Appendix A

분포표와 계산기

본문 17개 장에서 쓴 분포표와 공식을 한곳에 모았다. 표준 정규·t·카이제곱·F·이항·포아송 분포는 계산기와 인쇄용 표를 함께 둔다. 계산기는 곡선 아래의 x 핸들을 끌면 꼬리 넓이(확률)가 나오고, 오른쪽 넓이 막대를 끌면 그 넓이를 만드는 분위수가 나온다. 표의 칸을 누르면 같은 값이 위 계산기에 걸려 무엇을 읽었는지 그림으로 확인된다. 모든 값은 이 책의 계산 엔진 Stat.*으로 계산했고, 표의 숫자는 SciPy로 만들어 엔진과 대조했다(차이 10⁻⁶ 미만). 시험에서는 표를, 실무에서는 계산기를 쓰되 두 방법이 같은 답을 내는지 한 번씩 맞춰 보자.

상위 꼬리 관례 $P(Z>z_\alpha)=\alpha$로 $z_\alpha$, $t_{\alpha,\nu}$, $\chi^2_{\alpha,\nu}$, $F_{\alpha,\nu_1,\nu_2}$를 표에서 찾고, 아래 꼬리·양측 값으로 바꾼다.
표준 정규 누적 분포표로 임의의 $N(\mu,\sigma^2)$ 확률을 구하고, 이항·포아송 누적표로 셈 자료의 확률을 구한다.
스튜던트화 범위 $q_{0.05}(k,\nu)$와 관리도 계수 $A_2, d_2, D_4, c_4, B_4$ 등을 찾아 투키 HSD와 관리 한계를 계산한다.
분포·구간·검정·SPC·신뢰성 공식을 요약표에서 찾고, 상황에 맞는 분포와 검정을 고르기 도우미로 정한다.

표를 읽는 약속

이 책의 모든 분포표는 상위 꼬리 관례를 쓴다. 아래 첨자 α는 그 값보다 오른쪽의 넓이다. 그래서 $z_{0.025}=1.960$은 $P(Z>1.960)=0.025$라는 뜻이고, 95% 양측 구간은 $\pm z_{0.025}$를 쓴다. 왼쪽 꼬리 값이 필요하면 대칭 분포는 부호만 바꾸고($-z_\alpha$, $-t_{\alpha,\nu}$), 비대칭 분포는 첨자 $1-\alpha$를 쓴다($\chi^2_{0.975,\nu}$는 왼쪽 꼬리 넓이가 0.025인 값). 교과서마다 "누적 넓이"로 표를 만드는 경우가 있으니, 다른 책의 표를 볼 때는 표 머리의 그림부터 확인한다.

네 가지 연속 분포표의 공통 약속. 빨간 넓이가 첨자에 적힌 확률이다. 카이제곱은 비대칭이라 양쪽 꼬리 값이 서로 다른 칸($\chi^2_{1-\alpha/2}$, $\chi^2_{\alpha/2}$)에 있다.

필요한 값	바꾸는 법	예
왼쪽 꼬리 $P(Z\le -z)$	대칭: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$	$\Phi(-1.25)=1-0.8944=0.1056$
양측 임계값(신뢰 수준 $1-\alpha$)	상위 꼬리 $\alpha/2$ 칸을 읽는다	99% → $z_{0.005}=2.576$, $t_{0.005,10}=3.169$
카이제곱 왼쪽 꼬리	첨자 $1-\alpha$ 열	$P(\chi^2_{10}<3.940)=0.05$ → $\chi^2_{0.95,10}=3.940$
F 왼쪽 꼬리	$F_{1-\alpha,\nu_1,\nu_2}=1/F_{\alpha,\nu_2,\nu_1}$	$F_{0.95,4,20}=1/F_{0.05,20,4}=1/5.80=0.172$
표에 없는 자유도	가까운 두 행을 $1/\nu$에 대해 선형 보간하거나 작은 ν(보수적)를 쓴다	$t_{0.025,50}$: 40과 60 사이 → 2.009
p 값 범위 읽기	검정 통계량이 들어가는 두 열 사이	$t=2.65,\ \nu=14$: 2.624와 2.977 사이 → 단측 $0.005<p<0.01$

표준 정규에서 $z$ = 1.96이면 $\Phi(z)$ = , 위 꼬리 $P(Z>z)$ = , 양측 $P(|Z|>z)$ = 이다. 같은 $z$를 자유도 10의 t 값으로 읽으면 위 꼬리 넓이가 로 배 두껍다 — 작은 표본에서 같은 신뢰 수준이 더 넓은 구간을 요구하는 까닭이다.

정규 분포

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$이면 $Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$이고 $P(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$다. 계산기에서 μ와 σ(표준 편차)를 넣으면 표준화를 대신 해 주고, 읽은 z 값도 함께 보여 준다. 유도와 성질은 5장, 정규 근사는 7장.

CALCULATOR

정규 분포 계산기

x 핸들 · 넓이 막대 끌기

구하는 확률

직접 입력 (Enter)

x확률

"양쪽 꼬리"는 두 꼬리 넓이가 같도록 반대쪽 경계를 잡는다. "P(a < X ≤ b)"에서 확률을 넣으면 가운데 대칭 구간을 찾는다. 해볼 것: ① 양쪽 꼬리에서 넓이 막대를 0.05에 맞추면 경계가 ±1.960, 0.01이면 ±2.576이다. ② μ = 100, σ = 2(막두께 nm)로 두고 x = 103.5를 넣어 위 꼬리를 읽은 뒤, 아래 Φ 표에서 z = 1.75 칸과 비교한다. ③ 구간 모드에서 a = μ − σ, b = μ + σ로 끌면 0.6827, ±2σ면 0.9545, ±3σ면 0.9973이다.

표준 정규 누적 분포 $\Phi(z)=P(Z\le z)$

행은 z의 첫째 소수 자리까지, 열은 둘째 자리다. 음수 표에서는 열의 값을 빼서 읽는다(행 −1.9, 열 0.06 → z = −1.96). 칸을 누르면 위 계산기가 그 z의 아래 꼬리를 보여 준다. 5행마다 굵은 줄을 그었다.

표

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
−3.4	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0002
−3.3	0.0005	0.0005	0.0005	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0003
−3.2	0.0007	0.0007	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0005	0.0005	0.0005
−3.1	0.0010	0.0009	0.0009	0.0009	0.0008	0.0008	0.0008	0.0008	0.0007	0.0007
−3.0	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010
−2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
−2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
−2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
−2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
−2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
−2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
−2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
−2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
−2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
−2.0	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
−1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
−1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
−1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
−1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
−1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
−1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
−1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
−1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
−1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
−1.0	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
−0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
−0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
−0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
−0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
−0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
−0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
−0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
−0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
−0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
−0.0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998

상위 분위수 $z_\alpha$

α	0.25	0.2	0.15	0.1	0.05	0.025	0.02	0.01	0.005	0.0025	0.001	0.0005	0.0001
$z_\alpha$	0.6745	0.8416	1.0364	1.2816	1.6449	1.9600	2.0537	2.3263	2.5758	2.8070	3.0902	3.2905	3.7190
양측 신뢰 수준 $1-2\alpha$	50%	60%	70%	80%	90%	95%	96%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%	99.98%

Cpk 1.33과 3.4 ppm은 정규 꼬리 표에서 나온다 규격 한쪽까지 $3C_{pk}$ 시그마가 떨어져 있으면 그 바깥 비율은 $1-\Phi(3C_{pk})$다. $C_{pk}=1.00$이면 1350 ppm, 1.33이면 약 32 ppm, 1.50이면 3.4 ppm(이른바 "6시그마"에서 1.5σ 이동을 가정한 값)이다. 테스트 한계를 정할 때 측정 산포만큼 안쪽으로 당기는 가드밴드도 같은 정규 꼬리 계산으로 과검출·미검출 비율을 맞춘다. TestBook · 셔무, 특성 평가와 가드밴드

t 분포

정규 모집단에서 $T=\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}$이다. 자유도 ν가 작을수록 꼬리가 두껍고, $\nu\to\infty$에서 표준 정규가 된다(표의 마지막 행 = $z_\alpha$). 유래는 8장, 구간과 검정은 10장·11장.

CALCULATOR

t 분포 계산기

x 핸들 · 넓이 막대 끌기

구하는 확률

직접 입력 (Enter)

t확률

표준 정규 곡선 겹쳐 보기

점선은 표준 정규 곡선이다. 해볼 것: ① 위 꼬리 0.025에서 ν를 1 → 5 → 30 → ∞로 바꾸면 임계값이 12.71 → 2.571 → 2.042 → 1.960으로 줄어든다. ② 검정 통계량 t = 2.65, ν = 14를 넣어 위 꼬리 p 값(0.0095)을 읽고, 표에서는 "0.005와 0.01 사이"로만 읽힘을 확인한다. ③ ν = 1(코시 분포)에서는 x 범위를 넓혀도 꼬리가 좀처럼 0이 되지 않는다.

t 분포 상위 임계값 $t_{\alpha,\nu}$

$P(T>t_{\alpha,\nu})=\alpha$. 양측 신뢰 구간 $100(1-\alpha)\%$는 $\alpha/2$ 열을 읽는다(95% → 0.025 열).

