Chapter 13

분기와 혼돈

12장에서는 매개변수가 고정된 비선형 시스템의 평형점과 안정성을 보았습니다. 이 장은 두 가지 질문을 던집니다. 첫째, 매개변수를 천천히 돌리면 위상 그림은 어떻게 바뀌는가? 평형점은 어느 순간 갑자기 생기거나 사라지고, 안정성을 맞바꾸고, 진동을 낳습니다. 이것이 분기입니다. 둘째, 방정식이 완전히 정해져 있는데도 미래를 예측할 수 없는 일이 가능한가? 변수가 셋만 되어도 그렇습니다. 로렌즈 방정식의 해는 결코 반복되지 않고, 처음의 아주 작은 차이를 지수적으로 키웁니다. 이것이 혼돈입니다.

이 수식이 없었다면앙상블 일기 예보

오늘날 기상청의 예보는 한 번의 계산이 아니라, 초기 관측값을 조금씩 흔든 수십 개의 계산(앙상블)을 함께 돌려서 만듭니다. 계산들이 서로 비슷하면 예보를 믿고, 갈라지면 불확실하다고 알립니다. 왜 한 번의 정확한 계산으로는 안 될까요? 대기 방정식이 혼돈계이기 때문입니다.

1963년 기상학자 로렌즈(Edward N. Lorenz)는 대류를 극단적으로 단순화한 변수 세 개짜리 방정식을 컴퓨터로 풀다가, 중간 결과를 소수 셋째 자리까지만 다시 넣은 계산이 원래 계산과 얼마 뒤 완전히 달라지는 것을 발견했습니다. 그는 이 결과를 「결정론적 비주기 흐름(Deterministic Nonperiodic Flow)」이라는 논문으로 발표했습니다. 방정식이 결정론적이어도 초기 오차가 지수적으로 자라면, 측정을 아무리 정밀하게 해도 예측 가능한 시간에는 한계가 있습니다. 이 장의 리아푸노프 지수가 그 한계를 숫자로 줍니다.

대기 대류 방정식→작은 초기 오차가 지수적으로 성장→혼돈 · 리아푸노프 지수→앙상블 예보와 예측 가능 시간

분기: 매개변수가 그림을 바꾼다

자를 눌러 휘게 하기

얇은 쇠자를 세워 위에서 누르면, 힘이 작을 때는 곧게 버팁니다. 힘을 조금씩 키우다 어떤 값(15장의 오일러 좌굴 하중)을 넘으면 자는 갑자기 왼쪽이나 오른쪽으로 휘어집니다. 힘은 연속적으로 바뀌었는데 상태는 질적으로 바뀌었습니다. 곧은 상태는 여전히 평형이지만 불안정해졌고, 대신 휜 상태 두 개가 새로 안정한 평형이 되었습니다. 방정식의 모양은 그대로인데 해의 구조가 바뀌는 이 순간을 어떻게 다룰까요?

4장에서 본 자율 방정식 x′=f(x)x' = f(x)에 매개변수 rr을 넣어 x′=f(x,r)x' = f(x, r)로 씁니다. rr이 조금 바뀌면 보통은 평형점이 조금 움직일 뿐 위상선의 모양(평형점의 개수와 안정성)은 그대로입니다. 그런데 특별한 rr에서는 모양이 바뀝니다.

정의 13.1 (분기와 분기도) 매개변수 rr에 의존하는 시스템의 위상 그림이 r=rcr = r_c를 지나며 질적으로(평형점이나 주기 궤도의 개수·안정성이) 바뀌는 것을 분기(bifurcation), rcr_c를 분기점이라 한다. 가로축에 rr, 세로축에 평형점 x∗x^*를 그리고 안정한 가지는 실선, 불안정한 가지는 점선으로 나타낸 그림을 분기도(bifurcation diagram)라 한다.

1차원에서 분기가 일어나려면 평형점이 있어야 하고(f=0f = 0), 그 평형점에서 안정성 판정이 애매해야 합니다(fx=0f_x = 0). fx≠0f_x \ne 0이면 음함수 정리로 평형점이 rr에 대해 매끄럽게 하나씩 이어지고 안정성도 바뀌지 않기 때문입니다.

정리 13.2 (분기의 필요조건) ff가 매끄럽고 r=rcr = r_c에서 x∗x^*가 x′=f(x,r)x' = f(x, r)의 평형점일 때, fx(x∗,rc)≠0f_x(x^*, r_c) \ne 0이면 rcr_c 근처의 각 rr에 대해 x∗x^* 근처에 평형점이 정확히 하나 있고 안정성도 같다. 따라서 분기점에서는
f(x∗,rc)=0,∂f∂x(x∗,rc)=0.f(x^*, r_c) = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial x}(x^*, r_c) = 0.

이 조건을 만족하는 전형적인 모양은 몇 가지뿐이고, 어떤 분기든 분기점 근처에서 변수를 바꾸면 아래 정규형(normal form) 가운데 하나로 줄어듭니다.

이름정규형일어나는 일
안장–마디x′=r+x2x' = r + x^2r<0r \lt 0: 평형점 ±−r\pm\sqrt{-r} 두 개(아래 안정, 위 불안정) → r=0r = 0에서 합쳐져 → r>0r > 0에서 사라짐
횡단x′=rx−x2x' = rx - x^2평형점 00과 rr이 늘 있고, r=0r = 0에서 만나 안정성을 맞바꿈
초임계 갈퀴x′=rx−x3x' = rx - x^3r<0r \lt 0: 0만 안정 → r>0r > 0: 0은 불안정, ±r\pm\sqrt r 두 개가 안정
아임계 갈퀴x′=rx+x3−x5x' = rx + x^3 - x^5r<0r \lt 0에서 불안정한 가지 ±\pm가 0으로 모여들어 r=0r = 0에서 0이 불안정해지면, 상태가 멀리 있는 큰 가지로 도약
안장–마디 rx* 횡단 r 초임계 갈퀴 r 아임계 갈퀴(5차) r 실선 = 안정한 평형점, 점선 = 불안정한 평형점, 세로선 = r = 0
그림 13-1. 1차원 분기의 네 정규형. 안장–마디에서는 평형점 한 쌍이 생기고 사라지며, 횡단에서는 두 가지가 교차하며 안정성을 바꾸고, 갈퀴에서는 대칭 x→−xx \to -x 때문에 가지가 한꺼번에 둘씩 갈라진다. 아임계 갈퀴는 꺾여 돌아오는 바깥 가지가 있어 이력 현상을 낳는다.
예제 13.1 (안장–마디 분기 찾기) x′=r−x−e−xx' = r - x - e^{-x}의 분기점을 찾고, 어떤 분기인지 말하라.
  1. 분기 조건: f=r−x−e−x=0f = r - x - e^{-x} = 0, fx=−1+e−x=0f_x = -1 + e^{-x} = 0. 둘째 식에서 x∗=0x^* = 0, 첫째 식에 넣으면 rc=0+1=1r_c = 0 + 1 = 1.
  2. 모양: x=0x = 0 근처에서 e−x≈1−x+x2/2e^{-x} \approx 1 - x + x^2/2이므로 f≈(r−1)−x2/2f \approx (r - 1) - x^2/2. 이것은 x′=(r−1)−x2/2x' = (r - 1) - x^2/2, 즉 안장–마디의 정규형이다(부호만 뒤집힘).
  3. 해석: r<1r \lt 1이면 평형점이 없고(xx가 계속 줄어듦), r>1r > 1이면 둘 생긴다. fx=−1+e−xf_x = -1 + e^{-x}이 음수인 x∗>0x^* > 0 쪽이 안정, x∗<0x^* \lt 0 쪽이 불안정하다.
  4. 수치 확인: r=1.5r = 1.5에서 x+e−x=1.5x + e^{-x} = 1.5를 이분법으로 풀면 x≈−0.858x \approx -0.858(불안정)과 x≈1.198x \approx 1.198(안정)이다. 정규형처럼 대칭은 아니지만, 분기점 근처의 질적 모양(두 평형점이 쌍으로 생김)은 같다.

