rt+C\ln\frac{P}{1-P} = rt + C가 되어 S자 곡선 P(t)=11+Ce−rtP(t) = \frac{1}{1 + Ce^{-rt}}이 나옵니다(MathBook 미분방정식).

적분 전략: 무엇부터 시도할까

공식이 아니라 순서

지금까지 기법을 하나씩 따로 연습했지만, 실제 적분은 이름표를 달고 오지 않습니다. ∫x1−x2dx\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx는 삼각 치환으로도 풀리지만 단순 치환이 훨씬 빠르고, ∫x3x2+1dx\int\frac{x^3}{x^2+1}dx는 부분 분수 전에 나눗셈부터 해야 합니다. 어떤 순서로 생각해야 할까요?

① 정리하기전개·약분·항등식 ② 기본 공식표이미 아는 꼴인가? ③ 단순 치환g′(x)가 곁에 있나? 안 되면 ④ 피적분 함수의 '종류'를 본다 곱 (다항식·지수·삼각·로그)부분 적분 · LIATE sinᵐ cosⁿ,tanᵐ secⁿ홀짝 규칙 · 반각 √(a² ± x²),√(x² − a²)삼각 치환 P(x)/Q(x)(나눗셈 먼저)부분 분수 ⑤ 그래도 안 되면: 적분표·CAS, 급수 전개, 수치 적분닫힌 꼴이 아예 없을 수도 있다(e^(−x²), sin x / x, sin x²)
그림 9-3. 적분 전략. 가장 싼 방법(정리, 공식표, 단순 치환)부터 시도하고, 피적분 함수의 구조로 기법을 고른다. 한 기법이 다른 기법으로 이어지는 일도 흔하다(삼각 치환 뒤 삼각 적분, 부분 적분 뒤 부분 분수).
예제 9.9 (기법 고르기)
  1. ∫x1−x2dx\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx: u=1−x2u = 1 - x^2이면 du=−2x dxdu = -2x\,dx가 곁에 있다. −12∫u−1/2du=−1−x2+C-\tfrac12\int u^{-1/2}du = -\sqrt{1-x^2} + C. 삼각 치환도 되지만 돌아가는 길입니다.
  2. ∫x3x2+1dx\int\frac{x^3}{x^2+1}dx: 나눗셈 x3x2+1=x−xx2+1\frac{x^3}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}. 답 x22−12ln⁡(x2+1)+C\tfrac{x^2}{2} - \tfrac12\ln(x^2+1) + C.
  3. ∫exdx\int e^{\sqrt x}dx: t=xt = \sqrt x, dx=2t dtdx = 2t\,dt로 2∫tet dt=2(t−1)et+C=2(x−1)ex+C2\int te^t\,dt = 2(t-1)e^t + C = 2(\sqrt x - 1)e^{\sqrt x} + C. 치환 뒤 부분 적분입니다.
  4. ∫dxx2+4x+8\int\frac{dx}{x^2 + 4x + 8}: 완전제곱 (x+2)2+4(x+2)^2 + 4로 바꾸면 12arctan⁡x+22+C\tfrac12\arctan\frac{x+2}{2} + C.
세 가지 자주 하는 실수 ① ∫1xdx=ln⁡∣x∣\int\frac{1}{x}dx = \ln|x|에서 절댓값을 빠뜨리면 음수 구간에서 틀립니다. ② 치환한 정적분에서 끝점을 바꾸지 않거나, 바꾼 뒤 다시 xx로 되돌리는 이중 작업을 합니다. 둘 중 하나만 하세요. ③ 결과가 교재와 달라 보여도 상수만큼 다르면 둘 다 맞습니다. ∫sin⁡xcos⁡x dx\int\sin x\cos x\,dx는 12sin⁡2x\tfrac12\sin^2x, −12cos⁡2x-\tfrac12\cos^2x, −14cos⁡2x-\tfrac14\cos2x로 모두 쓸 수 있고, 서로 상수만큼 다릅니다.

이상 적분: 무한까지 쌓은 넓이

지구를 떠나는 데 드는 일

질량 mm인 로켓을 지표면(반지름 RR)에서 무한히 먼 곳까지 끌어올리는 데 필요한 일은 ∫R∞GMmr2dr\int_R^\infty\frac{GMm}{r^2}dr입니다. 구간이 끝없이 이어지는데 답이 유한할 수 있을까요? 유한하다면 그 값이 로켓이 지구 중력을 벗어나는 탈출 속도를 정합니다.

