용어집과 종합 문제
1–17장 본문에서 처음 정의한 용어를 모았다. 설명은 본문의 정의를 한두 문장으로 정리한 것이며, 링크를 누르면 그 용어가 처음 나온 절로 이동한다. 검색창에 한국어나 영어를 넣거나 장을 골라 목록을 좁힐 수 있다. 뒤의 종합 문제는 장마다 4문제씩, 계산 문제 셋과 선택형 하나를 섞어 낸다. 대부분 막두께 측정, 검사 장비의 과검출, 웨이퍼 결함 수와 다이 수율, 임계 치수 산포, 스플릿 로트, 검량선, 식각 실험, 장비 대기열, 관리도, 가속 수명 시험처럼 반도체 현장의 숫자로 묻는다. ‘종합’ 표시가 붙은 문제는 여러 장의 도구를 함께 써야 풀린다. 그다음 장을 넘나드는 반복 연습 두 개, 시험 직전 체크리스트, 각 장의 개념 퀴즈를 무작위로 섞어 내는 코너가 이어진다. 분포표와 공식은 부록 A에 있다.
용어집
용어 434개 · 각 용어는 처음 정의된 장으로 연결된다.
기타
2ᵏ 요인 실험2ᵏ factorial design
요인 \(k\)개를 각각 두 수준(−1, +1)으로 두고 모든 \(2^k\) 조합을 실행하는 실험.
14장 분산 분석과 실험 계획 →3의 규칙rule of three
\(n\)개 중 불량이 0개일 때 불량률의 95% 단측 상한이 약 \(3/n\)이라는 규칙. 정확한 값은 \(1 - 0.05^{1/n}\).
10장 구간 추정 →A–Z
AQLacceptable quality level
생산자가 합격되기를 바라는 좋은 품질 수준의 불량률. 이 불량률의 로트가 거부될 확률이 생산자 위험이다.
16장 통계적 공정 관리 →F 분포F distribution
독립인 두 카이제곱 변수를 각자 자유도로 나눈 비 \((\chi^2_{\nu_1}/\nu_1)/(\chi^2_{\nu_2}/\nu_2)\)의 분포. 두 표본 분산의 비를 비교할 때 쓴다.
08장 표본 분포 →Gage R&Rgauge repeatability and reproducibility
반복성과 재현성을 합친 측정 산포. 부품×작업자 교차 연구의 분산 분석으로 추정하고 %GRR, ndc로 판정한다.
16장 통계적 공정 관리 →LTPDlot tolerance percent defective
소비자가 거부되기를 바라는 나쁜 품질 수준의 불량률. 이 불량률의 로트가 합격할 확률이 소비자 위험이다.
16장 통계적 공정 관리 →OC 곡선operating characteristic curve
샘플링 계획의 로트 합격 확률 \(P_a(p) = P(X\le c)\)를 로트 불량률 \(p\)에 대해 그린 곡선. 생산자 위험과 소비자 위험을 함께 보여 준다.
04장 이산 확률 변수 →k-out-of-n 계통k-out-of-n system
\(n\)개의 부품 중 \(k\)개 이상이 동작하면 동작하는 계통. 같은 부품이면 신뢰도는 이항 분포의 합 \(\sum_{j\ge k}\binom nj r^j(1-r)^{n-j}\)이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →p 값p-value
\(H_0\)가 참일 때 검정 통계량이 관측값만큼 또는 그보다 극단적인 값이 나올 확률. \(p \le \alpha\)이면 \(H_0\)를 기각한다.
11장 가설 검정 →t 분포Student's t distribution
\(Z/\sqrt{\chi^2_\nu/\nu}\)(\(Z\)와 \(\chi^2\)는 독립)의 분포. 정규 표본에서 \((\bar X-\mu)/(S/\sqrt n) \sim t_{n-1}\)이며 정규 분포보다 꼬리가 두껍다.
08장 표본 분포 →ㄱ
가능도likelihood
각 가설이 참일 때 관측된 증거가 나올 확률 \(P(A\mid B_j)\). 가설의 함수로 보며, 합이 1일 필요는 없다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →가능도 함수likelihood function
관측된 자료를 고정하고 결합 밀도(또는 확률)를 모수의 함수로 본 것 \(L(\theta) = \prod f(x_i;\theta)\). \(\theta\)에 대한 확률 분포는 아니다.
