Chapter 02

연속성

연필을 종이에서 떼지 않고 그릴 수 있는 그래프. 이 소박한 그림이 미적분에서 가장 많이 쓰이는 가정인 연속(continuity)입니다. 1장의 극한으로 이 그림을 정확한 정의로 바꾸면 놀랄 만큼 강한 결과가 따라옵니다. 부호가 바뀌는 연속 함수에는 반드시 근이 있고(중간값 정리), 그 근은 구간을 반씩 잘라 언제나 찾을 수 있으며(이분법), 닫힌 구간의 연속 함수는 반드시 가장 큰 값과 가장 작은 값을 가집니다(최대·최소 정리). 이 장의 끝에서는 미분에 꼭 필요한 두 극한 sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1과 (1+1n)n→e(1 + \frac1n)^n \to e를 연속성과 조임 정리로 손에 넣습니다.

이 수식이 없었다면근이 '있다'는 보장

공학의 방정식은 대부분 손으로 풀리지 않습니다. 5차 이상의 일반 다항 방정식에는 근의 공식이 없다는 것이 19세기 초에 증명되었고, 배관 설계에서 마찰 계수를 정하는 콜브룩 식처럼 미지수를 한쪽으로 모아 쓸 수조차 없는 식도 흔합니다. 그래서 컴퓨터가 근을 찾습니다. 그런데 찾기 전에 먼저 물어야 할 것이 있습니다. 근이 정말 있기는 한가? 없는 근을 찾느라 프로그램이 영원히 돌 수도 있습니다.

1817년 보헤미아(지금의 체코) 프라하의 수학자 베르나르트 볼차노는 "연속 함수가 음수에서 양수로 바뀌면 그 사이 어딘가에서 반드시 0이 된다"는, 너무 당연해 보여서 아무도 증명하려 하지 않던 사실을 그림에 기대지 않고 증명했습니다. 오늘날 중간값 정리라고 부르는 이 결과 덕분에, 구간 양 끝에서 부호만 확인하면 근의 존재가 보장되고 구간을 반씩 잘라 가는 이분법이 반드시 수렴합니다. 많은 수치 라이브러리의 근 찾기 함수가 빠른 방법을 쓰다가도 이분법을 안전장치로 남겨 두는 이유입니다.

풀 수 없는 방정식→근이 있기는 한가?→연속 + 부호 변화 ⇒ 근 존재→이분법: 반드시 수렴하는 근 찾기

연속의 세 조건

"연필을 떼지 않고"를 식으로

온도 센서가 1초마다 값을 보냅니다. 기록 그래프에 갑자기 끊긴 곳이 있다면 센서가 고장 났거나 무언가가 순간적으로 바뀐 것입니다. "끊기지 않았다"를 판정하는 프로그램을 짜려면 그림 대신 검사할 수 있는 조건이 필요합니다. 한 점 x=ax = a에서 그래프가 끊기지 않았다는 것은 정확히 무슨 뜻일까요?

1장에서 극한은 aa 근처의 값만 보고 f(a)f(a)는 보지 않는다고 했습니다. 연속은 바로 그 둘을 잇는 조건입니다. 근처에서 다가가는 값과 그 점의 값이 같으면 그래프에 틈이 없습니다.

정의 2.1 (한 점에서의 연속) 함수 ff가 다음 세 조건을 모두 만족하면 ff는 x=ax = a에서 연속이라 한다.
  1. f(a)f(a)가 정의되어 있다.
  2. lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)가 존재한다.
  3. lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x) = f(a).
셋 중 하나라도 실패하면 ff는 aa에서 불연속(discontinuous)이다. 세 조건을 한 줄로 쓰면 lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x) = f(a)이고, x=a+hx = a + h로 바꾸면 lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\lim_{h\to 0}f(a + h) = f(a)다.
ε–δ로 쓰면: 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 δ>0\delta > 0이 있어 ∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−f(a)∣<ε|x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon. 1장 정의 1.12에서 LL을 f(a)f(a)로 바꾸고 0<0 \lt를 뺀 것이다(x=ax = a에서는 저절로 성립).
① f(a)가 없다 a ② 극한이 없다 a ③ 극한 ≠ f(a) a ④ 연속 a 빈 동그라미 = 극한(다가가는 값), 채운 점 = 함숫값 f(a)
그림 2-1. 연속의 세 조건이 차례로 실패하는 모습. ① 구멍만 있고 함숫값이 없다. ② 좌극한과 우극한이 달라 극한이 없다. ③ 극한도 함숫값도 있지만 서로 다르다. ④ 세 조건이 모두 성립해 빈 동그라미와 채운 점이 겹친다.

구간 끝에서는 한쪽에서만 다가갈 수 있으므로 한쪽 극한으로 연속을 정의합니다.

정의 2.2 (한쪽 연속과 구간에서의 연속) lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)이면 ff는 aa에서 우연속(right-continuous), lim⁡x→a−f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-}f(x) = f(a)이면 좌연속(left-continuous)이다. ff가 열린 구간 (a,b)(a, b)의 모든 점에서 연속이면 (a,b)(a, b)에서 연속, 여기에 더해 aa에서 우연속이고 bb에서 좌연속이면 닫힌 구간 [a,b][a, b]에서 연속이라 한다.

예를 들어 x\sqrt x는 x<0x \lt 0에서 정의되지 않으므로 0에서 (양쪽) 연속을 말할 수 없지만, lim⁡x→0+x=0=0\lim_{x\to 0^+}\sqrt x = 0 = \sqrt 0이라 우연속이고 [0,∞)[0, \infty)에서 연속입니다. 바닥 함수 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor는 정수 nn에서 lim⁡x→n+⌊x⌋=n=⌊n⌋\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n = \lfloor n\rfloor이라 우연속이지만, 좌극한이 n−1n - 1이라 좌연속은 아닙니다.

예제 2.1 (세 조건 점검) f(x)=x2−4x−2f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} (x≠2x \ne 2), f(2)=3f(2) = 3은 x=2x = 2에서 연속인가?
  1. 조건 1: f(2)=3f(2) = 3으로 정의되어 있다.
  2. 조건 2: x≠2x \ne 2에서 f(x)=x+2f(x) = x + 2이므로 lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x\to 2}f(x) = 4. 존재한다.
  3. 조건 3: 4≠34 \ne 3. 실패. 따라서 불연속이다. 그러나 f(2)f(2)를 4로 다시 정의하면 연속이 된다. 이런 불연속을 다음 절에서 "제거 가능"이라 부른다.

