해의 존재와 자율 방정식

해는 언제 있고, 언제 하나뿐인가

초기값 문제 $y' = f(t, y)$, $y(t_0) = y_0$을 생각합니다. 먼저 존재는 놀랍도록 약한 조건으로 보장됩니다.

연속성만으로는 유일성이 보장되지 않습니다. 위의 $\sqrt{|y|}$가 바로 그런 예입니다. 유일성을 위해서는 $f$가 $y$ 방향으로 "너무 가파르게" 변하지 않아야 합니다.

보장 구간 $h$의 뜻은 그림 4-1이 보여 줍니다. 해의 기울기는 $R$ 안에서 $|y'| \le M$이므로, 해곡선은 $(t_0, y_0)$에서 기울기 $\pm M$인 두 직선이 만드는 쐐기 안에 갇힙니다. 쐐기가 직사각형의 위아래 변($|y - y_0| = b$)에 닿기 전까지, 즉 $|t - t_0| \le b/M$까지는 해가 $R$을 벗어나지 않으므로 $f$에 대한 가정이 계속 유효합니다. 이것은 국소적 정리입니다. 해가 더 멀리까지 존재할 수도 있지만 정리는 거기까지만 약속합니다.

유일성의 기하적 의미는 단순합니다. 두 해곡선은 교차하거나 접할 수 없습니다. 만약 두 해가 한 점에서 만나면, 그 점을 초기값으로 하는 문제의 해가 두 개가 되기 때문입니다. 1장에서 방향장 위에 그린 해곡선들이 서로 겹치지 않았던 것은 이 정리 덕분입니다. 선형 방정식은 이보다 강해서, 계수가 연속인 구간 전체에서 해가 존재하고 유일합니다(3장 정리 3.1).

피카르 반복: 해를 한 겹씩 다듬기

정리 4.2의 증명은 해를 직접 만들어 보입니다. 첫걸음은 미분방정식을 적분 방정식으로 바꾸는 것입니다. 미적분의 기본 정리로

증명의 핵심 아이디어. 연속한 두 근사의 차이를 보면, 립시츠 조건으로

이것을 되풀이하면 $|y_{n+1} - y_n| \le \dfrac{M L^n |t - t_0|^{n+1}}{(n+1)!}$이고, 오른쪽은 $e^{L|t - t_0|}$의 테일러 급수 항이라 합이 수렴합니다. 그래서 $y_n$은 어떤 함수 $y$로 고르게 수렴하고, 그 극한이 적분 방정식을 만족합니다. 유일성도 같은 부등식에서 나옵니다. 두 해의 차 $w = |y - z|$가 $w \le L\int w$를 만족하면 $w \equiv 0$이어야 합니다(그뢴월 부등식). 핵심은 언제나 립시츠 상수 $L$이 오차의 증폭을 제한한다는 것입니다.

피카르 반복은 실제 계산법으로는 느립니다(적분을 반복해야 하고, 비선형이면 식이 금방 복잡해집니다). 하지만 "해가 존재한다"는 것을 구성적으로 보여 주고, 근사가 $t_0$ 근처부터 점점 넓게 맞아 들어가는 모습은 국소 존재 정리의 뜻을 그대로 보여 줍니다.

유일성이 깨질 때: √y와 물 새는 양동이

$f(y) = \sqrt y$($y \ge 0$)는 연속이지만 $y = 0$에서 립시츠가 아닙니다. $\frac{\sqrt{y} - \sqrt0}{y - 0} = \frac{1}{\sqrt y} \to \infty$이므로 어떤 상수 $L$로도 막을 수 없습니다. 기울기 $f$는 0 근처에서 무한히 가파르게 커집니다. 그 결과 해가 $y = 0$에 "머물다가 아무 때나 떠날" 수 있습니다.

여기서 $y = 0$이 아닌 점, 예를 들어 $y(0) = 1$에서 출발하면 $\partial f/\partial y = \frac{1}{2\sqrt y}$가 그 근처에서 연속이므로 해는 유일합니다. 문제는 오직 립시츠 조건이 깨지는 $y = 0$뿐입니다. 아래 시뮬레이터에서 출발 시각 $c$를 끌어 보면, 모든 곡선이 같은 초기값을 가지면서도 서로 다른 미래로 갈라집니다. 같은 실험을 립시츠인 $f = y$로 하면 0에서 떠나는 해는 없습니다.