7장의 정적분은 유한 구간에서 유계인 함수에 대한 것이었습니다. 둘 중 하나가 깨지면 리만 합으로 정의할 수 없으므로, 유한한 경우의 극한으로 정의합니다.

정의 9.6 (이상 적분)
  • 무한 구간. ff가 모든 [a,t][a, t]에서 적분 가능하면 ∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\,dx. ∫−∞∞f=∫−∞cf+∫c∞f\int_{-\infty}^\infty f = \int_{-\infty}^c f + \int_c^\infty f이고 두 극한이 각각 존재해야 한다.
  • 무한 불연속. ff가 (a,b](a, b]에서 연속이고 x→a+x \to a^+에서 유계가 아니면 ∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx. 끝점 bb나 구간 내부에서 폭발할 때도 같은 식으로, 내부라면 둘로 나눈다.

극한이 유한한 수로 존재하면 이상 적분(improper integral)이 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다.

어떤 꼬리 넓이가 유한한지 가르는 기준이 되는 것이 거듭제곱 함수입니다. 결과는 단순하지만 놀랍습니다. 1x\frac{1}{x}과 1x2\frac{1}{x^2}은 그래프로는 비슷해 보이는데, 꼬리 넓이는 한쪽이 무한, 한쪽이 1입니다.

정리 9.7 (p-적분)
∫1∞dxxp={1p−1p>1∞p≤1,∫01dxxp={11−pp<1∞p≥1.\int_1^\infty\frac{dx}{x^p} = \begin{cases}\dfrac{1}{p-1} & p > 1\\[4pt] \infty & p \le 1\end{cases}, \qquad \int_0^1\frac{dx}{x^p} = \begin{cases}\dfrac{1}{1-p} & p \lt 1\\[4pt] \infty & p \ge 1\end{cases}.

증명. p≠1p \ne 1이면 ∫1tx−pdx=t1−p−11−p\int_1^t x^{-p}dx = \frac{t^{1-p} - 1}{1-p}. t→∞t\to\infty일 때 t1−pt^{1-p}은 p>1p > 1이면 0으로, p<1p \lt 1이면 ∞\infty로 간다. p=1p = 1이면 ∫1tdxx=ln⁡t→∞\int_1^t\frac{dx}{x} = \ln t \to \infty. 두 번째 식도 ∫t1x−pdx=1−t1−p1−p\int_t^1 x^{-p}dx = \frac{1 - t^{1-p}}{1-p}에서 t→0+t \to 0^+으로 같다. ∎

이 두 적분을 p-적분(p-integral)이라 부릅니다. 두 식은 거울처럼 반대입니다. 무한대 쪽에서는 빨리 줄어드는 p>1p > 1이, 0 쪽에서는 천천히 폭발하는 p<1p \lt 1이 유한한 넓이를 줍니다. p=1p = 1은 양쪽 모두 아슬아슬하게 발산합니다. 이 경계는 11장에서 급수 ∑1np\sum\frac{1}{n^p}의 수렴 판정으로 그대로 이어집니다.