09장 점추정 →가능도비likelihood ratio
증거가 한 가설에서 나올 확률과 다른 가설에서 나올 확률의 비. 양성 검사의 \(LR_+ = P(+\mid D)/P(+\mid D^c)\)는 결과 하나가 오즈를 몇 배로 만드는지 말해 준다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →가속 수명 시험accelerated life test
온도·전압·습도 등 스트레스를 높여 고장 메커니즘을 빨리 진행시키고, 그 결과를 사용 조건으로 환산하는 시험.
17장 신뢰성과 수율 →가족별 오류율familywise error rate, FWER
여러 검정 가운데 적어도 하나에서 제1종 오류를 범할 확률. 독립 검정 \(m\)개면 \(1 - (1-\alpha)^m\).
11장 가설 검정 →갈톤 보드Galton board
삼각형으로 박힌 못 사이로 구슬을 떨어뜨려, 각 못에서 좌우로 튀는 베르누이 시행의 합이 이항 분포를 거쳐 정규 분포 모양으로 쌓이는 것을 보여 주는 장치.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →감마 분포gamma distribution
밀도 \(x^{k-1}e^{-x/\theta}/(\Gamma(k)\theta^k)\)인 분포 \(\mathrm{Gamma}(k, \theta)\). 정수 \(k\)이면 독립 지수 분포 \(k\)개의 합이며, 평균 \(k\theta\), 분산 \(k\theta^2\).
05장 연속 확률 변수 →같은 것이 있는 순열permutation of multisets
같은 것이 \(n_1, \dots, n_r\)개씩 섞인 \(n\)개를 늘어놓는 방법. 그 수는 \(n!/(n_1!\cdots n_r!)\)(다항 계수).
02장 확률의 기초 →거의 확실한 수렴almost sure convergence
\(P(\lim_{n\to\infty}X_n = c) = 1\)일 때의 수렴. 표본 경로 하나하나가 확률 1로 결국 \(c\)에 붙는다는 뜻으로 확률 수렴보다 강하다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →검사 역설inspection paradox
무작위 시각에 걸린 간격(진행 중인 구간)이 길이에 비례해 뽑혀 평균보다 길게 관찰되는 현상. 포아송 과정에서 그 평균은 \(2/\lambda\)이다.
15장 확률 과정 →검사관의 오류prosecutor's fallacy
\(P(\text{증거}\mid\text{무죄})\)가 작다는 것을 \(P(\text{무죄}\mid\text{증거})\)가 작다는 것으로 바꿔 읽는 잘못. 사전 확률 없이는 사후 확률을 말할 수 없다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →검정 통계량test statistic
자료가 \(H_0\)와 얼마나 어긋나는지를 요약한 통계량. \(H_0\) 아래의 분포를 알아야 한다(예: \(Z = (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\)).
11장 가설 검정 →검정력power
거짓인 \(H_0\)를 올바르게 기각할 확률 \(1 - \beta\). 효과 크기, 표본 크기, \(\alpha\)가 클수록, 산포가 작을수록 커진다.
11장 가설 검정 →결정 계수coefficient of determination
반응 변수의 변동 가운데 회귀식이 설명하는 비율 \(R^2 = \mathrm{SSR}/\mathrm{SST} = 1 - \mathrm{SSE}/\mathrm{SST}\). 단순 회귀에서는 \(r^2\)과 같다.
13장 회귀 분석 →결합 누적 분포 함수joint cumulative distribution function
\(F_{X,Y}(x,y) = P(X\le x,\ Y\le y)\). 연속이면 \(f_{X,Y} = \partial^2F/\partial x\,\partial y\)이다.
06장 결합 분포 →결합 확률 밀도 함수joint probability density function
영역 위에서 적분하면 두 연속 확률 변수가 그 영역에 들 확률이 되는 함수 \(f_{X,Y}(x,y)\). 곡면 아래 부피가 확률이다.
06장 결합 분포 →결합 확률 질량 함수joint probability mass function
두 이산 확률 변수가 동시에 각 값을 가질 확률 \(p_{X,Y}(x,y) = P(X = x,\ Y = y)\). 모든 칸의 합이 1인 표로 나타낼 수 있다.
