Chapter 16

통계적 공정 관리

팹의 모니터 벽에는 수천 개의 관리도가 떠 있다. 식각 장비 한 대의 CD, 증착 챔버의 막두께, 파티클 모니터 웨이퍼의 결함 수 — 점이 하나 찍힐 때마다 엔지니어는 같은 질문을 한다. "이건 늘 있는 흔들림인가, 무언가 바뀐 것인가?" 늘 있는 흔들림에 손을 대면 공정이 오히려 나빠지고, 바뀐 것을 놓치면 수백 장의 웨이퍼가 불량으로 흘러간다. 통계적 공정 관리(SPC)는 이 판단을 가설 검정의 언어로 바꾸어, 거짓 경보와 놓침을 숫자로 저울질하게 해 준다. 아래는 장비에서 실시간으로 들어오는 X̄ 관리도다. 오른쪽 흰 원(공정 평균)을 위아래로 끌어 공정을 흔들고, 왼쪽 위 단추로 외란의 종류를 바꿔 보자. 규칙을 어긴 점은 빨갛게, 어긴 규칙 번호와 함께 표시된다.

오른쪽 흰 원을 끌어 공정 평균을 옮긴다 · 왼쪽 위 단추로 외란 종류

공통 원인과 특수 원인을 구별하고, 관리도를 "점마다 되풀이하는 가설 검정"으로 읽어 1종·2종 오류와 관리 한계의 폭을 연결한다. 관리 한계와 규격 한계를 혼동하지 않는다.
합리적 부분군의 뜻을 설명하고, 관리도 계수 $d_2, A_2, D_3, D_4, c_4, A_3, B_3, B_4$로 X̄–R, X̄–s, 개별값–이동 범위(I–MR) 관리도의 한계를 계산한다.
불량률과 결점 수를 구별해 p·np·c·u 관리도의 한계를 계산하고, 표본 크기가 바뀔 때의 계단형 한계와 포아송 꼬리의 비대칭을 이해한다.
웨스턴 일렉트릭 규칙을 적용하고, 평균 런 길이(ARL)로 관리도의 거짓 경보 간격과 검출 속도를 계산한다. 자기 상관이 있는 자료가 관리도를 속이는 방식을 안다.
EWMA와 CUSUM 통계량을 계산하고, 작은 평균 이동에서 슈하트 관리도보다 빠른 이유를 ARL 곡선으로 설명하며, ARL₀를 지키면서 검출력을 최대로 하는 모수를 고른다.
공정 능력 지수 $C_p, C_{pk}$와 ppm·시그마 수준을 계산하고, 표본 크기에 따른 $C_{pk}$ 신뢰 하한으로 고객 요구(1.33, 자동차 1.67)를 판정한다.
Gage R&R로 측정 산포를 반복성과 재현성으로 나누어 %GRR·ndc를 판정하고, 합격 판정 샘플링의 OC 곡선에서 생산자·소비자 위험을 계산해 표본 계획을 설계한다.

변동의 두 얼굴: 공통 원인과 특수 원인

같은 레시피, 같은 장비, 같은 웨이퍼 로트로 식각해도 CD는 웨이퍼마다 조금씩 다르다. 플라스마 밀도의 미세한 요동, 웨이퍼 온도의 차이, 마스크의 국부 편차, 계측기의 잡음 — 하나하나는 작고 서로 독립인 수많은 요인이 더해진 결과다. 이런 늘 있는 흔들림을 공통 원인(common cause, chance cause)에 의한 변동이라 한다. 중심 극한 정리가 말하듯 작은 요인이 많이 더해지면 결과는 정규 분포에 가까워지고, 그 분포는 시간이 지나도 변하지 않는다.

반면 식각 챔버의 포커스 링이 닳았거나, 새 가스 실린더의 순도가 달랐거나, 정비 뒤에 온도 보정이 어긋났다면 이야기가 다르다. 이런 변동은 찾아서 고칠 수 있는 구체적 사건에서 오며, 특수 원인(special cause, assignable cause)이라 한다. 공정에 공통 원인 변동만 있어 출력의 분포가 시간에 따라 일정한 상태를 관리 상태(in statistical control)라 한다. 1924년 벨 연구소의 슈하트(W. Shewhart)가 이 구분과 함께 관리도(control chart)를 고안했고, 이것이 통계적 공정 관리(statistical process control, SPC)의 시작이다.

공통 원인만 있으면 점들은 중심선 둘레에 무작위로 흩어지고, 거의 모두(99.73%) 관리 한계 안에 머문다. 오른쪽 종 모양은 점들의 분포다. 이 상태에서 점 하나하나에 반응해 레시피를 고치는 것은 과잉 조정이다.
특수 원인(예: 포커스 링 교체 뒤 온도 보정 누락)이 생기면 분포 자체가 옮겨 간다. 한계를 넘는 점이 나오고, 넘지 않더라도 점들이 한쪽에 몰린다. 이것을 놓치면 불량이 흘러간다.
원인을 찾아 없애면 공정은 원래 분포로 돌아온다. 관리도의 일은 여기까지 — "언제 찾으러 가야 하는가"를 알려 주는 것이다.
공통 원인 변동을 줄이는 일(장비 개선, 레시피 최적화, 실험 계획)은 시스템을 바꾸는 일이다. 산포가 줄면 관리 한계도 새로 계산해 좁힌다.

관리도는 두 종류의 변동을 가르는 도구다. 특수 원인은 현장에서 찾아 없애고, 공통 원인은 공정 자체를 바꿔야 줄어든다.

관리도의 구조는 단순하다. 공정에서 일정한 간격으로 표본을 뽑아 통계량 $W$(평균, 범위, 불량률 등)를 계산하고 시간순으로 찍는다. $W$의 평균이 $\mu_W$, 표준 편차가 $\sigma_W$이면

$$\mathrm{UCL} = \mu_W + L\sigma_W,\qquad \mathrm{CL} = \mu_W,\qquad \mathrm{LCL} = \mu_W - L\sigma_W$$

관리 한계(control limits) UCL·LCL은 보통 $L = 3$으로 잡는다(3시그마 한계). $\sigma_W$는 개별 측정값의 표준 편차 $\sigma$가 아니라 통계량 $W$의 표준 편차다. X̄ 관리도라면 $\sigma_W = \sigma/\sqrt n$.

관리 한계를 ±3.0σ로 잡으면, 공정이 관리 상태여도 점 하나가 우연히 한계 밖으로 나갈 확률이 $\alpha$ = 이다. 평균 점마다 한 번 거짓 경보가 울린다. 한 장비에서 하루 24점을 찍고 팹 전체에 이런 관리도가 1000개 있으면, 하루에 거짓 경보가 건 울린다.

여기서 관리도의 정체가 드러난다. 점 하나를 찍는 일은 귀무가설 $H_0\colon \mu = \mu_0$(공정이 그대로다)을 검정하는 일이다. 한계 밖이면 $H_0$을 기각하고(경보), 안이면 기각하지 않는다. 3시그마 한계의 유의 수준은 $\alpha = 2\Phi(-3) = 0.0027$이다. 11장 가설 검정의 1종 오류가 거짓 경보, 2종 오류가 놓침이다. 다른 점은 검정을 한 번이 아니라 점마다 끝없이 되풀이한다는 것 — 그래서 관리도의 성능은 "몇 점 만에 경보가 울리는가"로 잰다(4절의 ARL).

1종 오류 = 거짓 경보

공정은 그대로인데 점이 우연히 한계 밖. 장비를 세우고 원인을 찾지만 아무것도 없다. 확률 $\alpha$를 줄이려면 한계를 넓힌다.

2종 오류 = 놓침

평균이 $\delta\sigma$만큼 옮겨 갔는데 점이 한계 안. 확률 $\beta$를 줄이려면 한계를 좁히거나, 부분군을 키우거나($\sigma/\sqrt n$), 여러 점을 함께 보는 규칙을 쓴다.

부분군 크기 $n = 5$인 X̄ 관리도(3시그마 한계)에서 공정 평균이 개별값 표준 편차의 1배($1\sigma$)만큼 옮겨 갔다. 다음 점 하나가 한계 밖으로 나갈 확률은 대략?

X̄의 표준 편차는 $\sigma/\sqrt5$이므로 $1\sigma$ 이동은 X̄ 눈금으로 $\sqrt5 = 2.24$ 표준 편차다. 한계(3)까지 0.76만 남아 $P = 1 - \Phi(0.76) \approx 0.22$. 다섯 점 중 한 점 정도만 잡히니, 이동 뒤 평균 4.5점이 지나야 경보가 울린다. 시뮬레이터에서 분포를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

관리도는 되풀이되는 가설 검정

오른쪽 초록 분포의 흰 원을 위아래로 끌어 실제 평균을 옮긴다

부분군 크기 n

한계 폭 L

이동 δ (σ 단위)—

거짓 경보 α—

점당 검출 1−β—

ARL (이론)—

찍힌 점 중 경보—

왼쪽은 X̄ 관리도, 오른쪽은 옆으로 누운 두 분포다. 자주 점선은 $H_0$(공정 그대로)일 때 X̄의 분포로, 한계 밖 꼬리(빨강)가 $\alpha$다. 초록 실선은 지금 공정의 실제 X̄ 분포로, 한계 밖으로 나간 넓이가 점 하나의 검출 확률 $1-\beta$다. 해볼 것: ① 흰 원을 $\delta = 1$에 놓고 $n$을 1 → 9로 바꾸면 초록 분포가 좁아져 검출 확률이 2%에서 50%로 뛴다. ② $L$을 2로 줄이면 검출은 빨라지지만 $\alpha$가 0.0027에서 0.046으로 17배 커진다 — 가설 검정의 $\alpha$–$\beta$ 맞바꿈 그대로다. ③ $\delta = 0$에 두고 재생하면 수백 점에 한 번꼴로 거짓 경보가 난다.