불연속의 종류

불연속이 어떻게 생겼는지에 따라 고칠 수 있는지가 갈립니다. 좌극한과 우극한을 먼저 구하면 분류가 바로 됩니다.

정의 2.3 (불연속의 분류) ff가 aa에서 불연속일 때
  • 제거 가능 불연속(removable discontinuity): lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x) = L이 존재하지만 f(a)f(a)가 없거나 LL과 다르다. f(a)=Lf(a) = L로 정의하면(다시 정의하면) 연속이 된다. 이렇게 얻은 함수를 ff의 연속 확장(continuous extension)이라 한다.
  • 점프 불연속(jump discontinuity): 좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 다르다. 그 차이가 점프의 크기다.
  • 무한 불연속(infinite discontinuity): 한쪽 극한 중 적어도 하나가 ±∞\pm\infty다. 그래프에 수직 점근선이 있다.
  • 그 밖의 경우, 예를 들어 sin⁡(1/x)\sin(1/x)의 0처럼 한쪽 극한이 아예 존재하지 않는 진동 불연속도 있다.

제거 가능 불연속만 f(a)f(a) 하나를 바꿔서 고칠 수 있습니다. 점프는 어떤 값을 넣어도 한쪽과는 어긋나고, 무한 불연속과 진동 불연속은 넣을 값 자체가 없습니다. 아래 시뮬레이터에서 점 (a,f(a))(a, f(a))를 위아래로 끌어 직접 고쳐 보세요.

SIMULATOR

불연속 고치기: f(a)를 옮겨서 틈을 메울 수 있나

채운 점(함숫값)을 위아래로 끌어 보세요.

좌극한—
우극한—
f(a)—
종류—
해볼 것: ① 첫 함수에서 점을 4로 끌어 올리면 세 조건이 모두 초록으로 바뀝니다. ② sin x / x는 점을 1로 옮기면 연속이 됩니다. 이 값 1이 7절의 주인공입니다. ③ 점프 함수에서는 점을 2(좌극한)나 0(우극한)에 맞춰도 한쪽만 맞습니다. 우극한에 맞추면 '우연속'이라는 표시가 뜹니다. 모델: 극한값은 함수식에서 구한 정확한 값이고, 점은 극한값 근처 0.06 안에 들어오면 그 값에 달라붙습니다.

공학에서 더 흔한 문제는 반대 방향입니다. 구간마다 다른 식으로 주어진 함수(조각 함수)를 이음매에서 끊기지 않게 하려면 계수를 어떻게 정해야 할까요? 이음매에서 좌극한, 우극한, 함숫값을 같게 놓으면 계수에 대한 방정식이 나옵니다.

예제 2.2 (이음매 맞추기) f(x)=cx+1f(x) = cx + 1 (x<2x \lt 2), f(x)=x2−cf(x) = x^2 - c (x≥2x \ge 2)가 모든 실수에서 연속이 되는 cc를 구하라.
  1. 각 조각은 다항식이라 자기 구간 안에서는 연속이다. 문제는 이음매 x=2x = 2뿐이다.
  2. 좌극한: lim⁡x→2−(cx+1)=2c+1\lim_{x\to 2^-}(cx + 1) = 2c + 1. 우극한과 함숫값: lim⁡x→2+(x2−c)=4−c=f(2)\lim_{x\to 2^+}(x^2 - c) = 4 - c = f(2).
  3. 2c+1=4−c2c + 1 = 4 - c에서 3c=33c = 3, c=1c = 1. 확인: 양쪽 모두 3.
  4. c≠1c \ne 1이면 점프의 크기는 (4−c)−(2c+1)=3−3c(4 - c) - (2c + 1) = 3 - 3c다.
SIMULATOR

조각 함수 이음매 맞추기

함수 계열
좌극한—
우극한 = f(이음매)—
점프 크기—
해볼 것: ① 예제 2.2에서 c를 움직여 점프 크기 3 − 3c가 0이 되는 c = 1을 찾으세요. ② 'x² 다음 직선'은 x ≤ 1에서 x², x > 1에서 mx + b입니다. 연속 조건 m + b = 1을 만족하는 (m, b)는 무수히 많습니다. ③ 그중 m = 2일 때만 이음매가 꺾이지 않고 매끄럽습니다. 이것이 3장의 '미분 가능'입니다. 모델: 이음매에서의 극한을 식으로 계산합니다.
점프가 일부러 들어간 함수 불연속이 늘 나쁜 것은 아닙니다. 이산 확률 변수의 누적 분포 함수 F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \le x)는 값이 나올 수 있는 점마다 그 확률만큼 점프하고, 정의에 따라 언제나 우연속입니다(확률과 통계 · 이산 확률 변수). 디지털 신호의 계단 파형, 계단식 요금표도 점프 불연속입니다.

연속 함수의 대수와 합성

점마다 세 조건을 확인해야 하나

x3+1 cos⁡x\sqrt{x^3 + 1}\,\cos x가 x=2x = 2에서 연속인지 정의 2.1로 확인하려면 극한부터 구해야 합니다. 모든 함수, 모든 점에서 이렇게 할 수는 없습니다. 작은 연속 함수들로 큰 함수를 조립하면 연속성이 저절로 따라오면 좋겠습니다.

정리 2.4 (연속 함수의 대수) ff와 gg가 aa에서 연속이면 f±gf \pm g, cfcf, fgfg도 aa에서 연속이고, g(a)≠0g(a) \ne 0이면 f/gf/g도 연속이다.

증명. 1장 정리 1.5(극한 법칙)에 연속의 정의를 넣으면 된다. 예: lim⁡x→a[f(x)g(x)]=lim⁡f⋅lim⁡g=f(a)g(a)\lim_{x\to a}[f(x)g(x)] = \lim f\cdot\lim g = f(a)g(a). ∎

정리 2.5 (기본 함수의 연속성) 다음 함수는 정의역의 모든 점에서 연속이다: 다항식, 유리 함수, 거듭제곱근, 삼각 함수, 역삼각 함수, 지수 함수, 로그 함수. 또 구간에서 연속이고 단조인 함수의 역함수도 연속이다.