ν \ α	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001	0.0005
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	318.309	636.619
2	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	22.327	31.599
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	10.215	12.924
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173	8.610
5	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	5.893	6.869
6	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208	5.959
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785	5.408
8	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	4.501	5.041
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	4.297	4.781
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144	4.587
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025	4.437
12	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.930	4.318
13	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.852	4.221
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787	4.140
15	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733	4.073
16	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.686	4.015
17	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.646	3.965
18	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.610	3.922
19	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.579	3.883
20	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.552	3.850
21	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.527	3.819
22	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.505	3.792
23	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.485	3.768
24	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.467	3.745
25	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.450	3.725
26	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.435	3.707
27	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.421	3.690
28	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.408	3.674
29	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.396	3.659
30	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.385	3.646
40	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	3.307	3.551
60	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	3.232	3.460
120	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	3.160	3.373
∞	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	3.090	3.291

카이제곱 분포

$Z_1,\dots,Z_\nu$가 독립 표준 정규이면 $\sum Z_i^2\sim\chi^2_\nu$이고, 정규 표본에서 $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$이다. 평균 ν, 분산 2ν. 모분산의 구간(10장), 분산 검정(11장), 적합도·독립성 검정(12장), 고장률 상한(17장)에 쓴다.

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카이제곱 분포 계산기

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χ²확률

양쪽 꼬리 모드는 분산 구간에 쓰는 두 값 $\chi^2_{1-\alpha/2,\nu}$와 $\chi^2_{\alpha/2,\nu}$를 한 번에 보여 준다. 해볼 것: ① ν = 19, 양쪽 꼬리 0.05 → 8.907과 32.852(표의 0.975·0.025 열). ② ν를 키우면 분포가 오른쪽으로 가며 대칭에 가까워진다(ν = 100이면 평균 100, 표준 편차 14.1). ③ 고장 0개 시험의 90% 상한에는 ν = 2, 위 꼬리 0.10 값 4.605를 쓴다.

카이제곱 상위 임계값 $\chi^2_{\alpha,\nu}$

$P(\chi^2_\nu>\chi^2_{\alpha,\nu})=\alpha$. 왼쪽 다섯 열(α = 0.995 … 0.90)은 왼쪽 꼬리가 $1-\alpha$인 작은 값이다.

ν \ α	0.995	0.99	0.975	0.95	0.9	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005
1	0.0000393	0.000157	0.000982	0.00393	0.0158	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879
2	0.01	0.0201	0.0506	0.103	0.211	4.605	5.991	7.378	9.210	10.597
3	0.0717	0.115	0.216	0.352	0.584	6.251	7.815	9.348	11.345	12.838
4	0.207	0.297	0.484	0.711	1.064	7.779	9.488	11.143	13.277	14.860
5	0.412	0.554	0.831	1.145	1.610	9.236	11.070	12.833	15.086	16.750
6	0.676	0.872	1.237	1.635	2.204	10.645	12.592	14.449	16.812	18.548
7	0.989	1.239	1.690	2.167	2.833	12.017	14.067	16.013	18.475	20.278
8	1.344	1.646	2.180	2.733	3.490	13.362	15.507	17.535	20.090	21.955
9	1.735	2.088	2.700	3.325	4.168	14.684	16.919	19.023	21.666	23.589
10	2.156	2.558	3.247	3.940	4.865	15.987	18.307	20.483	23.209	25.188
11	2.603	3.053	3.816	4.575	5.578	17.275	19.675	21.920	24.725	26.757
12	3.074	3.571	4.404	5.226	6.304	18.549	21.026	23.337	26.217	28.300
13	3.565	4.107	5.009	5.892	7.042	19.812	22.362	24.736	27.688	29.819
14	4.075	4.660	5.629	6.571	7.790	21.064	23.685	26.119	29.141	31.319
15	4.601	5.229	6.262	7.261	8.547	22.307	24.996	27.488	30.578	32.801
16	5.142	5.812	6.908	7.962	9.312	23.542	26.296	28.845	32.000	34.267
17	5.697	6.408	7.564	8.672	10.085	24.769	27.587	30.191	33.409	35.718
18	6.265	7.015	8.231	9.390	10.865	25.989	28.869	31.526	34.805	37.156
19	6.844	7.633	8.907	10.117	11.651	27.204	30.144	32.852	36.191	38.582
20	7.434	8.260	9.591	10.851	12.443	28.412	31.410	34.170	37.566	39.997
21	8.034	8.897	10.283	11.591	13.240	29.615	32.671	35.479	38.932	41.401
22	8.643	9.542	10.982	12.338	14.041	30.813	33.924	36.781	40.289	42.796
23	9.260	10.196	11.689	13.091	14.848	32.007	35.172	38.076	41.638	44.181
24	9.886	10.856	12.401	13.848	15.659	33.196	36.415	39.364	42.980	45.559
25	10.520	11.524	13.120	14.611	16.473	34.382	37.652	40.646	44.314	46.928
26	11.160	12.198	13.844	15.379	17.292	35.563	38.885	41.923	45.642	48.290
27	11.808	12.879	14.573	16.151	18.114	36.741	40.113	43.195	46.963	49.645
28	12.461	13.565	15.308	16.928	18.939	37.916	41.337	44.461	48.278	50.993
29	13.121	14.256	16.047	17.708	19.768	39.087	42.557	45.722	49.588	52.336
30	13.787	14.953	16.791	18.493	20.599	40.256	43.773	46.979	50.892	53.672
40	20.707	22.164	24.433	26.509	29.051	51.805	55.758	59.342	63.691	66.766
50	27.991	29.707	32.357	34.764	37.689	63.167	67.505	71.420	76.154	79.490
60	35.534	37.485	40.482	43.188	46.459	74.397	79.082	83.298	88.379	91.952
70	43.275	45.442	48.758	51.739	55.329	85.527	90.531	95.023	100.43	104.21
80	51.172	53.540	57.153	60.391	64.278	96.578	101.88	106.63	112.33	116.32
90	59.196	61.754	65.647	69.126	73.291	107.57	113.15	118.14	124.12	128.30
100	67.328	70.065	74.222	77.929	82.358	118.50	124.34	129.56	135.81	140.17

F 분포

$U\sim\chi^2_{\nu_1}$, $V\sim\chi^2_{\nu_2}$가 독립이면 $F=\dfrac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}$다. ν₁은 분자(처리), ν₂는 분모(오차) 자유도다. 두 분산의 비(11장), 분산 분석과 회귀의 F 검정(14장·13장)에 쓴다. 왼쪽 꼬리는 $F_{1-\alpha,\nu_1,\nu_2}=1/F_{\alpha,\nu_2,\nu_1}$로 바꿔 읽는다.

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F 분포 계산기

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구하는 확률

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F확률

해볼 것: ① ν₁ = 4, ν₂ = 20, 위 꼬리 0.05 → 2.866(표 2.87). ② "ν₁ ↔ ν₂ 바꾸기"를 누른 뒤 아래 꼬리 0.05를 읽으면 1/5.803 = 0.1723 — 역수 관계가 눈으로 보인다. ③ ν₂를 크게 하면 $F_{\alpha,\nu_1,\infty}=\chi^2_{\alpha,\nu_1}/\nu_1$에 다가간다(ν₁ = 4: 9.488/4 = 2.372).

F 분포 상위 임계값 $F_{\alpha,\nu_1,\nu_2}$

열이 분자 자유도 ν₁, 행이 분모 자유도 ν₂다. α = 0.05와 0.01 표는 인쇄용으로 고정돼 있고, 0.10과 0.025 표는 이 페이지가 Stat.qf로 그 자리에서 만든다.

ν₂ \ ν₁	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	30	60	∞
1	161.4	199.5	215.7	224.6	230.2	234.0	236.8	238.9	240.5	241.9	243.9	245.9	248.0	250.1	252.2	254.3
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.41	19.43	19.45	19.46	19.48	19.50
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.74	8.70	8.66	8.62	8.57	8.53
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.91	5.86	5.80	5.75	5.69	5.63
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.68	4.62	4.56	4.50	4.43	4.36
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	4.00	3.94	3.87	3.81	3.74	3.67
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.57	3.51	3.44	3.38	3.30	3.23
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.28	3.22	3.15	3.08	3.01	2.93
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.07	3.01	2.94	2.86	2.79	2.71
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.91	2.85	2.77	2.70	2.62	2.54
11	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.79	2.72	2.65	2.57	2.49	2.40
12	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.69	2.62	2.54	2.47	2.38	2.30
13	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.60	2.53	2.46	2.38	2.30	2.21
14	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.53	2.46	2.39	2.31	2.22	2.13
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.48	2.40	2.33	2.25	2.16	2.07
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.42	2.35	2.28	2.19	2.11	2.01
17	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.38	2.31	2.23	2.15	2.06	1.96
18	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.34	2.27	2.19	2.11	2.02	1.92
19	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.31	2.23	2.16	2.07	1.98	1.88
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.28	2.20	2.12	2.04	1.95	1.84
21	4.32	3.47	3.07	2.84	2.68	2.57	2.49	2.42	2.37	2.32	2.25	2.18	2.10	2.01	1.92	1.81
22	4.30	3.44	3.05	2.82	2.66	2.55	2.46	2.40	2.34	2.30	2.23	2.15	2.07	1.98	1.89	1.78
23	4.28	3.42	3.03	2.80	2.64	2.53	2.44	2.37	2.32	2.27	2.20	2.13	2.05	1.96	1.86	1.76
24	4.26	3.40	3.01	2.78	2.62	2.51	2.42	2.36	2.30	2.25	2.18	2.11	2.03	1.94	1.84	1.73
25	4.24	3.39	2.99	2.76	2.60	2.49	2.40	2.34	2.28	2.24	2.16	2.09	2.01	1.92	1.82	1.71
26	4.23	3.37	2.98	2.74	2.59	2.47	2.39	2.32	2.27	2.22	2.15	2.07	1.99	1.90	1.80	1.69
27	4.21	3.35	2.96	2.73	2.57	2.46	2.37	2.31	2.25	2.20	2.13	2.06	1.97	1.88	1.79	1.67
28	4.20	3.34	2.95	2.71	2.56	2.45	2.36	2.29	2.24	2.19	2.12	2.04	1.96	1.87	1.77	1.65
29	4.18	3.33	2.93	2.70	2.55	2.43	2.35	2.28	2.22	2.18	2.10	2.03	1.94	1.85	1.75	1.64
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.33	2.27	2.21	2.16	2.09	2.01	1.93	1.84	1.74	1.62
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.08	2.00	1.92	1.84	1.74	1.64	1.51
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99	1.92	1.84	1.75	1.65	1.53	1.39
120	3.92	3.07	2.68	2.45	2.29	2.18	2.09	2.02	1.96	1.91	1.83	1.75	1.66	1.55	1.43	1.25
∞	3.84	3.00	2.60	2.37	2.21	2.10	2.01	1.94	1.88	1.83	1.75	1.67	1.57	1.46	1.32	1.00