관리 한계는 공정이 스스로 말해 주는 경계다. 반면 규격 한계(specification limits) USL·LSL은 고객이나 설계가 정한 "이 범위 안이면 쓸 수 있다"는 경계다. 둘은 출처도, 대상도 다르다. 관리 한계는 통계량(예: 다섯 점의 평균)에 대한 것이고, 규격 한계는 개별 제품에 대한 것이다. 그래서 X̄ 관리도 위에 규격선을 그리는 것은 흔하지만 위험한 실수다 — X̄는 개별값보다 $\sqrt n$배 좁게 흩어지므로, 평균이 규격 안이어도 개별 웨이퍼는 규격 밖일 수 있다.

공정 σ

MINI LAB위는 개별 웨이퍼 CD의 분포(초록)와 부분군 $n = 5$ 평균의 분포(자주), 아래는 그 X̄ 관리도다. 흰 원으로 공정 평균을, 막대 끝 손잡이로 규격 한계를 끈다. σ를 키우면 관리도는 여전히 "관리 상태"인데 규격 밖 불량(빨강)이 늘어난다 — 관리 상태는 안정을 뜻할 뿐 양품을 뜻하지 않는다. 반대로 평균을 조금만 옮겨도 관리도는 경보를 내지만 규격 안 비율은 거의 그대로일 수 있다.

SPC 화면과 OCAP 팹의 관리도는 장비·챔버·레시피·계측 항목마다 따로 있다. 식각 뒤 CD, 증착 뒤 두께와 굴절률, CMP 뒤 잔막, 파티클 모니터의 결함 수가 로트마다 자동으로 찍히고, 규칙을 어기면 MES가 로트나 장비를 홀드한다. 그때 무엇을 할지 미리 적어 둔 절차가 OCAP(out-of-control action plan)다 — "계측 재확인 → 같은 장비 앞뒤 로트 확인 → 장비 홀드와 모니터 웨이퍼 → 원인 분류". 관리도 수천 개에 3시그마 규칙만 써도 하루 수십 건의 거짓 경보가 나오므로(위 tangle), 항목마다 경보의 비용과 놓침의 비용을 따져 한계와 규칙을 다르게 잡는다. → ProcessBook · 계측·결함·수율(SPC: 숫자로 공정을 지키기) · YieldBook · 수율 학습과 경제성(관리도: 언제 경보를 울릴 것인가)

계량형 관리도: X̄–R, X̄–s, 개별값

두께·CD·저항처럼 연속값을 재는 특성에는 계량형 관리도 두 장을 함께 쓴다. 하나는 공정의 중심(X̄), 다른 하나는 산포(R 또는 s)를 지킨다. 평균은 그대로인데 산포만 커지는 고장(예: 척 온도 제어 불안정)은 X̄ 관리도만으로는 잘 보이지 않기 때문이다.

합리적 부분군

관리도의 한 점은 같은 조건에서 거의 동시에 뽑은 $n$개(보통 4–5개)의 합리적 부분군(rational subgroup)으로 만든다. 원칙은 "부분군 안에는 공통 원인 변동만, 부분군 사이에 특수 원인이 드러나게". 부분군 안의 산포로 $\sigma$를 추정하고, 그 $\sigma$로 부분군 평균들이 너무 흔들리는지 판단하는 구조이기 때문이다. 부분군 안에 서로 다른 챔버의 웨이퍼를 섞으면 $\sigma$가 부풀어 한계가 넓어지고, 진짜 이동을 놓친다.

관리도는 두 단계로 쓴다. 단계 I에서는 과거 자료 20–25개 부분군으로 시험적 한계를 계산하고, 한계 밖 점의 원인을 찾아 빼고 다시 계산한다. 단계 II에서는 그 한계를 고정하고 새 점을 감시한다.

X̄–R 관리도

부분군 $i$의 평균 $\bar x_i$와 범위 $R_i = \max - \min$을 구하고, $m$개 부분군의 평균 $\bar{\bar x}$, $\bar R$를 낸다. 정규 표본에서 $E[R] = d_2\sigma$이므로 $\hat\sigma = \bar R/d_2$이다. 그러면

$$\text{X̄ 관리도: } \bar{\bar x} \pm 3\frac{\hat\sigma}{\sqrt n} = \bar{\bar x} \pm A_2\bar R,\qquad A_2 = \frac{3}{d_2\sqrt n}$$ $$\text{R 관리도: } \mathrm{UCL} = D_4\bar R,\quad \mathrm{LCL} = D_3\bar R,\qquad D_{3,4} = 1 \mp 3\frac{d_3}{d_2}$$

$d_3\sigma$는 $R$의 표준 편차. $D_3$이 음수가 되면 0으로 둔다($n \le 6$). 범위를 쓰는 이유는 손으로 계산하기 쉬워서였지만, $n \le 6$에서는 표준 편차와 효율이 거의 같다.

부분군 크기 n

MINI LAB표준 정규 분포에서 $n$개를 뽑아 범위 $R$을 재는 일을 되풀이한다. 위 줄은 이번 부분군의 $n$개 점과 범위, 아래는 쌓이는 $R/\sigma$의 히스토그램이다. 평균(초록 세로선)이 $d_2$(자주 점선)에 붙는다 — 그래서 $\bar R/d_2$가 $\sigma$의 불편 추정량이다. $n$이 커질수록 $d_2$가 커진다(뽑는 점이 많으면 양 끝이 더 멀다).

n	d₂	d₃	A₂	D₃	D₄	c₄	A₃	B₃	B₄
2	1.128	0.853	1.880	0	3.267	0.7979	2.659	0	3.267
3	1.693	0.888	1.023	0	2.575	0.8862	1.954	0	2.568
4	2.059	0.880	0.729	0	2.282	0.9213	1.628	0	2.266
5	2.326	0.864	0.577	0	2.114	0.9400	1.427	0	2.089
6	2.534	0.848	0.483	0	2.004	0.9515	1.287	0.030	1.970
7	2.704	0.833	0.419	0.076	1.924	0.9594	1.182	0.118	1.882
8	2.847	0.820	0.373	0.136	1.864	0.9650	1.099	0.185	1.815
9	2.970	0.808	0.337	0.184	1.816	0.9693	1.032	0.239	1.761
10	3.078	0.797	0.308	0.223	1.777	0.9727	0.975	0.284	1.716

X̄–s 관리도와 개별값 관리도

$n$이 10을 넘거나 부분군 크기가 들쭉날쭉하면 범위 대신 표본 표준 편차 $s_i$를 쓴다. $E[S] = c_4\sigma$이므로 $\hat\sigma = \bar s/c_4$이고, X̄ 관리도는 $\bar{\bar x} \pm A_3\bar s$($A_3 = 3/(c_4\sqrt n)$), s 관리도는 $\mathrm{UCL} = B_4\bar s$, $\mathrm{LCL} = B_3\bar s$이다.

로트마다 한 번만 재는 경우(모니터 웨이퍼 두께, 배치 공정, 화학 약품 농도)는 부분군을 만들 수 없다. 이때는 개별값 $x_i$와 이동 범위(moving range) $MR_i = |x_i - x_{i-1}|$을 쓰는 I–MR 관리도를 쓴다. 이웃한 두 점을 크기 2인 부분군처럼 보아 $\hat\sigma = \overline{MR}/d_2 = \overline{MR}/1.128$이다.

$$\text{I: } \bar x \pm 3\frac{\overline{MR}}{1.128} = \bar x \pm 2.66\,\overline{MR},\qquad \text{MR: } \mathrm{UCL} = 3.267\,\overline{MR}$$

전체 표본 표준 편차 $s$ 대신 $\overline{MR}$을 쓰는 이유: 느린 표류나 단계 이동이 섞여 있으면 $s$는 그것까지 산포로 세어 부풀지만, 이웃한 점끼리의 차이는 거의 영향을 받지 않는다.

SIMULATOR

X̄–R 관리도 만들기 (단계 I)

점을 위아래로 끈다: 위 X̄ 점은 부분군 전체를 옮기고, 아래 R 점은 부분군 산포를 키운다

부분군 크기 n

산포 관리도

잘못된 방법: 모든 값의 표준 편차로 한계 잡기

단계 I

총평균—

R̄ 또는 s̄—

σ̂ (부분군 안)—

모든 값의 s—

X̄ 한계—

이탈 점—

CD(nm) 25개 부분군. 회색으로 바랜 점은 단계 I에서 뺀 부분군이다. 해볼 것: ① 18번 부분군은 처음부터 X̄ 한계 밖이다. "빼고 다시 계산"을 누르면 한계가 거의 그대로다 — 부분군 사이의 이동은 R̄에 들어가지 않으니까. ② 체크 상자를 켜 "모든 값의 표준 편차"로 한계를 잡으면 18번 같은 이동이 산포로 세어져 한계가 넓어지고, 이탈이 가려진다. ③ R 점 하나를 위로 끌어 산포를 키우면 R 관리도가 먼저 경보를 내고, R̄가 커져 X̄ 한계도 함께 넓어진다. 그래서 R 관리도를 먼저 보고 관리 상태임을 확인한 뒤 X̄ 관리도를 읽는다.

부분군 크기 5이면 $d_2$ = , $A_2$ = , $D_4$ = , $D_3$ = 이다. $\bar{\bar x}$ = 45.20 nm, $\bar R$ = 1.80 nm이면 $\hat\sigma$ = , X̄ 한계는 , R 한계는 이다.

식각 뒤 CD를 로트마다 웨이퍼 5장(각 웨이퍼 중심 1점)으로 재어 25개 부분군을 모았다. $\bar{\bar x} = 45.20$ nm, $\bar R = 1.80$ nm다. X̄ 관리도와 R 관리도의 한계, 공정 표준 편차의 추정값을 구하라.

풀이 보기

전략 $n = 5$의 계수 $A_2 = 0.577$, $D_3 = 0$, $D_4 = 2.114$, $d_2 = 2.326$을 표에서 읽는다.

풀이 X̄: $45.20 \pm 0.577 \times 1.80 = 45.20 \pm 1.039$ → UCL = 46.24 nm, LCL = 44.16 nm. R: UCL = $2.114 \times 1.80 = 3.81$ nm, LCL = 0. $\hat\sigma = 1.80/2.326 = 0.774$ nm.