증명의 예(sin). 합을 곱으로 바꾸는 공식과 ∣sin⁡t∣≤∣t∣|\sin t| \le |t|, ∣cos⁡t∣≤1|\cos t| \le 1을 쓰면 ∣sin⁡x−sin⁡a∣=2∣cos⁡x+a2∣∣sin⁡x−a2∣≤2⋅∣x−a∣2=∣x−a∣|\sin x - \sin a| = 2\left|\cos\tfrac{x + a}{2}\right|\left|\sin\tfrac{x - a}{2}\right| \le 2\cdot\tfrac{|x - a|}{2} = |x - a|. 따라서 δ=ε\delta = \varepsilon이면 ∣x−a∣<δ⇒∣sin⁡x−sin⁡a∣<ε|x - a| \lt \delta \Rightarrow |\sin x - \sin a| \lt \varepsilon. cos도 같은 방법이다. 다항식·유리 함수는 정리 2.4와 1장 정리 1.6에서 바로 나온다. 지수·로그의 연속성은 이 함수들을 엄밀히 정의하는 4장·8장의 몫으로 남긴다. ∎

마지막 조각은 합성입니다. 바깥 함수가 연속이면 극한 기호를 함수 안으로 들여보낼 수 있습니다.

정리 2.6 (합성과 극한) lim⁡x→ag(x)=b\lim_{x\to a}g(x) = b이고 ff가 bb에서 연속이면
lim⁡x→af(g(x))=f(lim⁡x→ag(x))=f(b).\lim_{x\to a}f\bigl(g(x)\bigr) = f\Bigl(\lim_{x\to a}g(x)\Bigr) = f(b).
특히 gg가 aa에서 연속이고 ff가 g(a)g(a)에서 연속이면 합성 f∘gf\circ g는 aa에서 연속이다.

증명. ε>0\varepsilon > 0을 주자. ff가 bb에서 연속이므로 ∣y−b∣<η⇒∣f(y)−f(b)∣<ε|y - b| \lt \eta \Rightarrow |f(y) - f(b)| \lt \varepsilon인 η>0\eta > 0이 있다. 또 g(x)→bg(x) \to b이므로 이 η\eta에 대해 0<∣x−a∣<δ⇒∣g(x)−b∣<η0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |g(x) - b| \lt \eta인 δ\delta가 있다. 두 화살표를 이으면 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(g(x))−f(b)∣<ε0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(g(x)) - f(b)| \lt \varepsilon. ∎

예제 2.3 (연속성으로 극한 구하기)
  1. lim⁡x→2x3+1\lim_{x\to 2}\sqrt{x^3 + 1}: 안쪽 x3+1→9x^3 + 1 \to 9, 바깥  \sqrt{\ }은 9에서 연속이므로 9=3\sqrt 9 = 3.
  2. lim⁡x→πsin⁡(x+sin⁡x)\lim_{x\to\pi}\sin(x + \sin x): 안쪽 x+sin⁡x→π+0=πx + \sin x \to \pi + 0 = \pi이므로 sin⁡π=0\sin\pi = 0.
  3. h(x)=ln⁡(4−x2)x−1h(x) = \dfrac{\ln(4 - x^2)}{x - 1}이 연속인 곳: 로그는 4−x2>04 - x^2 > 0, 즉 −2<x<2-2 \lt x \lt 2에서 정의되고 연속이다. 분모가 0인 x=1x = 1을 빼면 (−2,1)∪(1,2)(-2, 1)\cup(1, 2)에서 연속이다.
바깥 함수가 연속이 아니면 lim⁡x→0⌊1−x2⌋\lim_{x\to 0}\lfloor 1 - x^2\rfloor를 생각해 봅시다. 안쪽 1−x2→11 - x^2 \to 1이지만, x≠0x \ne 0이면 1−x21 - x^2은 1보다 조금 작으므로 ⌊1−x2⌋=0\lfloor 1 - x^2\rfloor = 0입니다. 극한은 0인데 ⌊lim⁡(1−x2)⌋=⌊1⌋=1\lfloor\lim(1 - x^2)\rfloor = \lfloor 1\rfloor = 1입니다. 바닥 함수가 1에서 연속이 아니라서(좌극한 0) 정리 2.6을 쓸 수 없습니다.

정리 2.4–2.6을 합치면 실전 규칙이 나옵니다. 기본 함수를 사칙 연산과 합성으로 조립한 함수는 정의되는 모든 점에서 연속이고, 그런 점에서의 극한은 대입으로 구한다. 극한을 따로 계산해야 하는 것은 대입이 막히는 점(0/0, 정의역의 경계, 조각 함수의 이음매)뿐입니다. 행렬식이 성분의 다항식이라 연속이라는 사실도 이 규칙에서 나옵니다. 그래서 가역 행렬을 조금 흔들어도 행렬식이 0이 되지 않아 여전히 가역입니다(LinearBook · 행렬식).

중간값 정리

x³ + x − 1 = 0의 근은 어디에?

3차 방정식에는 근의 공식이 있지만 복잡하고, 더 높은 차수나 cos⁡x=x\cos x = x 같은 방정식에는 공식이 없습니다. 그래도 값을 몇 개 넣어 보면 실마리가 보입니다. f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1은 f(0)=−1<0f(0) = -1 \lt 0, f(1)=1>0f(1) = 1 > 0입니다. 0과 1 사이 어딘가에서 0을 지나야 할 것 같습니다. 정말 그럴까요? 반드시?

정리 2.7 (중간값 정리(intermediate value theorem, IVT)) ff가 닫힌 구간 [a,b][a, b]에서 연속이고 NN이 f(a)f(a)와 f(b)f(b) 사이의 수이면(f(a)≠f(b)f(a) \ne f(b)), f(c)=Nf(c) = N인 c∈(a,b)c \in (a, b)가 적어도 하나 있다.

증명 아이디어. f(a)<N<f(b)f(a) \lt N \lt f(b)라 하고 S={x∈[a,b]:f(x)<N}S = \{x \in [a, b] : f(x) \lt N\}을 생각한다. SS는 aa를 포함하고 bb로 위가 막혀 있으므로, 실수의 완비성(위로 유계인 집합에는 최소 상계가 있다)에 의해 c=sup⁡Sc = \sup S가 있다. f(c)<Nf(c) \lt N이면 연속성 때문에 cc 조금 오른쪽에서도 f<Nf \lt N이라 cc가 상계라는 데 모순이고, f(c)>Nf(c) > N이면 cc 조금 왼쪽 전체에서 f>Nf > N이라 cc보다 작은 상계가 생겨 모순이다. 따라서 f(c)=Nf(c) = N. ∎

ab c₁c₂c₃ N f(a)f(b) 정리가 말하는 것 f(a)와 f(b) 사이의 높이 N 어디에 수평선을 그어도 곡선과 적어도 한 번 만난다. 말하지 않는 것 c가 몇 개인지, 어디에 있는지, 구간 밖은 어떤지.
그림 2-2. 중간값 정리. 연속 함수가 높이 f(a)f(a)에서 f(b)f(b)로 가려면 그 사이의 모든 높이를 지나야 한다(파란 띠). 수평선 y=Ny = N과의 교점은 하나 이상이며 여기서는 셋이다. 정리는 존재만 보장하고 위치는 알려 주지 않는다. 위치는 다음 절의 이분법이 찾는다.