아래 시뮬레이터의 왼쪽은 분기도, 오른쪽은 지금의 rr에서 그린 f(x,r)f(x, r) 그래프와 위상선입니다. 분기도의 세로선을 끌어 rr을 바꾸며 평형점이 합쳐지고 갈라지는 순간을 보세요. 오른쪽 그래프에서 ff의 곡선이 xx축에 접하는 순간이 바로 f=fx=0f = f_x = 0입니다.

SIMULATOR

분기도와 위상선: r을 끌어 평형점 만들고 없애기

분기도 x*(r): 세로선을 끌기
f(x, r)와 위상선
정규형
r—
평형점 수—
평형점(안정 ●, 불안정 ○)—
해볼 것: ① 안장–마디에서 r을 −0.5에서 0으로 올리며 두 평형점이 다가와 합쳐지는 것을 보세요. f의 곡선이 x축에 접합니다. ② 초임계 갈퀴에서 r을 0 위로 넘기면 원점이 불안정해지고 ±√r 두 점이 안정해집니다. 쇠자가 휘는 순간입니다. ③ 아임계에서 r ∈ (−0.25, 0)이면 안정한 평형점이 세 개(0과 바깥 둘)입니다. 모델: 평형점은 f의 부호 변화를 촘촘히 찾아 구하고, 안정성은 fx의 부호로 판정합니다.

이력 현상: 갈 때와 올 때가 다른 길

자석과 스위치의 기억

쇠를 자석에 가까이 했다 떼면 쇠는 조금 자화된 채로 남습니다. 바깥 자기장을 0으로 되돌려도 상태가 처음으로 돌아가지 않습니다. 이런 "기억"은 결점이 아니라 쓰임새이기도 합니다. 슈미트 트리거 회로는 잡음 섞인 입력에서 켜지는 문턱과 꺼지는 문턱을 일부러 다르게 둡니다. 어떤 방정식이 이런 행동을 만들까요?

가장 단순한 모형은 이중 우물 퍼텐셜에 바깥 힘 hh를 더한 것입니다.

x′=h+x−x3=−dVdx,V(x)=−hx−x22+x44.x' = h + x - x^3 = -\frac{dV}{dx}, \qquad V(x) = -hx - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4}.
xx는 상태(자화, 휨, 출력 전압), hh는 천천히 바꾸는 바깥 매개변수(자기장, 하중, 입력 전압).

평형점은 곡선 h=x3−xh = x^3 - x 위에 있습니다. 이 곡선을 hh를 가로축으로 놓고 그리면 S자 모양으로 접혀 있습니다(그림 13-2). 접힌 곳에서 dh/dx=3x2−1=0dh/dx = 3x^2 - 1 = 0, 즉 x=±1/3x = \pm 1/\sqrt3이고, 그때 h=∓233≈∓0.385h = \mp \frac{2}{3\sqrt3} \approx \mp 0.385입니다. 두 접힘점이 모두 안장–마디 분기점입니다.

hx* h = +0.385h = −0.385 위 가지아래 가지 한 바퀴 돌기 ① h를 올리면 아래 가지를 따라감 ② h = 0.385에서 가지가 사라짐 → 위 가지로 도약 ③ h를 내려도 위 가지에 머묾 ④ h = −0.385에서 아래로 도약 x³ − x − h = 0 접힘: x = ±1/√3 점선 가지는 불안정
그림 13-2. x′=h+x−x3x' = h + x - x^3의 평형 곡선. ∣h∣<0.385|h| \lt 0.385에서는 안정한 평형점이 둘(쌍안정)이라 상태가 어느 가지에 있는지는 지나온 길이 정한다. 접힘점에서 상태가 맞은편 가지로 뛰어 이력 고리를 만든다.
예제 13.2 (도약하는 곳과 도약한 뒤의 값) x′=h+x−x3x' = h + x - x^3에서 처음 x=−1x = -1, h=0h = 0인 상태로 시작해 hh를 아주 천천히 올린다. 상태가 언제 어디로 뛰는가?
  1. h=0h = 0의 평형점은 −1,0,1-1, 0, 1이고 fx=1−3x2f_x = 1 - 3x^2이 x=±1x = \pm 1에서 −2<0-2 \lt 0이므로 ±1\pm1이 안정, 0이 불안정이다. 상태는 x=−1x = -1 가지에 있다.
  2. hh를 올리면 이 가지는 x=−1/3≈−0.577x = -1/\sqrt3 \approx -0.577까지 올라오다 hc=2/(33)≈0.3849h_c = 2/(3\sqrt3) \approx 0.3849에서 불안정 가지와 합쳐져 사라진다.
  3. 그 순간 남은 평형점은 x3−x−hc=0x^3 - x - h_c = 0의 다른 근이다. 세 근의 합이 0이고 −1/3-1/\sqrt3이 중근이므로 남은 근은 2/3≈1.1552/\sqrt3 \approx 1.155. 상태는 −0.577-0.577에서 1.1551.155로 도약한다.
  4. 이제 hh를 0으로 되돌려도 상태는 x=1x = 1에 남는다. 아래로 돌아가려면 hh를 −0.385-0.385보다 더 내려야 한다. 고리의 폭은 2hc≈0.7702h_c \approx 0.770이다.

시뮬레이터에서 hh를 왕복시키며 공이 어느 우물에 있는지 보세요. 오른쪽 퍼텐셜 그림에서 한쪽 우물이 얕아지다 사라지는 순간이 접힘점입니다. 공은 그때까지 옛 우물에 머물러 있다가 한꺼번에 굴러 떨어집니다.

SIMULATOR

이력 고리: 기울어지는 이중 우물과 도약

평형 곡선 h = x³ − x와 지나온 길
퍼텐셜 V(x)와 공
h—
상태 x—
가지—
도약 횟수0
해볼 것: ① h를 천천히 오른쪽으로 끌어 0.385를 넘는 순간 공이 맞은편 우물로 떨어지는 것을 보세요. ② 다시 0으로 돌아와도 공은 오른쪽 우물에 남습니다. ③ 왕복 속도를 크게 하면 상태가 평형을 따라잡지 못해 고리가 더 넓어집니다(동적 이력). 모델: x′ = h + x − x³을 작은 간격으로 적분하고, h는 그 사이에 천천히 바뀝니다.

호프 분기: 고요가 진동을 낳을 때

바람이 세지면 떨기 시작하는 날개

항공기 날개나 송전선은 바람이 약할 때 작은 흔들림이 저절로 가라앉습니다. 그런데 바람이 어느 속도를 넘으면 흔들림이 스스로 커져 일정한 진폭의 진동(플러터, 갤로핑)에 자리 잡습니다. 평형점이 사라진 것은 아닙니다. 평형점이 불안정해지면서 그 주위에 주기 궤도가 생겼습니다. 1차원 분기로는 설명할 수 없는 일입니다. 1차원 흐름에는 진동이 없기 때문입니다.

2차원 평형점의 안정성은 야코비안의 고유값이 정합니다(12장). 실 고유값이 0을 지나면 앞 절의 분기가 일어납니다. 남은 가능성은 복소 고유값 쌍 α(μ)±iω(μ)\alpha(\mu) \pm i\omega(\mu)의 실수부가 0을 지나는 경우입니다. 안정한 나선(α<0\alpha \lt 0)이 불안정한 나선(α>0\alpha > 0)으로 바뀝니다. 가장 단순한 모형은 극좌표 (ρ,θ)(\rho, \theta)로 쓴 다음 시스템입니다.