물 새는 양동이: 과거는 결정되지 않는다

$h > 0$이면 $2\sqrt h = 2\sqrt{h_0} - kt$, 즉 $\sqrt{h} = \sqrt{h_0} - \frac{k}{2}t$이므로 양동이는 유한 시각 $T = 2\sqrt{h_0}/k$에 비고, 그 뒤로는 $h \equiv 0$입니다. 이것은 지수 감쇠와 다릅니다. 지수 함수 $e^{-t}$는 결코 0이 되지 않지만, $\sqrt h$ 법칙은 립시츠가 아니라서 유한 시간에 정확히 0이 될 수 있습니다. 그 대가로 $h = 0$인 상태에서는 "언제 비었는가"라는 과거를 복원할 수 없습니다.

유한 시간 폭발

변수분리로 $-1/y = t - 1/y_0$, 즉

왜 폭발할까요? 선형 성장 $y' = y$에서는 크기가 두 배가 되는 데 걸리는 시간이 늘 $\ln 2$로 같습니다. 그런데 $y' = y^2$에서는 $y$가 클수록 상대 성장률 $y'/y = y$도 커져서, 두 배가 되는 시간이 점점 짧아집니다. 1에서 2까지 1/2, 2에서 4까지 1/4, 4에서 8까지 1/8 … 이 시간들의 합이 $1/2 + 1/4 + \cdots = 1$로 유한합니다. 무한히 많은 배가가 유한 시간 안에 끝나는 것입니다.

거듭제곱 $y' = y^p$($y_0 > 0$)로 일반화하면 $y^{1-p} = y_0^{1-p} - (p - 1)t$이므로 $p > 1$이면 폭발 시각 $T^* = \dfrac{y_0^{1-p}}{p - 1}$이 있고, $p \le 1$이면 폭발하지 않습니다. 선형보다 빨리 자라는 피드백은 폭발할 수 있다는 것이 일반적인 교훈입니다. 엄밀히는 $\int^\infty dy/f(y) \lt \infty$이면 폭발합니다.

자율 방정식과 위상선

1차원 자율 방정식의 해는 진동도, 혼돈도 할 수 없습니다. 위상선 위의 점은 화살표를 따라 한 방향으로만 미끄러질 수 있기 때문입니다. 진동이 나타나려면 2차원(12장), 혼돈이 나타나려면 3차원(13장)이 필요합니다.

해곡선의 오목성도 $f$에서 바로 읽힙니다. 연쇄 법칙으로 $y'' = f'(y)\,y' = f'(y)f(y)$이므로, $f$의 극값($f' = 0$)에 해당하는 $y$에서 해곡선이 변곡합니다. 로지스틱 방정식 $y' = ry(1 - y/K)$에서 $f$는 $y = K/2$에서 최대이므로, S자 곡선은 정확히 수용력의 절반에서 꺾입니다. 성장 속도가 가장 빠른 개체 수이기도 합니다(7절에서 중요해집니다).

평형점의 안정성: f′의 부호 하나로

평형점 근처에서 해가 어떻게 움직이는지가 공학에서 가장 중요한 질문입니다. 작은 교란을 받은 시스템이 원래 상태로 돌아오는가, 아니면 멀어지는가?

위상선에서는 화살표가 양쪽에서 들어오면 안정, 양쪽으로 나가면 불안정입니다. 이것을 계산으로 바꾸는 것이 선형화입니다. $y = y^* + \delta$로 두고 테일러 전개하면 $f(y^* + \delta) = f(y^*) + f'(y^*)\delta + O(\delta^2) = f'(y^*)\delta + O(\delta^2)$이므로, 작은 교란 $\delta$는

표의 세 경우가 $f'(y^*) = 0$일 때 판정이 불가능한 이유입니다. $f'$이 0이어도 안정, 불안정, 반안정이 모두 가능합니다. 또 $f' = 0$이면 수렴이 지수적이 아니라 대수적으로 느려집니다. $y' = -y^3$의 해는 $y = y_0/\sqrt{1 + 2y_0^2t} \sim 1/\sqrt{2t}$로, $e^{-t}$보다 훨씬 천천히 0으로 갑니다.

이처럼 안정 평형점 두 개 사이에 불안정 평형점이 끼어 있는 구조를 쌍안정(bistable)이라 합니다. 각 안정점으로 끌려가는 초기값의 집합을 그 점의 끌림 영역(basin of attraction)이라 하고, 불안정점이 끌림 영역의 경계가 됩니다. 8절에서 이 구조가 스위치가 됩니다.