SIMULATOR

꼬리 넓이: 1/xᵖ는 어디서 유한해지나

y = 1/xᵖ, 칠한 넓이 = ∫₁ᵇ
누적 넓이 vs 끝점 (가로 로그 눈금)
종류
지금까지 넓이—
극한—
극한의 99%에 닿는 끝점—
해볼 것: ① p = 2, '무한 구간'에서 끝점을 10⁴까지 밀어도 넓이는 1을 넘지 않습니다. ② p = 1로 바꾸면 넓이가 ln b로 끝없이 자랍니다. 아래 그래프에서 로그 눈금에 대해 직선입니다. ③ '무한 불연속'에서는 반대로 p = 1/2이 수렴(값 2)하고 p = 2가 발산합니다. ④ p를 1 근처(1.05)로 두면 수렴하긴 해도 99%에 닿는 끝점이 천문학적으로 멀어집니다. 모델: 넓이는 정리 9.7의 정확한 식으로 계산합니다.
예제 9.10 (이상 적분 계산)
  1. ∫0∞e−xdx=lim⁡t→∞(1−e−t)=1\int_0^\infty e^{-x}dx = \lim_{t\to\infty}(1 - e^{-t}) = 1. 부분 적분과 함께 쓰면 ∫0∞xe−xdx=lim⁡t→∞[−(x+1)e−x]0t=1\int_0^\infty xe^{-x}dx = \lim_{t\to\infty}\big[-(x+1)e^{-x}\big]_0^t = 1입니다. 처음 문제의 축전기 평균 방전 시간은 같은 계산으로 τ\tau입니다.
  2. ∫−∞∞dx1+x2=lim⁡arctan⁡t−lim⁡arctan⁡s=π2−(−π2)=π\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \lim\arctan t - \lim\arctan s = \tfrac{\pi}{2} - (-\tfrac{\pi}{2}) = \pi.
  3. 탈출 속도: ∫R∞GMmr2dr=GMmR\int_R^\infty\frac{GMm}{r^2}dr = \frac{GMm}{R}. 이것을 운동 에너지 12mv2\tfrac12mv^2와 같게 놓으면 v=2GM/Rv = \sqrt{2GM/R}. 지구는 GM≈3.986×1014 m3/s2GM \approx 3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, R≈6.371×106 mR \approx 6.371\times10^6\ \mathrm{m}이라 v≈1.12×104 m/sv \approx 1.12\times10^4\ \mathrm{m/s}, 약 11.2 km/s입니다.
  4. 함정: ∫−11dxx2\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}에 기본 정리를 그대로 쓰면 [−1x]−11=−2\big[-\tfrac1x\big]_{-1}^1 = -2라는, 양수 함수의 넓이가 음수인 엉터리 답이 나옵니다. x=0x = 0에서 폭발하므로 둘로 나눠야 하고, ∫01dxx2\int_0^1\frac{dx}{x^2}이 발산하므로 전체가 발산합니다.

역도함수를 구할 수 없을 때도 수렴 여부는 알 수 있습니다. 더 큰 함수의 넓이가 유한하면 작은 함수의 넓이도 유한하고, 더 작은 함수의 넓이가 무한하면 큰 함수의 넓이도 무한합니다.

정리 9.8 (비교 판정과 극한 비교 판정) x≥ax \ge a에서 f,gf, g가 연속이고 0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x)이면
  • ∫a∞g\int_a^\infty g가 수렴하면 ∫a∞f\int_a^\infty f도 수렴하고, ∫a∞f\int_a^\infty f가 발산하면 ∫a∞g\int_a^\infty g도 발산한다(비교 판정(comparison test)).
  • f,g>0f, g > 0이고 lim⁡x→∞f(x)g(x)=L\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = L, 0<L<∞0 \lt L \lt \infty이면 두 적분은 함께 수렴하거나 함께 발산한다(극한 비교 판정(limit comparison test)).

증명 아이디어. F(t)=∫atfF(t) = \int_a^t f는 f≥0f \ge 0이라 증가 함수이고, F(t)≤∫a∞gF(t) \le \int_a^\infty g로 위로 유계다. 위로 유계인 증가 함수는 극한을 가진다(실수의 완비성). 극한 비교는 충분히 큰 xx에서 L2g≤f≤2Lg\tfrac{L}{2}g \le f \le 2Lg임을 써서 첫째로 돌린다. ∎

예제 9.11 (비교로 판정하기)
  1. ∫1∞e−x2dx\int_1^\infty e^{-x^2}dx: x≥1x \ge 1이면 x2≥xx^2 \ge x이므로 e−x2≤e−xe^{-x^2} \le e^{-x}. ∫1∞e−xdx=e−1\int_1^\infty e^{-x}dx = e^{-1}이 유한하므로 수렴하고, 값은 1/e≈0.3681/e \approx 0.368보다 작습니다(실제로는 약 0.1394).
  2. ∫1∞1+sin⁡2xx2dx\int_1^\infty\frac{1 + \sin^2x}{x^2}dx: 분자가 2 이하이므로 ≤∫1∞2x2dx=2\le\int_1^\infty\frac{2}{x^2}dx = 2. 수렴.
  3. ∫2∞dxx3+1\int_2^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}: 큰 xx에서 1x3+1/1x3/2→1\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\big/\frac{1}{x^{3/2}} \to 1. p=32>1p = \tfrac32 > 1이므로 극한 비교로 수렴.
  4. ∫1∞xx2+1dx\int_1^\infty\frac{x}{x^2+1}dx: xx2+1/1x→1\frac{x}{x^2+1}\big/\frac1x \to 1이고 ∫dxx\int\frac{dx}{x}가 발산하므로 발산합니다.
감마 함수 Γ(s)=∫0∞xs−1e−xdx\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx는 s>0s > 0에서 수렴하는 이상 적분입니다. 부분 적분 한 번으로 Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)가 나오고 Γ(1)=1\Gamma(1) = 1이므로 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!입니다. 팩토리얼을 정수가 아닌 수로 넓힌 이 함수는 확률 분포(감마·카이제곱·t 분포)의 정규화 상수에 등장합니다.