ρ′=μρ−ρ3,θ′=ω.\rho' = \mu\rho - \rho^3, \qquad \theta' = \omega.
직교좌표로는 x′=μx−ωy−x(x2+y2)x' = \mu x - \omega y - x(x^2 + y^2), y′=ωx+μy−y(x2+y2)y' = \omega x + \mu y - y(x^2 + y^2). 원점의 야코비안 고유값은 μ±iω\mu \pm i\omega.

각도는 일정한 속도로 돌고, 반지름은 1차원 방정식 ρ′=μρ−ρ3\rho' = \mu\rho - \rho^3을 따릅니다. 이것은 앞 절의 초임계 갈퀴(ρ≥0\rho \ge 0 쪽 절반)입니다. μ<0\mu \lt 0이면 ρ→0\rho \to 0(안정한 나선), μ>0\mu > 0이면 ρ=0\rho = 0은 불안정하고 ρ→μ\rho \to \sqrt\mu로 갑니다. 반지름 μ\sqrt\mu인 원이 모든 궤적을 끌어당기는 한계 순환입니다.

정리 13.3 (호프 분기, 평면의 경우) 평면 시스템 x′=F(x,μ)\mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x}, \mu)의 평형점에서 야코비안 고유값이 α(μ)±iω(μ)\alpha(\mu) \pm i\omega(\mu)이고, α(0)=0\alpha(0) = 0, ω(0)≠0\omega(0) \ne 0, α′(0)≠0\alpha'(0) \ne 0(허수축을 속도를 가지고 건넘)이라 하자. 그러면 μ=0\mu = 0 근처에서 평형점 주위에 주기 궤도의 한 가족이 생기거나 사라지고, 그 진폭은 ∣μ∣\sqrt{|\mu|}에 비례하며 주기는 2π/ω(0)2\pi/\omega(0)에 가깝다. 비선형 항이 정하는 첫 번째 리아푸노프 계수의 부호가 음이면 μ>0\mu > 0 쪽에 안정한 한계 순환이 생기고(초임계 호프 분기), 양이면 μ<0\mu \lt 0 쪽에 불안정한 순환이 있다가 μ=0\mu = 0에서 평형점과 합쳐진다(아임계 호프 분기).

이 정리는 1942년 호프(Eberhard Hopf)가 일반 차원에서 증명한 것으로 알려져 있으며, 평면 경우는 그 전에 앙드로노프 등이 다루었기 때문에 앙드로노프–호프 분기라고도 부릅니다. 초임계에서는 진동이 진폭 0부터 부드럽게 자라므로 매개변수를 되돌리면 진동도 부드럽게 사라집니다. 아임계에서는 평형점이 불안정해지는 순간 근처에 머물 안정한 순환이 없어 상태가 큰 진동으로 도약하고, 되돌릴 때 이력이 생깁니다. 공학에서 아임계 호프 분기가 더 위험하게 여겨지는 이유입니다.

예제 13.3 (한계 순환의 반지름과 수치 확인) ω=1\omega = 1, μ=0.25\mu = 0.25일 때 위 시스템의 원점을 분류하고, (x,y)=(0.1,0)(x, y) = (0.1, 0)에서 출발한 해가 어디로 가는지 구하라.
  1. 원점의 야코비안은 [μ−11μ]\begin{bmatrix} \mu & -1 \\ 1 & \mu \end{bmatrix}, 고유값 0.25±i0.25 \pm i. 실수부가 양이므로 불안정한 나선이다.
  2. 반지름 방정식 ρ′=0.25ρ−ρ3\rho' = 0.25\rho - \rho^3은 베르누이 방정식(3장)이다. u=ρ−2u = \rho^{-2}로 바꾸면 u′=−2μu+2u' = -2\mu u + 2, 해는 u=1/μ+(u0−1/μ)e−2μtu = 1/\mu + (u_0 - 1/\mu)e^{-2\mu t}. 따라서 ρ(t)2=μ1+(μ/ρ02−1)e−2μt\rho(t)^2 = \dfrac{\mu}{1 + (\mu/\rho_0^2 - 1)e^{-2\mu t}}.
  3. t→∞t \to \infty이면 ρ→μ=0.5\rho \to \sqrt{\mu} = 0.5. 해는 반지름 0.5인 원에 바깥으로 감기며 다가가고, 주기 2π2\pi로 돈다.
  4. 수치 확인: RK4로 t=30t = 30까지 적분하면 ρ=0.49999\rho = 0.49999이다. ρ0=1\rho_0 = 1에서 출발하면 바깥에서 안으로 같은 원에 붙는다.
SIMULATOR

호프 분기: 고유값이 허수축을 건너면 나선이 순환이 된다

위상 평면: 클릭해 출발점 추가
고유값 μ ± iω (복소평면)
종류
고유값—
원점—
순환 반지름—
해볼 것: ① 초임계에서 μ를 −0.15에서 +0.15로 넘기면 궤적이 원점으로 감겨 들어가다가 반지름 √μ인 원(실선)으로 모입니다. ② 아임계(ρ′ = μρ + ρ³ − ρ⁵)에서 μ ∈ (−0.25, 0)이면 안쪽 점선 원(불안정 순환)과 바깥 실선 원(안정 순환)이 함께 있어, 출발점에 따라 원점이나 큰 순환으로 갑니다. ③ μ를 0 위로 올리면 원점 근처의 궤적이 작은 진동 없이 큰 순환으로 뜁니다. 모델: θ′ = 1, ρ′는 각 정규형, RK4.

푸앵카레 단면: 흐름을 사상으로

궤도 전체 대신 한 지점만 지켜보기

주기 궤도가 안정한지 알고 싶습니다. 평형점처럼 야코비안 하나로 끝나지 않습니다. 궤도는 점이 아니라 고리이기 때문입니다. 행성 궤도를 연구하던 푸앵카레(Henri Poincaré)는 궤도 전체를 보는 대신 궤적이 어떤 면을 지날 때마다 그 위치만 기록하는 방법을 썼습니다. 연속 시간의 흐름이 이산 시간의 점 찍기로 바뀝니다.

정의 13.4 (푸앵카레 단면과 귀환 사상) nn차원 흐름에서 궤적이 가로질러 지나가는 (n−1)(n-1)차원 면 Σ\Sigma를 푸앵카레 단면(Poincaré section)이라 한다. Σ\Sigma 위의 점 p\mathbf{p}에서 출발한 궤적이 같은 방향으로 Σ\Sigma를 다시 지나는 첫 점을 P(p)P(\mathbf{p})라 할 때, P:Σ→ΣP : \Sigma \to \Sigma를 푸앵카레 사상(귀환 사상)이라 한다. 주기 TT로 강제되는 시스템에서는 t=0,T,2T,…t = 0, T, 2T, \dots마다 상태를 찍는 스트로보 사상이 같은 역할을 한다.
Σ p₀p₁p* 흐름: 궤적이 고리(p*를 지나는 주기 궤도)로 감겨 간다 pₙpₙ₊₁ = P(pₙ) 고정점 P(p*) = p* 대각선
그림 13-3. 왼쪽: 흐름의 궤적이 단면 Σ를 지날 때마다 점 p₀, p₁, …이 찍힌다. 주기 궤도는 Σ를 늘 같은 점 p*에서 지나므로 p*는 귀환 사상의 고정점이다. 오른쪽: 귀환 사상의 그래프와 대각선 사이를 오가는 거미줄 그림. 기울기가 1보다 작은 고정점으로 점들이 모인다.