가장 자주 쓰는 형태는 N=0N = 0인 경우입니다. 볼차노가 1817년에 증명한 것이 바로 이 형태입니다.

따름정리 2.8 (부호 변화 ⇒ 근) ff가 [a,b][a, b]에서 연속이고 f(a)f(a)와 f(b)f(b)의 부호가 반대이면(f(a)f(b)<0f(a)f(b) \lt 0) f(c)=0f(c) = 0인 c∈(a,b)c \in (a, b)가 있다.
예제 2.4 (근의 존재) x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0이 (0,1)(0, 1)에 근을 가짐을 보여라.
  1. f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1은 다항식이라 [0,1][0, 1]에서 연속이다(정리 2.5). 이 확인을 빼먹으면 안 된다.
  2. f(0)=−1<0f(0) = -1 \lt 0, f(1)=1>0f(1) = 1 > 0.
  3. 따름정리 2.8에 의해 (0,1)(0, 1)에 근이 있다. 실제 근은 c≈0.6823c \approx 0.6823이다. 또 ff는 증가 함수라 근은 이것 하나뿐이다(증가성은 5장의 도구로 보인다).
예제 2.5 (고정점) cos⁡x=x\cos x = x인 xx가 [0,1][0, 1]에 있음을 보여라.
  1. g(x)=cos⁡x−xg(x) = \cos x - x로 두면 gg는 연속 함수의 차라 연속이다.
  2. g(0)=1>0g(0) = 1 > 0, g(1)=cos⁡1−1≈−0.4597<0g(1) = \cos 1 - 1 \approx -0.4597 \lt 0.
  3. 따라서 g(c)=0g(c) = 0, 즉 cos⁡c=c\cos c = c인 c∈(0,1)c \in (0, 1)이 있다(c≈0.7391c \approx 0.7391). 계산기에서 cos 단추를 계속 누르면 이 값에 모인다. 이런 cc를 cos⁡\cos의 고정점(fixed point)이라 한다.

아래 시뮬레이터에서 높이 NN을 끌어 보세요. 연속 함수에서는 f(a)f(a)와 f(b)f(b) 사이 어느 높이에서도 교점이 생기지만, 점프가 있는 함수에서는 점프가 건너뛴 높이에서 교점이 사라집니다.

SIMULATOR

중간값 정리: 어느 높이든 지나간다

왼쪽의 분홍 점을 위아래로 끌어 높이 N을 바꾸세요.

N—
f(a), f(b)—
f(c) = N인 c—
해볼 것: ① 첫 함수에서 N을 1.0과 1.7 사이에 두면 교점이 세 개입니다. 정리는 '적어도 하나'만 약속합니다. ② 점프 함수에서 N을 1과 2.5 사이에 두면 f(0) = 0과 f(4) = 3.5 사이인데도 교점이 없습니다. 연속이라는 가정이 빠졌기 때문입니다. ③ 1/(x − 2)는 f(0) = −0.5 < 0 < f(4) = 0.5인데 0이 되는 점이 없습니다. 부호만 보고 근을 믿으면 안 되는 예입니다. 모델: 교점은 2,000개 구간에서 부호 변화를 찾고 이분법으로 다듬어 구합니다. 불연속점을 지나는 부호 변화는 교점으로 세지 않습니다.

중간값 정리는 계산 없이도 놀라운 결론을 줍니다. 유명한 퍼즐 하나: 등산객이 아침 6시에 산 아래에서 출발해 저녁 6시에 정상에 도착했고, 다음 날 아침 6시에 정상에서 출발해 같은 길로 저녁 6시에 산 아래에 도착했습니다. 쉬기도 하고 빨리 걷기도 했습니다. 이틀 동안 같은 시각에 같은 지점을 지난 순간이 반드시 있을까요?

있습니다. 첫날 고도를 u(t)u(t), 둘째 날 고도를 d(t)d(t)라 하고 h(t)=u(t)−d(t)h(t) = u(t) - d(t)를 보면, h(6시)=0−H<0h(6시) = 0 - H \lt 0, h(18시)=H−0>0h(18시) = H - 0 > 0이고 hh는 연속이므로 h(c)=0h(c) = 0인 시각 cc가 있습니다. 두 사람이 같은 날 출발했다고 상상하면 당연합니다. 올라가는 사람과 내려가는 사람은 어딘가에서 반드시 마주칩니다. 같은 논리로, 지구 적도 위에는 정반대 편의 기온과 기온이 정확히 같은 두 지점이 언제나 있습니다(기온이 위치에 따라 연속이라면). g(θ)=T(θ)−T(θ+π)g(\theta) = T(\theta) - T(\theta + \pi)는 g(θ+π)=−g(θ)g(\theta + \pi) = -g(\theta)라 부호가 바뀌기 때문입니다.

SIMULATOR

등산로 문제: 올라간 날과 내려온 날

고도 (m) vs 시각: 분홍 = 첫날(오름), 파랑 = 둘째 날(내림)
h(t) = u(t) − d(t)

두 경로의 중간 점(각 3개)을 끌어 걷는 방식을 바꿀 수 있습니다.

시각—
첫날 / 둘째 날 고도—
만나는 시각—
해볼 것: ① 점을 아무리 끌어도 분홍과 파랑이 적어도 한 번은 만납니다. 아래 h(t)가 −1000에서 +1000으로 가며 0을 지나기 때문입니다. ② '오르락내리락'처럼 경로를 꼬불꼬불하게 만들면 만나는 시각이 여러 번일 수 있습니다. ③ ▶로 시각을 흘려보내며 두 사람의 위치를 같은 시계로 비교하세요. 모델: 산의 높이 1,000 m, 06:00–18:00. 경로는 점들을 잇는 꺾은선(연속 함수)이고, 점의 고도는 0–1,000 m로 제한합니다.