06장 결합 분포 →경험적 누적 분포 함수empirical CDF
자료 중 \(x\) 이하인 비율 \(F_n(x)\). 자료점마다 \(1/n\)씩 뛰는 계단 함수다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →계통 추출systematic sampling
목록에서 무작위 시작점 하나를 고르고 그 뒤로 \(k\)번째마다 뽑는 방법. 목록에 주기 \(k\)의 무늬가 있으면 크게 틀린다.
08장 표본 분포 →고장률hazard rate, failure rate
시각 \(t\)까지 살아남은 것이 다음 순간 고장 나는 비율 \(h(t) = f(t)/R(t)\). 지수 분포는 일정, 와이블 분포는 \(t^{\beta-1}\)에 비례한다. 반도체에서는 FIT(\(10^{-9}\)/h)로 쓴다.
05장 연속 확률 변수 →고전적 확률classical probability
모든 결과가 같은 가능성일 때 \(P(A) = |A|/|\Omega|\)로 정하는 확률. 라플라스의 정의라고도 한다.
02장 확률의 기초 →곱셈 법칙multiplication rule
교집합의 확률을 조건부 확률로 쓰는 규칙 \(P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B)\). 여러 사건으로 늘리면 연쇄 법칙이 된다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →곱의 법칙multiplication rule
1단계를 \(n_1\)가지, 그 각각에 대해 2단계를 \(n_2\)가지, …로 할 수 있으면 전체 방법은 \(n_1n_2\cdots\)가지라는 세기 규칙.
02장 확률의 기초 →공분산covariance
\(\operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = E[XY] - \mu_X\mu_Y\). 두 변수가 함께 평균보다 크거나 작으면 양수, 엇갈리면 음수다.
06장 결합 분포 →공정 능력 지수process capability index
규격 폭과 공정 산포를 견주는 지수. \(C_p = (\mathrm{USL}-\mathrm{LSL})/6\sigma\), \(C_{pk} = \min(\mathrm{USL}-\mu, \mu-\mathrm{LSL})/3\sigma\).
16장 통계적 공정 관리 →공차 구간tolerance interval
모집단의 정해진 비율 \(P\) 이상을 신뢰 수준 \(1-\alpha\)로 덮는 구간. 정규 모집단에서 \(\bar x \pm k s\) 꼴이다.
10장 구간 추정 →공통 원인common cause, chance cause
공정에 늘 존재하는 수많은 작고 독립적인 요인에서 오는 변동. 출력 분포를 시간에 따라 일정하게 유지하며, 줄이려면 공정 자체를 바꿔야 한다.
16장 통계적 공정 관리 →과검출overkill, false alarm
양품을 불량으로 판정하는 오류(위양성). 반도체 테스트에서는 과잉 불량(overkill)이라 하며 수율 손실이 된다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →과대 산포overdispersion
개수 자료의 분산이 포아송 모형이 예측하는 값(평균)보다 큰 현상. 결함이 뭉쳐 있거나 조건이 단위마다 다를 때 생긴다.
04장 이산 확률 변수 →관리 상태in statistical control
공정에 공통 원인 변동만 있어 출력의 분포가 시간에 따라 변하지 않는 상태. 안정을 뜻할 뿐 규격 만족을 뜻하지는 않는다.
16장 통계적 공정 관리 →관리 한계control limits
관리도의 위·아래 경계 \(\mu_W \pm L\sigma_W\). 보통 \(L = 3\)이며, 공정 자료에서 계산한다.
16장 통계적 공정 관리 →관리도control chart
공정에서 주기적으로 뽑은 표본의 통계량을 시간순으로 찍고 중심선과 관리 한계를 그려, 특수 원인의 발생을 판단하는 그림. 점마다 되풀이하는 가설 검정이다.
16장 통계적 공정 관리 →군집 모수cluster parameter
음이항 수율 모형의 모수 \(\alpha\). 작을수록 결함이 심하게 뭉치고, \(\alpha \to \infty\)이면 포아송 모형이 된다.
17장 신뢰성과 수율 →군집 추출cluster sampling
모집단을 군집으로 나누고 몇 개 군집을 골라 그 안을 모두 관측하는 방법. 싸지만 군집 안 상관 때문에 정밀도가 떨어진다.
08장 표본 분포 →균일 분포uniform distribution
구간 \([a, b]\)의 모든 점에 같은 밀도 \(1/(b-a)\)를 주는 분포 \(U(a,b)\). 평균 \((a+b)/2\), 분산 \((b-a)^2/12\).