수치 적분: 사다리꼴과 심프슨

역도함수가 없을 때, 또는 함수가 표로만 있을 때

∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2}dx는 닫힌 꼴이 없습니다. 실험에서 1초마다 잰 유량 데이터로 총 유출량을 구할 때는 함수 식조차 없습니다. 두 경우 모두 유한 개의 함숫값으로 적분을 근사해야 하고, 중요한 질문은 "얼마나 정확한가, 점을 두 배로 늘리면 오차가 얼마나 줄어드는가"입니다.

구간 [a,b][a, b]를 폭 h=b−anh = \frac{b-a}{n}인 nn개 조각으로 나누고 xi=a+ihx_i = a + ih, fi=f(xi)f_i = f(x_i)라 합시다. 7장의 리만 합은 조각마다 함수를 상수로 바꿨습니다. 조각마다 직선으로 바꾸면 사다리꼴 공식, 두 조각마다 포물선으로 바꾸면 심프슨 공식입니다.

Tn=h2[f0+2f1+2f2+⋯+2fn−1+fn],Mn=h[f(xˉ1)+⋯+f(xˉn)],T_n = \frac{h}{2}\big[f_0 + 2f_1 + 2f_2 + \cdots + 2f_{n-1} + f_n\big], \qquad M_n = h\big[f(\bar x_1) + \cdots + f(\bar x_n)\big], Sn=h3[f0+4f1+2f2+4f3+⋯+2fn−2+4fn−1+fn](n 짝수).S_n = \frac{h}{3}\big[f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + \cdots + 2f_{n-2} + 4f_{n-1} + f_n\big]\quad(n\ \text{짝수}).
xˉi\bar x_i는 ii번째 조각의 가운데 점. 심프슨 가중치는 1, 4, 2, 4, …, 2, 4, 1이다.

사다리꼴 공식(trapezoidal rule)은 이웃한 두 점을 이은 사다리꼴의 넓이 합이고, 중점 공식(midpoint rule)은 가운데 높이의 직사각형 합입니다. 심프슨 공식(Simpson's rule)의 계수는 세 점 (−h,f0),(0,f1),(h,f2)(-h, f_0), (0, f_1), (h, f_2)을 지나는 포물선 Ax2+Bx+CAx^2 + Bx + C를 적분해서 나옵니다: ∫−hh(Ax2+Bx+C)dx=2Ah33+2Ch\int_{-h}^h(Ax^2+Bx+C)dx = \frac{2Ah^3}{3} + 2Ch이고, f0+f2=2Ah2+2Cf_0 + f_2 = 2Ah^2 + 2C, f1=Cf_1 = C를 쓰면 이것이 h3(f0+4f1+f2)\frac{h}{3}(f_0 + 4f_1 + f_2)입니다.

사다리꼴: 두 점을 직선으로 심프슨: 세 점을 포물선으로 곡선이 위로 볼록하면직선이 아래로 샌다 x₀x₁x₂ x₀x₁x₂ 곡률까지 따라가오차가 거의 없다 (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂) (h/2)(f₀ + 2f₁ + f₂)
그림 9-4. 같은 세 점으로 만든 두 근사. 사다리꼴은 곡선을 꺾은선으로, 심프슨은 포물선으로 바꾼다. 포물선은 곡률까지 맞추므로 오차 차수가 두 단계 높다.
정리 9.9 (오차 한계) 구간 [a,b][a, b]에서 ∣f′′∣≤K2|f''| \le K_2, ∣f(4)∣≤K4|f^{(4)}| \le K_4이면
∣ET∣≤K2(b−a)312n2,∣EM∣≤K2(b−a)324n2,∣ES∣≤K4(b−a)5180n4.|E_T| \le \frac{K_2(b-a)^3}{12n^2}, \qquad |E_M| \le \frac{K_2(b-a)^3}{24n^2}, \qquad |E_S| \le \frac{K_4(b-a)^5}{180n^4}.