ν₂ \ ν₁	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	30	60	∞
1	4052	4999	5403	5625	5764	5859	5928	5981	6022	6056	6106	6157	6209	6261	6313	6366
2	98.50	99.00	99.17	99.25	99.30	99.33	99.36	99.37	99.39	99.40	99.42	99.43	99.45	99.47	99.48	99.50
3	34.12	30.82	29.46	28.71	28.24	27.91	27.67	27.49	27.35	27.23	27.05	26.87	26.69	26.50	26.32	26.13
4	21.20	18.00	16.69	15.98	15.52	15.21	14.98	14.80	14.66	14.55	14.37	14.20	14.02	13.84	13.65	13.46
5	16.26	13.27	12.06	11.39	10.97	10.67	10.46	10.29	10.16	10.05	9.89	9.72	9.55	9.38	9.20	9.02
6	13.75	10.92	9.78	9.15	8.75	8.47	8.26	8.10	7.98	7.87	7.72	7.56	7.40	7.23	7.06	6.88
7	12.25	9.55	8.45	7.85	7.46	7.19	6.99	6.84	6.72	6.62	6.47	6.31	6.16	5.99	5.82	5.65
8	11.26	8.65	7.59	7.01	6.63	6.37	6.18	6.03	5.91	5.81	5.67	5.52	5.36	5.20	5.03	4.86
9	10.56	8.02	6.99	6.42	6.06	5.80	5.61	5.47	5.35	5.26	5.11	4.96	4.81	4.65	4.48	4.31
10	10.04	7.56	6.55	5.99	5.64	5.39	5.20	5.06	4.94	4.85	4.71	4.56	4.41	4.25	4.08	3.91
11	9.65	7.21	6.22	5.67	5.32	5.07	4.89	4.74	4.63	4.54	4.40	4.25	4.10	3.94	3.78	3.60
12	9.33	6.93	5.95	5.41	5.06	4.82	4.64	4.50	4.39	4.30	4.16	4.01	3.86	3.70	3.54	3.36
13	9.07	6.70	5.74	5.21	4.86	4.62	4.44	4.30	4.19	4.10	3.96	3.82	3.66	3.51	3.34	3.17
14	8.86	6.51	5.56	5.04	4.69	4.46	4.28	4.14	4.03	3.94	3.80	3.66	3.51	3.35	3.18	3.00
15	8.68	6.36	5.42	4.89	4.56	4.32	4.14	4.00	3.89	3.80	3.67	3.52	3.37	3.21	3.05	2.87
16	8.53	6.23	5.29	4.77	4.44	4.20	4.03	3.89	3.78	3.69	3.55	3.41	3.26	3.10	2.93	2.75
17	8.40	6.11	5.18	4.67	4.34	4.10	3.93	3.79	3.68	3.59	3.46	3.31	3.16	3.00	2.83	2.65
18	8.29	6.01	5.09	4.58	4.25	4.01	3.84	3.71	3.60	3.51	3.37	3.23	3.08	2.92	2.75	2.57
19	8.18	5.93	5.01	4.50	4.17	3.94	3.77	3.63	3.52	3.43	3.30	3.15	3.00	2.84	2.67	2.49
20	8.10	5.85	4.94	4.43	4.10	3.87	3.70	3.56	3.46	3.37	3.23	3.09	2.94	2.78	2.61	2.42
21	8.02	5.78	4.87	4.37	4.04	3.81	3.64	3.51	3.40	3.31	3.17	3.03	2.88	2.72	2.55	2.36
22	7.95	5.72	4.82	4.31	3.99	3.76	3.59	3.45	3.35	3.26	3.12	2.98	2.83	2.67	2.50	2.31
23	7.88	5.66	4.76	4.26	3.94	3.71	3.54	3.41	3.30	3.21	3.07	2.93	2.78	2.62	2.45	2.26
24	7.82	5.61	4.72	4.22	3.90	3.67	3.50	3.36	3.26	3.17	3.03	2.89	2.74	2.58	2.40	2.21
25	7.77	5.57	4.68	4.18	3.85	3.63	3.46	3.32	3.22	3.13	2.99	2.85	2.70	2.54	2.36	2.17
26	7.72	5.53	4.64	4.14	3.82	3.59	3.42	3.29	3.18	3.09	2.96	2.81	2.66	2.50	2.33	2.13
27	7.68	5.49	4.60	4.11	3.78	3.56	3.39	3.26	3.15	3.06	2.93	2.78	2.63	2.47	2.29	2.10
28	7.64	5.45	4.57	4.07	3.75	3.53	3.36	3.23	3.12	3.03	2.90	2.75	2.60	2.44	2.26	2.06
29	7.60	5.42	4.54	4.04	3.73	3.50	3.33	3.20	3.09	3.00	2.87	2.73	2.57	2.41	2.23	2.03
30	7.56	5.39	4.51	4.02	3.70	3.47	3.30	3.17	3.07	2.98	2.84	2.70	2.55	2.39	2.21	2.01
40	7.31	5.18	4.31	3.83	3.51	3.29	3.12	2.99	2.89	2.80	2.66	2.52	2.37	2.20	2.02	1.80
60	7.08	4.98	4.13	3.65	3.34	3.12	2.95	2.82	2.72	2.63	2.50	2.35	2.20	2.03	1.84	1.60
120	6.85	4.79	3.95	3.48	3.17	2.96	2.79	2.66	2.56	2.47	2.34	2.19	2.03	1.86	1.66	1.38
∞	6.63	4.61	3.78	3.32	3.02	2.80	2.64	2.51	2.41	2.32	2.18	2.04	1.88	1.70	1.47	1.00

이항 분포와 포아송 분포

$X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$는 독립 시행 n번 중 성공 수, $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$는 일정한 비율로 일어나는 사건의 수다(4장). 이산 분포에서는 $P(X<k)=P(X\le k-1)$, $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$처럼 등호가 붙는지가 답을 바꾼다. 계산기 막대 아래 핸들을 끌어 k를 고른다.

CALCULATOR

이항 분포 계산기

막대 아래 핸들 끌기

구하는 확률

직접 입력 (Enter)

k꼬리 α

"꼬리 α" 칸에 α를 넣으면 꼬리 확률이 α를 넘지 않는 가장 바깥 k(검정의 기각역 경계)를 찾는다. 해볼 것: ① n = 20, p = 0.05에서 P(X ≥ 3) = 0.0755 — 표본 20개 중 불량 3개 이상은 드물다. ② n을 100, p를 0.02로 하면 포아송 근사(λ = 2)가 정규 근사보다 훨씬 잘 맞는다. ③ n = 50, p = 0.5에서는 정규 근사(연속성 수정)가 소수 셋째 자리까지 맞는다.

CALCULATOR

포아송 분포 계산기

막대 아래 핸들 끌기

구하는 확률

직접 입력 (Enter)

k꼬리 α

λ 직접 입력

λ는 단위(웨이퍼, cm², 시간)당 평균 사건 수다. 결함 밀도 D₀ = 0.1 개/cm²인 웨이퍼에서 면적 25 cm²를 보면 λ = 2.5. 해볼 것: ① λ = 2.5에서 P(X ≤ 1) = 0.2873, P(X ≥ 5) = 0.1088. ② P(X = 0) = e^−λ가 바로 포아송 수율 모형이다. ③ λ를 20 넘게 키우면 정규 근사(평균 λ, 분산 λ)가 잘 맞기 시작한다.

이항 누적 확률 $P(X\le k)$

$p>0.5$는 실패 수 $n-X\sim\mathrm{Bin}(n,1-p)$로 바꿔 읽는다: $P(X\le k;\,p)=1-P(X\le n-k-1;\,1-p)$. $k=n$인 행은 늘 1이라 생략했다.