05장 연속 확률 변수 →기각역rejection region, critical region
\(H_0\)가 참일 때 좀처럼 나오지 않는 검정 통계량 값의 영역. 통계량이 여기에 들면 \(H_0\)를 기각한다.
11장 가설 검정 →기대 도수expected frequency
귀무가설이 참일 때 각 칸에 들어갈 것으로 기대되는 개수. 적합도 검정에서는 \(E_i = np_{i0}\), 분할표에서는 \(E_{ij} = R_iC_j/N\).
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →기댓값expected value
확률을 가중치로 한 평균 \(E[X] = \sum_x x\,p_X(x)\). pmf의 무게 중심이자 반복 실험의 장기 평균이다.
04장 이산 확률 변수 →기본 행렬fundamental matrix
흡수 연쇄에서 \(N = (I-Q)^{-1}\). \(N_{ij}\)는 \(i\)에서 출발해 흡수 전까지 \(j\)를 방문하는 기대 횟수다.
15장 확률 과정 →기술 통계descriptive statistics
자료를 표·그림·요약 수치로 정리해 보여 주는 통계. 표본으로 모집단을 추론하는 추론 통계와 구별한다.
01장 자료의 요약과 시각화 →기저율 오류base rate fallacy
사전 확률(기저율)을 무시하고 검사의 정확도만으로 사후 확률을 판단하는 잘못. 드문 사건에서는 양성 결과의 대부분이 오경보일 수 있다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →기하 분포geometric distribution
독립 시행을 첫 성공이 나올 때까지 되풀이한 시행 횟수의 분포. \(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\), 평균 \(1/p\), 분산 \((1-p)/p^2\).
04장 이산 확률 변수 →ㄴ
누적 고장률cumulative hazard
고장률의 적분 \(H(t) = \int_0^t h(u)\,du\). 신뢰도와 \(R(t) = e^{-H(t)}\)의 관계가 있다.
17장 신뢰성과 수율 →누적 분포 함수cumulative distribution function (cdf)
\(F_X(x) = P(X\le x)\). 0에서 1까지 줄지 않고 오르며, 이산 변수에서는 값이 있는 자리에서만 뛰는 계단이다. \(P(a < X\le b) = F_X(b) - F_X(a)\).
04장 이산 확률 변수 →누적 합cumulative sum, CUSUM
목표에서 벗어난 양에서 허용치 \(k\)를 뺀 값을 0 아래로 내려가지 않게 쌓은 통계량 \(C_i^\pm\). 결정 한계 \(h\)를 넘으면 경보를 낸다.
16장 통계적 공정 관리 →ㄷ
다중 회귀multiple regression
설명 변수가 둘 이상인 회귀 모형 \(Y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \cdots + \beta_kx_k + \varepsilon\).
13장 회귀 분석 →다항 분포multinomial distribution
\(n\)번의 독립 시행이 각각 확률 \(p_1,\dots,p_k\)로 \(k\)개 범주 중 하나에 떨어질 때 범주별 개수의 결합 분포. 각 개수의 주변 분포는 이항이고 서로 다른 범주의 공분산은 \(-np_ip_j\)다.
06장 결합 분포 →단순 선형 회귀simple linear regression
설명 변수 하나의 모형 \(Y = \beta_0 + \beta_1x + \varepsilon\), \(\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)\) 독립.
13장 회귀 분석 →대기 중복standby redundancy
예비 부품이 쉬고 있다가 주 부품이 고장 나면 전환되어 동작하는 중복 방식. 지수 부품 \(n\)개면 MTTF가 \(n/\lambda\)이다.
17장 신뢰성과 수율 →대립가설alternative hypothesis
자료로 보이고 싶은 주장 \(H_1\). \(\mu \ne \mu_0\), \(\mu > \mu_0\), \(\mu < \mu_0\) 꼴이 있다.
11장 가설 검정 →대수의 법칙law of large numbers
같은 조건에서 독립적으로 반복하면 상대 도수가 확률에서 일정 거리 이상 벗어날 확률이 \(n\to\infty\)에서 0으로 간다는 법칙.