증명 아이디어. 한 조각 [0,h][0, h]에서 ff를 직선으로 바꾼 오차는 테일러 전개(12장)로 −h312f′′(ξ)-\frac{h^3}{12}f''(\xi)이고, 조각이 nn개이므로 합치면 −(b−a)h212f′′(ξˉ)-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\bar\xi)다. 중점 공식은 같은 계산에서 +h324f′′+\frac{h^3}{24}f''로 부호가 반대이고 크기가 절반이다. 심프슨은 2M+T3\tfrac{2M + T}{3}으로 두 h2h^2 오차를 상쇄한 것이라 h4h^4 항이 남는다. 그래서 심프슨은 3차 다항식까지 정확하다. ∎

여기서 중요한 것은 상수보다 지수입니다. 사다리꼴과 중점은 nn을 2배로 늘리면 오차가 약 1/4로(오차 차수(order of accuracy) 2), 심프슨은 약 1/16로(차수 4) 줄어듭니다. 같은 정확도를 원한다면 차수가 높은 방법이 훨씬 적은 함숫값으로 끝납니다. 단, 차수는 ff가 충분히 매끄러울 때만의 약속입니다. x\sqrt{x}처럼 끝점에서 도함수가 폭발하면 심프슨도 차수가 떨어집니다.

SIMULATOR

사다리꼴·중점·심프슨 오차 비교

근사 도형
|오차| vs n (로그–로그)
방법
근삿값—
정확한 값—
오차—
오차(n) / 오차(2n)—
해볼 것: ① e^(−x²)에서 사다리꼴과 중점의 오차가 부호가 반대이고 크기가 약 2:1인지 보세요. ② n × 2를 누르며 비율이 4(사다리꼴·중점)와 16(심프슨)에 다가가는 것을 확인하세요. 아래 그래프의 기울기가 −2와 −4입니다. ③ x³ − x에서는 심프슨 오차가 반올림 오차 수준(0)입니다. ④ √x는 세 방법 모두 기울기가 약 −1.5로 무뎌집니다. x = 0에서 도함수가 무한이기 때문입니다. 모델: 오차 그래프는 n = 2, 4, …, 1024에서 계산합니다.
예제 9.12 (∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2}dx, n = 4) h=0.25h = 0.25, 함숫값은 f(0)=1f(0) = 1, f(0.25)≈0.939413f(0.25) \approx 0.939413, f(0.5)≈0.778801f(0.5) \approx 0.778801, f(0.75)≈0.569783f(0.75) \approx 0.569783, f(1)≈0.367879f(1) \approx 0.367879.
  1. T4=0.125 [1+2(0.939413+0.778801+0.569783)+0.367879]≈0.742984T_4 = 0.125\,[1 + 2(0.939413 + 0.778801 + 0.569783) + 0.367879] \approx 0.742984.
  2. M4M_4는 x=0.125,0.375,0.625,0.875x = 0.125, 0.375, 0.625, 0.875에서 계산해 ≈0.748747\approx 0.748747.
  3. S4=0.253 [1+4(0.939413)+2(0.778801)+4(0.569783)+0.367879]≈0.746855S_4 = \tfrac{0.25}{3}\,[1 + 4(0.939413) + 2(0.778801) + 4(0.569783) + 0.367879] \approx 0.746855.
  4. 정확한 값은 π2erf⁡(1)≈0.746824\tfrac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(1) \approx 0.746824. 오차는 T4T_4: −0.00384-0.00384, M4M_4: +0.00192+0.00192, S4S_4: +0.000031+0.000031. 사다리꼴과 중점의 오차가 −2 : 1이고, S8=2M4+T43≈0.746826S_8 = \frac{2M_4 + T_4}{3} \approx 0.746826으로 두 오차를 상쇄하면 오차가 2×10−62\times10^{-6}이 됩니다.
예제 9.13 (필요한 n 정하기) ln⁡2=∫12dxx\ln 2 = \int_1^2\frac{dx}{x}를 오차 10−410^{-4} 이하로 구하려면 nn을 얼마로 해야 하나?
  1. f′′=2/x3f'' = 2/x^3이므로 [1,2][1, 2]에서 K2=2K_2 = 2. 사다리꼴: 212n2<10−4\frac{2}{12n^2} \lt 10^{-4}에서 n2>1666.7n^2 > 1666.7, n≥41n \ge 41.
  2. f(4)=24/x5f^{(4)} = 24/x^5이므로 K4=24K_4 = 24. 심프슨: 24180n4<10−4\frac{24}{180n^4} \lt 10^{-4}에서 n4>1333.3n^4 > 1333.3, n>6.04n > 6.04. 짝수여야 하므로 n=8n = 8.
  3. 실제 오차는 T41T_{41}: 3.7×10−53.7\times10^{-5}, S8S_8: 7.4×10−67.4\times10^{-6}. 오차 한계는 최악의 경우를 보장하는 값이라 실제 오차보다 큽니다. 실제로 S6S_6의 오차도 2.3×10−52.3\times10^{-5}이라 목표를 만족하지만, 한계만으로는 그것을 보장할 수 없습니다.