k \ p	0.01	0.05	0.1	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5
0	0.9510	0.7738	0.5905	0.3277	0.2373	0.1681	0.0778	0.0312
1	0.9990	0.9774	0.9185	0.7373	0.6328	0.5282	0.3370	0.1875
2	1.0000	0.9988	0.9914	0.9421	0.8965	0.8369	0.6826	0.5000
3	1.0000	1.0000	0.9995	0.9933	0.9844	0.9692	0.9130	0.8125
4	1.0000	1.0000	1.0000	0.9997	0.9990	0.9976	0.9898	0.9688

k \ p	0.01	0.05	0.1	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5
0	0.9044	0.5987	0.3487	0.1074	0.0563	0.0282	0.0060	0.0010
1	0.9957	0.9139	0.7361	0.3758	0.2440	0.1493	0.0464	0.0107
2	0.9999	0.9885	0.9298	0.6778	0.5256	0.3828	0.1673	0.0547
3	1.0000	0.9990	0.9872	0.8791	0.7759	0.6496	0.3823	0.1719
4	1.0000	0.9999	0.9984	0.9672	0.9219	0.8497	0.6331	0.3770
5	1.0000	1.0000	0.9999	0.9936	0.9803	0.9527	0.8338	0.6230
6	1.0000	1.0000	1.0000	0.9991	0.9965	0.9894	0.9452	0.8281
7	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9996	0.9984	0.9877	0.9453
8	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9983	0.9893
9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9990

k \ p	0.01	0.05	0.1	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5
0	0.8601	0.4633	0.2059	0.0352	0.0134	0.0047	0.0005	0.0000
1	0.9904	0.8290	0.5490	0.1671	0.0802	0.0353	0.0052	0.0005
2	0.9996	0.9638	0.8159	0.3980	0.2361	0.1268	0.0271	0.0037
3	1.0000	0.9945	0.9444	0.6482	0.4613	0.2969	0.0905	0.0176
4	1.0000	0.9994	0.9873	0.8358	0.6865	0.5155	0.2173	0.0592
5	1.0000	0.9999	0.9978	0.9389	0.8516	0.7216	0.4032	0.1509
6	1.0000	1.0000	0.9997	0.9819	0.9434	0.8689	0.6098	0.3036
7	1.0000	1.0000	1.0000	0.9958	0.9827	0.9500	0.7869	0.5000
8	1.0000	1.0000	1.0000	0.9992	0.9958	0.9848	0.9050	0.6964
9	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9992	0.9963	0.9662	0.8491
10	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9993	0.9907	0.9408
11	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9981	0.9824
12	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9997	0.9963
13	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9995
14	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

k \ p	0.01	0.05	0.1	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5
0	0.8179	0.3585	0.1216	0.0115	0.0032	0.0008	0.0000	0.0000
1	0.9831	0.7358	0.3917	0.0692	0.0243	0.0076	0.0005	0.0000
2	0.9990	0.9245	0.6769	0.2061	0.0913	0.0355	0.0036	0.0002
3	1.0000	0.9841	0.8670	0.4114	0.2252	0.1071	0.0160	0.0013
4	1.0000	0.9974	0.9568	0.6296	0.4148	0.2375	0.0510	0.0059
5	1.0000	0.9997	0.9887	0.8042	0.6172	0.4164	0.1256	0.0207
6	1.0000	1.0000	0.9976	0.9133	0.7858	0.6080	0.2500	0.0577
7	1.0000	1.0000	0.9996	0.9679	0.8982	0.7723	0.4159	0.1316
8	1.0000	1.0000	0.9999	0.9900	0.9591	0.8867	0.5956	0.2517
9	1.0000	1.0000	1.0000	0.9974	0.9861	0.9520	0.7553	0.4119
10	1.0000	1.0000	1.0000	0.9994	0.9961	0.9829	0.8725	0.5881
11	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9991	0.9949	0.9435	0.7483
12	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9998	0.9987	0.9790	0.8684
13	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9997	0.9935	0.9423
14	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9984	0.9793
15	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9997	0.9941
16	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9987
17	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9998
18	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
19	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

k \ p	0.01	0.05	0.1	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5
0	0.7778	0.2774	0.0718	0.0038	0.0008	0.0001	0.0000	0.0000
1	0.9742	0.6424	0.2712	0.0274	0.0070	0.0016	0.0001	0.0000
2	0.9980	0.8729	0.5371	0.0982	0.0321	0.0090	0.0004	0.0000
3	0.9999	0.9659	0.7636	0.2340	0.0962	0.0332	0.0024	0.0001
4	1.0000	0.9928	0.9020	0.4207	0.2137	0.0905	0.0095	0.0005
5	1.0000	0.9988	0.9666	0.6167	0.3783	0.1935	0.0294	0.0020
6	1.0000	0.9998	0.9905	0.7800	0.5611	0.3407	0.0736	0.0073
7	1.0000	1.0000	0.9977	0.8909	0.7265	0.5118	0.1536	0.0216
8	1.0000	1.0000	0.9995	0.9532	0.8506	0.6769	0.2735	0.0539
9	1.0000	1.0000	0.9999	0.9827	0.9287	0.8106	0.4246	0.1148
10	1.0000	1.0000	1.0000	0.9944	0.9703	0.9022	0.5858	0.2122
11	1.0000	1.0000	1.0000	0.9985	0.9893	0.9558	0.7323	0.3450
12	1.0000	1.0000	1.0000	0.9996	0.9966	0.9825	0.8462	0.5000
13	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9991	0.9940	0.9222	0.6550
14	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9998	0.9982	0.9656	0.7878
15	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9995	0.9868	0.8852
16	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9957	0.9461
17	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9988	0.9784
18	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9997	0.9927
19	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9980
20	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9995
21	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999
22	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
23	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
24	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

포아송 누적 확률 $P(X\le k)$

빈칸은 1.0000이다(넷째 자리에서 반올림하면 1).

k \ λ	0.1	0.2	0.5	1	1.5	2	2.5	3	4	5	6	8	10
0	0.9048	0.8187	0.6065	0.3679	0.2231	0.1353	0.0821	0.0498	0.0183	0.0067	0.0025	0.0003	0.0000
1	0.9953	0.9825	0.9098	0.7358	0.5578	0.4060	0.2873	0.1991	0.0916	0.0404	0.0174	0.0030	0.0005
2	0.9998	0.9989	0.9856	0.9197	0.8088	0.6767	0.5438	0.4232	0.2381	0.1247	0.0620	0.0138	0.0028
3	1.0000	0.9999	0.9982	0.9810	0.9344	0.8571	0.7576	0.6472	0.4335	0.2650	0.1512	0.0424	0.0103
4		1.0000	0.9998	0.9963	0.9814	0.9473	0.8912	0.8153	0.6288	0.4405	0.2851	0.0996	0.0293
5			1.0000	0.9994	0.9955	0.9834	0.9580	0.9161	0.7851	0.6160	0.4457	0.1912	0.0671
6				0.9999	0.9991	0.9955	0.9858	0.9665	0.8893	0.7622	0.6063	0.3134	0.1301
7				1.0000	0.9998	0.9989	0.9958	0.9881	0.9489	0.8666	0.7440	0.4530	0.2202
8					1.0000	0.9998	0.9989	0.9962	0.9786	0.9319	0.8472	0.5925	0.3328
9						1.0000	0.9997	0.9989	0.9919	0.9682	0.9161	0.7166	0.4579
10							0.9999	0.9997	0.9972	0.9863	0.9574	0.8159	0.5830
11							1.0000	0.9999	0.9991	0.9945	0.9799	0.8881	0.6968
12								1.0000	0.9997	0.9980	0.9912	0.9362	0.7916
13									0.9999	0.9993	0.9964	0.9658	0.8645
14									1.0000	0.9998	0.9986	0.9827	0.9165
15										0.9999	0.9995	0.9918	0.9513
16										1.0000	0.9998	0.9963	0.9730
17											0.9999	0.9984	0.9857
18											1.0000	0.9993	0.9928
19												0.9997	0.9965
20												0.9999	0.9984
21												1.0000	0.9993
22													0.9997

다이 수율 e^−D₀A는 포아송 표의 k = 0 행이다 결함이 웨이퍼 위에 무작위로(포아송) 떨어지면, 면적 A인 다이에 결함이 0개일 확률이 $e^{-D_0A}$다. 표의 k = 0 행에서 λ = D₀A를 찾으면 수율이 바로 나온다(λ = 0.5 → 0.6065). 실제 결함은 뭉쳐서 떨어지므로 음이항 모형이 포아송보다 높은 수율을 준다. YieldBook · 결함 밀도와 수율 모델

그 밖의 분포 계산기

지수·와이블·로그 정규·감마·베타(5장, 수명은 17장)와 초기하·기하 분포(4장)는 표 대신 이 계산기로 찾는다. 모수 표기는 본문과 같다: 지수 $\mathrm{Exp}(\lambda)$의 λ는 비율, 와이블 $\mathrm{Weibull}(\beta,\eta)$의 β는 모양·η는 척도, 로그 정규의 μ·σ는 $\ln X$의 평균·표준 편차, 감마 $\mathrm{Gamma}(k,\theta)$의 θ는 척도다.

CALCULATOR

여러 분포 계산기

핸들 · 넓이 막대 끌기

분포

구하는 확률

직접 입력 (Enter)

x확률

해볼 것: ① 와이블 β = 2, η = 1000 h에서 x = 500 h의 아래 꼬리 F(500) = 0.2212; β를 1로 내리면 지수 분포와 같아진다. ② 와이블에서 아래 꼬리 0.10을 넣으면 B10 수명(10%가 고장 나는 시간)이 나온다. ③ 초기하(로트 N = 50, 불량 K = 5, 표본 n = 10)에서 P(X ≤ 1) = 0.7419를 이항 Bin(10, 0.1)의 0.7361과 비교한다 — 비복원 추출이라 조금 다르다.

스튜던트화 범위와 관리도 계수

스튜던트화 범위 $q_{0.05}(k,\nu)$

정규 표본 k개 평균의 범위를 표준 오차로 나눈 값의 상위 5% 점이다. 일원 분산 분석 뒤 투키 HSD는 $\mathrm{HSD}=q_{\alpha}(k,\nu)\sqrt{\mathrm{MS_E}/n}$이고, 두 평균의 차가 HSD보다 크면 다르다고 본다(14장). k는 집단 수, ν는 오차 자유도 $N-k$다.