02장 확률의 기초 →도박꾼의 파산gambler's ruin
두 흡수 장벽 0과 \(N\) 사이 랜덤 워크가 어느 장벽에 먼저 닿는가의 문제. 대칭이면 \(h_k = k/N\), 기대 걸음 \(k(N-k)\).
15장 확률 과정 →도착 간격interarrival time
연속한 두 사건 사이의 시간 \(T_i\). 포아송 과정에서는 서로 독립인 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)이다.
15장 확률 과정 →독립independent
\(P(A\cap B) = P(A)P(B)\)를 만족하는 두 사건의 관계. 한 사건이 일어났다는 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →독립 확률 변수independent random variables
모든 \(x, y\)에서 \(p_{X,Y}(x,y) = p_X(x)p_Y(y)\)(연속이면 밀도의 곱)인 확률 변수들. 한쪽을 알아도 다른 쪽의 분포가 바뀌지 않는다.
06장 결합 분포 →독립성 검정test of independence
한 표본을 두 변수로 분류한 분할표에서 두 변수가 독립인지 검정하는 카이제곱 검정. 자유도 \((r-1)(c-1)\).
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →동질성 검정test of homogeneity
행(집단)마다 정해진 수를 따로 뽑아 범주 분포가 모든 집단에서 같은지 검정하는 카이제곱 검정. 계산은 독립성 검정과 같다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →드모르간 법칙De Morgan's laws
\((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\), \((A\cap B)^c = A^c\cup B^c\). 여사건과 합·곱사건을 바꿔 쓰는 규칙.
02장 확률의 기초 →ㄹ
랜덤 워크random walk
독립인 걸음 \(X_i\)(보통 ±1)를 누적한 위치 \(S_n = X_1+\cdots+X_n\). 대칭이면 퍼짐이 \(\sqrt n\)으로 자란다.
15장 확률 과정 →로그 가능도log-likelihood
가능도 함수의 자연로그 \(\ell(\theta) = \sum \ln f(x_i;\theta)\). 곱이 합이 되어 미분과 수치 계산이 쉽고, 최댓값의 위치는 가능도와 같다.
09장 점추정 →로그 정규 분포lognormal distribution
\(\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)\)인 양수 확률 변수 \(X\)의 분포. 중앙값 \(e^\mu\), 평균 \(e^{\mu+\sigma^2/2}\)이며 작은 요인의 곱에서 나온다. EM 수명에 관례로 쓴다.
05장 연속 확률 변수 →로지스틱 회귀logistic regression
0/1 반응의 확률을 \(p = 1/(1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1x)})\)로 모형화하고 최대 가능도로 추정하는 회귀.
13장 회귀 분석 →리틀의 법칙Little's law
안정한 계에서 장기 평균 머릿수 = 도착률 × 평균 체류 시간, \(L = \lambda W\). 재공 = 처리량 × 사이클 타임.
15장 확률 과정 →ㅁ
마르코프 부등식Markov's inequality
음이 아닌 확률 변수 \(X\)와 \(a>0\)에 대해 \(P(X\ge a)\le E[X]/a\)가 성립한다는 부등식. 평균만으로 오른쪽 꼬리 확률의 상한을 준다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →마르코프 성질Markov property
현재 상태가 주어지면 미래가 과거와 조건부 독립인 성질: \(P(X_{n+1}\mid X_n,\dots,X_0) = P(X_{n+1}\mid X_n)\).
15장 확률 과정 →마할라노비스 거리Mahalanobis distance
상관과 척도를 고려한 평균으로부터의 거리. 이변량 정규에서 \(d^2 = (z_x^2 - 2\rho z_xz_y + z_y^2)/(1-\rho^2)\)이며 자유도 2인 카이제곱 분포를 따른다.
06장 결합 분포 →만–휘트니 U 검정Mann–Whitney U test
표본 1의 값이 표본 2의 값보다 큰 쌍의 수 \(U\)로 두 독립 표본을 비교하는 순위 검정. \(H_0\) 아래 평균 \(n_1n_2/2\).
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →명중–실패법hit-or-miss method
함수 그래프를 둘러싼 상자에 점을 균일하게 뿌려 곡선 아래에 든 비율로 넓이(적분)를 추정하는 몬테카를로 방법. 같은 표본 수에서 표본 평균법보다 분산이 크다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →모자 행렬hat matrix
적합값을 \(\hat y = Hy\)로 주는 사영 행렬 \(H = X(X^{\mathsf T}X)^{-1}X^{\mathsf T}\).