적분표와 CAS: 닫힌 꼴이 없는 적분

컴퓨터에 물어보면 끝일까

오늘날 기호 계산 프로그램(CAS)은 이 장의 거의 모든 적분을 순식간에 풉니다. 그런데 ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx를 물으면 π2erf⁡(x)\frac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(x)라는, 처음 보는 함수가 돌아옵니다. 이것은 답일까요, 답을 미룬 것일까요?

적분표와 CAS는 이 장의 기법을 체계적으로 모아 둔 것입니다. 표를 쓸 때는 먼저 피적분 함수를 표의 꼴로 맞추고(치환·완전제곱), CAS 결과는 언제나 미분해서 검산하고 정의역을 확인합니다. CAS가 ∫dxx=ln⁡x\int\frac{dx}{x} = \ln x라고 답하는 것은 복소 로그를 쓰기 때문이고, 실수 음수 구간에서는 ln⁡∣x∣\ln|x|이 필요합니다.

더 근본적인 사실은 모든 초등 함수의 역도함수가 초등 함수인 것은 아니라는 것입니다. e−x2e^{-x^2}, sin⁡xx\frac{\sin x}{x}, sin⁡(x2)\sin(x^2), 1ln⁡x\frac{1}{\ln x}의 역도함수는 초등 함수로 쓸 수 없습니다. 이런 비초등 적분(nonelementary integral)은 너무 자주 나오기 때문에 이름을 붙여 새 함수로 정의합니다.

정의 9.10 (적분으로 정의한 함수)
erf⁡(x)=2π∫0xe−t2dt,Si⁡(x)=∫0xsin⁡ttdt,S(x)=∫0xsin⁡(t2) dt.\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt, \qquad \operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}dt, \qquad S(x) = \int_0^x\sin(t^2)\,dt.
오차 함수(error function) erf는 정규분포의 누적 확률, 사인 적분 Si는 신호의 깁스 현상과 안테나 해석, 프레넬 적분 SS는 빛의 회절과 도로·철도의 완화 곡선(클로소이드)에 쓰인다.
기본 정리 1부(8장)에 의해 이 함수들은 미분 가능하고 erf⁡′(x)=2πe−x2\operatorname{erf}'(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2}이다. 닫힌 꼴이 없다는 것은 값을 모른다는 뜻이 아니라, 계산하는 방법이 수치 적분이나 급수라는 뜻이다.

값을 계산하는 한 가지 방법은 피적분 함수를 거듭제곱 급수로 펼쳐 항마다 적분하는 것입니다. e−t2=1−t2+t42!−⋯e^{-t^2} = 1 - t^2 + \frac{t^4}{2!} - \cdots이므로

∫0xe−t2dt=x−x33+x55⋅2!−x77⋅3!+⋯=∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1) k!.\int_0^x e^{-t^2}dt = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5\cdot2!} - \frac{x^7}{7\cdot3!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)\,k!}.
항마다 적분해도 되는 이유와 이 급수가 모든 xx에서 수렴하는 이유는 12장에서 다룬다.
SIMULATOR

닫힌 꼴이 없는 적분을 숫자로: 수치 적분 vs 급수

f (흐림) · F = ∫₀ˣ f (파랑) · 급수 N항 (분홍 점선)
F(x) (심프슨)—
급수 N항—
급수 오차—
해볼 것: ① e^(−t²)에서 x = 1이면 4항의 오차가 약 4×10⁻³, 5항이면 7×10⁻⁴로 줄어듭니다. 0.746824…는 예제 9.12의 값입니다. ② x를 3 이상으로 밀면 같은 N에서는 급수가 크게 빗나갑니다. N을 키우면 다시 붙습니다. 큰 x에서는 급수보다 수치 적분이 유리합니다. ③ F(x) = (√π/2)·erf x는 x → ∞에서 √π/2 ≈ 0.886에 다가갑니다(15장에서 증명). 모델: F는 [0, x]를 400조각으로 나눈 심프슨 공식, 급수는 처음 N항의 합입니다.
수치 라이브러리는 무엇을 쓰나 실제 프로그램의 적분 함수(예: 과학 계산 라이브러리의 quad)는 이 장의 아이디어를 더 밀어붙인 것입니다. 구간을 자동으로 나누어 오차가 큰 곳만 잘게 쪼개고(적응형 적분), 점의 위치까지 최적으로 골라 같은 점 개수로 더 높은 차수를 얻습니다(가우스 구적법). 결과와 함께 추정 오차를 돌려주므로, 숫자를 쓰기 전에 그 오차를 꼭 확인하세요. 수치 미분·적분의 반올림 오차는 MathBook 수치 해석에서 다룹니다.