ν \ k	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	17.97	26.98	32.82	37.08	40.41	43.12	45.40	47.36	49.07
2	6.08	8.33	9.80	10.88	11.73	12.43	13.03	13.54	13.99
3	4.50	5.91	6.82	7.50	8.04	8.48	8.85	9.18	9.46
4	3.93	5.04	5.76	6.29	6.71	7.05	7.35	7.60	7.83
5	3.64	4.60	5.22	5.67	6.03	6.33	6.58	6.80	6.99
6	3.46	4.34	4.90	5.30	5.63	5.90	6.12	6.32	6.49
7	3.34	4.16	4.68	5.06	5.36	5.61	5.82	6.00	6.16
8	3.26	4.04	4.53	4.89	5.17	5.40	5.60	5.77	5.92
9	3.20	3.95	4.41	4.76	5.02	5.24	5.43	5.59	5.74
10	3.15	3.88	4.33	4.65	4.91	5.12	5.30	5.46	5.60
11	3.11	3.82	4.26	4.57	4.82	5.03	5.20	5.35	5.49
12	3.08	3.77	4.20	4.51	4.75	4.95	5.12	5.27	5.39
13	3.06	3.73	4.15	4.45	4.69	4.88	5.05	5.19	5.32
14	3.03	3.70	4.11	4.41	4.64	4.83	4.99	5.13	5.25
15	3.01	3.67	4.08	4.37	4.59	4.78	4.94	5.08	5.20
16	3.00	3.65	4.05	4.33	4.56	4.74	4.90	5.03	5.15
17	2.98	3.63	4.02	4.30	4.52	4.70	4.86	4.99	5.11
18	2.97	3.61	4.00	4.28	4.49	4.67	4.82	4.96	5.07
19	2.96	3.59	3.98	4.25	4.47	4.65	4.79	4.92	5.04
20	2.95	3.58	3.96	4.23	4.45	4.62	4.77	4.90	5.01
24	2.92	3.53	3.90	4.17	4.37	4.54	4.68	4.81	4.92
30	2.89	3.49	3.85	4.10	4.30	4.46	4.60	4.72	4.82
40	2.86	3.44	3.79	4.04	4.23	4.39	4.52	4.63	4.73
60	2.83	3.40	3.74	3.98	4.16	4.31	4.44	4.55	4.65
120	2.80	3.36	3.68	3.92	4.10	4.24	4.36	4.47	4.56
∞	2.77	3.31	3.63	3.86	4.03	4.17	4.29	4.39	4.47

집단 4개, 집단마다 반복 6회면 오차 자유도 ν = 이고 표에서 $q_{0.05}$ = 이다. $\mathrm{MS_E}$ = 0.50이면 HSD = . 같은 자료에 보정 없는 t 검정 기준 $t_{0.025,\nu}\sqrt{2\mathrm{MS_E}/n}$은 로 더 좁아, 비교 쌍을 모두 하면 거짓 차이를 더 자주 잡는다.

관리도 계수 (n = 2–25)

부분군 크기 n의 정규 표본에서 $d_2=E[R]/\sigma$, $d_3=\mathrm{SD}(R)/\sigma$, $c_4=E[S]/\sigma$이고, 나머지는 이것으로 만든다: $A_2=3/(d_2\sqrt n)$, $A_3=3/(c_4\sqrt n)$, $D_{3,4}=1\mp3d_3/d_2$, $B_{3,4}=1\mp3\sqrt{1-c_4^2}/c_4$(음수면 0), $E_2=3/d_2$. 관리 한계 공식은 아래 공식 요약과 16장에 있다. $d_2$, $d_3$는 수치 적분으로 다시 계산해 엔진의 Stat.spcConst와 넷째 자리까지 맞췄다.

n	A₂	A₃	d₂	d₃	c₄	D₃	D₄	B₃	B₄	E₂
2	1.8800	2.6587	1.1284	0.8525	0.7979	0	3.2665	0	3.2665	2.6587
3	1.0233	1.9544	1.6926	0.8884	0.8862	0	2.5746	0	2.5682	1.7725
4	0.7286	1.6281	2.0588	0.8798	0.9213	0	2.2821	0	2.2660	1.4572
5	0.5768	1.4273	2.3259	0.8641	0.9400	0	2.1145	0	2.0890	1.2898
6	0.4832	1.2871	2.5344	0.8480	0.9515	0	2.0038	0.0304	1.9696	1.1837
7	0.4193	1.1819	2.7044	0.8332	0.9594	0.0757	1.9243	0.1177	1.8823	1.1093
8	0.3725	1.0991	2.8472	0.8198	0.9650	0.1362	1.8638	0.1851	1.8149	1.0537
9	0.3367	1.0317	2.9700	0.8078	0.9693	0.1840	1.8160	0.2391	1.7609	1.0101
10	0.3083	0.9754	3.0775	0.7971	0.9727	0.2230	1.7770	0.2837	1.7163	0.9748
11	0.2851	0.9274	3.1729	0.7873	0.9754	0.2556	1.7444	0.3213	1.6787	0.9455
12	0.2658	0.8859	3.2585	0.7785	0.9776	0.2833	1.7167	0.3535	1.6465	0.9207
13	0.2494	0.8495	3.3360	0.7704	0.9794	0.3072	1.6928	0.3816	1.6184	0.8993
14	0.2354	0.8173	3.4068	0.7630	0.9810	0.3281	1.6719	0.4062	1.5938	0.8806
15	0.2231	0.7885	3.4718	0.7562	0.9823	0.3466	1.6534	0.4282	1.5718	0.8641
16	0.2123	0.7626	3.5320	0.7499	0.9835	0.3630	1.6370	0.4479	1.5521	0.8494
17	0.2028	0.7391	3.5879	0.7441	0.9845	0.3779	1.6221	0.4657	1.5343	0.8361
18	0.1943	0.7176	3.6401	0.7386	0.9854	0.3913	1.6087	0.4818	1.5182	0.8242
19	0.1866	0.6979	3.6890	0.7335	0.9862	0.4035	1.5965	0.4966	1.5034	0.8132
20	0.1796	0.6797	3.7350	0.7287	0.9869	0.4147	1.5853	0.5102	1.4898	0.8032
21	0.1733	0.6629	3.7783	0.7242	0.9876	0.4250	1.5750	0.5228	1.4772	0.7940
22	0.1675	0.6473	3.8194	0.7199	0.9882	0.4345	1.5655	0.5344	1.4656	0.7855
23	0.1621	0.6327	3.8583	0.7159	0.9887	0.4434	1.5566	0.5452	1.4548	0.7775
24	0.1572	0.6191	3.8953	0.7121	0.9892	0.4516	1.5484	0.5553	1.4447	0.7701
25	0.1526	0.6063	3.9306	0.7084	0.9896	0.4593	1.5407	0.5648	1.4352	0.7632

공식 요약

주요 분포

분포	pmf / pdf	$E[X]$	$\operatorname{Var}(X)$	MGF $M(t)$	장
베르누이 $(p)$	$p^x(1-p)^{1-x},\ x=0,1$	$p$	$p(1-p)$	$1-p+pe^t$	4장
$\mathrm{Bin}(n,p)$	$\binom nx p^x(1-p)^{n-x}$	$np$	$np(1-p)$	$(1-p+pe^t)^n$	4장
$\mathrm{Geom}(p)$	$(1-p)^{x-1}p,\ x=1,2,\dots$	$1/p$	$(1-p)/p^2$	$\dfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}$	4장
음이항 $(r,p)$	$\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r},\ x\ge r$	$r/p$	$r(1-p)/p^2$	$\left[\dfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\right]^r$	4장
초기하 $(N,K,n)$	$\dfrac{\binom Kx\binom{N-K}{n-x}}{\binom Nn}$	$n\dfrac KN$	$n\dfrac KN\left(1-\dfrac KN\right)\dfrac{N-n}{N-1}$	—	4장
$\mathrm{Poisson}(\lambda)$	$e^{-\lambda}\lambda^x/x!$	$\lambda$	$\lambda$	$e^{\lambda(e^t-1)}$	4장
균일 $(a,b)$	$1/(b-a)$	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$	$\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$	5장
$\mathrm{Exp}(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge0$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$	$\lambda/(\lambda-t),\ t<\lambda$	5장
$N(\mu,\sigma^2)$	$\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$	$\mu$	$\sigma^2$	$e^{\mu t+\sigma^2t^2/2}$	5장
$\mathrm{Gamma}(k,\theta)$	$\dfrac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k}$	$k\theta$	$k\theta^2$	$(1-\theta t)^{-k}$	5장
베타 $(a,b)$	$\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$	$\dfrac{a}{a+b}$	$\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$	(닫힌 꼴 없음)	5장
로그 정규 $(\mu,\sigma)$	$\dfrac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(\ln x-\mu)^2/2\sigma^2}$	$e^{\mu+\sigma^2/2}$	$(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$	없음	5장
$\mathrm{Weibull}(\beta,\eta)$	$\dfrac\beta\eta\left(\dfrac x\eta\right)^{\beta-1}e^{-(x/\eta)^\beta}$	$\eta\,\Gamma(1+\tfrac1\beta)$	$\eta^2\left[\Gamma(1+\tfrac2\beta)-\Gamma^2(1+\tfrac1\beta)\right]$	—	17장
$\chi^2_\nu$	$\mathrm{Gamma}(\nu/2,\,2)$	$\nu$	$2\nu$	$(1-2t)^{-\nu/2}$	8장
$t_\nu$	$\propto(1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$	0 (ν > 1)	$\nu/(\nu-2)$ (ν > 2)	없음	8장
$F_{\nu_1,\nu_2}$	$\dfrac{U/\nu_1}{V/\nu_2}$	$\dfrac{\nu_2}{\nu_2-2}$	$\dfrac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}$	없음	8장

구간 추정과 검정

신뢰 수준 $100(1-\alpha)\%$, 양측 기준. 단측이면 $\alpha/2$를 $\alpha$로 바꾼다. 검정 통계량의 분포는 $H_0$가 참일 때의 분포다.