수확이 있는 로지스틱과 안장–마디 분기

평형점은 $\frac{r}{K}y^2 - ry + h = 0$의 근입니다.

• $h \lt h_c$: 평형점 두 개. 포물선의 꼭대기가 0 위에 있으므로 큰 쪽 $y^*_+$에서 $f' \lt 0$(안정), 작은 쪽 $y^*_-$에서 $f' > 0$(불안정). $y^*_-$는 "이보다 적으면 멸종"하는 문턱이다.
• $h = h_c$: 두 평형점이 $K/2$에서 합쳐져 하나(반안정)가 된다.
• $h > h_c$: 평형점이 없다. $f \lt 0$이 어디서나 성립해, 어떤 초기 개체 수에서도 개체군이 유한 시간에 0이 된다.

$h_c = rK/4$는 $f$가 최대인 $y = K/2$에서의 성장률 $r(K/2)(1/2)$이고, 지속적으로 거둘 수 있는 최대 수확량이라 최대 지속 생산량(maximum sustainable yield, MSY)이라 부릅니다. 그런데 MSY에서 운영하는 것은 칼날 위에 서는 일입니다. 평형점이 반안정이라 아래로 조금만 교란되어도 붕괴로 이어집니다.

(다)의 느린 붕괴는 위험합니다. 개체군이 수십 년 동안 서서히 줄어 "안정된 것처럼" 보이다가 갑자기 급락하기 때문입니다. 사라진 평형점이 남긴 이 느린 구간을 분기의 유령이라 부르고, 통과 시간은 $h - h_c$가 작을수록 $1/\sqrt{h - h_c}$에 비례해 길어집니다.

수확 모델을 $y = K/2 + u$로 옮기면 $u' = (rK/4 - h) - \frac rK u^2$로, 정확히 정규형입니다($\mu \propto h_c - h$). 분기의 전체 목록(갈퀴, 횡단, 호프)과 이력 현상은 13장에서 다룹니다.

쌍안정 스위치: 1비트를 기억하는 방정식

가장 간단한 모델은 다음과 같습니다(예제 4.7의 구조를 $y = \pm1$ 대칭으로 옮긴 것).

상태가 $-1$에 있을 때 입력 $s$를 주면 $f(y) = y - y^3 + s$의 그래프가 위로 올라갑니다. 3차 함수의 극솟값은 $y = -1/\sqrt3$에서 $-\frac{2}{3\sqrt3} + s$이므로, $s$가

를 넘으면 "꺼짐" 평형점이 문턱과 합쳐져 안장–마디 분기로 사라지고, 상태는 $+1$ 근처의 유일한 평형점으로 넘어갑니다. 그 뒤 입력을 0으로 되돌려도 상태는 $+1$에 머뭅니다. 끄려면 $s \lt -s_c$인 음의 펄스가 필요합니다. 상태가 입력의 과거에 따라 달라지는 이 현상이 이력 현상(hysteresis)이고, 비교기에 되먹임을 건 슈미트 트리거가 잡음 속에서도 깨끗하게 스위칭하는 원리와 같습니다.

펄스는 충분히 크고 길어야 합니다. $s > s_c$인 펄스라도 너무 짧으면 상태가 문턱(가운데 불안정점) 근처까지만 갔다가, 펄스가 끝난 뒤 원래 쪽으로 미끄러져 돌아옵니다. 펄스가 끝나는 순간 상태가 문턱을 넘어 있느냐가 기준입니다. 수치로 확인하면 $A = 0.8$인 펄스는 길이가 약 1.9, $A = 0.5$이면 약 5 이상이어야 스위칭됩니다. 문턱 $s_c$ 바로 위의 펄스는 사라진 평형점의 유령 근처에서 오래 머물기 때문입니다(7절). 반대로 $s \lt s_c$이면 아무리 오래 눌러도 스위칭되지 않고, 다만 평형점이 조금 이동할 뿐입니다.

이 도구가 쓰이는 곳

존재·유일성 정리는 "시뮬레이션 결과를 믿어도 되는가"의 수학적 근거이고, 위상선과 분기는 "매개변수를 바꾸면 무슨 일이 일어나는가"를 해를 풀지 않고 답하는 도구입니다.