이 도구가 쓰이는 곳

적분 기법은 "식으로 풀 수 있는 모델"의 범위를 정하고, 수치 적분은 그 밖의 모든 것을 맡습니다.

정규분포 공차와 erf 축 지름이 평균 20.000 mm, 표준편차 0.005 mm인 정규분포를 따르고 공차가 ±0.010 mm라면, 합격률은 P(∣Z∣≤2)=erf⁡(2/2)=erf⁡(2)≈0.9545P(|Z| \le 2) = \operatorname{erf}(2/\sqrt2) = \operatorname{erf}(\sqrt2) \approx 0.9545입니다. 이 값은 닫힌 꼴이 없는 적분을 수치로 계산해 표로 만든 것이고, 공정 능력 지수와 수율 계산이 모두 여기서 출발합니다(확률과 통계 연속 분포).
10장 · 적분의 응용부피·길이·일
회전체 부피의 원통 껍질에서 부분 적분, 곡선 길이에서 삼각 치환과 수치 적분이 바로 쓰인다. 11장 · 수열과 급수적분 판정
p-적분의 경계 p = 1이 급수 Σ1/nᵖ의 수렴 경계가 된다. 12장 · 테일러 전개항별 적분
erf, Si, arctan을 급수로 계산하고, 수치 적분 오차를 테일러 나머지로 유도한다. MATHBOOK푸리에 계수
삼각 함수의 직교성으로 신호를 주파수 성분으로 분해한다. MATHBOOK미분방정식
변수 분리 뒤의 적분에서 부분 분수(로지스틱)와 부분 적분(적분 인자)이 나온다. 확률과 통계연속 분포
기댓값·분산은 부분 적분, 정규화 상수는 이상 적분과 감마 함수. MATHBOOK수치 해석
유효 숫자, 반올림 오차와 절단 오차의 균형.

핵심 정리

  1. 부분 적분 ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du는 곱의 법칙의 적분형이다. 미분해 단순해지는 쪽을 uu로(LIATE), 여러 번이면 표 방법, 원래 적분이 돌아오면 방정식으로 푼다.
  2. sin⁡mcos⁡n\sin^m\cos^n은 홀수 지수 쪽에서 하나를 떼어 치환하고, 둘 다 짝수면 반각 공식으로 낮춘다. 서로 다른 진동수의 사인·코사인은 한 주기에서 직교한다.
  3. 삼각 치환은 a2−x2,a2+x2,x2−a2\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}를 각각 x=asin⁡θ,atan⁡θ,asec⁡θx = a\sin\theta, a\tan\theta, a\sec\theta로 바꿔 근호를 없애고, 기준 삼각형으로 xx에 되돌린다.
  4. 유리 함수는 (필요하면 나눗셈 뒤) 부분 분수로 쪼갠다. 서로 다른 일차 인수의 계수는 가리기 방법 Ai=P(ri)/Q′(ri)A_i = P(r_i)/Q'(r_i)로 바로 나온다.
  5. 이상 적분은 유한 적분의 극한이다. ∫1∞x−p\int_1^\infty x^{-p}는 p>1p > 1에서, ∫01x−p\int_0^1 x^{-p}는 p<1p \lt 1에서 수렴한다. 역도함수가 없어도 비교 판정으로 수렴을 가린다.
  6. 사다리꼴·중점 공식의 오차는 O(n−2)O(n^{-2}), 심프슨은 O(n−4)O(n^{-4})이다. 오차 한계 K(b−a)312n2\frac{K(b-a)^3}{12n^2}, K4(b−a)5180n4\frac{K_4(b-a)^5}{180n^4}로 필요한 nn을 미리 정한다.
  7. e−x2e^{-x^2}, sin⁡xx\frac{\sin x}{x} 같은 함수의 역도함수는 초등 함수가 아니다. erf·Si 같은 새 함수로 이름을 붙이고, 값은 수치 적분이나 급수로 계산한다.