주기 궤도는 귀환 사상의 고정점 P(p∗)=p∗P(\mathbf{p}^*) = \mathbf{p}^*이고, 그 안정성은 고정점에서의 미분이 정합니다. 1차원 단면이면 ∣P′(p∗)∣<1|P'(p^*)| \lt 1일 때 근처의 점들이 매번 ∣P′∣|P'|배씩 가까워지므로 안정합니다. 이 미분값을 플로케 승수(Floquet multiplier)라고 부릅니다.

정리 13.5 (고정점의 안정성) 1차원 사상 pn+1=P(pn)p_{n+1} = P(p_n)의 고정점 p∗p^*에서 PP가 매끄러울 때, ∣P′(p∗)∣<1|P'(p^*)| \lt 1이면 p∗p^*는 점근 안정하고 ∣P′(p∗)∣>1|P'(p^*)| > 1이면 불안정하다. P′(p∗)P'(p^*)가 음수이면 점들이 고정점 양쪽을 번갈아 뛰며 다가가거나 멀어진다.

증명 아이디어. en=pn−p∗e_n = p_n - p^*라 하면 테일러 전개로 en+1=P′(p∗)en+O(en2)e_{n+1} = P'(p^*)e_n + O(e_n^2). 작은 ene_n에서는 등비수열 en≈(P′(p∗))ne0e_n \approx (P'(p^*))^n e_0처럼 행동한다. 흐름의 평형점에서 eλte^{\lambda t}가 했던 일을 사상에서는 λn\lambda^n이 한다. ∎

예제 13.4 (호프 정규형의 귀환 사상) ρ′=μρ−ρ3\rho' = \mu\rho - \rho^3, θ′=1\theta' = 1에서 단면 Σ={θ=0, ρ>0}\Sigma = \{\theta = 0,\ \rho > 0\}(양의 xx축)의 귀환 사상을 구하고 한계 순환의 플로케 승수를 계산하라.
  1. θ′=1\theta' = 1이므로 한 바퀴는 정확히 시간 2π2\pi이다. 예제 13.3의 해에 t=2πt = 2\pi를 넣으면 P(ρ)=μ1+(μ/ρ2−1)e−4πμP(\rho) = \sqrt{\dfrac{\mu}{1 + (\mu/\rho^2 - 1)e^{-4\pi\mu}}}.
  2. 고정점: P(ρ)=ρP(\rho) = \rho이면 μ/ρ2−1=(μ/ρ2−1)e−4πμ\mu/\rho^2 - 1 = (\mu/\rho^2 - 1)e^{-4\pi\mu}, 따라서 ρ∗=μ\rho^* = \sqrt\mu(μ>0\mu > 0). 한계 순환이다.
  3. 승수: 고정점 근처에서 반지름 방정식을 선형화하면 ddρ(μρ−ρ3)=μ−3ρ2=−2μ\frac{d}{d\rho}(\mu\rho - \rho^3) = \mu - 3\rho^2 = -2\mu. 한 바퀴(2π2\pi) 동안 섭동은 e−2μ⋅2πe^{-2\mu\cdot 2\pi}배가 되므로 P′(μ)=e−4πμP'(\sqrt\mu) = e^{-4\pi\mu}.
  4. μ=0.1\mu = 0.1이면 P′(μ)=e−0.4π≈0.2846P'(\sqrt\mu) = e^{-0.4\pi} \approx 0.2846. 한 바퀴마다 순환에서의 거리가 약 28%로 줄어든다. 수치 미분으로 구한 값도 0.28461이다.
SIMULATOR

푸앵카레 사상: 한 바퀴마다 한 점, 거미줄로 읽는 안정성

흐름과 단면 Σ(양의 x축)
귀환 사상 ρₙ₊₁ = P(ρₙ): 점 ρ₀을 끌기
ρ₀ → ρ₁ → ρ₂ …—
고정점 ρ*—
승수 P′(ρ*)—
해볼 것: ① 오른쪽 그래프의 점 ρ₀을 끌어 안쪽·바깥쪽에서 출발시켜 보세요. 거미줄이 모두 고정점 √μ로 모입니다. ② μ를 0에 가깝게 하면 승수 e−4πμ가 1에 가까워져 수렴이 아주 느려집니다(분기점 근처의 임계 느려짐). ③ μ < 0이면 고정점은 0뿐이고 점들이 0으로 갑니다. 모델: 예제 13.4의 닫힌 꼴 P(ρ)를 쓰고, 왼쪽의 흐름은 RK4로 그립니다.

강제 감쇠 진동자: 더핑 방정식

두 자석 사이에서 휘청이는 강철 보

얇은 강철 보를 아래쪽 두 자석 사이에 매달면, 보는 곧은 자리에 있지 못하고 왼쪽 자석이나 오른쪽 자석 쪽으로 휜 두 자리에서 안정합니다(이중 우물). 이 틀 전체를 주기적으로 흔들면 어떻게 될까요? 흔드는 힘이 작으면 한 우물 안에서 흔들리고, 크면 두 우물을 규칙적으로 오갑니다. 그 사이 어딘가에서 보는 왼쪽과 오른쪽을 불규칙하게 오가기 시작합니다. 방정식은 2계 하나뿐인데 말입니다.

7·8장의 강제 감쇠 진동자 x′′+δx′+ω02x=γcos⁡ωtx'' + \delta x' + \omega_0^2x = \gamma\cos\omega t에 3차 복원력을 더한 것이 더핑 방정식(Duffing equation)입니다. 1918년 더핑(Georg Duffing)이 비선형 진동을 다룬 책에서 체계적으로 연구했습니다.

x′′+δx′+αx+βx3=γcos⁡ωt.x'' + \delta x' + \alpha x + \beta x^3 = \gamma\cos\omega t.
α=−1, β=1\alpha = -1,\ \beta = 1이면 퍼텐셜 V(x)=−12x2+14x4V(x) = -\tfrac12 x^2 + \tfrac14 x^4는 x=±1x = \pm1에 우물이 둘, x=0x = 0에 언덕이 하나다. 이 절에서는 δ=0.3, ω=1.2\delta = 0.3,\ \omega = 1.2로 두고 강제 진폭 γ\gamma를 바꾼다.

강제력이 시간에 따라 바뀌므로 이 시스템은 (x,x′)(x, x') 평면에서 자율적이지 않습니다. 시각 tt를 각도 ϕ=ωt(mod2π)\phi = \omega t \pmod{2\pi}로 보면 상태 공간은 (x,x′,ϕ)(x, x', \phi)의 3차원이 되고, 그래서 평면에서는 불가능했던 혼돈이 가능해집니다. 12장의 푸앵카레–벤딕슨 정리는 평면의 자율 시스템에서 유계 궤적이 결국 평형점이나 주기 궤도(또는 그것들을 잇는 고리)로 간다고 말합니다. 혼돈에는 적어도 3차원이 필요합니다.

운동을 보는 가장 좋은 방법은 강제 주기 T=2π/ωT = 2\pi/\omega마다 상태를 찍는 스트로보 사상입니다. 응답이 강제와 같은 주기이면 점 하나, 주기가 두 배이면 점 둘이 번갈아 찍힙니다. 혼돈이면 점들이 접히고 늘어진 모양의 집합을 채워 나가는데, 이것이 기묘한 끌개(strange attractor)의 단면입니다.