이분법: 근을 반드시 찾는 방법

중간값 정리는 근이 있다고만 말합니다. 그런데 증명 아이디어를 거꾸로 돌리면 근을 찾는 방법이 됩니다. 부호가 바뀌는 구간의 가운데를 확인하고, 부호가 바뀌는 쪽 절반만 남깁니다. 남은 절반에도 부호 변화가 있으니 근이 있고, 이것을 되풀이하면 근을 가둔 구간이 매번 반으로 줄어듭니다.

알고리즘 2.9 (이분법(bisection method)) ff가 [a0,b0][a_0, b_0]에서 연속이고 f(a0)f(b0)<0f(a_0)f(b_0) \lt 0이라 하자. n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \dots에 대해
  1. 가운데 점 mn=(an+bn)/2m_n = (a_n + b_n)/2를 구한다.
  2. f(mn)=0f(m_n) = 0이면 끝. f(an)f(mn)<0f(a_n)f(m_n) \lt 0이면 [an+1,bn+1]=[an,mn][a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, m_n], 아니면 [mn,bn][m_n, b_n].

정리 (오차 한계). nn번 자른 뒤 구간의 길이는 (b0−a0)/2n(b_0 - a_0)/2^n이고 근 cc는 그 안에 있으므로, 그 구간의 가운데 점은 ∣c−mn∣≤(b0−a0)/2n+1|c - m_n| \le (b_0 - a_0)/2^{n+1}를 만족한다. 따라서 구간 길이를 허용 오차 τ\tau 이하로 줄이는 데 필요한 단계 수는

n≥log⁡2b0−a0τ.n \ge \log_2\frac{b_0 - a_0}{\tau}.

증명. 각 단계에서 구간 길이가 정확히 절반이 되고, 남긴 구간의 양 끝에서 부호가 반대이므로 따름정리 2.8에 의해 근이 그 안에 있다. ∎

예제 2.6 (√2를 이분법으로) f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2, [1,2][1, 2]에서 시작한다(f(1)=−1f(1) = -1, f(2)=2f(2) = 2).
n구간 [aₙ, bₙ]mₙf(mₙ)남는 쪽
0[1, 2]1.50.25왼쪽
1[1, 1.5]1.25−0.4375오른쪽
2[1.25, 1.5]1.375−0.109375오른쪽
3[1.375, 1.5]1.43750.06640625왼쪽
4[1.375, 1.4375]1.40625−0.0224609375오른쪽
5[1.40625, 1.4375]1.4218750.021728515625왼쪽
6[1.40625, 1.421875]——길이 1/64

여섯 번 자르면 구간 길이가 1/64=0.0156251/64 = 0.015625이고, 실제로 2=1.41421…\sqrt 2 = 1.41421\ldots이 그 안에 있다. 길이를 10−610^{-6} 이하로 줄이려면 2n≥1062^n \ge 10^6, 즉 n≥6log⁡210≈19.93n \ge 6\log_2 10 \approx 19.93이므로 20번이면 된다(220=1,048,5762^{20} = 1{,}048{,}576). 한 번에 정확한 이진 자릿수가 하나씩 늘어나고, 십진 자릿수 하나에는 약 3.3번이 든다.

SIMULATOR

이분법 한 단계씩

naₙbₙmₙf(mₙ)길이
단계 n0
근의 추정 mₙ—
오차 한계—
10⁻⁶까지 필요한 단계—
해볼 것: ① x² − 2를 20단계 진행해 오차 한계가 10⁻⁶ 아래로 내려가는지 확인하세요. ② 'x³ − x'에는 근이 −1, 0, 1 셋인데, 이분법은 그중 하나만 찾습니다. 어느 것을 찾을지는 첫 구간이 정합니다. ③ 1/x는 양 끝 부호가 반대인데도 근이 없습니다. 이분법은 '근' 대신 불연속점 0으로 모여들고 |f(m)|은 오히려 커집니다. 연속이라는 가정을 확인해야 하는 이유입니다. 모델: 알고리즘 2.9 그대로. 오차 한계는 (bₙ − aₙ)/2입니다.
느리지만 믿을 수 있다 이분법은 한 단계에 이진 자릿수 하나씩, 꽤 느리게 수렴합니다. 6장의 뉴턴 방법은 근 근처에서 정확한 자릿수가 매번 대략 두 배가 되지만, 출발점이 나쁘면 엉뚱한 곳으로 튀기도 합니다. 그래서 실무 라이브러리는 빠른 방법을 쓰면서 부호가 바뀌는 구간을 계속 추적하다가, 빠른 방법이 구간을 벗어나려 하면 이분법 한 단계로 되돌아가는 방식을 많이 씁니다. MathBook "수치 계산"도 참고하세요.

최대·최소 정리

가장 높은 점이 '있기는' 한가

하루 동안 기록한 온도에는 최고 기온이 있습니다. 당연해 보이지만, 함수 f(x)=xf(x) = x를 열린 구간 (0,1)(0, 1)에서 보면 값은 1에 얼마든지 가까워지지만 1이 되지는 않아서 "가장 큰 값"이 없습니다. 최적화 문제(6장)에서 최댓값을 찾기 전에, 찾을 것이 존재한다는 보장이 필요합니다.

정리 2.10 (최대·최소 정리(extreme value theorem, EVT)) ff가 닫힌 구간 [a,b][a, b]에서 연속이면, ff는 [a,b][a, b]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 즉 모든 x∈[a,b]x \in [a, b]에 대해 f(c)≤f(x)≤f(d)f(c) \le f(x) \le f(d)인 c,d∈[a,b]c, d \in [a, b]가 있다.

증명 아이디어. 먼저 ff가 유계임을 보인다(그렇지 않으면 ∣f(xn)∣>n|f(x_n)| > n인 점들을 고를 수 있고, 닫힌 구간의 수열은 수렴하는 부분 수열을 가지므로 그 극한점에서 연속성이 깨진다). 유계이므로 완비성에 의해 상한 M=sup⁡fM = \sup f가 있고, f(xn)→Mf(x_n) \to M인 점들의 수렴하는 부분 수열의 극한 dd에서 연속성으로 f(d)=Mf(d) = M이다. 닫힌 구간이어야 극한점 dd가 구간 안에 남는다. ∎

두 가정은 하나도 뺄 수 없습니다. 그림 2-3의 반례가 그 이유를 보여 줍니다.