X̄: 44.16 – 46.24 nm, R: 0 – 3.81 nm, $\hat\sigma$ ≈ 0.774 nm

검토 X̄ 한계의 반폭 1.039는 $3\hat\sigma/\sqrt5 = 3 \times 0.774/2.236$과 같다. 개별 웨이퍼의 $\pm3\sigma$ 범위(±2.32 nm)는 이보다 $\sqrt5$배 넓다 — 이것을 규격과 비교해야 한다(6절).

느린 표류

MINI LAB모니터 웨이퍼 두께(Å) 30일치의 I–MR 관리도. 아무 점이나 위아래로 끌어 보자. 점 하나가 튀면 그 앞뒤의 이동 범위 두 개가 함께 커진다. 표류 슬라이더를 올리면 전체 표준 편차 $s$는 커지지만 $\overline{MR}/1.128$은 거의 그대로여서 한계가 표류를 "흡수"하지 않는다 — 그래서 표류하는 점들이 한계를 넘어 드러난다.

매일 아침 모니터 웨이퍼 한 장의 산화막 두께를 잰다. 20일치 평균이 1002.0 Å, 이동 범위의 평균이 $\overline{MR} = 6.2$ Å이다. I 관리도와 MR 관리도의 한계를 구하라.

풀이 보기

전략 $\hat\sigma = \overline{MR}/d_2$, $d_2 = 1.128$(크기 2). MR 관리도의 $D_4 = 3.267$.

풀이 $\hat\sigma = 6.2/1.128 = 5.50$ Å. I: $1002.0 \pm 3(5.50) = 1002.0 \pm 16.5$ → 985.5 – 1018.5 Å. MR: UCL = $3.267 \times 6.2 = 20.3$ Å, LCL = 0.

I: 985.5 – 1018.5 Å, MR: 0 – 20.3 Å

검토 개별값 관리도는 정규성에 민감하고(평균을 내지 않으니 중심 극한 정리의 도움이 없다), 이동 범위끼리 서로 겹쳐 상관이 있어 MR 관리도의 경보는 조심해서 읽는다.

웨이퍼 안 9점은 합리적 부분군이 아니다 막두께나 CD를 웨이퍼 한 장에서 9점, 49점 재면 그 점들을 부분군으로 묶어 X̄–R을 그리고 싶어진다. 그러나 웨이퍼 안의 차이는 대부분 중심–가장자리의 계통적 무늬다. 그 무늬가 $R$에 들어가면 $\hat\sigma$가 웨이퍼 사이 변동보다 훨씬 커져 X̄ 한계가 넓어지고, 정작 웨이퍼 평균이 옮겨 가도 경보가 울리지 않는다. 그래서 인라인 SPC는 보통 웨이퍼 평균을 개별값으로 보는 I–MR 관리도, 웨이퍼 안 산포(범위나 표준 편차)를 따로 보는 관리도를 나란히 둔다 — 하나는 중심의 이동, 하나는 균일도의 악화를 본다. → LithoBook · CD 제어와 계측 · EtchBook · 종말점과 균일도

계수형 관리도: p, np, c, u

모든 특성이 연속값은 아니다. 프로브 테스트에서 다이는 합격이거나 불합격이고, 결함 검사기는 웨이퍼마다 결함 개수를 센다. 이런 자료에는 계수형 관리도를 쓴다. 먼저 두 가지를 구별하자. 불량품(defective, nonconforming unit)은 규격을 벗어난 개체이고, 결점(defect, nonconformity)은 개체 위의 흠 하나하나다. 웨이퍼 한 장에 결점이 30개 있어도 불량 다이는 20개일 수 있다.

불량률: p · np 관리도

표본 $n$개 중 불량 $D$개, $D \sim \mathrm{Bin}(n, p)$(4장). $\hat p = D/n$을 찍으면 p 관리도, $D$를 그대로 찍으면 np 관리도($n$ 일정할 때).

결점 수: c · u 관리도

검사 단위(웨이퍼 한 장, 1 cm²) 하나의 결점 수 $C \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$. 단위가 일정하면 c 관리도, 검사 면적이 바뀌면 단위당 결점 $u = c/n$을 찍는 u 관리도.

$$\text{p: } \bar p \pm 3\sqrt{\frac{\bar p(1-\bar p)}{n_i}},\qquad \text{np: } n\bar p \pm 3\sqrt{n\bar p(1-\bar p)}$$ $$\text{c: } \bar c \pm 3\sqrt{\bar c},\qquad \text{u: } \bar u \pm 3\sqrt{\frac{\bar u}{n_i}}$$

$\bar p = \sum D_i/\sum n_i$(전체 불량 수 ÷ 전체 검사 수), $\bar u = \sum c_i/\sum n_i$. 이항 분산 $p(1-p)/n$, 포아송 분산 $\lambda$에서 온 식이다. LCL이 음수면 0으로 둔다. $n_i$가 표본마다 다르면 한계도 표본마다 달라져 계단 모양이 된다.

SIMULATOR

불량률과 결점 수 관리도

점을 위아래로 끌어 그 표본의 불량·결점 수를 바꾼다

관리도

기준 불량률·결점률

중심선—

고른 점—

그 점의 한계—

이탈 점—

p: 웨이퍼 프로브에서 표본 다이 수 $n_i$가 80–260개로 바뀌는 25개 표본(막대는 $n_i$). np: $n = 200$ 고정. c: 파티클 모니터 웨이퍼 한 장의 결함 수. u: 검사 면적이 웨이퍼마다 다른(가장자리 제외 폭, 부분 검사) 결함 밀도(개/cm²). 해볼 것: ① p 관리도에서 $n_i$가 작은 표본은 한계가 넓고 큰 표본은 좁다. 같은 불량률 9%라도 $n = 120$에서는 관리 상태, $n = 200$에서는 이탈일 수 있다(예제). ② 기준 비율을 낮추면 LCL이 0에 붙어 사라진다 — 개선(불량 감소)을 알려 줄 아래 한계가 없어진다. ③ c 관리도에서 점 하나를 끌어 UCL 바로 위에 놓아 보라. 포아송은 정수라 "한계 위"의 확률이 0.00135와 다르다(아래 MINI LAB).

평균 불량률 $\bar p$ = 4.5인 공정에서 표본 200개마다 불량을 센다. $\hat p$의 표준 편차는 이므로 UCL = , LCL = 이다. LCL이 0보다 크려면 $n > 9(1-\bar p)/\bar p$ = 개가 필요하다.

프로브 테스트에서 20개 표본(각 200 다이)의 불량 다이가 모두 180개였다. (a) p 관리도의 중심선과 한계는? (b) 다음 날 다이 200개 중 18개, 그다음 날 120개 중 11개가 불량이었다. 각각 관리 상태인가?

풀이 보기

전략 $\bar p = 180/(20 \times 200)$. 한계는 표본 크기마다 따로 계산한다.

풀이 (a) $\bar p = 0.045$, $\sigma_{\hat p} = \sqrt{0.045 \times 0.955/200} = 0.01466$. UCL = 0.0890, LCL = 0.0010. (b) 200개 중 18개: $\hat p = 0.090 > 0.0890$ → 이탈. 120개 중 11개: $\hat p = 0.0917$이지만 $n = 120$의 UCL = $0.045 + 3\sqrt{0.045 \times 0.955/120} = 0.1018$ → 관리 상태.

(a) CL 0.045, UCL 0.0890, LCL 0.0010 (b) 첫날 이탈, 둘째 날 관리 상태

검토 불량률은 둘째 날이 더 높은데 판정은 반대다. 표본이 작으면 $\hat p$가 원래 더 크게 흔들리므로 같은 값이 덜 "놀랍다". 이것이 p 관리도의 계단형 한계가 하는 일이다. 다만 0.090은 UCL을 겨우 넘은 값이라, 경보의 근거로는 약하다는 점도 기억하자.

평균 결점 수 c̄

MINI LABc 관리도의 3시그마 한계와 실제 포아송 분포. 빨간 막대가 거짓 경보 영역이다. 정규 근사라면 위·아래 꼬리가 각각 0.00135이지만, $\bar c$가 작을 때는 분포가 오른쪽으로 치우쳐 위쪽 꼬리가 더 무겁고 아래쪽 한계는 0에 막혀 아예 없다. 버튼을 누르면 웨이퍼 500장의 결함 수(초록 점)가 쌓인다.

패턴 읽기: 판정 규칙과 ARL

한계 밖의 점 하나만 경보로 삼으면 작은 이동은 한참 뒤에야 잡힌다. 관리도를 오래 들여다본 엔지니어는 점들의 모양을 읽는다 — 한쪽에 몰리는 점, 계속 오르는 점, 주기적으로 오르내리는 점. 웨스턴 일렉트릭 사(1956)의 핸드북은 이 직관을 규칙으로 만들었다. 중심선과 한계 사이를 1σ 간격의 세 구역으로 나눈다: 중심선에서 1σ까지 C 구역, 1–2σ는 B 구역, 2–3σ는 A 구역이다(σ는 찍는 통계량의 표준 편차).

웨스턴 일렉트릭 규칙(Western Electric rules)	조건	주로 잡는 것
규칙 1	한 점이 3σ 한계 밖	큰 이동, 일회성 사건
규칙 2	연속 3점 중 2점이 같은 쪽 A 구역 이상(2σ 밖)	중간 크기 이동
규칙 3	연속 5점 중 4점이 같은 쪽 B 구역 이상(1σ 밖)	작은 이동
규칙 4	연속 8점이 중심선 같은 쪽	작고 지속적인 이동

넬슨 규칙은 여기에 "연속 6점 증가 또는 감소(추세)", "연속 14점 엇갈림", "연속 15점이 C 구역 안(층화)" 같은 규칙을 더한다. 규칙마다 잡는 패턴이 다르다.