γ스트로보 점의 수(300주기 뒤 100개 중)운동
0.201한 우물 안의 주기 1 진동
0.282주기 2(주기 배가 한 번)
0.294주기 4
0.30거의 100혼돈
0.355주기 5의 창
0.50거의 100두 우물을 오가는 혼돈

위 표는 (x,x′)=(1,0)(x, x') = (1, 0)에서 출발해 RK4(한 주기에 200걸음)로 300주기를 버린 뒤 100주기 동안 찍은 점을 세어 얻은 것입니다. 주기가 1 → 2 → 4로 배가되다 혼돈에 들어가는 길은 마지막 절의 로지스틱 사상에서 다시 만납니다. 비선형 시스템에서는 해가 출발점에 따라 다른 끌개로 갈 수 있으므로, 같은 γ\gamma에서도 다른 출발점은 다른 표를 줄 수 있습니다.

주의: 감쇠 없는 공진과 혼돈은 다르다 8장의 공진은 선형 방정식에서 진폭이 커지는 현상이고, 해는 닫힌 꼴로 쓰이며 예측 가능합니다. 더핑 진동자의 혼돈은 진폭이 무한히 커지는 것이 아니라 유계인 채로 불규칙합니다. 감쇠 δ>0\delta > 0이 상태 공간의 부피를 줄이고(부피 수축률 e−δte^{-\delta t}), 강제력이 에너지를 넣어, 궤적이 한정된 영역 안에서 늘어나고 접히기를 되풀이합니다.
SIMULATOR

더핑 진동자: 위상 궤적과 스트로보 단면

위상 평면 (x, x′): 최근 궤적
스트로보 단면: t = nT마다 한 점
프리셋
지난 주기 수—
찍힌 점—
최근 64점의 서로 다른 값—
해볼 것: ① '주기 1'에서 스트로보 점이 한 점에 모이고, '주기 2'에서 두 점을 번갈아 찍는 것을 보세요. ② '혼돈'을 두고 기다리면 점들이 접힌 띠 모양의 끌개를 채웁니다. 몇 백 점이면 모양이 보입니다. ③ γ를 0.35에 두면 혼돈 속의 주기 5 창이 나타납니다. 모델: x″ + 0.3x′ − x + x³ = γ cos 1.2t, RK4(한 주기 200걸음). γ를 바꾸면 처음 30주기는 과도 상태로 보고 점을 찍지 않습니다.

로렌즈 방정식과 끌개

아래에서 데우는 유체층

냄비 바닥을 약하게 데우면 열은 전도로만 위로 전달되고 물은 가만히 있습니다. 더 세게 데우면 따뜻한 물이 오르고 찬물이 내려가는 대류 롤이 생겨 일정하게 돕니다. 더 세게 데우면 롤의 회전 방향이 불규칙하게 뒤집히기 시작합니다. 로렌즈는 이 대류를 기술하는 편미분방정식을 가장 큰 모드 세 개만 남기고 잘라 다음 방정식을 얻었습니다.

x′=σ(y−x),y′=x(ρ−z)−y,z′=xy−βz.x' = \sigma(y - x), \qquad y' = x(\rho - z) - y, \qquad z' = xy - \beta z.
xx: 대류 롤의 회전 세기(부호 = 회전 방향), yy: 오르는 흐름과 내리는 흐름의 온도 차, zz: 수직 온도 분포가 선형에서 벗어난 정도. σ\sigma: 프란틀 수, ρ\rho: 가열 세기(레일리 수에 비례), β\beta: 상자의 모양. 로렌즈가 쓴 값은 σ=10, β=8/3, ρ=28\sigma = 10,\ \beta = 8/3,\ \rho = 28.

이 시스템은 (x,y)→(−x,−y)(x, y) \to (-x, -y)에 대해 대칭이고(롤의 회전 방향을 뒤집어도 물리는 같음), 몇 가지를 손으로 알 수 있습니다.

정리 13.6 (로렌즈 시스템의 성질) σ,β,ρ>0\sigma, \beta, \rho > 0일 때
  1. 부피 수축. 벡터장의 발산은 ∂x′∂x+∂y′∂y+∂z′∂z=−σ−1−β\frac{\partial x'}{\partial x} + \frac{\partial y'}{\partial y} + \frac{\partial z'}{\partial z} = -\sigma - 1 - \beta로 상수다. 상태 공간의 어떤 부피든 e−(σ+1+β)te^{-(\sigma + 1 + \beta)t}로 줄어들어, 끌개의 부피는 0이다.
  2. 평형점. 원점은 늘 평형점이다. ρ>1\rho > 1이면 두 대류 상태 C±=(±β(ρ−1), ±β(ρ−1), ρ−1)C_\pm = \left(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\right)가 더 있다. ρ=1\rho = 1이 갈퀴 분기다.
  3. 안정성. ρ<1\rho \lt 1이면 원점이 전역 점근 안정(전도 상태). 1<ρ<ρH1 \lt \rho \lt \rho_H에서 C±C_\pm가 안정(정상 대류), σ>β+1\sigma > \beta + 1일 때 ρH=σ(σ+β+3)σ−β−1\rho_H = \dfrac{\sigma(\sigma + \beta + 3)}{\sigma - \beta - 1}에서 C±C_\pm는 아임계 호프 분기로 안정성을 잃는다.
예제 13.5 (로렌즈가 쓴 값에서의 평형점) σ=10, β=8/3, ρ=28\sigma = 10,\ \beta = 8/3,\ \rho = 28일 때 평형점과 원점의 안정성, ρH\rho_H를 구하라.
  1. β(ρ−1)=83⋅27=72\beta(\rho - 1) = \tfrac83\cdot 27 = 72이므로 C±=(±62, ±62, 27)≈(±8.485, ±8.485, 27)C_\pm = (\pm 6\sqrt2,\ \pm 6\sqrt2,\ 27) \approx (\pm 8.485,\ \pm 8.485,\ 27).
  2. 원점의 야코비안은 [−1010028−1000−8/3]\begin{bmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 28 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -8/3 \end{bmatrix}. zz 방향 고유값 −8/3-8/3, 나머지는 λ2+11λ−270=0\lambda^2 + 11\lambda - 270 = 0의 근 λ=−11±12012≈11.83, −22.83\lambda = \frac{-11 \pm \sqrt{1201}}{2} \approx 11.83,\ -22.83. 양의 고유값이 있으므로 원점은 안장점이다.
  3. ρH=10(10+8/3+3)10−8/3−1=470/319/3=47019≈24.74\rho_H = \dfrac{10(10 + 8/3 + 3)}{10 - 8/3 - 1} = \dfrac{470/3}{19/3} = \dfrac{470}{19} \approx 24.74. ρ=28>ρH\rho = 28 > \rho_H이므로 C±C_\pm도 불안정하다.
  4. 결론: 평형점 셋이 모두 불안정하고, 부피는 줄어들며, 궤적은 유계 영역에 갇힌다. 해는 평형점으로도 가지 않고(불안정), 주기 궤도로 정착하지도 않는다(관찰). 이 유계이고 부피 0인 집합이 로렌즈 끌개다.

아래 시뮬레이터는 끌개를 3차원으로 그립니다. 끌어서 돌려 보면 끌개가 두 C±C_\pm 주위를 도는 두 날개로 이루어진 것을 볼 수 있습니다. 궤적은 한쪽 날개를 몇 바퀴 돌다가 예측하기 어려운 순간에 맞은편 날개로 넘어갑니다. 두 번째 궤적(분홍)은 첫 궤적에서 xx만 아주 조금 다르게 출발합니다.