13장 회귀 분석 →몬테카를로 방법Monte Carlo method
구하려는 양을 확률 변수의 기댓값으로 쓰고, 난수로 표본을 많이 뽑아 평균을 내어 근사하는 계산법. 오차는 표준 오차 \(\sigma/\sqrt N\)로 준다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →몬테카를로 적분Monte Carlo integration
\(\int_a^b f(x)\,dx = (b-a)E[f(U)]\), \(U\sim U(a,b)\)를 이용해 균일 난수에서의 함숫값 평균으로 적분을 추정하는 방법. 오차가 차원과 무관하다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →몬티 홀 문제Monty Hall problem
세 문 중 하나를 고른 뒤 진행자가 염소 문을 열어 줄 때, 선택을 바꾸면 이길 확률이 2/3가 되는 문제. 조건부 확률로 설명된다.
02장 확률의 기초 →무기억성memorylessness
이미 \(m\)번 실패했다는 정보가 남은 횟수의 분포를 바꾸지 않는 성질 \(P(X > m+n\mid X > m) = P(X > n)\). 이산 분포에서는 기하 분포만 갖는다.
04장 이산 확률 변수 →무의식적 통계학자의 법칙law of the unconscious statistician, LOTUS
\(Y = g(X)\)의 분포를 구하지 않고도 \(E[g(X)] = \int g(x) f_X(x)\,dx\)(이산이면 합)로 기댓값을 계산할 수 있다는 규칙.
05장 연속 확률 변수 →ㅂ
반응 표면법response surface methodology (RSM)
반응을 요인의 매끄러운 함수로 보고 1차·2차 모형과 순차 실험으로 최적 조건을 찾는 방법.
14장 분산 분석과 실험 계획 →배반 사건mutually exclusive events
함께 일어날 수 없는 사건, 곧 \(A\cap B = \varnothing\)인 두 사건. 이때 \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\).
02장 확률의 기초 →백색 잡음white noise
평균 0, 분산 일정, 서로 상관없는 값들의 열. \(k\ne0\)이면 \(\rho(k) = 0\)이고 모든 진동수 성분의 세기가 같다.
15장 확률 과정 →베르누이 시행Bernoulli trial
결과가 성공(확률 \(p\))과 실패 둘뿐인 시행. 성공에 1, 실패에 0을 붙인 변수는 평균 \(p\), 분산 \(p(1-p)\)인 베르누이 분포를 따른다.
04장 이산 확률 변수 →베이즈 정리Bayes' theorem
\(P(B_j\mid A) = P(A\mid B_j)P(B_j)/\sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)\). 증거를 본 뒤의 확률(사후)을 사전 확률과 가능도로 구하는 공식이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →베타 분포beta distribution
\([0,1]\) 위의 분포 \(\mathrm{Beta}(a,b)\), 밀도 \(x^{a-1}(1-x)^{b-1}/B(a,b)\). 수율·비율의 불확실성을 나타내며 평균은 \(a/(a+b)\).
05장 연속 확률 변수 →변동 계수coefficient of variation
표준 편차를 평균으로 나눈 값 \(s/\bar x\). 단위가 없어 크기가 다른 자료의 퍼짐을 비교한다. 1σ 비균일도와 같다.
01장 자료의 요약과 시각화 →본페로니 보정Bonferroni correction
검정 \(m\)개를 각각 유의 수준 \(\alpha/m\)으로 해서 가족별 오류율을 \(\alpha\) 이하로 묶는 방법.
11장 가설 검정 →부분 요인 실험fractional factorial design
2ᵏ 조합의 \(1/2^p\)만 골라 실행하는 실험 \(2^{k-p}\). 효과들이 별칭으로 겹치는 대가로 실행 횟수를 줄인다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →부호 검정sign test
대응 차이의 양수 개수가 \(H_0\) 아래 \(\mathrm{Bin}(n, 1/2)\)를 따른다는 것으로 중앙값을 검정하는 방법. 이상값에 전혀 영향받지 않는다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →분산variance
평균에서 벗어난 거리 제곱의 기댓값 \(\operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - \mu^2\). 분포가 퍼진 정도를 나타낸다.
04장 이산 확률 변수 →분산 팽창 인자variance inflation factor, VIF
공선성 때문에 계수의 분산이 커지는 배수 \(\mathrm{VIF}_j = 1/(1 - R_j^2)\).