상황	검정 통계량 → 분포	신뢰 구간	장
평균, σ 앎	$Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$	$\bar x\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$	10장
평균, σ 모름	$T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}$	$\bar x\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s}{\sqrt n}$	10장
비율	$Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$	왈드 $\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ (윌슨이 더 낫다)	10장
분산	$\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_{n-1}$	$\left[\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}},\ \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right]$	10장
두 평균, 등분산	$T=\dfrac{\bar X_1-\bar X_2-\Delta_0}{S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t_{n_1+n_2-2}$, $S_p^2=\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$	$\bar x_1-\bar x_2\pm t_{\alpha/2,n_1+n_2-2}\,s_p\sqrt{\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}}$	11장
두 평균, 웰치	$T=\dfrac{\bar X_1-\bar X_2-\Delta_0}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}$, $\nu=\dfrac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$	$\bar x_1-\bar x_2\pm t_{\alpha/2,\nu}\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$	11장
대응 표본	$T=\dfrac{\bar D-\Delta_0}{S_D/\sqrt n}\sim t_{n-1}$	$\bar d\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s_D}{\sqrt n}$	11장
두 비율	$Z=\dfrac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)(1/n_1+1/n_2)}}$, $\hat p$ 합동	$\hat p_1-\hat p_2\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\tfrac{\hat p_1\hat q_1}{n_1}+\tfrac{\hat p_2\hat q_2}{n_2}}$	11장
두 분산의 비	$F=S_1^2/S_2^2\sim F_{n_1-1,n_2-1}$	$\left[\dfrac{s_1^2/s_2^2}{F_{\alpha/2,n_1-1,n_2-1}},\ \dfrac{s_1^2}{s_2^2}F_{\alpha/2,n_2-1,n_1-1}\right]$	11장
χ² 적합도	$\chi^2=\sum\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\sim\chi^2_{k-1-m}$ (m: 추정한 모수 수)	— ($E_i\ge5$ 권장)	12장
χ² 독립성·동질성	$\chi^2=\sum\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$, $E_{ij}=\dfrac{R_iC_j}{n}$, $\nu=(r-1)(c-1)$	— (작은 표는 피셔 정확 검정)	12장
회귀 기울기	$T=\dfrac{\hat\beta_1-\beta_{1,0}}{\sqrt{\mathrm{MS_E}/S_{xx}}}\sim t_{n-2}$	$\hat\beta_1\pm t_{\alpha/2,n-2}\sqrt{\mathrm{MS_E}/S_{xx}}$	13장
일원 분산 분석	$F=\dfrac{\mathrm{MS_{Tr}}}{\mathrm{MS_E}}\sim F_{a-1,N-a}$	투키: $\bar y_i-\bar y_j\pm q_\alpha(a,N-a)\sqrt{\mathrm{MS_E}/n}$	14장
표본 크기	검정력 $1-\beta$: $n=\left[\dfrac{(z_{\alpha/2}+z_\beta)\sigma}{\delta}\right]^2$	오차 한계 E: $n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2$, $n=\dfrac{z_{\alpha/2}^2p(1-p)}{E^2}$	10장

관리도와 공정 능력

관리도	중심선	관리 한계	비고
$\bar X$ (R 사용)	$\bar{\bar x}$	$\bar{\bar x}\pm A_2\bar R$	$\hat\sigma=\bar R/d_2$
R	$\bar R$	$D_3\bar R,\ D_4\bar R$	n ≤ 10에 적합
$\bar X$ (s 사용)	$\bar{\bar x}$	$\bar{\bar x}\pm A_3\bar s$	$\hat\sigma=\bar s/c_4$
s	$\bar s$	$B_3\bar s,\ B_4\bar s$	n > 10에 적합
개별값 I–MR	$\bar x$, $\overline{MR}$	$\bar x\pm2.660\,\overline{MR}$; MR: $3.267\,\overline{MR}$	$\hat\sigma=\overline{MR}/1.128$
p (불량률)	$\bar p$	$\bar p\pm3\sqrt{\bar p(1-\bar p)/n}$	n이 바뀌면 한계도 바뀐다
np (불량 수)	$n\bar p$	$n\bar p\pm3\sqrt{n\bar p(1-\bar p)}$	n 일정
c (결점 수)	$\bar c$	$\bar c\pm3\sqrt{\bar c}$	검사 단위 일정
u (단위당 결점)	$\bar u$	$\bar u\pm3\sqrt{\bar u/n}$	단위 수 n 변동
EWMA	$\mu_0$	$\mu_0\pm L\sigma\sqrt{\tfrac{\lambda}{2-\lambda}\left[1-(1-\lambda)^{2i}\right]}$	$z_i=\lambda x_i+(1-\lambda)z_{i-1}$
CUSUM	0	$C_i^+>H$ 또는 $C_i^->H$	$C_i^+=\max(0,\,x_i-\mu_0-K+C_{i-1}^+)$, 보통 $K=\sigma/2,\ H=5\sigma$

$$C_p=\frac{\mathrm{USL}-\mathrm{LSL}}{6\sigma},\qquad C_{pk}=\min\!\left(\frac{\mathrm{USL}-\mu}{3\sigma},\ \frac{\mu-\mathrm{LSL}}{3\sigma}\right),\qquad \text{ppm}=10^6\left[\Phi\!\left(-3C_{pu}\right)+\Phi\!\left(-3C_{pl}\right)\right]$$

$3\sigma$ 관리도의 정상 상태 오경보 확률은 $2\Phi(-3)=0.0027$, 평균 런 길이 $\mathrm{ARL}_0=1/0.0027=370$이다. 자세한 것은 16장.

공정이 규격 가운데에 있고($C_p=C_{pk}$) $C_{pk}$ = 1.33이면 규격 끝까지 σ다. 규격 밖 비율은 한쪽 ppm, 양쪽 합 ppm(수율 )이다. 평균이 한쪽으로 1.5σ 밀리면 ppm이 된다.

신뢰성과 수율

항목	공식	장
신뢰도·고장률	$R(t)=1-F(t)$, $h(t)=\dfrac{f(t)}{R(t)}$, $R(t)=\exp\!\left[-\int_0^th(u)\,du\right]$, $\mathrm{MTTF}=\int_0^\infty R(t)\,dt$	17장
지수 수명	$R(t)=e^{-\lambda t}$, $h=\lambda$ (일정), $\mathrm{MTTF}=1/\lambda$	17장
와이블 수명	$R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta}$, $h(t)=\dfrac\beta\eta\left(\dfrac t\eta\right)^{\beta-1}$, $B_{p}=\eta[-\ln(1-p)]^{1/\beta}$, 확률지 $\ln[-\ln(1-F)]=\beta\ln t-\beta\ln\eta$	17장
로그 정규 수명	$F(t)=\Phi\!\left(\dfrac{\ln t-\mu}{\sigma}\right)$, 중앙 수명 $t_{50}=e^\mu$	17장
아레니우스 가속	$\mathrm{AF}=\exp\!\left[\dfrac{E_a}{k_B}\left(\dfrac1{T_\text{use}}-\dfrac1{T_\text{stress}}\right)\right]$, $k_B=8.617\times10^{-5}$ eV/K, T는 켈빈	17장
멱법칙 가속	$\mathrm{AF}=(V_\text{stress}/V_\text{use})^n$	17장
FIT와 신뢰 상한	1 FIT = 10⁻⁹/h. 고장 r개, 등가 소자·시간 $T=N\,t\,\mathrm{AF}$일 때 신뢰 수준 CL의 상한 $\lambda_U=\dfrac{\chi^2_{1-\mathrm{CL},\,2r+2}}{2T}$ (시간 단절, 상위 꼬리 표기)	17장
계통 신뢰도	직렬 $R=\prod R_i$, 병렬 $R=1-\prod(1-R_i)$, k-out-of-n: $\sum_{j\ge k}\binom nj R^j(1-R)^{n-j}$	3장
수율 모형	포아송 $Y=e^{-D_0A}$, 머피 $Y=\left(\dfrac{1-e^{-D_0A}}{D_0A}\right)^2$, 시즈 $Y=\dfrac1{1+D_0A}$, 음이항 $Y=\left(1+\dfrac{D_0A}{\alpha}\right)^{-\alpha}$	17장

소자 1000개를 1000 h 동안 125 °C에서 시험해 고장 0개를 얻었다. $E_a$ = 0.70 eV, 사용 온도 55 °C면 가속 계수 AF = , 등가 소자·시간 이다. 신뢰 수준 60%에서 $\chi^2_{0.40,\,2r+2}$ = → 고장률 상한 FIT, 90%에서 $\chi^2_{0.10,\,2r+2}$ = → FIT.

어떤 분포, 어떤 검정을 쓸까

문제를 읽고 가장 먼저 할 일은 "이 숫자는 무엇의 분포를 따르는가"를 정하는 것이다. 질문에 차례로 답하면 알맞은 분포·검정·관리도와 그것을 다룬 장으로 안내한다. 언제든 위의 경로를 눌러 되돌아갈 수 있다.

TOOL

분포·검정 고르기 도우미

해볼 것: ① "공정 변경 전후, 같은 웨이퍼 9장을 각각 재었다" — 추론 → 연속 → 두 집단 → 짝지음 → 대응 t. ② "로트 50개에서 10개를 비복원으로 뽑아 불량 수를 셌다" — 분포 → 셈 → 정해진 시행 수 → 비복원 → 초기하. ③ "웨이퍼마다 결함 수를 매일 기록한다" — 관리도 → 결점 수 → c 또는 u 관리도.

표 찾아 쓰기 연습

필요한 값은 모두 이 부록의 표와 계산기에 있다. 표에서 읽은 반올림 값으로 풀어도 정답으로 인정되도록 허용 오차를 잡았다.

$Z\sim N(0,1)$일 때 $P(-1.25<Z<0.83)$을 Φ 표로 구하라.

$\Phi(0.83)-\Phi(-1.25)$. 음수 표의 행 −1.2, 열 0.05.