확인 퀴즈

Q1. ∫xcos⁡x dx\int x\cos x\,dx는?

u=x, dv=cos⁡x dxu = x,\ dv = \cos x\,dx이면 v=sin⁡xv = \sin x. xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+Cx\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C. 미분 검산: sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x=xcos⁡x\sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x. ✓ 첫째 보기처럼 "따로 적분해서 곱하기"는 틀린 방법이다.

Q2. ∫02πsin⁡3x sin⁡5x dx\int_0^{2\pi}\sin 3x\,\sin 5x\,dx의 값은?

sin⁡3xsin⁡5x=12[cos⁡2x−cos⁡8x]\sin3x\sin5x = \tfrac12[\cos2x - \cos8x]이고 각 항은 한 주기의 정수 배 구간에서 적분하면 0이다. 진동수가 다른 사인끼리는 직교한다(정리 9.3). 구간 [0, 2π]도 길이 2π인 한 주기라 같은 결과다.

Q3. ∫dxx29+x2\int\frac{dx}{x^2\sqrt{9+x^2}}에 알맞은 치환은?

a2+x2\sqrt{a^2 + x^2} 꼴(a=3a = 3)이므로 x=3tan⁡θx = 3\tan\theta로 9+9tan⁡2θ=3sec⁡θ\sqrt{9 + 9\tan^2\theta} = 3\sec\theta. u=9+x2u = 9 + x^2는 du=2x dxdu = 2x\,dx인데 피적분 함수에 xx가 분자로 없어서 맞지 않는다.

Q4. 1x2−1\frac{1}{x^2 - 1}의 부분 분수 분해는?

가리기: x=1x = 1에서 11+1=12\frac{1}{1+1} = \tfrac12, x=−1x = -1에서 1−1−1=−12\frac{1}{-1-1} = -\tfrac12. 통분해 검산하면 12⋅(x+1)−(x−1)x2−1=1x2−1\tfrac12\cdot\frac{(x+1) - (x-1)}{x^2-1} = \frac{1}{x^2-1}. ✓

Q5. 다음 이상 적분 중 수렴하는 것은?

무한 구간은 p>1p > 1에서 수렴: p=1.01p = 1.01이면 값은 10.01=100\frac{1}{0.01} = 100. 0 근처는 p<1p \lt 1에서만 수렴하므로 p=1p = 1과 1.011.01은 발산, 무한 구간의 p=12p = \tfrac12도 발산이다.

Q6. ∫−11dxx2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}에 대한 설명으로 옳은 것은?

1x2\frac{1}{x^2}은 [−1, 1]에서 연속이 아니라 기본 정리를 쓸 수 없다. ∫01x−2dx\int_0^1 x^{-2}dx가 (p=2≥1p = 2 \ge 1) 발산하므로 전체가 발산한다. 양수 함수의 적분이 음수로 나온다면 무언가 잘못된 것이다. 또 1/x21/x^2은 짝함수다.

Q7. 매끄러운 함수를 심프슨 공식으로 적분했더니 n = 10에서 오차가 3.2×10−53.2\times10^{-5}이었다. n = 20이면 오차는 대략?

심프슨의 오차는 n−4n^{-4}에 비례하므로 n을 2배로 하면 24=162^4 = 16분의 1: 3.2×10−5/16=2×10−63.2\times10^{-5}/16 = 2\times10^{-6}. 사다리꼴이었다면 1/4인 8×10−68\times10^{-6}이다.

Q8. 학생 셋이 ∫sin⁡xcos⁡x dx\int\sin x\cos x\,dx를 각각 12sin⁡2x+C\tfrac12\sin^2x + C, −12cos⁡2x+C-\tfrac12\cos^2x + C, −14cos⁡2x+C-\tfrac14\cos2x + C로 풀었다. 옳은 판단은?

12sin⁡2x−(−12cos⁡2x)=12\tfrac12\sin^2x - (-\tfrac12\cos^2x) = \tfrac12이고 −14cos⁡2x=−14(1−2sin⁡2x)=12sin⁡2x−14-\tfrac14\cos2x = -\tfrac14(1 - 2\sin^2x) = \tfrac12\sin^2x - \tfrac14이다. 역도함수는 상수만큼의 자유가 있으므로 미분해서 sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x가 되면 모두 맞다.