① 열린 구간 (0, 1) 1에 닿지 않음f(x) = x: 최대·최소 없음 ② 유계가 아님 (0, 1] ↑ ∞1/x: 최댓값 없음 ③ 불연속 [0, 2] x − ⌊x⌋: 위 끝 1에 못 닿음 ④ 닫힌 구간 + 연속 최대최소반드시 둘 다 있다
그림 2-3. 가정이 하나라도 빠지면 정리가 깨진다. ① 연속이지만 구간이 열려 있어 끝 값에 닿지 못한다. ② 연속이지만 왼쪽 끝이 열려 있어 값이 한없이 커진다. ③ 닫힌 구간이지만 x=1x = 1에서 점프해 상한 1에 도달하지 못한다(최솟값 0은 있다). ④ 두 가정이 다 있으면 최대와 최소가 구간 안의 점에서 실제로 나온다(끝점일 수도 있다).
예제 2.7 (끝점을 넣느냐 빼느냐) f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x의 최댓값과 최솟값을 [0,2][0, 2]와 (0,2)(0, 2)에서 비교하라.
  1. f(0)=0f(0) = 0, f(1)=−2f(1) = -2, f(2)=8−6=2f(2) = 8 - 6 = 2. 그래프는 0에서 내려가 x=1x = 1에서 바닥을 찍고 2까지 올라간다(바닥이 x=1x = 1인 이유는 6장의 도함수로 확인한다).
  2. [0,2][0, 2]: 정리 2.10이 존재를 보장한다. 최댓값 2 (x=2x = 2), 최솟값 −2 (x=1x = 1).
  3. (0,2)(0, 2): 최솟값 −2는 내부 점 1에서 그대로 있다. 그러나 값은 2에 얼마든지 가까워질 뿐 2가 되지 않으므로 최댓값이 없다. 정리의 가정이 빠지면 결론이 성립할 수도(최솟값), 안 할 수도(최댓값) 있다.
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최댓값은 있는가: 끝점과 불연속 바꿔 보기

구간—
최댓값—
최솟값—
정리의 가정—
해볼 것: ① x³ − 3x, [0, 2]에서 오른쪽 끝을 빼 보세요. 최솟값은 그대로인데 최댓값이 사라집니다(예제 2.7). ② 1/x에서 a를 0까지 내리면 값이 한없이 커져 최댓값이 없습니다. a > 0인 닫힌 구간이면 최댓값은 1/a입니다. ③ 톱니에서 구간이 정수를 품으면 상한 1에 닿지 못합니다. 구간을 [0.2, 0.8]처럼 정수 없이 잡으면 연속이라 최대·최소가 생깁니다. 모델: 최대·최소 후보는 구간 끝, 내부 극값(x = ±1), 불연속점의 좌우 극한이며, 그 값이 구간 안의 점에서 실제로 나오는지 따집니다.

두 개의 중요한 극한: sin x / x 와 e

대입하면 0/0, 표로는 1

sin⁡xx\frac{\sin x}{x}에 x=0x = 0을 넣으면 0/00/0입니다. 표를 만들면 x=0.1x = 0.1에서 0.99833, x=0.01x = 0.01에서 0.9999833으로 1에 다가갑니다. 그러나 sin은 다항식이 아니라서 인수분해로 소거할 수 없습니다. 삼각 함수의 미분 공식이 전부 이 극한에 달려 있으니 반드시 증명해야 합니다.

정리 2.11 (xx는 라디안)
lim⁡x→0sin⁡xx=1.\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.

증명. 0<x<π/20 \lt x \lt \pi/2이라 하자. 그림 2-4의 단위원에서 삼각형 OAP, 부채꼴 OAP, 삼각형 OAT의 넓이를 비교하면 차례로 포함 관계에 있으므로

12sin⁡x  ≤  12x  ≤  12tan⁡x.\frac12\sin x \;\le\; \frac12 x \;\le\; \frac12\tan x.
부채꼴의 넓이가 12r2θ\tfrac12 r^2\theta인 것은 각을 라디안으로 잴 때다. 도(°)로 재면 극한은 π/180\pi/180이 된다.

각 변을 12sin⁡x>0\tfrac12\sin x > 0으로 나누고 역수를 취하면(부등호가 뒤집힌다) cos⁡x≤sin⁡xx≤1\cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1. cos⁡\cos은 연속이라 cos⁡x→1\cos x \to 1이므로 조임 정리(1장 정리 1.8)로 x→0+x \to 0^+일 때 극한은 1이다. sin⁡xx\frac{\sin x}{x}는 짝함수(sin⁡(−x)−x=sin⁡xx\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x})이므로 좌극한도 1이다. ∎

OA (1, 0)PT x sin xtan x 넓이 비교 (0 < x < π/2) 삼각형 OAP = ½ · 1 · sin x 부채꼴 OAP = ½ · 1² · x 삼각형 OAT = ½ · 1 · tan x sin x ≤ x ≤ tan x ⇒ cos x ≤ (sin x)/x ≤ 1 x → 0: 양 끝이 1로 → 가운데도 1
그림 2-4. 부채꼴 넓이로 조이기. 초록 삼각형 ⊂ 분홍 부채꼴 ⊂ 파랑 삼각형이므로 sin⁡x≤x≤tan⁡x\sin x \le x \le \tan x. xx가 0으로 가면 세 도형이 모두 납작해지면서 넓이의 비가 1로 간다.
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부채꼴 넓이로 sin x / x 조이기

점 P를 원 위에서 끌어 보세요
cos x ≤ sin x / x ≤ 1
½ sin x—
½ x (부채꼴)—
½ tan x—
sin x / x—
해볼 것: ① x를 줄이며 세 넓이의 순서(초록 ≤ 분홍 ≤ 파랑)가 언제나 지켜지는지 보세요. ② 아래 그래프에서 sin x / x(분홍)가 cos x(파랑)와 1(점선) 사이에 끼어 1로 가는 것을 확인하세요. ③ '같은 높이로 확대'를 켜면 x가 작아도 세 도형의 모양 차이를 볼 수 있습니다. 모델: 단위원, 0 < x < π/2. 아래 그래프는 −π/2 < x < π/2를 그립니다.