이동: 어느 순간부터 점들이 한쪽으로 옮겨 간다. 한계를 넘는 점이 없어도 같은 쪽에 8점이 이어지거나 5점 중 4점이 1σ 밖이면 경보다.
추세: 점들이 꾸준히 오르거나 내린다. 소모품의 수명과 연결되는 경우가 많아 예지 정비의 단서가 된다.
주기: 일정한 간격으로 오르내린다. 주기를 찾으면 원인(교대, 온도, 장비 번갈아 쓰기)이 곧 보인다.
층화: 점들이 중심선에 너무 붙어 있다. 공정이 좋아서가 아니라 한계가 잘못 계산된 것이다(부분군 안에 서로 다른 모집단이 섞임).

패턴은 원인의 지문이다. 규칙은 패턴을 객관적으로 잡게 해 주지만, 규칙을 더할 때마다 거짓 경보도 는다.

평균 런 길이

공정이 어떤 상태든 점마다 경보 확률이 $p$로 일정하고 점끼리 독립이면, 첫 경보까지의 점 개수 $RL$은 기하 분포 $\mathrm{Geom}(p)$를 따른다. 그 평균이 평균 런 길이(average run length, ARL)다.

$$\mathrm{ARL} = \frac1p,\qquad \mathrm{SD}(RL) = \frac{\sqrt{1-p}}{p},\qquad \mathrm{ARL}_0 = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{0.0027} = 370,\quad \mathrm{ARL}_1 = \frac{1}{1-\beta}$$

X̄ 관리도에서 평균이 $\delta\sigma$ 이동하면 $1-\beta = \Phi(-L-\delta\sqrt n) + 1 - \Phi(L-\delta\sqrt n)$. 관리 상태의 $\mathrm{ARL}_0$는 길수록(거짓 경보가 드물수록), 이동 뒤의 $\mathrm{ARL}_1$은 짧을수록 좋다. 시간으로 바꾸면 평균 경보 시간 ATS = 표본 간격 × ARL.

공정 평균이 1.00σ 옮겨 갔다. 부분군 크기 1, 3시그마 한계의 X̄ 관리도에서 점 하나가 경보를 낼 확률은 , ARL은 점이다. 런 길이의 표준 편차도 점으로 ARL만큼 크다. 2.0시간마다 표본을 뜨면 평균 뒤에 잡힌다.

2시간마다 측정하는 공정에서 평균이 $1\sigma$ 옮겨 갔다. 개별값 관리도($n = 1$)와 $n = 4$인 X̄ 관리도의 $\mathrm{ARL}_1$과 평균 검출 시간을 비교하라(3시그마 한계, 규칙 1만).

풀이 보기

전략 $1 - \beta = \Phi(-3 - \delta\sqrt n) + 1 - \Phi(3 - \delta\sqrt n)$.

풀이 $n = 1$: $\Phi(-4) + 1 - \Phi(2) = 0.00003 + 0.02275 = 0.02278$ → ARL = 43.9점, 87.8시간. $n = 4$: $\delta\sqrt n = 2$, $\Phi(-5) + 1 - \Phi(1) = 0.1587$ → ARL = 6.30점, 12.6시간.

n = 1: ARL₁ ≈ 43.9 (약 88시간), n = 4: ARL₁ ≈ 6.3 (약 13시간)

검토 $n = 4$는 측정을 4배 하므로 공정한 비교는 아니다. 측정 횟수를 같게 하려면 개별값을 30분마다 재는 것과 비교해야 한다(ATS 21.9시간). 그래도 평균을 내는 쪽이 빠르다. 작은 이동에는 여러 점의 정보를 모으는 것이 이득이고, 이것이 5절 EWMA·CUSUM의 출발점이다.

규칙 1만 쓰면 관리 상태의 ARL₀ = 370이다. 규칙 1–4를 모두 켜면 ARL₀는 대략?

규칙마다 따로 보면 거짓 경보 확률이 작지만, 넷 중 하나라도 걸리면 경보이므로 확률이 더해진다. 네 규칙을 모두 쓰면 ARL₀가 약 92 — 정상 공정에서도 92점마다 한 번 장비가 선다. 그 대신 1σ 이동의 ARL은 44에서 약 10으로 준다. 시뮬레이터에서 규칙을 하나씩 켜며 런 길이 분포를 쌓아 보자.

SIMULATOR

규칙을 더하면 무엇을 얻고 잃나

위 그림 오른쪽 흰 원을 끌어 공정 평균 이동 δ를 정한다

켜는 규칙

규칙 1 규칙 2 규칙 3 규칙 4

실행

이동 δ—

실행 횟수—

모의 ARL—

규칙 1만의 이론 ARL—

경보를 낸 규칙—

위는 마지막 실행의 관리도(첫 경보에서 멈춤, 빨간 점에 규칙 번호), 아래는 런 길이의 히스토그램(가로축 로그 눈금)과 평균(초록 세로선)이다. 해볼 것: ① $\delta = 0$, 규칙 1만으로 재생하면 평균이 370 근처에 모인다. 히스토그램이 매우 넓다 — 10점 만에 거짓 경보가 나는 일도 드물지 않다. ② 규칙 2, 3, 4를 차례로 켜며 ARL₀가 약 225 → 133 → 92로 주는 것을 확인하라. ③ $\delta = 1$로 옮기면 규칙 1만은 약 44, 넷 모두는 약 10이다. 어느 쪽이 나은지는 거짓 경보 한 번과 놓친 웨이퍼 한 장의 비용이 정한다.

SIMULATOR

게임: 라인을 세워라

속도 구역(A·B·C) 표시

판—

이번 판—

총점—

내 평균 지연 / 규칙 1–4—

도전—

개별값 관리도에 점이 하나씩 들어온다. 어느 순간 공정 평균이 몰래 0.75–2σ 옮겨 간다(크기와 방향, 시점은 매 판 무작위). 옮겨 갔다고 판단되면 "라인 정지!"(또는 그림을 누르기). 이동 전에 세우면 거짓 경보 −50점, 이동 뒤 $k$점 만에 세우면 $100 - 4k$점(최소 0)이다. 판이 끝나면 실제 이동 시점과 규칙 1–4가 경보를 냈을 시점이 드러난다. 도전: 다섯 판 총점 350점 이상. 해볼 것: ① 규칙 4(같은 쪽 8점)를 머릿속에 두고 해 보라. ② 속도를 올리면 사람의 판단이 규칙보다 늦어지거나 성급해진다 — 자동 규칙이 필요한 이유다.

자기 상관 φ

MINI LAB관리도의 모든 규칙은 점끼리 독립이라고 가정한다. 화학 약품 농도, 챔버 온도, 연속 공정처럼 이전 값이 다음 값에 남는 공정은 15장의 AR(1) 과정 $x_t = \phi x_{t-1} + \varepsilon_t$에 가깝다. 특수 원인이 전혀 없는 자료 200점에 $\overline{MR}$로 한계를 잡으면, $\phi$가 클수록 이웃 점의 차이가 작아 한계가 좁아지고 느린 물결이 한계를 마구 넘는다(빨간 점). 대책은 시계열 모형의 잔차를 관리도에 올리거나 표본 간격을 넓히는 것이다.

작은 이동 잡기: EWMA와 CUSUM

슈하트 관리도는 지금 점 하나만 본다. 그래서 1.5σ 이상의 큰 이동에는 빠르지만, 0.5–1σ의 작은 이동에는 수십 점이 지나야 반응한다. 웨스턴 일렉트릭 규칙은 과거 몇 점을 함께 보지만 거짓 경보가 늘어난다. 과거 정보를 체계적으로 모으는 두 관리도가 있다.

EWMA 관리도

지수 가중 이동 평균(exponentially weighted moving average, EWMA)은 새 점에 가중치 $\lambda$를, 과거 전체에 $1-\lambda$를 준다.

$$z_i = \lambda x_i + (1-\lambda)z_{i-1},\quad z_0 = \mu_0 \quad\Longrightarrow\quad z_i = \lambda\sum_{j=0}^{i-1}(1-\lambda)^j x_{i-j} + (1-\lambda)^i\mu_0$$ $$\mathrm{UCL}, \mathrm{LCL} = \mu_0 \pm L\sigma\sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}\Big[1-(1-\lambda)^{2i}\Big]}$$

가중치가 기하급수적으로 줄어 오래된 점은 서서히 잊힌다. $\lambda = 1$이면 슈하트 개별값 관리도와 같다. 보통 $\lambda = 0.05$–0.25, $L \approx 2.6$–3.0. 한계는 처음에 좁고 곧 정상 상태 폭 $L\sigma\sqrt{\lambda/(2-\lambda)}$에 다가간다.

$\lambda$ = 0.20이면 새 점의 가중치는 , 최근 10점의 가중치 합은 이다. 기억의 "유효 길이" $(2-\lambda)/\lambda$는 약 점. $z$의 정상 상태 표준 편차는 $\sigma$의 배여서 $L = 3$이면 한계가 ±σ로 좁다.

CUSUM 관리도

누적 합(cumulative sum, CUSUM) 관리도는 목표에서 벗어난 양을 계속 더한다. 표 형식(tabular) CUSUM은 위·아래 방향을 따로 쌓는다($x$는 $(x - \mu_0)/\sigma$로 표준화한 값).

$$C_i^+ = \max\big(0,\; C_{i-1}^+ + x_i - k\big),\qquad C_i^- = \max\big(0,\; C_{i-1}^- - x_i - k\big),\qquad C_0^\pm = 0$$

$C^+$ 또는 $C^-$가 $h$를 넘으면 경보. $k$는 "허용치"로, 잡고 싶은 이동 $\delta$의 절반($k = \delta/2$)으로 잡는다. $k = 0.5$, $h = 4$ 또는 5가 표준이다. 0에서 다시 시작하므로 이동이 없으면 바닥에 머물고, 이동이 생기면 기울기 $\delta - k$로 꾸준히 오른다. 경보가 나면 $C$가 0을 떠난 시점이 이동 시점의 추정값이다.

평균이 $0.75\sigma$ 옮겨 간 개별값 자료를 세 관리도로 본다: 슈하트(3σ), EWMA($\lambda = 0.2$, $L = 2.86$), CUSUM($k = 0.5$, $h = 4.77$). 세 관리도 모두 ARL₀ ≈ 370으로 맞췄다. 보통 가장 늦게 경보를 내는 것은?