SIMULATOR

로렌즈 끌개: 끌어서 돌리고, 두 궤적이 갈라지는 것 보기

끌어서 회전
t—
두 궤적의 거리—
ρ 구간—
해볼 것: ① ρ = 28에서 두 궤적이 한동안 겹쳐 하나로 보이다가 δ₀ = 10−9이면 t ≈ 20 근처에서 갈라져 서로 다른 날개를 도는 것을 보세요. ② ρ = 15로 내리면 궤적이 C± 하나로 나선을 그리며 내려앉습니다(정상 대류). ③ ρ = 0.5이면 원점으로 갑니다(전도). 모델: σ = 10, β = 8/3, RK4(Δt = 0.005). 3차원은 회전한 뒤 정사영합니다.

초기값 민감성과 리아푸노프 지수

측정을 천 배 정밀하게 하면 예보는 얼마나 길어지나

예보가 틀리는 원인이 초기 관측 오차라면, 관측망을 늘려 오차를 천 배 줄이면 예보 기간도 천 배 길어질까요? 선형 안정 시스템이라면 오차가 커지지 않으니 걱정할 것이 없고, 오차가 시간에 비례해 커진다면 천 배 길어집니다. 혼돈계에서는 답이 훨씬 비관적입니다.

로렌즈 시뮬레이터에서 두 궤적의 거리를 로그 눈금으로 그려 보면, 처음 한동안 거의 직선으로 오릅니다. 즉 거리가 지수적으로 자랍니다. 그러다 끌개의 크기(수십)에 닿으면 더는 자라지 못하고 오르내립니다.

정의 13.7 (초기값 민감성과 리아푸노프 지수) 시스템이 초기값 민감성(sensitive dependence on initial conditions)을 가진다는 것은, 아무리 가까운 두 출발점도 시간이 지나면 일정한 거리 이상 벌어지는 것이 있다는 뜻이다. 아주 작은 처음 차이 δ0\delta_0가 ∣δ(t)∣≈∣δ0∣eλt|\delta(t)| \approx |\delta_0|e^{\lambda t}로 자랄 때, 극한
λ=lim⁡t→∞ lim⁡∣δ0∣→0 1tln⁡∣δ(t)∣∣δ0∣\lambda = \lim_{t \to \infty}\ \lim_{|\delta_0| \to 0}\ \frac1t\ln\frac{|\delta(t)|}{|\delta_0|}
을 (최대) 리아푸노프 지수(Lyapunov exponent)라 한다. λ>0\lambda > 0이고 궤적이 유계이며 주기적이지 않을 때 그 운동을 혼돈이라 부른다.

로렌즈가 쓴 매개변수에서 최대 리아푸노프 지수는 약 0.9입니다(두 궤적을 함께 적분하며 거리가 커질 때마다 다시 δ0\delta_0로 줄여 로그 증가량을 평균하는 방법으로 이 책의 RK4 계산은 0.90을 줍니다). 평형점에서의 고유값 실수부와 같은 역할을 궤적 전체에 대해 평균한 값이라고 보면 됩니다.

정리 13.8 (예측 가능 시간) 처음 오차가 δ0\delta_0, 허용 오차가 Δ\Delta, 리아푸노프 지수가 λ>0\lambda > 0이면 예측이 쓸모 있는 시간은 대략
T예측≈1λln⁡Δδ0.T_{\text{예측}} \approx \frac1\lambda\ln\frac{\Delta}{\delta_0}.
오차를 kk배 줄여도 예측 시간은 ln⁡kλ\frac{\ln k}{\lambda}만큼 더해질 뿐이다.
예제 13.6 (천 배 정밀한 관측의 값어치) 로렌즈 시스템(λ≈0.9\lambda \approx 0.9)에서 처음 오차 10−610^{-6}, 허용 오차 1일 때 예측 가능 시간은? 처음 오차를 10−910^{-9}로 줄이면?
  1. T≈10.9ln⁡106=13.820.9≈15.4T \approx \frac{1}{0.9}\ln 10^6 = \frac{13.82}{0.9} \approx 15.4.
  2. 10−910^{-9}이면 T≈20.720.9≈23.0T \approx \frac{20.72}{0.9} \approx 23.0. 오차를 1000배 줄였는데 예측 시간은 ln⁡10000.9≈7.7\frac{\ln 1000}{0.9} \approx 7.7만 늘었다.
  3. 이 시스템의 시간 단위에서 한쪽 날개를 한 바퀴 도는 데 평균 약 0.75가 걸리므로, 15라는 시간은 수십 바퀴에 해당한다. 그 뒤로는 어느 날개에 있을지조차 맞힐 수 없다.

아래 시뮬레이터는 같은 계산을 직접 해 봅니다. 위 그래프는 두 궤적의 x(t)x(t), 아래 그래프는 ln⁡∣δ(t)∣\ln|\delta(t)|입니다. 직선 부분의 기울기가 리아푸노프 지수이고, 점선 수평선이 허용 오차입니다.

SIMULATOR

오차의 지수 성장: ln|δ(t)|의 기울기와 예측 가능 시간

두 궤적의 x(t)
ln|δ(t)|와 기울기 λ인 직선
맞춘 기울기 λ̂—
어림 ln(Δ/δ₀)/0.9—
실제로 |δ| = Δ인 시각—
해볼 것: ① δ₀를 10−6에서 10−9로 줄여 보세요. 갈라지는 시각이 약 7~8만큼만 늦춰집니다. ② '다른 출발점'을 여러 번 눌러 보면 맞춘 기울기가 대략 0.7~0.95 사이에서 흔들리고, 갈라지는 시각도 몇 단위씩 달라집니다. 리아푸노프 지수는 긴 시간 평균이라 짧은 구간의 기울기는 출발점에 따라 다릅니다. 모델: 로렌즈(σ = 10, ρ = 28, β = 8/3), 처음 차이는 x 방향, RK4(Δt = 0.005), 기울기는 ln|δ|가 ln δ₀ + 2와 ln Δ − 1 사이에 있는 구간의 최소제곱 직선.

로지스틱 사상과 주기 배가

한 해에 한 번 번식하는 곤충

세대가 겹치지 않는 곤충 개체 수를 해마다 한 번 셉니다. 올해 수 xnx_n(수용력에 대한 비율)이 많으면 다음 해에 더 많이 낳지만, 너무 많으면 먹이가 모자라 줄어듭니다. 2장의 로지스틱 미분방정식은 부드럽게 수용력에 다가갔습니다. 같은 생각을 해마다 한 번 계산하는 차분 방정식으로 쓰면 무슨 일이 생길까요? 1976년 생태학자 메이(Robert May)는 『네이처』 논문에서 이 단순한 식이 매우 복잡한 행동을 보인다는 점을 널리 알렸습니다.

xn+1=f(xn)=r xn(1−xn),0≤xn≤1,  0<r≤4.x_{n+1} = f(x_n) = r\,x_n(1 - x_n), \qquad 0 \le x_n \le 1,\ \ 0 \lt r \le 4.

이 로지스틱 사상(logistic map)은 앞 절들의 푸앵카레 사상을 극단적으로 단순하게 만든 모형으로 볼 수 있습니다. 1차원이지만 사상은 흐름과 달리 점을 건너뛸 수 있어서 1차원에서도 혼돈이 가능합니다.