정리 2.11에서 삼각 극한이 줄줄이 나옵니다. 1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1 - \cos x = \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x}이므로

lim⁡x→01−cos⁡xx=lim⁡x→0sin⁡xx⋅sin⁡x1+cos⁡x=1⋅02=0,lim⁡x→01−cos⁡xx2=1⋅1⋅12=12.\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1\cdot\frac{0}{2} = 0, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = 1\cdot 1\cdot\frac12 = \frac12.
예제 2.8 (sin x / x 꼴로 맞추기)
  1. lim⁡x→0sin⁡3xx=lim⁡x→03⋅sin⁡3x3x=3⋅1=3\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x\to 0} 3\cdot\frac{\sin 3x}{3x} = 3\cdot 1 = 3. (u=3x→0u = 3x \to 0으로 치환, 정리 2.6)
  2. lim⁡x→0sin⁡5xsin⁡2x=lim⁡x→052⋅sin⁡5x5x⋅2xsin⁡2x=52\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{5}{2}\cdot\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{2x}{\sin 2x} = \frac52.
  3. lim⁡x→0tan⁡xx=lim⁡x→0sin⁡xx⋅1cos⁡x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x} = 1.

요령은 sin 안의 식과 똑같은 것을 분모에 만들어 주는 것이다. sin⁡3xx→1\frac{\sin 3x}{x} \to 1은 흔한 실수다.

두 번째 극한은 돈 계산에서 나옵니다. 연이율 100%로 1원을 맡기면 1년 뒤 2원입니다. 반년마다 50%씩 두 번 붙이면 (1+12)2=2.25(1 + \frac12)^2 = 2.25원, 매달 붙이면 (1+112)12≈2.613(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2.613원입니다. 자주 붙일수록 늘어나지만, 한없이 늘어날까요? 17세기 후반 야코프 베르누이가 바로 이 복리 문제를 연구했습니다.

1년에 붙이는 횟수 n124123658,760 (매시간)525,600 (매분)
(1 + 1/n)ⁿ22.252.44142.61302.71462.718132.718279
정리 2.12 (e의 정의) 수열 (1+1n)n(1 + \frac1n)^n은 증가하고 3보다 작으므로 수렴한다. 그 극한을 ee라 한다.
e=lim⁡n→∞(1+1n)n=2.718281828…,lim⁡x→0(1+x)1/x=e,lim⁡n→∞(1+rn)n=er.e = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^n = 2.718281828\ldots, \qquad \lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} = e, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac rn\Bigr)^n = e^r.

증명 아이디어. 증가하고 위로 유계인 수열이 수렴한다는 것(단조 수렴 정리)은 실수의 완비성에서 나오며 11장에서 다룬다. 증가성과 유계성은 이항 전개로 보인다. 셋째 식은 ln⁡(1+rn)n=nln⁡(1+rn)=r⋅ln⁡(1+u)u\ln\bigl(1 + \frac rn\bigr)^n = n\ln\bigl(1 + \frac rn\bigr) = r\cdot\frac{\ln(1 + u)}{u} (u=r/n→0u = r/n \to 0)에서 ln⁡(1+u)u→1\frac{\ln(1+u)}{u} \to 1(4장에서 ln⁡\ln의 도함수로 보인다)을 쓰고, exp⁡\exp가 연속이라 정리 2.6으로 ere^r을 얻는다. ∎

이자를 매 순간 붙이는 극한이 연속 복리(continuous compounding)이고, 원금 PP, 연이율 rr로 tt년 뒤 금액은 PertPe^{rt}입니다. 같은 식이 방사성 붕괴, 콘덴서 방전, 인구 성장처럼 "지금 양에 비례해 변하는" 모든 현상에 나옵니다. ee가 특별한 진짜 이유, 즉 exe^x의 기울기가 자기 자신이라는 사실은 4장에서 봅니다.

예제 2.9 (복리 비교) 원금 100만 원, 연이율 5%로 1년 맡길 때 이자를 붙이는 방식에 따른 금액을 비교하라.
  1. 1년에 한 번: 106(1.05)=1,050,00010^6(1.05) = 1{,}050{,}000원.
  2. 매달: 106(1+0.05/12)12≈1,051,16210^6(1 + 0.05/12)^{12} \approx 1{,}051{,}162원.
  3. 매일: 106(1+0.05/365)365≈1,051,26710^6(1 + 0.05/365)^{365} \approx 1{,}051{,}267원.
  4. 연속 복리: 106e0.05≈1,051,27110^6e^{0.05} \approx 1{,}051{,}271원. 매일과의 차이는 4원뿐이다. 횟수를 늘려 얻는 이득에는 ere^r이라는 천장이 있다.
SIMULATOR

복리에서 e로

1년 동안 잔액: 계단 = n번 복리, 곡선 = eʳᵗ
(1 + r/n)ⁿ vs n (로그 눈금) → eʳ
(1 + r/n)ⁿ—
eʳ (천장)—
남은 차—
해볼 것: ① r = 100%에서 n을 1, 2, 4, 12로 올리며 계단이 곡선 et 아래로 다가가는 것을 보세요. ② n이 커질수록 남은 차가 대략 n에 반비례해 줄어듭니다(n = 365에서 약 0.0037). ③ r을 5%로 낮추면 매일과 연속 복리의 차이가 거의 없어집니다(예제 2.9). 모델: 기간마다 잔액 × (1 + r/n). 아래 그래프의 점선이 er입니다.
이 장에서 다루지 않는 것 연속성에는 구간 전체에서 하나의 δ\delta가 모든 점에 통하는 더 강한 형태(균등 연속)가 있습니다. 정적분의 존재를 엄밀히 증명할 때 쓰이지만, 이 책에서는 다루지 않고 필요한 곳에서 결과만 인용합니다.

이 도구가 쓰이는 곳

연속성은 결과를 보장하는 가정으로, 중간값 정리와 최대·최소 정리는 "답이 있다"는 확신으로 공학 곳곳에 쓰입니다.