13장 회귀 분석 →분포 수렴convergence in distribution
누적 분포 함수가 극한 분포의 연속점마다 수렴하는 것. \(F_{X_n}(x)\to F_X(x)\)이면 \(X_n\xrightarrow{d}X\)로 쓴다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →불변성invariance property
\(\hat\theta\)가 \(\theta\)의 MLE이면 \(g(\hat\theta)\)가 \(g(\theta)\)의 MLE라는 성질. 예: MTTF의 MLE는 \(1/\hat\lambda\).
09장 점추정 →불의 부등식Boole's inequality
합사건의 확률은 각 확률의 합을 넘지 않는다: \(P(\bigcup_i A_i) \le \sum_i P(A_i)\).
02장 확률의 기초 →불편 추정량unbiased estimator
모든 \(\theta\)에서 \(E[\hat\theta] = \theta\)인 추정량. \(\bar X\), \(\hat p\), \(n-1\)로 나눈 \(S^2\)가 대표적이다.
09장 점추정 →ㅅ
사후 분포posterior distribution
자료를 본 뒤 모수의 분포. 베이즈 정리로 \(\pi(\theta\mid x) \propto L(\theta)\pi(\theta)\)를 얻는다.
09장 점추정 →상관 계수correlation coefficient
공분산을 두 표준 편차로 나눈 값 \(r = s_{xy}/(s_xs_y)\). −1부터 1까지이며 직선 관계의 세기를 잰다.
01장 자료의 요약과 시각화 →상관도correlogram
표본 자기 상관 \(r_k\)를 시차 \(k\)에 대해 막대로 그린 그림. 보통 \(\pm2/\sqrt n\) 유의 띠를 함께 그린다.
15장 확률 과정 →상대 효율relative efficiency
두 불편 추정량의 분산의 비 \(\operatorname{Var}(\hat\theta_1)/\operatorname{Var}(\hat\theta_2)\). 같은 정밀도를 얻는 데 필요한 표본 크기의 비를 뜻한다.
09장 점추정 →상호 독립mutually independent
사건 모임의 어떤 부분 모임을 골라도 교집합의 확률이 개별 확률의 곱이 되는 성질. 쌍별 독립보다 강한 조건이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →생산자 위험producer's risk
AQL 수준의 좋은 로트가 거부될 확률 \(\alpha = 1 - P_a(\mathrm{AQL})\). 보통 0.05로 잡는다.
16장 통계적 공정 관리 →생일 문제birthday problem
\(n\)명 가운데 생일이 같은 쌍이 적어도 하나 있을 확률 \(1 - \prod_{i<n}(1 - i/365)\)을 구하는 문제. 23명이면 0.507.
02장 확률의 기초 →선형 합동 생성기linear congruential generator
\(x_{k+1} = (ax_k + c)\bmod m\), \(u_k = x_k/m\)으로 난수를 만드는 가장 단순한 생성기. 헐–도벨 조건을 만족하면 주기가 \(m\)이지만 연속한 수가 격자 위에 놓인다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →소비자 위험consumer's risk
LTPD 수준의 나쁜 로트가 합격할 확률 \(\beta = P_a(\mathrm{LTPD})\). 보통 0.10으로 잡는다.
16장 통계적 공정 관리 →수축 추정량shrinkage estimator
추정값을 어떤 기준점(보통 0이나 사전 평균) 쪽으로 끌어당긴 추정량, 예컨대 \(c\bar X\) (\(0<c<1\)). 편향을 조금 받아들이고 분산을 줄여 MSE를 낮춘다.
09장 점추정 →순서 통계량order statistics
표본을 크기순으로 늘어놓은 \(X_{(1)} \le \cdots \le X_{(n)}\). 최댓값의 cdf는 \(F(x)^n\), 최솟값의 cdf는 \(1-[1-F(x)]^n\)이다.
08장 표본 분포 →순열 검정permutation test
집단 이름표를 무작위로 섞어 통계량의 귀무 분포를 직접 만들고, 관측값 이상으로 극단적인 비율을 p 값으로 삼는 검정.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →순위 상관 계수Spearman rank correlation
값을 순위로 바꾼 뒤 구한 상관 계수(스피어만 \(r_s\)). 단조 관계를 재며 이상값에 강하다.