0.75σ 이동에서 슈하트의 ARL은 약 81점이지만 EWMA·CUSUM은 약 16점이다. 거짓 경보율이 같아도 정보를 모으는 방식이 다르면 검출 속도가 다섯 배 달라진다. 시뮬레이터에서 이동 크기와 시점을 끌어 보라.

SIMULATOR

같은 자료, 세 관리도

위 그림의 흰 원: 왼쪽은 이동 시점, 오른쪽은 이동 크기

EWMA λ EWMA L CUSUM k CUSUM h

슈하트 경보—

EWMA 경보—

CUSUM 경보—

ARL₀ (슈하트/EWMA/CUSUM)—

위에서부터 개별값과 3σ 한계, EWMA 통계량 $z_i$와 시변 한계, CUSUM $C^+$(초록)·$C^-$(자주)와 결정 한계 $h$다. 세로 점선이 실제 이동 시점, 빨간 표시가 각 관리도의 첫 경보다. 해볼 것: ① 이동 크기를 0.5σ로 줄이면 슈하트는 대개 80점 안에 아무 말도 하지 않는다. ② λ를 1로 올리면 EWMA가 슈하트와 같아진다. ③ 이동을 3σ로 키우면 슈하트가 가장 빠를 때가 많다 — EWMA·CUSUM은 과거의 "정상" 점들을 끌고 다니느라 한 박자 늦다. 그래서 현장에서는 슈하트 한계와 EWMA를 함께 쓰기도 한다.

목표 $\mu_0 = 10.0$, $\sigma = 1.0$인 공정의 연속 네 측정값이 10.5, 11.2, 9.8, 11.6이다. (a) $\lambda = 0.2$인 EWMA 통계량 $z_1, \dots, z_4$와 $L = 3$일 때 넷째 점의 UCL을 구하라. (b) $k = 0.5$인 $C^+$를 구하라.

풀이 보기

전략 점화식을 차례로 적용한다. UCL은 $i = 4$에서의 시변 폭을 쓴다.

풀이 (a) $z_1 = 0.2(10.5) + 0.8(10.0) = 10.10$, $z_2 = 0.2(11.2) + 0.8(10.10) = 10.32$, $z_3 = 0.2(9.8) + 0.8(10.32) = 10.216$, $z_4 = 0.2(11.6) + 0.8(10.216) = 10.493$. UCL₄ = $10 + 3\sqrt{(0.2/1.8)(1 - 0.8^8)} = 10 + 3(0.3041) = 10.912$. (b) 표준화 편차 0.5, 1.2, −0.2, 1.6에서 $C^+$: $\max(0, 0.5 - 0.5) = 0$, $0 + 1.2 - 0.5 = 0.7$, $\max(0, 0.7 - 0.2 - 0.5) = 0$, $0 + 1.6 - 0.5 = 1.1$.

(a) z = 10.10, 10.32, 10.216, 10.493, UCL₄ = 10.912 (b) C⁺ = 0, 0.7, 0, 1.1

검토 네 점의 평균이 10.78로 목표보다 0.78σ 높지만 아직 어느 관리도도 경보를 내지 않는다. EWMA는 $z$가 서서히 오르는 것으로, CUSUM은 $C^+$가 바닥을 떠나는 것으로 "무언가 쌓이고 있다"를 보여 준다.

SIMULATOR

ARL 탐색기와 EWMA 설계 과제

흰 원을 끌어 EWMA의 (λ, L)을 고른다

CUSUM k CUSUM h 슈하트 n = 4 곡선(측정 4배)

EWMA (λ, L)—

EWMA ARL₀ / ARL(1σ)—

CUSUM ARL₀ / ARL(1σ)—

슈하트 ARL₀ / ARL(1σ)370 / 43.9

도전—

왼쪽은 EWMA 설계 지도다. 자주 곡선은 ARL₀ = 370이 되는 $(\lambda, L)$의 자리이고, 그 위쪽은 거짓 경보가 더 드물다. 오른쪽은 평균 이동 $\delta$(σ 단위)에 따른 ARL(세로축 로그)로, 브룩–에번스 마르코프 연쇄 근사로 계산한다. 도전: ARL₀ ≥ 370을 지키면서 1σ 이동의 ARL을 9.9 이하로 만들어라(슈하트 개별값은 43.9). 9.7 이하면 금메달. 해볼 것: ① λ를 0.05로 낮추면 아주 작은 이동(0.25–0.5σ)에 강하지만 큰 이동에는 느려진다. ② CUSUM의 $k$를 0.25로 낮추고 $h$를 다시 맞추면(ARL₀ ≈ 370) 0.5σ 이동에 더 빨라진다 — $k = \delta/2$ 규칙. ③ 모든 곡선은 $\delta = 0$에서 같은 점(370)을 지나고, 그 오른쪽에서 누가 아래에 있느냐의 싸움이다.

FDC와 런투런 제어 속의 EWMA 장비는 웨이퍼마다 압력·RF 전력·온도·가스 유량 같은 센서 값을 초 단위로 남긴다. 이것을 요약 통계로 바꿔 관리도에 올리는 것이 FDC(fault detection and classification)다. 센서 값은 자기 상관이 강하고 표류가 잦아 슈하트 관리도보다 EWMA·CUSUM과 다변량 기법이 자주 쓰인다. EWMA는 감시만이 아니라 제어에도 쓰인다. CMP·식각의 런투런(R2R) 제어기는 직전 로트들의 계측값을 EWMA로 걸러 다음 로트의 연마 시간·식각 시간을 정한다 — 과잉 조정 없이 표류만 따라가는 필터다. → CMPBook · 종점 검출과 공정 제어(통합 계측과 런투런 제어) · InfraBook · 유틸리티 운영과 신뢰성(이상 감지: SPC 관리도와 EWMA) · YieldBook · 공통성 분석(FDC)

공정 능력: Cp, Cpk와 ppm

관리도는 "공정이 안정한가"를 묻고, 공정 능력은 "안정한 그 공정이 규격을 맞출 수 있는가"를 묻는다. 관리 상태가 먼저다. 공정이 흔들리고 있으면 그 분포는 내일 다르므로, 오늘의 분포로 내일의 불량률을 말할 수 없다. 관리 상태의 정규 공정이라면 개별값의 99.73%가 $\mu \pm 3\sigma$ 안에 있다. 이 폭 $6\sigma$를 공정의 자연 공차라 하고, 규격 폭과 견주는 숫자가 공정 능력 지수(process capability index)다.

$$C_p = \frac{\mathrm{USL} - \mathrm{LSL}}{6\sigma},\qquad C_{pk} = \min\left(\frac{\mathrm{USL} - \mu}{3\sigma},\; \frac{\mu - \mathrm{LSL}}{3\sigma}\right) = \min(C_{pu}, C_{pl})$$ $$\text{ppm} = 10^6\left[\Phi\!\left(-3C_{pl}\right) + \Phi\!\left(-3C_{pu}\right)\right],\qquad Z = 3C_{pk}$$

$C_p$는 산포만 보는 잠재 능력, $C_{pk}$는 중심의 치우침까지 본 실제 능력이다. 중심이 규격 한가운데면 $C_{pk} = C_p$. 한쪽 규격만 있으면(누설 전류 상한 등) $C_{pu}$나 $C_{pl}$ 하나만 쓴다. $Z = 3C_{pk}$를 시그마 수준(sigma level)이라 부르기도 한다. $\sigma$로 부분군 안 추정값($\bar R/d_2$)을 쓰면 $C_p, C_{pk}$, 모든 자료의 표준 편차 $s$를 쓰면 성능 지수 $P_p, P_{pk}$라 부른다.

같은 규격(세로선 LSL·USL)에 놓인 네 공정. 왼쪽 둘은 산포가 같아 $C_p = 2$이지만, 둘째는 중심이 USL 쪽으로 $3\sigma$ 치우쳐 $C_{pk} = 1$이다. 셋째($C_p = C_{pk} = 1$)는 규격 밖이 2700 ppm, 넷째(0.67)는 4.6%다. 빨간 꼬리가 불량이다.

$C_{pk}$ = 1.33이면 가까운 규격까지 거리가 σ다. 그쪽 꼬리만 세면 ppm, 중심이 가운데($C_p = C_{pk}$)라 양쪽 꼬리를 다 세면 ppm이다. 수율로는 . 장기적으로 평균이 1.5σ 흔들린다고 가정하는 "식스 시그마" 관례로는 ppm.

"6시그마 = 3.4 ppm"의 1.5σ 정규 분포에서 $6\sigma$ 밖 한쪽 꼬리는 0.001 ppm이다. 3.4 ppm은 "장기적으로 평균이 1.5σ 옮겨 다닌다"고 가정해 $4.5\sigma$ 꼬리를 센 값이다. 이 1.5σ는 1980년대 모토롤라의 경험칙일 뿐 법칙이 아니다. 관리도로 지키는 공정이라면 1.5σ 이동은 ARL 수 점 안에 잡히고, 지키지 않는 공정이라면 1.5σ보다 더 움직일 수 있다. 시그마 수준이나 ppm을 말할 때는 이 이동을 넣었는지부터 확인한다.

SIMULATOR

공정 능력 실험실

흰 원: 가운데는 공정 평균, 양 끝 세로선 위는 LSL·USL

공정 σ 표본 크기

Cp—

Cpk—

이론 ppm—

표본의 Ĉpk / 규격 밖—

도전—

막두께(Å)의 측정값 히스토그램(초록)과 공정 분포(자주), 규격 밖 꼬리(빨강). 표본으로 계산한 $\hat C_{pk}$는 이론값과 조금씩 다르다. 도전: 자동차 고객이 $C_{pk} \ge 1.67$을 요구한다. 규격은 고객이 정했으니 건드리지 말고, σ는 꼭 필요한 만큼만(처음 1.11 Å에서 12% 이내로) 줄여 1.67을 넘겨라. 해볼 것: ① σ를 그대로 두고 평균만 가운데로 끌면 $C_{pk}$가 $C_p$까지 오른다 — 중심 맞추기는 공짜에 가깝다. ② 표본 크기를 30으로 줄이고 "다시 측정"을 여러 번 누르면 $\hat C_{pk}$가 ±0.2씩 흔들린다(아래 MINI LAB).