회로 시뮬레이터의 동작점 찾기 다이오드 하나와 저항 하나로 된 회로의 전류는 I=Is(e(Vs−IR)/VT−1)I = I_s\bigl(e^{(V_s - IR)/V_T} - 1\bigr)처럼 II가 양변에 있는 식을 만족해야 해서 손으로 풀리지 않습니다. 하지만 g(I)=I−Is(e(Vs−IR)/VT−1)g(I) = I - I_s\bigl(e^{(V_s - IR)/V_T} - 1\bigr)는 연속이고, I=0I = 0에서 음수(Vs>0V_s > 0이면), I=Vs/RI = V_s/R에서 양수입니다. 중간값 정리로 그 사이에 해가 있고, gg가 증가 함수라 해는 하나뿐입니다. 회로 시뮬레이터는 이런 구간을 잡아 두고 뉴턴 방법과 이분법을 섞어 동작점을 찾습니다.
3장 · 도함수미분 가능하면 연속
|x|처럼 연속이지만 꺾인 점에서는 미분할 수 없다. 이음매의 매끄러움. 4장 · 연쇄 법칙과 초월 함수sin과 ex의 도함수
sin x / x → 1과 (eh − 1)/h → 1이 그대로 미분 공식이 된다. 6장 · 최적화와 근사닫힌 구간 방법과 뉴턴 방법
최대·최소 정리가 존재를 보장하고, 도함수가 위치를 찾는다. MATHBOOKe라는 수
복리와 e, 그리고 e가 미적분 곳곳에 나오는 이유. MATHBOOK · 수치 계산근 찾기와 부동소수점
반복법의 수렴과 컴퓨터 계산의 한계. 확률과 통계연속 확률 변수
누적 분포 함수는 연속이고, 중간값 정리로 중앙값·분위수가 존재한다.

핵심 정리

  1. ff가 aa에서 연속 ⇔ f(a)f(a)가 있고, lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)가 있고, 둘이 같다. 구간 끝에서는 한쪽 극한으로 판정한다.
  2. 불연속은 제거 가능(극한은 있음, 값만 다름: 다시 정의해서 고침), 점프(좌 ≠ 우), 무한(±∞\pm\infty), 진동으로 나뉜다. 조각 함수는 이음매에서 좌극한 = 우극한 = 함숫값으로 계수를 정한다.
  3. 연속 함수의 합·차·곱·몫(분모 ≠ 0)·합성은 연속이다. 기본 함수는 정의역에서 연속이므로, 정의되는 점에서의 극한은 대입으로 구한다. 바깥 함수가 연속이면 lim⁡f(g(x))=f(lim⁡g(x))\lim f(g(x)) = f(\lim g(x)).
  4. 중간값 정리: [a,b][a, b]에서 연속이면 f(a)f(a)와 f(b)f(b) 사이의 모든 값을 취한다. 부호가 바뀌면 근이 있다. 연속이 아니면 성립하지 않는다(1/x).
  5. 이분법은 부호 변화를 유지하며 구간을 반으로 줄인다. nn단계 뒤 구간 길이 (b−a)/2n(b - a)/2^n, 필요한 단계 수 n≥log⁡2b−aτn \ge \log_2\frac{b - a}{\tau}.
  6. 최대·최소 정리: 닫힌 구간에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 가진다. 열린 구간이나 불연속이면 보장이 없다.
  7. lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 (부채꼴 넓이 + 조임 정리, 라디안), lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12, lim⁡n→∞(1+rn)n=er\lim_{n\to\infty}(1 + \frac rn)^n = e^r (연속 복리).

확인 퀴즈

Q1. f(x)=x2−9x−3f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} (x≠3x \ne 3), f(3)=5f(3) = 5에 대해 옳은 것은?

x≠3x \ne 3에서 f(x)=x+3f(x) = x + 3이므로 극한은 6. 극한은 있지만 f(3)=5f(3) = 5와 달라 조건 3이 실패한다. 극한이 존재하므로 제거 가능 불연속이고, f(3)=6f(3) = 6으로 다시 정의하면 연속 확장이 된다.

Q2. f(x)=kx2f(x) = kx^2 (x≤1x \le 1), f(x)=3x−kf(x) = 3x - k (x>1x > 1)가 연속이 되는 kk는?

x=1x = 1에서 좌극한 = 함숫값 = kk, 우극한 = 3−k3 - k. k=3−kk = 3 - k에서 k=3/2k = 3/2. 확인: 양쪽 모두 1.5.

Q3. f(x)=x5−3x+1f(x) = x^5 - 3x + 1에 대해 중간값 정리가 근의 존재를 보장하는 구간은?

f(−1)=3f(-1) = 3, f(0)=1f(0) = 1, f(1)=−1f(1) = -1, f(2)=27f(2) = 27, f(3)=235f(3) = 235, f(4)=1013f(4) = 1013. 부호가 바뀌는 것은 [0,1][0, 1]뿐이다. 부호가 같은 구간에도 근이 있을 수는 있지만 정리가 보장하지는 않는다. (실제로 이 함수는 (−2,−1)(-2, -1)과 (1,2)(1, 2)에도 근이 있다.)

Q4. 길이 1인 구간에서 이분법을 시작해 근을 가둔 구간의 길이를 0.001 이하로 줄이려면 최소 몇 번 잘라야 하나?

nn번 뒤 길이는 1/2n1/2^n. 29=512<1000≤1024=2102^9 = 512 \lt 1000 \le 1024 = 2^{10}이므로 n=10n = 10. 이분법은 십진 자릿수 하나에 약 3.3번이 든다.

Q5. 최대·최소 정리에 의해 최댓값의 존재가 보장되는 것은?

x2x^2은 닫힌 구간 [−1,2][-1, 2]에서 연속이므로 최댓값(4, x=2x = 2)과 최솟값(0, x=0x = 0)이 있다. 나머지는 구간이 닫혀 있지 않거나(1/x, tan) 불연속이라(톱니) 가정이 성립하지 않으며, 실제로 셋 다 최댓값이 없다.

Q6. lim⁡x→0sin⁡4x3x\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{3x}의 값은?

sin⁡4x3x=43⋅sin⁡4x4x→43⋅1\dfrac{\sin 4x}{3x} = \dfrac43\cdot\dfrac{\sin 4x}{4x} \to \dfrac43\cdot 1. sin 안의 4x4x를 분모에 만들어 준다.

Q7. lim⁡n→∞(1+2n)n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac2n\Bigr)^n의 값은?

정리 2.12의 (1+r/n)n→er(1 + r/n)^n \to e^r에서 r=2r = 2. 연이율 200% 연속 복리와 같다. "1의 무한 제곱이니 1"은 틀린 추론이다. 1∞1^\infty도 부정형이다.

Q8. lim⁡x→0cos⁡(π⋅sin⁡xx)\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos\Bigl(\pi\cdot\frac{\sin x}{x}\Bigr)의 값은?

안쪽 π⋅sin⁡xx→π\pi\cdot\frac{\sin x}{x} \to \pi이고 cos⁡\cos은 π\pi에서 연속이므로 정리 2.6에 의해 극한은 cos⁡π=−1\cos\pi = -1. 안쪽에 0/0이 있어도 그 극한이 존재하면 바깥 연속 함수에 넣을 수 있다.