$\Phi(0.83)=0.7967$, $\Phi(-1.25)=0.1056$. $P=0.7967-0.1056=0.6911$.

막두께 $X\sim N(100,\,2^2)$ nm다. 103.5 nm보다 두꺼울 확률과, 두께의 95번째 백분위수를 구하라.

$z=(103.5-100)/2=1.75$. 백분위수는 $\mu+z_{0.05}\sigma$.

$P(X>103.5)=1-\Phi(1.75)=1-0.9599=0.0401$. $z_{0.05}=1.645$이므로 95번째 백분위수는 $100+1.645\times2=103.29$ nm.

98% 양측 신뢰 구간에 쓰는 임계값 $z_{\alpha/2}$는?

$\alpha=0.02$, $\alpha/2=0.01$. $z_{0.01}=2.326$(Φ 표에서 0.9900에 가장 가까운 칸은 z = 2.33).

표면 거칠기 12점을 재어 $\bar x=3.42$ Å, $s=0.80$ Å를 얻었다. 모평균의 95% 신뢰 구간을 구하라. 임계값도 적어라.

ν = 11, 0.025 열.

$t_{0.025,11}=2.201$. 오차 한계 $2.201\times0.80/\sqrt{12}=0.508$. 구간 $3.42\pm0.508=[2.91,\ 3.93]$ Å.

CD 20점의 표본 표준 편차가 $s=1.2$ nm다. 표에서 필요한 두 카이제곱 값을 읽고 σ의 95% 신뢰 구간을 구하라.

$\left[\sqrt{(n-1)s^2/\chi^2_{0.025}},\ \sqrt{(n-1)s^2/\chi^2_{0.975}}\right]$.

ν = 19: $\chi^2_{0.975,19}=8.907$, $\chi^2_{0.025,19}=32.852$. $(n-1)s^2=19\times1.44=27.36$. 분산 구간 $[27.36/32.852,\ 27.36/8.907]=[0.833,\ 3.072]$, 제곱근을 취해 σ는 [0.913, 1.753] nm. 점추정 1.2를 가운데에 두지 않는 비대칭 구간이다.

$F_{0.05,4,20}$과 왼쪽 꼬리 값 $F_{0.95,4,20}$을 표로 구하라.

$F_{1-\alpha,\nu_1,\nu_2}=1/F_{\alpha,\nu_2,\nu_1}$.

α = 0.05 표에서 열 ν₁ = 4, 행 ν₂ = 20: 2.87. $F_{0.05,20,4}=5.80$(열 20, 행 4)이므로 $F_{0.95,4,20}=1/5.80=0.172$.

불량률 5%인 공정에서 20개를 뽑았다. 불량이 3개 이상일 확률은?

n = 20, p = 0.05 열의 k = 2 행: $P(X\le2)=0.9245$. $P(X\ge3)=1-0.9245=0.0755$.

웨이퍼당 결함 수가 평균 2.5개인 포아송 분포를 따른다. 결함이 1개 이하일 확률과 5개 이상일 확률을 구하라.

λ = 2.5 열: $P(X\le1)=0.2873$, $P(X\le4)=0.8912$이므로 $P(X\ge5)=1-0.8912=0.1088$.

식각 레시피 4개를 각각 6장씩 시험한 일원 분산 분석에서 $\mathrm{MS_E}=0.50$이었다. $q_{0.05}$와 투키 HSD를 구하라.

k = 4, ν = N − k = 24 − 4 = 20.

표에서 $q_{0.05}(4,20)=3.96$. $\mathrm{HSD}=3.96\sqrt{0.50/6}=3.96\times0.2887=1.14$. 평균 차가 1.14보다 큰 쌍만 다르다고 본다.

부분군 크기 5인 $\bar X$–R 관리도에서 $\bar{\bar x}=50.0$, $\bar R=2.0$이다. $\bar X$ 관리도의 UCL·LCL과 R 관리도의 UCL을 구하라.

n = 5: $A_2=0.5768$, $D_3=0$, $D_4=2.1145$. $50.0\pm0.5768\times2.0=[48.85,\ 51.15]$. R의 UCL $=2.1145\times2.0=4.23$, LCL = 0.

소자 1000개를 1000 h 가속 시험(AF = 50)해 고장이 하나도 없었다. 90% 신뢰 수준에서 고장률 상한을 FIT로 구하라. 필요한 카이제곱 값도 적어라.

r = 0이면 ν = 2r + 2 = 2, 위 꼬리 α = 1 − 0.90 = 0.10.

$\chi^2_{0.10,2}=4.605$. 등가 소자·시간 $T=1000\times1000\times50=5\times10^7$. $\lambda_U=4.605/(2\times5\times10^7)=4.61\times10^{-8}$/h = 46.1 FIT.

위쪽 규격만 있는 특성의 $C_{pk}=1.00$이다. 정규 분포를 가정하면 규격을 넘는 비율은 몇 ppm인가?

규격까지 $3C_{pk}=3$σ. $1-\Phi(3.00)=1-0.99865=0.00135$ → 1350 ppm.

단측 t 검정에서 $t=2.65$, ν = 14가 나왔다. t 표만으로 말할 수 있는 p 값의 범위는?

ν = 14 행에서 $t_{0.01}=2.624<2.65<t_{0.005}=2.977$. 그래서 $0.005<p<0.01$. 계산기로 정확히 구하면 p = 0.0095다.

200개짜리 로트에서 8개를 비복원으로 뽑아 불량 수를 센다. 로트에 불량이 6개 있을 때 표본 불량 수의 정확한 분포는?

비복원 추출이므로 정확한 분포는 초기하다. 다만 n/N = 0.04로 작아서 이항 Bin(8, 0.03)이 좋은 근사가 된다. "여러 분포 계산기"에서 둘을 비교해 보자.

필요한 값	바꾸는 법	예
왼쪽 꼬리 \(P(Z\le -z)\)	대칭: \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)	\(\Phi(-1.25)=1-0.8944=0.1056\)
양측 임계값(신뢰 수준 \(1-\alpha\))	상위 꼬리 \(\alpha/2\) 칸을 읽는다	99% → \(z_{0.005}=2.576\), \(t_{0.005,10}=3.169\)
카이제곱 왼쪽 꼬리	첨자 \(1-\alpha\) 열	\(P(\chi^2_{10}<3.940)=0.05\) → \(\chi^2_{0.95,10}=3.940\)
F 왼쪽 꼬리	\(F_{1-\alpha,\nu_1,\nu_2}=1/F_{\alpha,\nu_2,\nu_1}\)	\(F_{0.95,4,20}=1/F_{0.05,20,4}=1/5.80=0.172\)
표에 없는 자유도	가까운 두 행을 \(1/\nu\)에 대해 선형 보간하거나 작은 ν(보수적)를 쓴다	\(t_{0.025,50}\): 40과 60 사이 → 2.009
p 값 범위 읽기	검정 통계량이 들어가는 두 열 사이	\(t=2.65,\ \nu=14\): 2.624와 2.977 사이 → 단측 \(0.005<p<0.01\)

분포	pmf / pdf	\(E[X]\)	\(\operatorname{Var}(X)\)	MGF \(M(t)\)	장
베르누이 \((p)\)	\(p^x(1-p)^{1-x},\ x=0,1\)	\(p\)	\(p(1-p)\)	\(1-p+pe^t\)	4장
\(\mathrm{Bin}(n,p)\)	\(\binom nx p^x(1-p)^{n-x}\)	\(np\)	\(np(1-p)\)	\((1-p+pe^t)^n\)	4장
\(\mathrm{Geom}(p)\)	\((1-p)^{x-1}p,\ x=1,2,\dots\)	\(1/p\)	\((1-p)/p^2\)	\(\dfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\)	4장
음이항 \((r,p)\)	\(\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r},\ x\ge r\)	\(r/p\)	\(r(1-p)/p^2\)	\(\left[\dfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\right]^r\)	4장
초기하 \((N,K,n)\)	\(\dfrac{\binom Kx\binom{N-K}{n-x}}{\binom Nn}\)	\(n\dfrac KN\)	\(n\dfrac KN\left(1-\dfrac KN\right)\dfrac{N-n}{N-1}\)	—	4장
\(\mathrm{Poisson}(\lambda)\)	\(e^{-\lambda}\lambda^x/x!\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)	\(e^{\lambda(e^t-1)}\)	4장
균일 \((a,b)\)	\(1/(b-a)\)	\((a+b)/2\)	\((b-a)^2/12\)	\(\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}\)	5장
\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)	\(\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge0\)	\(1/\lambda\)	\(1/\lambda^2\)	\(\lambda/(\lambda-t),\ t<\lambda\)	5장
\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)	\(e^{\mu t+\sigma^2t^2/2}\)	5장
\(\mathrm{Gamma}(k,\theta)\)	\(\dfrac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k}\)	\(k\theta\)	\(k\theta^2\)	\((1-\theta t)^{-k}\)	5장
베타 \((a,b)\)	\(\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\)	\(\dfrac{a}{a+b}\)	\(\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\)	(닫힌 꼴 없음)	5장
로그 정규 \((\mu,\sigma)\)	\(\dfrac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(\ln x-\mu)^2/2\sigma^2}\)	\(e^{\mu+\sigma^2/2}\)	\((e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}\)	없음	5장
\(\mathrm{Weibull}(\beta,\eta)\)	\(\dfrac\beta\eta\left(\dfrac x\eta\right)^{\beta-1}e^{-(x/\eta)^\beta}\)	\(\eta\,\Gamma(1+\tfrac1\beta)\)	\(\eta^2\left[\Gamma(1+\tfrac2\beta)-\Gamma^2(1+\tfrac1\beta)\right]\)	—	17장
\(\chi^2_\nu\)	\(\mathrm{Gamma}(\nu/2,\,2)\)	\(\nu\)	\(2\nu\)	\((1-2t)^{-\nu/2}\)	8장
\(t_\nu\)	\(\propto(1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\)	0 (ν > 1)	\(\nu/(\nu-2)\) (ν > 2)	없음	8장
\(F_{\nu_1,\nu_2}\)	\(\dfrac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\)	\(\dfrac{\nu_2}{\nu_2-2}\)	\(\dfrac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}\)	없음	8장