예제 13.7 (r2=1+6r_2 = 1 + \sqrt6 유도) 주기 2 궤도 {p,q}\{p, q\}가 안정성을 잃는 rr을 구하라.
  1. p,qp, q는 f(f(x))=xf(f(x)) = x의 근 가운데 고정점이 아닌 것이다. f(f(x))−xf(f(x)) - x를 x(rx−r+1)x(rx - r + 1)로 나누면 r2x2−r(r+1)x+(r+1)=0r^2x^2 - r(r + 1)x + (r + 1) = 0. 실근을 가지려면 판별식 r2(r+1)2−4r2(r+1)=r2(r+1)(r−3)≥0r^2(r+1)^2 - 4r^2(r+1) = r^2(r+1)(r-3) \ge 0, 즉 r≥3r \ge 3. 주기 2는 r=3r = 3에서 태어난다.
  2. 근과 계수의 관계: p+q=r+1rp + q = \frac{r+1}{r}, pq=r+1r2pq = \frac{r+1}{r^2}.
  3. 주기 2 궤도는 사상 f∘ff \circ f의 고정점이고, 연쇄 법칙으로 그 승수는 (f∘f)′(p)=f′(p)f′(q)=r2(1−2p)(1−2q)=r2(1−2(p+q)+4pq)=−r2+2r+4(f\circ f)'(p) = f'(p)f'(q) = r^2(1 - 2p)(1 - 2q) = r^2\bigl(1 - 2(p+q) + 4pq\bigr) = -r^2 + 2r + 4.
  4. 승수가 −1-1이 되는 곳: −r2+2r+4=−1-r^2 + 2r + 4 = -1, r2−2r−5=0r^2 - 2r - 5 = 0, r=1+6≈3.449r = 1 + \sqrt6 \approx 3.449. 그 너머에서 주기 4가 생긴다. 수치 반복으로도 r=3.449r = 3.449 근처에서 점 2개가 4개로 갈라진다.

배가 간격의 비를 계산해 보면 r2−r1r3−r2≈4.751\frac{r_2 - r_1}{r_3 - r_2} \approx 4.751, r3−r2r4−r3≈4.656\frac{r_3 - r_2}{r_4 - r_3} \approx 4.656, r4−r3r5−r4≈4.668\frac{r_4 - r_3}{r_5 - r_4} \approx 4.668로 한 값에 다가갑니다.

파이겐바움 상수 주기 배가로 혼돈에 들어가는 1차원 사상에서 배가가 일어나는 매개변수 rkr_k의 간격 비는
δ=lim⁡k→∞rk−rk−1rk+1−rk=4.669201…\delta = \lim_{k\to\infty}\frac{r_k - r_{k-1}}{r_{k+1} - r_k} = 4.669201\ldots
로 수렴한다. 1970년대 후반 파이겐바움(Mitchell Feigenbaum)이 발견한 이 값은 로지스틱 사상만의 것이 아니라 꼭대기가 하나이고 2차인 사상 전체에 공통이다(보편성). 그래서 더핑 진동자, 대류 실험, 전자 회로에서 측정한 주기 배가 간격도 같은 비에 가깝게 나온다.

혼돈 영역 안에도 질서가 있습니다. r=1+8≈3.8284r = 1 + \sqrt8 \approx 3.8284에서 주기 3 궤도가 안장–마디 분기로 갑자기 나타나 좁은 주기 3 창을 엽니다. 이 창을 확대하면 그 안에서 다시 주기 배가(3 → 6 → 12 …)가 일어나 처음 그림의 축소판이 보입니다. r=4r = 4에서는 리아푸노프 지수(사상에서는 λ=lim⁡1N∑ln⁡∣f′(xn)∣\lambda = \lim \frac1N\sum\ln|f'(x_n)|)가 정확히 ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693으로, 오차가 한 번 반복마다 평균 두 배가 됩니다.

SIMULATOR

로지스틱 사상: 분기도 확대와 거미줄 그림

분기도: 끌어서 확대, 클릭해 r 고르기
거미줄 그림 xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ)
보기
r—
주기—
리아푸노프 지수 λ—
해볼 것: ① r을 2.9 → 3.1 → 3.5로 올리며 거미줄이 한 점 → 사각형 하나(주기 2) → 겹친 사각형(주기 4)으로 바뀌는 것을 보세요. ② '주기 3 창'을 누르면 3.83 근처가 확대되고, 그 안에서 다시 배가가 일어납니다. ③ 분기도 위를 끌어 네모를 그리면 그 부분이 확대됩니다. 어디를 확대해도 비슷한 무늬가 나옵니다. 모델: 열마다 x₀ = 0.5에서 600번 버리고 다음 점들을 찍습니다. λ는 2000번 반복의 ln|r(1 − 2x)| 평균입니다.

예측의 한계

혼돈은 "무작위"와 다릅니다. 로렌즈 방정식에는 확률이 하나도 들어 있지 않고, 같은 초기값을 넣으면 늘 같은 답이 나옵니다. 문제는 같은 초기값을 넣을 수 없다는 데 있습니다. 측정은 유한한 자릿수를 주고, 컴퓨터도 유한한 자릿수로 계산합니다. 리아푸노프 지수가 양수이면 그 마지막 자리의 차이가 결국 첫 자리까지 올라옵니다.

결정론규칙은 완전히 정해져 있다지금 상태가 다음 순간을 정한다는 이 책의 관점은 혼돈에서도 그대로다. 존재·유일성 정리(4장)도 성립한다.
λ > 0그러나 오차는 지수적으로 자란다예측 가능 시간은 1λln⁡(Δ/δ0)\frac1\lambda\ln(\Delta/\delta_0). 정밀도를 높이는 것은 로그로만 보상받는다.
끌개통계는 예측할 수 있다어느 날개에 있을지는 몰라도 끌개의 모양, 평균, 분포는 안정적이다. 날씨는 못 맞혀도 기후는 다룰 수 있는 이유다.

그래서 혼돈계를 다루는 실무의 답은 두 가지입니다. 첫째, 한 번의 계산 대신 여러 계산의 분포를 봅니다(앙상블 예보). 갈라지는 속도 자체가 그날 예보의 신뢰도를 알려 줍니다. 둘째, 수치 해법의 오차도 초기 오차처럼 자라므로, 혼돈계의 긴 시간 수치해는 "참 해의 정확한 근사"가 아니라 "끌개 위의 그럴듯한 한 궤적"으로 해석합니다(5장의 오차 분석은 짧은 시간에만 의미가 있습니다). 날씨의 예측 가능 한계는 보통 두 주 안팎으로 이야기됩니다.

혼돈의 세 재료 기억하기 쉬운 그림은 밀가루 반죽입니다. 늘이기(가까운 점이 멀어짐, λ>0\lambda > 0), 접기(유계 영역에 다시 넣음), 되풀이입니다. 로지스틱 사상은 구간 [0,1][0, 1]을 두 배로 늘여 반으로 접고(r=4r = 4), 로렌즈 흐름과 더핑 단면도 같은 일을 3차원에서 합니다. 늘이기만 하면 발산하고, 접기만 하면 수축할 뿐입니다.

이 도구가 쓰이는 곳

분기 이론은 "언제 시스템이 갑자기 다른 행동을 시작하는가"를 설계 단계에서 묻는 도구이고, 혼돈 이론은 "얼마나 멀리 예측할 수 있는가"를 묻는 도구입니다.

구조물과 기계의 안정 한계 기둥과 판의 좌굴은 갈퀴 분기, 날개의 플러터와 송전선의 갤로핑은 호프 분기로 해석합니다. 설계자는 운용 범위가 분기점에서 충분히 떨어져 있는지 확인하고, 특히 도약과 이력이 생기는 아임계 분기를 피합니다. 분기점에 다가가면 섭동이 회복되는 속도가 느려지는 현상(예제 13.4의 승수가 1로 가는 것)은 고장 직전을 알리는 신호로 감시에 쓰이기도 합니다.
12장 · 비선형 시스템과 안정성평형점, 선형화, 한계 순환
이 장의 분기는 12장의 위상 그림이 매개변수에 따라 바뀌는 모습이다. 4장 · 자율 방정식위상선과 수확 분기
안장–마디 분기와 쌍안정 스위치를 처음 본 곳. 8장 · 강제 진동과 공진선형 강제 진동
더핑 진동자는 여기에 3차 항 하나를 더한 것이다. 5장 · 수치 해법RK4와 오차
혼돈계에서는 수치 오차도 지수적으로 자란다. 15장 · 경계값 문제오일러 좌굴 하중
자가 휘는 하중을 고유값 문제로 구한다. LINEARBOOK고유값과 고유벡터
호프 분기는 복소 고유값 쌍이 허수축을 건너는 순간이다. MATHBOOK미분방정식 개관
로렌즈 끌개와 수치 적분의 첫 만남.