층간 절연막 두께 규격이 95–105 nm이다. 관리 상태인 공정의 평균이 101.0 nm, 표준 편차가 1.2 nm다. (a) $C_p$, $C_{pk}$와 규격 밖 ppm은? (b) 이 $\hat C_{pk}$가 사실은 30장으로 추정한 $1.45$였다면, 95% 신뢰 하한은 고객 요구 1.33을 넘는가?

풀이 보기

전략 (a) 정의대로. (b) 근사 신뢰 하한 $\hat C_{pk} - z_{0.05}\sqrt{\dfrac{1}{9n} + \dfrac{\hat C_{pk}^2}{2(n-1)}}$(바우어 근사).

풀이 (a) $C_p = 10/7.2 = 1.389$. $C_{pu} = (105 - 101)/3.6 = 1.111$, $C_{pl} = (101 - 95)/3.6 = 1.667$ → $C_{pk} = 1.111$. ppm = $10^6[1 - \Phi(3.333) + \Phi(-5)] = 429 + 0.3 \approx 429$. (b) $1.45 - 1.645\sqrt{1/270 + 1.45^2/58} = 1.45 - 1.645 \times 0.199 = 1.12$.

(a) Cp = 1.39, Cpk = 1.11, 약 429 ppm (b) 하한 ≈ 1.12 — 1.33에 못 미친다

검토 (a) 평균을 100 nm로 옮기기만 해도 $C_{pk} = 1.39$, ppm은 약 31로 준다. (b) 30장으로 얻은 1.45는 "1.33을 넘는다"는 증거가 되지 못한다. 하한이 1.33을 넘으려면 $\hat C_{pk} = 1.45$에서 표본이 약 220장 필요하다.

참 $C_{pk}$가 정확히 1.33인 공정에서 부품 30개를 재어 $\hat C_{pk}$를 계산한다. $\hat C_{pk}$가 1.33 이상으로 나와 "요구를 만족한다"고 보고될 확률은?

$\hat C_{pk}$는 참값 둘레에서 ±0.2 정도 흔들리므로 절반쯤은 위로, 절반쯤은 아래로 나온다(작은 표본에서는 위로 약간 치우친다). 그래서 "추정값 ≥ 요구값"은 근거가 약하고, 신뢰 하한 ≥ 요구값을 보아야 한다. MINI LAB에서 확인하라.

표본 크기 n

MINI LAB참 $C_{pk} = 1.33$인 공정에서 $n$개를 뽑아 $\hat C_{pk}$(초록)와 그 95% 신뢰 하한(자주)을 계산하는 일을 되풀이한다. 초록 히스토그램의 절반쯤이 1.33(세로선) 오른쪽에 있지만, 자주 히스토그램은 약 5%만 오른쪽에 있다 — 신뢰 하한은 "참값이 요구를 못 넘는데 넘는다고 말할" 위험을 5%로 묶는다. 흰 원을 끌어 요구값을 바꿔 보라.

측정 시스템 분석: Gage R&R

관리도와 $C_{pk}$가 보는 것은 공정 자체가 아니라 측정값이다. 측정에는 그 나름의 산포가 있고, 공정 산포와 독립이면 분산이 더해진다.

$$\sigma^2_{\text{관측}} = \sigma^2_{\text{공정}} + \sigma^2_{\text{측정}},\qquad \sigma^2_{\text{측정}} = \sigma^2_{\text{반복성}} + \sigma^2_{\text{재현성}}$$

측정 산포가 공정 산포에 얹히면 관측 $C_p$는 참 $C_p$보다 작게 나오고, 관리 한계는 넓어져 이동을 늦게 잡는다. 측정 산포를 먼저 확인하는 일이 측정 시스템 분석(measurement system analysis, MSA)이다.

공정 자체의 표준 편차가 1.00 nm이고 계측기의 표준 편차가 0.30 nm이면 관측 표준 편차는 nm로 부푼다. 규격 폭이 8 nm이면 참 $C_p$ = 인데 관측 $C_p$ = 로 보인다. 이 계측기의 %GRR은 , P/T 비는 .

측정 산포는 두 갈래다. 같은 사람이 같은 계측기로 같은 부품을 되풀이해 잴 때의 흩어짐이 반복성(repeatability), 사람(또는 계측기·랩)이 바뀔 때 생기는 차이가 재현성(reproducibility)이다. 둘을 합쳐 Gage R&R(gauge repeatability and reproducibility)이라 한다.

분산은 독립이면 더해진다. Gage R&R 연구는 이 나무의 잎들을 이원 분산 분석으로 추정한다.

표준 연구는 부품 $p = 10$개를 작업자 $o = 3$명이 각각 $r = 2$–3번, 순서를 무작위로 섞어 잰다. 부품 × 작업자 이원 분산 분석의 평균 제곱(MS)으로 분산 성분을 구한다.

$$\hat\sigma^2_{\text{반복}} = MS_E,\quad \hat\sigma^2_{P\times O} = \frac{MS_{PO} - MS_E}{r},\quad \hat\sigma^2_{O} = \frac{MS_O - MS_{PO}}{pr},\quad \hat\sigma^2_{P} = \frac{MS_P - MS_{PO}}{or}$$ $$\%\mathrm{GRR} = 100\frac{\sigma_{\mathrm{GRR}}}{\sigma_{\text{tot}}},\qquad P/T = \frac{6\sigma_{\mathrm{GRR}}}{\mathrm{USL}-\mathrm{LSL}},\qquad \mathrm{ndc} = \Big\lfloor 1.41\frac{\sigma_P}{\sigma_{\mathrm{GRR}}}\Big\rfloor$$

음수가 나온 분산 성분은 0으로 둔다. 자동차 업계 지침(AIAG MSA)은 %GRR 10% 미만이면 합격, 10–30%는 용도에 따라 조건부, 30% 넘으면 불합격으로 본다. ndc(구별 가능한 범주 수)는 5 이상이어야 한다 — 부품을 적어도 다섯 등급으로 가를 수 있어야 한다는 뜻이다.

부품 산포 $\sigma_P = 1.0$, 반복성 $\sigma = 0.2$, 재현성 $\sigma = 0.2$이다. 측정 산포가 부품 산포의 몇 분의 일밖에 안 되어 보이는데, %GRR은 대략?

$\sigma_{\mathrm{GRR}} = \sqrt{0.2^2 + 0.2^2} = 0.283$, $\sigma_{\text{tot}} = \sqrt{1 + 0.08} = 1.039$ → 27%. %GRR은 분산이 아니라 표준 편차의 비라서, 분산으로는 7%인 측정 몫이 27%로 보인다. "조건부" 구간이다.

SIMULATOR

Gage R&R 연구: 부품 10 × 작업자 3 × 반복 2

오른쪽 색 원 세 개를 끌어 작업자별 치우침을 준다

반복성 σ 작업자×부품 σ 부품 σ

%GRR—

반복성 / 재현성 (%)—

ndc—

P/T (규격 폭 8)—

판정—

위: 부품 10개(가로)를 작업자 세 명(색)이 두 번씩 잰 값. 회색 가로 막대는 부품의 참값이다. 아래: 분산 분석으로 추정한 성분별 %(표준 편차 비, 막대)와 판정 구간. 해볼 것: ① 작업자 원 하나를 0.5만큼 끌면 반복성은 그대로인데 %GRR이 크게 뛴다 — 교육·절차 표준화의 문제다. ② 부품 σ를 0.3으로 줄이면 같은 계측기가 갑자기 "불합격"이 된다. %GRR은 계측기만의 성질이 아니라 재려는 차이와의 비다. 공정이 좋아질수록 계측기도 좋아져야 한다. ③ 작업자×부품 σ를 올리면 작업자마다 특정 부품에서만 다르게 잰다(예: 가장자리 다이에서 초점을 다르게 잡음).

CD-SEM의 Gage R&R 연구에서 반복성 $\hat\sigma = 0.30$ nm, 재현성 $\hat\sigma = 0.20$ nm, 부품 간 $\hat\sigma_P = 1.50$ nm를 얻었다. %GRR, ndc, 규격 폭 6 nm에 대한 P/T 비를 구하고 판정하라.

풀이 보기

전략 분산을 더한 뒤 표준 편차의 비를 낸다.

풀이 $\sigma_{\mathrm{GRR}} = \sqrt{0.09 + 0.04} = 0.361$ nm, $\sigma_{\text{tot}} = \sqrt{0.13 + 2.25} = 1.543$ nm. %GRR = 23.4%. ndc = $\lfloor 1.41 \times 1.50/0.361 \rfloor = \lfloor 5.87 \rfloor = 5$. P/T = $6 \times 0.361/6 = 36\%$.

%GRR ≈ 23%, ndc = 5, P/T ≈ 36% — 공정 관리용으로는 조건부, 합격 판정용으로는 부족

검토 %GRR(공정 산포 대비)은 공정 관리에 쓸 만한지를, P/T(규격 대비)는 양·불 판정에 쓸 만한지를 묻는다. 반복성이 재현성보다 커서 먼저 계측기 자체(빔 조건, 패턴 인식, 측정 반복 평균)를 손봐야 한다.

측정 σ

MINI LAB가로는 부품의 참값, 세로는 측정값이다. 점 하나가 부품 하나. 규격(USL, 세로 점선)을 넘는데 측정값은 판정 한계(가로선) 아래인 점은 유출(빨강), 규격 안인데 측정값이 한계를 넘는 점은 과잉 불량(주황)이다. 흰 원을 끌어 판정 한계를 규격 안쪽으로 당기면(가드밴드) 유출이 줄고 과잉 불량이 는다. 측정 σ가 클수록 이 맞바꿈이 비싸진다.