관리도	중심선	관리 한계	비고
\(\bar X\) (R 사용)	\(\bar{\bar x}\)	\(\bar{\bar x}\pm A_2\bar R\)	\(\hat\sigma=\bar R/d_2\)
R	\(\bar R\)	\(D_3\bar R,\ D_4\bar R\)	n ≤ 10에 적합
\(\bar X\) (s 사용)	\(\bar{\bar x}\)	\(\bar{\bar x}\pm A_3\bar s\)	\(\hat\sigma=\bar s/c_4\)
s	\(\bar s\)	\(B_3\bar s,\ B_4\bar s\)	n > 10에 적합
개별값 I–MR	\(\bar x\), \(\overline{MR}\)	\(\bar x\pm2.660\,\overline{MR}\); MR: \(3.267\,\overline{MR}\)	\(\hat\sigma=\overline{MR}/1.128\)
p (불량률)	\(\bar p\)	\(\bar p\pm3\sqrt{\bar p(1-\bar p)/n}\)	n이 바뀌면 한계도 바뀐다
np (불량 수)	\(n\bar p\)	\(n\bar p\pm3\sqrt{n\bar p(1-\bar p)}\)	n 일정
c (결점 수)	\(\bar c\)	\(\bar c\pm3\sqrt{\bar c}\)	검사 단위 일정
u (단위당 결점)	\(\bar u\)	\(\bar u\pm3\sqrt{\bar u/n}\)	단위 수 n 변동
EWMA	\(\mu_0\)	\(\mu_0\pm L\sigma\sqrt{\tfrac{\lambda}{2-\lambda}\left[1-(1-\lambda)^{2i}\right]}\)	\(z_i=\lambda x_i+(1-\lambda)z_{i-1}\)
CUSUM	0	\(C_i^+>H\) 또는 \(C_i^->H\)	\(C_i^+=\max(0,\,x_i-\mu_0-K+C_{i-1}^+)\), 보통 \(K=\sigma/2,\ H=5\sigma\)

분포표와 계산기

표를 읽는 약속

정규 분포

정규 분포 계산기

표준 정규 누적 분포 \(\Phi(z)=P(Z\le z)\)

상위 분위수 \(z_\alpha\)

t 분포

t 분포 계산기

t 분포 상위 임계값 \(t_{\alpha,\nu}\)

카이제곱 분포

카이제곱 분포 계산기

카이제곱 상위 임계값 \(\chi^2_{\alpha,\nu}\)

F 분포

F 분포 계산기

F 분포 상위 임계값 \(F_{\alpha,\nu_1,\nu_2}\)

이항 분포와 포아송 분포

이항 분포 계산기

포아송 분포 계산기

이항 누적 확률 \(P(X\le k)\)

포아송 누적 확률 \(P(X\le k)\)

그 밖의 분포 계산기

여러 분포 계산기

스튜던트화 범위와 관리도 계수

스튜던트화 범위 \(q_{0.05}(k,\nu)\)

관리도 계수 (n = 2–25)

공식 요약

주요 분포

구간 추정과 검정

관리도와 공정 능력

신뢰성과 수율

어떤 분포, 어떤 검정을 쓸까

분포·검정 고르기 도우미

표 찾아 쓰기 연습

α	0.25	0.2	0.15	0.1	0.05	0.025	0.02	0.01	0.005	0.0025	0.001	0.0005	0.0001
\(z_\alpha\)	0.6745	0.8416	1.0364	1.2816	1.6449	1.9600	2.0537	2.3263	2.5758	2.8070	3.0902	3.2905	3.7190
양측 신뢰 수준 \(1-2\alpha\)	50%	60%	70%	80%	90%	95%	96%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%	99.98%

상황	검정 통계량 → 분포	신뢰 구간	장
평균, σ 앎	\(Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\)	\(\bar x\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)	10장
평균, σ 모름	\(T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}\)	\(\bar x\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s}{\sqrt n}\)	10장
비율	\(Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)	왈드 \(\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}\) (윌슨이 더 낫다)	10장
분산	\(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_{n-1}\)	\(\left[\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}},\ \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right]\)	10장
두 평균, 등분산	\(T=\dfrac{\bar X_1-\bar X_2-\Delta_0}{S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t_{n_1+n_2-2}\), \(S_p^2=\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\)	\(\bar x_1-\bar x_2\pm t_{\alpha/2,n_1+n_2-2}\,s_p\sqrt{\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}}\)	11장
두 평균, 웰치	\(T=\dfrac{\bar X_1-\bar X_2-\Delta_0}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}\), \(\nu=\dfrac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}\)	\(\bar x_1-\bar x_2\pm t_{\alpha/2,\nu}\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\)	11장
대응 표본	\(T=\dfrac{\bar D-\Delta_0}{S_D/\sqrt n}\sim t_{n-1}\)	\(\bar d\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s_D}{\sqrt n}\)	11장
두 비율	\(Z=\dfrac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)(1/n_1+1/n_2)}}\), \(\hat p\) 합동	\(\hat p_1-\hat p_2\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\tfrac{\hat p_1\hat q_1}{n_1}+\tfrac{\hat p_2\hat q_2}{n_2}}\)	11장
두 분산의 비	\(F=S_1^2/S_2^2\sim F_{n_1-1,n_2-1}\)	\(\left[\dfrac{s_1^2/s_2^2}{F_{\alpha/2,n_1-1,n_2-1}},\ \dfrac{s_1^2}{s_2^2}F_{\alpha/2,n_2-1,n_1-1}\right]\)	11장
χ² 적합도	\(\chi^2=\sum\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\sim\chi^2_{k-1-m}\) (m: 추정한 모수 수)	— (\(E_i\ge5\) 권장)	12장
χ² 독립성·동질성	\(\chi^2=\sum\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\), \(E_{ij}=\dfrac{R_iC_j}{n}\), \(\nu=(r-1)(c-1)\)	— (작은 표는 피셔 정확 검정)	12장
회귀 기울기	\(T=\dfrac{\hat\beta_1-\beta_{1,0}}{\sqrt{\mathrm{MS_E}/S_{xx}}}\sim t_{n-2}\)	\(\hat\beta_1\pm t_{\alpha/2,n-2}\sqrt{\mathrm{MS_E}/S_{xx}}\)	13장
일원 분산 분석	\(F=\dfrac{\mathrm{MS_{Tr}}}{\mathrm{MS_E}}\sim F_{a-1,N-a}\)	투키: \(\bar y_i-\bar y_j\pm q_\alpha(a,N-a)\sqrt{\mathrm{MS_E}/n}\)	14장
표본 크기	검정력 \(1-\beta\): \(n=\left[\dfrac{(z_{\alpha/2}+z_\beta)\sigma}{\delta}\right]^2\)	오차 한계 E: \(n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2\), \(n=\dfrac{z_{\alpha/2}^2p(1-p)}{E^2}\)	10장

항목	공식	장
신뢰도·고장률	\(R(t)=1-F(t)\), \(h(t)=\dfrac{f(t)}{R(t)}\), \(R(t)=\exp\!\left[-\int_0^th(u)\,du\right]\), \(\mathrm{MTTF}=\int_0^\infty R(t)\,dt\)	17장
지수 수명	\(R(t)=e^{-\lambda t}\), \(h=\lambda\) (일정), \(\mathrm{MTTF}=1/\lambda\)	17장
와이블 수명	\(R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta}\), \(h(t)=\dfrac\beta\eta\left(\dfrac t\eta\right)^{\beta-1}\), \(B_{p}=\eta[-\ln(1-p)]^{1/\beta}\), 확률지 \(\ln[-\ln(1-F)]=\beta\ln t-\beta\ln\eta\)	17장
로그 정규 수명	\(F(t)=\Phi\!\left(\dfrac{\ln t-\mu}{\sigma}\right)\), 중앙 수명 \(t_{50}=e^\mu\)	17장
아레니우스 가속	\(\mathrm{AF}=\exp\!\left[\dfrac{E_a}{k_B}\left(\dfrac1{T_\text{use}}-\dfrac1{T_\text{stress}}\right)\right]\), \(k_B=8.617\times10^{-5}\) eV/K, T는 켈빈	17장
멱법칙 가속	\(\mathrm{AF}=(V_\text{stress}/V_\text{use})^n\)	17장
FIT와 신뢰 상한	1 FIT = 10⁻⁹/h. 고장 r개, 등가 소자·시간 \(T=N\,t\,\mathrm{AF}\)일 때 신뢰 수준 CL의 상한 \(\lambda_U=\dfrac{\chi^2_{1-\mathrm{CL},\,2r+2}}{2T}\) (시간 단절, 상위 꼬리 표기)	17장
계통 신뢰도	직렬 \(R=\prod R_i\), 병렬 \(R=1-\prod(1-R_i)\), k-out-of-n: \(\sum_{j\ge k}\binom nj R^j(1-R)^{n-j}\)	3장
수율 모형	포아송 \(Y=e^{-D_0A}\), 머피 \(Y=\left(\dfrac{1-e^{-D_0A}}{D_0A}\right)^2\), 시즈 \(Y=\dfrac1{1+D_0A}\), 음이항 \(Y=\left(1+\dfrac{D_0A}{\alpha}\right)^{-\alpha}\)	17장