핵심 정리

  1. 분기는 매개변수 rr이 지나며 평형점·주기 궤도의 개수나 안정성이 바뀌는 것이다. 1차원에서 분기점은 f=0f = 0이고 fx=0f_x = 0인 곳이다(정리 13.2).
  2. 정규형: 안장–마디 x′=r+x2x' = r + x^2(쌍생성·소멸), 횡단 x′=rx−x2x' = rx - x^2(안정성 교환), 초임계 갈퀴 x′=rx−x3x' = rx - x^3(대칭 분기), 아임계 갈퀴(도약).
  3. 평형 곡선이 접히면 쌍안정과 이력 현상이 생긴다. x′=h+x−x3x' = h + x - x^3은 h=±2/(33)≈±0.385h = \pm 2/(3\sqrt3) \approx \pm0.385에서 도약한다.
  4. 호프 분기: 복소 고유값 쌍 μ±iω\mu \pm i\omega가 허수축을 건너며 반지름 ∝μ\propto\sqrt\mu인 한계 순환이 생긴다. 초임계는 부드럽게, 아임계는 도약과 함께.
  5. 푸앵카레 단면은 흐름을 사상으로 바꾼다. 주기 궤도는 귀환 사상의 고정점이고, ∣P′(p∗)∣<1|P'(p^*)| \lt 1이면 안정하다. 호프 정규형에서 P′(μ)=e−4πμP'(\sqrt\mu) = e^{-4\pi\mu}.
  6. 혼돈에는 3차원 이상의 흐름(또는 1차원 이상의 사상)이 필요하다. 강제 더핑 진동자와 로렌즈 방정식(σ=10,β=8/3,ρ=28\sigma = 10, \beta = 8/3, \rho = 28)이 대표 예다. 로렌즈 끌개는 부피가 0이고 평형점 셋이 모두 불안정하다.
  7. 리아푸노프 지수 λ>0\lambda > 0이면 오차가 eλte^{\lambda t}로 자라고, 예측 가능 시간은 1λln⁡(Δ/δ0)\frac1\lambda\ln(\Delta/\delta_0)이다. 로렌즈에서 λ≈0.9\lambda \approx 0.9.
  8. 로지스틱 사상 xn+1=rxn(1−xn)x_{n+1} = rx_n(1 - x_n)은 r=3, 1+6, 3.5441,…r = 3,\ 1 + \sqrt6,\ 3.5441, \dots에서 주기를 배가하며 r∞≈3.5699r_\infty \approx 3.5699에서 혼돈에 들어간다. 간격 비는 보편 상수 δ=4.669…\delta = 4.669\ldots로 수렴한다.

확인 퀴즈

Q1. x′=r+x2x' = r + x^2에서 rr을 음수에서 양수로 바꿀 때 일어나는 일은?

r<0r \lt 0이면 평형점 ±−r\pm\sqrt{-r}이 있고 f′=2xf' = 2x로 −−r-\sqrt{-r}이 안정, +−r+\sqrt{-r}이 불안정이다. r=0r = 0에서 둘이 합쳐지고 r>0r > 0에서는 평형점이 없다. 안장–마디 분기다.

Q2. 1차원 방정식 x′=f(x,r)x' = f(x, r)의 평형점 x∗x^*에서 fx(x∗,rc)=−2f_x(x^*, r_c) = -2이다. rcr_c 근처에서 일어날 수 있는 것은?

정리 13.2: fx≠0f_x \ne 0이면 음함수 정리로 근처의 rr마다 평형점이 하나씩 이어지고 fxf_x의 부호(여기서는 음, 안정)도 유지된다. 분기에는 fx=0f_x = 0이 필요하다.

Q3. x′=h+x−x3x' = h + x - x^3에서 상태가 아래 가지에 있다. hh를 천천히 올릴 때 위 가지로 도약하는 hh는?

평형 곡선 h=x3−xh = x^3 - x의 접힘점은 3x2−1=03x^2 - 1 = 0, x=−1/3x = -1/\sqrt3에서 h=−1/(33)+1/3=2/(33)h = -1/(3\sqrt3) + 1/\sqrt3 = 2/(3\sqrt3). 이때 아래 가지가 사라져 상태가 x=2/3x = 2/\sqrt3으로 뛴다. 0.5770.577은 접힘점의 xx좌표 크기다.

Q4. ρ′=μρ−ρ3, θ′=2\rho' = \mu\rho - \rho^3,\ \theta' = 2에서 μ=0.09\mu = 0.09일 때 한계 순환의 반지름과 주기는?

ρ′=0\rho' = 0의 양의 근은 ρ=0.09=0.3\rho = \sqrt{0.09} = 0.3이고, 각속도가 2이므로 한 바퀴에 2π/2=π2\pi/2 = \pi가 걸린다.

Q5. 푸앵카레 사상의 고정점에서 P′(p∗)=−0.5P'(p^*) = -0.5이다. 근처에서 출발한 점들은?

en+1≈−0.5 ene_{n+1} \approx -0.5\,e_n. 절댓값이 1보다 작으므로 안정하고, 부호가 음이라 매번 반대쪽으로 넘어간다.

Q6. 평면의 자율 시스템 x′=f(x,y), y′=g(x,y)x' = f(x, y),\ y' = g(x, y)에서는 혼돈이 일어나지 않는다. 그런데 강제 더핑 진동자 x′′+δx′−x+x3=γcos⁡ωtx'' + \delta x' - x + x^3 = \gamma\cos\omega t에서는 일어난다. 이유는?

푸앵카레–벤딕슨 정리는 평면 자율 흐름의 유계 궤적이 평형점이나 주기 궤도 쪽으로 간다고 말한다. 시간에 의존하는 강제항은 ϕ=ωt\phi = \omega t라는 셋째 변수를 만들어 이 제약을 벗어난다. 3차 항만으로는(강제 없이) 혼돈이 생기지 않는다.

Q7. 리아푸노프 지수가 λ=0.5\lambda = 0.5인 시스템에서 처음 오차를 e−10e^{-10}에서 e−14e^{-14}로 줄이면 예측 가능 시간은 얼마나 늘어나는가?

T≈1λln⁡(Δ/δ0)T \approx \frac1\lambda\ln(\Delta/\delta_0). ln⁡\ln이 4만큼 커지므로 TT는 4/0.5=84/0.5 = 8만큼 늘어난다. 오차를 e4≈55e^4 \approx 55배 줄여도 시간은 더해질 뿐이다.

Q8. 로지스틱 사상 xn+1=rxn(1−xn)x_{n+1} = rx_n(1 - x_n)의 고정점 x∗=1−1/rx^* = 1 - 1/r이 안정한 rr의 범위와, 그 끝에서 일어나는 분기는?

f′(x∗)=2−rf'(x^*) = 2 - r이고 ∣2−r∣<1|2 - r| \lt 1이면 안정하므로 1<r<31 \lt r \lt 3. r=3r = 3에서 승수가 −1-1을 지나며 주기 2 궤도가 생긴다. 1+61 + \sqrt6은 그다음 배가(2 → 4)다.