계측기의 R&R, 장비의 매칭, 고객의 Cpk 새 계측 레시피를 양산에 쓰기 전에 Gage R&R부터 한다. CD-SEM·OCD·엘립소미터는 사람보다 장비 사이의 차이가 재현성의 주인공이라, "작업자" 자리에 계측기 여러 대를 넣어 툴 매칭을 본다. 같은 레시피의 식각 챔버 여러 개도 마찬가지로 챔버 간 평균 차이를 분산 성분으로 따로 떼어 관리한다. 고객은 출하 특성에 $C_{pk} \ge 1.33$을, 자동차용(AEC-Q100, IATF 16949의 PPAP)은 신규 공정에 $C_{pk} \ge 1.67$을 요구하는 경우가 많은데, 측정 산포가 크면 공정은 멀쩡해도 $C_{pk}$가 낮게 나오고, 테스트에서는 가드밴드가 넓어져 수율을 깎는다. → TestBook · 셔무, 특성 평가와 가드밴드(측정 시스템 분석과 게이지 R&R, 공정 능력과 Cpk) · ProcessBook · 계측·결함·수율 · EtchBook · 종말점과 균일도(챔버는 웨이퍼마다 조금씩 다르다)

합격 판정 샘플링과 OC 곡선

들어오는 웨이퍼·약품·부품 로트나 출하하는 제품 로트를 전수 검사할 수 없을 때, 표본 몇 개로 로트 전체의 합격 여부를 정한다. 가장 단순한 합격 판정 샘플링(acceptance sampling) 계획은 "$N$개 로트에서 $n$개를 뽑아 불량이 $c$개 이하면 합격"이다(단일 샘플링 계획 $(n, c)$). 로트 불량률이 $p$일 때 합격 확률을 $p$의 함수로 그린 것이 OC 곡선(operating characteristic curve)이다.

$$P_a(p) = P(D \le c) = \sum_{d=0}^{c}\binom{n}{d}p^d(1-p)^{n-d}$$

$N$이 $n$보다 아주 크지 않으면 초기하 분포를 쓴다. 생산자는 좋은 로트(불량률 AQL(acceptable quality level))가 거부될 위험 $\alpha = 1 - P_a(\mathrm{AQL})$을, 소비자는 나쁜 로트(불량률 LTPD(lot tolerance percent defective))가 합격할 위험 $\beta = P_a(\mathrm{LTPD})$을 걱정한다. 이 둘이 생산자 위험(producer's risk)과 소비자 위험(consumer's risk)이고, 보통 $\alpha = 0.05$, $\beta = 0.10$으로 잡는다.

전수 검사라면 OC는 계단(점선)이다. 표본 검사의 OC는 미끄러운 S자이고, AQL에서 1에 못 미치는 몫이 $\alpha$, LTPD에서 0을 넘는 몫이 $\beta$다. $n$을 키울수록 곡선이 가팔라져 계단에 다가간다.

계획 $(n, c) = (50, 1)$을 $(100, 2)$로 바꾼다. 합격 개수 비율 $c/n$은 거의 같다. OC 곡선은 어떻게 바뀔까?

표본이 커지면 $\hat p$의 표준 오차가 줄어 판정이 날카로워진다. $p = 1\%$의 합격 확률은 0.91 → 0.92, $p = 5\%$는 0.28 → 0.12로 준다. 시뮬레이터에서 두 계획을 겹쳐 보라.

SIMULATOR

OC 곡선 설계: 생산자와 소비자를 함께 만족시키기

아래 흰 원 둘을 끌어 AQL·LTPD를 바꾼다

표본 크기 n 합격 개수 c 로트 크기 N = 500 (초기하)

AQL / LTPD—

생산자 위험 α—

소비자 위험 β—

모의 로트 합격—

도전—

자주 곡선이 지금 계획의 OC다. "로트 200개 검사"를 누르면 불량률이 제각각인 로트가 하나씩 검사되어 위(합격, 초록)나 아래(불합격, 빨강)에 떨어지고, 구간별 합격 비율(초록 다이아몬드)이 OC 곡선을 따라간다. 도전: AQL 1%에서 $\alpha \le 0.05$, LTPD 5%에서 $\beta \le 0.10$을 동시에 만족하는 계획 가운데 표본이 가장 작은 것을 찾아라($n \le 140$이면 성공, 최솟값이면 금메달). 해볼 것: ① $c = 0$으로 두면 곡선이 처음부터 가파르게 떨어져 좋은 로트도 많이 거부된다. ② $n$만 키우고 $c$를 그대로 두면 $\beta$는 줄지만 $\alpha$가 커진다. 둘을 함께 줄이려면 $n$과 $c$를 함께 키워야 한다.

신뢰성 인증에서 소자 77개를 스트레스 시험해 불량이 0개 이하면 합격으로 한다. 실제 불량률이 3.0인 모집단이 이 시험을 통과할 확률은 이다. 소비자 위험 10%로 말할 수 있는 LTPD는 .

불합격 로트를 버리지 않고 전수 선별해 불량을 양품으로 바꿔 넣는 선별형 검사에서는, 검사를 거친 뒤 나가는 평균 불량률 평균 출검 품질(average outgoing quality, AOQ)이 $\mathrm{AOQ} \approx P_a(p)\,p\,(N-n)/N$이다. 들어오는 $p$가 작으면 대부분 합격해 그대로 나가고, $p$가 크면 대부분 선별되어 깨끗해진다. 그 사이에서 AOQ가 가장 큰 값을 AOQL이라 하며, 이 계획이 보장하는 최악의 출하 품질이다.

n c

MINI LAB로트 $N = 1000$의 선별형 검사에서 들어오는 불량률(가로)에 따른 AOQ(초록)와 그 최댓값 AOQL(빨간 점). 흰 원을 끌어 들어오는 불량률을 고르면 합격 확률과 출하 품질이 표시된다. 표본을 키우거나 $c$를 줄이면 AOQL이 낮아진다 — 대신 선별 비용이 는다.

단일 샘플링 계획 $n = 50$, $c = 1$이 있다. (a) 로트 불량률이 1%일 때 합격 확률과 생산자 위험은? (b) 5%일 때 합격 확률은?

풀이 보기

전략 $P_a = P(D=0) + P(D=1)$, $D \sim \mathrm{Bin}(50, p)$.

풀이 (a) $0.99^{50} + 50(0.01)(0.99)^{49} = 0.6050 + 0.3056 = 0.9106$. 생산자 위험 $\alpha = 0.089$. (b) $0.95^{50} + 50(0.05)(0.95)^{49} = 0.0769 + 0.2025 = 0.2794$.

(a) Pa ≈ 0.911, α ≈ 0.089 (b) Pa ≈ 0.279

검토 불량률 5%짜리 로트가 넷 중 하나 이상 합격한다. 소비자가 LTPD 5%에서 $\beta \le 0.10$을 원하면 이 계획은 부족하다. 시뮬레이터의 도전처럼 $n$과 $c$를 함께 키워야 한다. 그리고 근본적으로는, 샘플링은 불량을 걸러낼 뿐 만들지 않게 하지는 못한다 — 그 일은 SPC와 공정 능력의 몫이다.

핵심 정리

공통 원인 변동만 있는 공정은 관리 상태(분포가 일정)이고, 특수 원인은 찾아서 없앨 수 있는 사건이다. 관리도는 $\mu_W \pm 3\sigma_W$의 한계로 둘을 가르며, 점마다 $H_0\colon$ "공정 그대로"를 검정한다($\alpha = 0.0027$, $\mathrm{ARL}_0 = 370$). 관리 한계는 공정이, 규격 한계는 고객이 정한다.
계량형: X̄–R은 $\bar{\bar x} \pm A_2\bar R$, $D_3\bar R$–$D_4\bar R$, $\hat\sigma = \bar R/d_2$. X̄–s는 $A_3, B_3, B_4$, $\hat\sigma = \bar s/c_4$. I–MR은 $\bar x \pm 2.66\overline{MR}$, $\hat\sigma = \overline{MR}/1.128$. σ는 부분군 안(또는 이웃 점) 산포로 추정해야 이동이 한계에 흡수되지 않는다.
계수형: p는 $\bar p \pm 3\sqrt{\bar p(1-\bar p)/n_i}$(n이 바뀌면 계단형 한계), np는 $n\bar p \pm 3\sqrt{n\bar p(1-\bar p)}$, c는 $\bar c \pm 3\sqrt{\bar c}$, u는 $\bar u \pm 3\sqrt{\bar u/n_i}$. LCL < 0이면 0. 포아송 꼬리는 비대칭이다.
런 길이는 기하 분포: $\mathrm{ARL} = 1/p$. X̄ 관리도의 점당 검출 확률은 $\Phi(-3-\delta\sqrt n) + 1 - \Phi(3-\delta\sqrt n)$(1σ 이동: $n = 1$이면 ARL 43.9, $n = 4$면 6.3). 웨스턴 일렉트릭 규칙 1–4를 모두 쓰면 ARL₀ ≈ 92로 준다. 자기 상관 자료는 거짓 경보를 쏟아낸다.
EWMA $z_i = \lambda x_i + (1-\lambda)z_{i-1}$와 CUSUM $C_i^\pm = \max(0, C_{i-1}^\pm \pm x_i - k)$은 과거를 모아 작은 이동(0.5–1.5σ)에 강하다. ARL₀ = 370에서 1σ 이동의 ARL은 약 10(슈하트 44).
$C_p = (\mathrm{USL}-\mathrm{LSL})/6\sigma$, $C_{pk} = \min(\mathrm{USL}-\mu, \mu-\mathrm{LSL})/3\sigma$. $C_{pk}$ 1.0/1.33/1.67은 한쪽 꼬리 1350/32/0.3 ppm. 추정값은 흔들리므로 신뢰 하한 $\hat C_{pk} - z_\alpha\sqrt{1/9n + \hat C_{pk}^2/2(n-1)}$으로 판정한다.
$\sigma^2_{\text{관측}} = \sigma^2_P + \sigma^2_{\mathrm{GRR}}$, %GRR = $100\sigma_{\mathrm{GRR}}/\sigma_{\text{tot}}$(10% 미만 합격, 30% 넘으면 불합격), ndc ≥ 5. 합격 판정 샘플링의 OC $P_a(p) = P(\mathrm{Bin}(n,p) \le c)$에서 $\alpha = 1 - P_a(\mathrm{AQL})$, $\beta = P_a(\mathrm{LTPD})$이며, 둘을 함께 줄이려면 $n$과 $c$를 함께 키운다.

연습문제

관리도 계수는 2절의 표를 쓴다. 따로 말이 없으면 3시그마 한계이고 답이 ±1% 이내면 정답이다.

부분군 크기 4로 25개 부분군을 모아 $\bar{\bar x} = 100.0$, $\bar R = 4.0$을 얻었다. X̄ 관리도의 UCL과 공정 표준 편차의 추정값은?

$n = 4$: $A_2 = 0.729$, $d_2 = 2.059$.

UCL = $100.0 + 0.729 \times 4.0 = 102.92$. $\hat\sigma = 4.0/2.059 = 1.94$.

X̄ 관리도의 모든 점이 관리 한계 안에 있고 패턴도 없다. 이로부터 확실히 말할 수 있는 것은?

관리 상태는 분포가 시간에 따라 일정하다는 뜻일 뿐이다. 그 분포가 규격에 맞는지는 공정 능력($C_{pk}$)으로, 측정이 쓸 만한지는 Gage R&R로 따로 확인한다.

부분군 크기 10인 X̄–s 관리도에서 $\bar{\bar x} = 20.00$, $\bar s = 0.50$이다. X̄ 관리도와 s 관리도의 UCL은?

$A_3 = 0.975$, $B_4 = 1.716$. X̄ UCL = $20.00 + 0.975 \times 0.50 = 20.49$. s UCL = $1.716 \times 0.50 = 0.858$.

배치 공정의 개별 측정값 평균이 12.0, 이동 범위의 평균이 0.80이다. I 관리도의 UCL과 $\hat\sigma$는?

$\hat\sigma = 0.80/1.128 = 0.709$. UCL = $12.0 + 3 \times 0.709 = 14.13$(= $12.0 + 2.66 \times 0.80$).

평균 불량률이 2%인 공정에서 표본 150개씩 검사하는 p 관리도의 UCL은? LCL은 얼마인가?

$\sigma_{\hat p} = \sqrt{0.02 \times 0.98/150} = 0.01143$. UCL = $0.02 + 3 \times 0.01143 = 0.0543$. LCL = $0.02 - 0.0343 < 0$ → 0. LCL이 양수가 되려면 $n > 9 \times 0.98/0.02 = 441$개가 필요하다.

파티클 모니터 웨이퍼의 평균 결함 수가 $\bar c = 4$다. c 관리도의 UCL을 구하고, 공정이 관리 상태일 때 한 점이 UCL을 넘을 정확한 확률(포아송)을 구하라.

UCL = $4 + 3\sqrt4 = 10$. "넘는다"는 $C \ge 11$.

UCL = 10, LCL = $4 - 6 < 0$ → 0. $P(C \ge 11) = 1 - P(C \le 10) = 1 - 0.99716 = 0.00284$. 정규 근사의 0.00135보다 두 배 크다 — 포아송의 오른쪽 꼬리가 무겁다.

결함 밀도의 평균이 $\bar u = 0.12$개/cm²다. 검사 면적이 50 cm²인 웨이퍼의 u 관리도 UCL은?

UCL = $0.12 + 3\sqrt{0.12/50} = 0.12 + 3 \times 0.04899 = 0.267$개/cm². 이 웨이퍼에서 결함 13.4개 이상이면(즉 14개 이상) 경보다.

부분군 크기 3인 X̄ 관리도(3시그마)에서 평균이 $1\sigma$ 옮겨 갔다. 이동을 잡기까지의 ARL은?

$\delta\sqrt n = \sqrt3 = 1.732$. $1 - \beta = \Phi(-4.732) + 1 - \Phi(1.268) = 0.0000011 + 0.1024 = 0.1024$. ARL = $1/0.1024 = 9.76$.

목표 50.0, $\sigma = 1.0$인 공정의 연속 측정값이 50.4, 50.9, 51.3, 50.2, 51.6, 51.8, 51.1, 51.4이다. $k = 0.5$, $h = 4$인 표 형식 CUSUM은 몇 번째 점에서 처음 경보를 내는가? 그때의 $C^+$는?

$C_i^+ = \max(0, C_{i-1}^+ + (x_i - 50) - 0.5)$를 차례로 계산한다.

$C^+$ = 0, 0.4, 1.2, 0.9, 2.0, 3.3, 3.9, 4.8. 여덟째 점에서 4.8 > 4로 처음 경보. 슈하트 관리도라면 어느 점도 53.0(3σ)을 넘지 않아 경보가 없다. $C^+$가 0을 마지막으로 떠난 시점(첫째 점 뒤)이 이동 시작의 추정값이다.

$\mu_0 = 50$, $\sigma = 1.0$인 공정에 $\lambda = 0.1$, $L = 2.7$인 EWMA 관리도를 쓴다. 정상 상태(점이 많이 쌓인 뒤)의 UCL은?

UCL = $50 + 2.7\sqrt{0.1/1.9} = 50 + 2.7 \times 0.2294 = 50.62$. 개별값 관리도의 UCL 53.0보다 훨씬 좁다 — 평균을 낸 효과다.

규격 10.0 ± 0.6 μm, 공정 평균 10.15 μm, 표준 편차 0.12 μm다. $C_p$와 $C_{pk}$는?

$C_p = 1.2/0.72 = 1.67$. $C_{pu} = (10.6 - 10.15)/0.36 = 1.25$, $C_{pl} = (10.15 - 9.4)/0.36 = 2.08$ → $C_{pk} = 1.25$.

앞 문제의 공정에서 규격을 벗어나는 비율은 몇 ppm인가(정규 가정)?

위쪽: $1 - \Phi((10.6 - 10.15)/0.12) = 1 - \Phi(3.75) = 88.4$ ppm. 아래쪽: $\Phi(-6.25) \approx 0.0002$ ppm. 합 88.4 ppm. 중심만 맞추면($C_{pk} = 1.67$) 양쪽 합 0.57 ppm으로 150배 준다.

부품 50개로 $\hat C_{pk} = 1.50$을 얻었다. 95% 한쪽 신뢰 하한(바우어 근사)은? 고객 요구 1.33을 만족한다고 말할 수 있는가?

$1.50 - 1.645\sqrt{1/450 + 2.25/98} = 1.50 - 1.645 \times 0.1587 = 1.24$. 하한이 1.33보다 작으므로 95% 신뢰로 만족한다고 말할 수 없다.

관측 표준 편차가 2.0 nm이고 Gage R&R 연구에서 측정 표준 편차가 0.8 nm였다. 부품(공정) 자체의 표준 편차는? 규격 폭이 20 nm이면 P/T 비는 몇 %인가?

$\sigma_P = \sqrt{2.0^2 - 0.8^2} = \sqrt{3.36} = 1.83$ nm. P/T = $6 \times 0.8/20 = 24\%$. %GRR = 0.8/2.0 = 40%로, 공정 관리용으로는 불합격이다.

계획 $n = 80$, $c = 2$에서 로트 불량률이 2%일 때와 5%일 때의 합격 확률은?

$P_a(0.02) = \sum_{d=0}^{2}\binom{80}{d}0.02^d0.98^{80-d} = 0.1986 + 0.3243 + 0.2614 = 0.784$. $P_a(0.05) = 0.0165 + 0.0695 + 0.1446 = 0.231$.

CMP 슬러리 공급 장치의 농도를 1분마다 기록한다. 이웃한 값의 상관이 0.9이고, 관심 있는 고장은 농도가 천천히 0.5σ쯤 옮겨 가는 것이다. 가장 알맞은 감시 방법은?

자기 상관이 강하면 $\overline{MR}$과 부분군 안 범위가 진짜 산포보다 훨씬 작아 한계가 좁아지고 거짓 경보가 쏟아진다. 모형으로 상관을 걷어낸 잔차는 거의 독립이고, 그 위에서 작은 이동에 강한 EWMA·CUSUM을 쓰는 것이 맞다. 표본 간격을 크게 벌려 상관을 줄이는 방법도 있다.

개념 확인 퀴즈

관리 한계를 정하는 근거로 옳은 것은?

관리 한계는 "공정이 그대로라면 통계량이 어디까지 흔들리는가"를 공정 자료로 계산한 것이다. 규격은 고객의 요구로, 공정 능력에서 관리 한계와 만난다.

웨스턴 일렉트릭 규칙을 1개에서 4개로 늘릴 때 일어나는 일은?

규칙 중 하나라도 걸리면 경보이므로 거짓 경보 확률이 더해진다. 검출과 거짓 경보는 늘 맞바꾸는 관계다.

EWMA 관리도의 $\lambda$를 0.05처럼 작게 잡는 것이 유리한 경우는?

작은 $\lambda$는 긴 기억으로 많은 점을 평균 내 작은 이동에 민감하다. 큰 이동에는 과거의 정상 점들이 발목을 잡아 오히려 느리다.

$C_p = 2.0$인데 $C_{pk} = 0.9$인 공정에 가장 먼저 할 일은?

$C_p$가 충분히 크다는 것은 산포는 이미 좁다는 뜻이다. $C_{pk}$가 낮은 것은 중심이 치우쳤기 때문이므로, 레시피 목표값 조정으로 $C_{pk}$를 2.0 가까이 올릴 수 있다.

새 계측기의 Gage R&R 결과가 %GRR 35%, ndc 3이었다. 옳은 판단은?

30%를 넘으면 불합격, ndc 5 미만이면 부품을 몇 등급으로밖에 못 가른다. 이 상태의 관리도와 $C_{pk}$는 공정이 아니라 계측기를 보고 있다. 반복 측정 평균, 계측 조건 개선, 작업 표준화가 먼저다.