01장 자료의 요약과 시각화 →스튜던트화 범위 분포studentized range distribution
\(k\)개 정규 표본 평균의 범위를 추정한 표준 오차로 나눈 통계량 \(q\)의 분포. 투키 HSD의 임계값을 준다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →신뢰 구간confidence interval
\(P(L \le \theta \le U) = 1-\alpha\)를 만족하는 확률 구간. 같은 방법으로 구간을 거듭 만들면 그중 \(100(1-\alpha)\)%가 모수를 포함한다.
10장 구간 추정 →신뢰 상한upper confidence bound
\(\alpha\)를 한쪽 꼬리에만 두어 만든 단측 신뢰 한계의 위쪽 경계. 예: \(\bar x + t_{\alpha,n-1}s/\sqrt n\).
10장 구간 추정 →신뢰도reliability
부품이나 계통이 정해진 조건과 기간 동안 제 기능을 할 확률. 시간의 함수로 쓰면 신뢰도 함수 \(R(t)\)가 된다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →신뢰도 함수reliability function, survival function
시각 \(t\)까지 고장 나지 않을 확률 \(R(t) = P(T > t) = 1 - F(t)\). 생존 함수라고도 한다.
05장 연속 확률 변수 →실험 계획design of experiments (DOE)
요인·수준·실행 횟수·순서·실험 단위를 미리 정해 최소한의 실험으로 타당한 결론을 얻도록 설계하는 일.
14장 분산 분석과 실험 계획 →쌍별 독립pairwise independent
사건들 가운데 아무 두 개를 골라도 독립인 성질. 셋 이상이 함께 독립(상호 독립)이라는 보장은 없다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →ㅇ
아레니우스 모형Arrhenius model
수명이 \(e^{E_a/kT}\)에 비례한다는 온도 가속 모형. \(\mathrm{AF} = \exp[\frac{E_a}{k}(\frac1{T_u} - \frac1{T_s})]\).
17장 신뢰성과 수율 →양성 예측도positive predictive value, PPV
검사가 양성으로 판정한 대상이 실제로 양성일 확률 \(P(D\mid +)\). 분류에서는 정밀도·순도라고 하며 기저율에 크게 좌우된다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →역변환 표본 추출inverse transform sampling
균일 난수 \(U\)를 \(X = F^{-1}(U)\)로 바꿔 누적 분포 함수가 \(F\)인 난수를 만드는 방법. 예: 지수 분포는 \(-\ln(1-U)/\lambda\).
05장 연속 확률 변수 →역추정inverse prediction, calibration
검량선 \(y = a + bx\)를 거꾸로 써서 측정한 \(y_0\)로부터 \(x_0 = (y_0 - a)/b\)를 추정하는 일.
13장 회귀 분석 →연속성 수정continuity correction
이산 확률 변수의 확률을 연속 분포(정규 등)의 넓이로 근사할 때 정수 경계를 \(\pm0.5\) 옮겨 막대 전체를 덮는 보정. 예: \(P(X\le k)\approx\Phi((k+0.5-\mu)/\sigma)\).
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →예이츠 연속성 수정Yates' continuity correction
2×2 표의 카이제곱 계산에서 \(|O-E|\)에서 0.5를 빼 이산성을 보정하는 방법. p 값이 커진다(보수적).
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →예측 구간prediction interval
다음 관측값 하나가 들어갈 범위. 정규 모집단에서 \(\bar x \pm t_{\alpha/2,n-1}s\sqrt{1 + 1/n}\)이며 \(n\)이 커져도 \(\pm z_{\alpha/2}\sigma\)보다 좁아지지 않는다.
10장 구간 추정 →오차 전파propagation of error
입력 변수들의 산포가 함수 \(g(X,Y)\)의 산포로 어떻게 옮겨 가는지 계산하는 것. 1차 근사로 \(\sigma_g^2\approx g_x^2\sigma_X^2 + g_y^2\sigma_Y^2 + 2g_xg_y\operatorname{Cov}\).
06장 결합 분포 →와이블 분포Weibull distribution
\(F(t) = 1 - e^{-(t/\eta)^\beta}\)인 수명 분포 \(\mathrm{Weibull}(\beta, \eta)\). 가장 약한 고리 모형이며 고장률이 \(t^{\beta-1}\)에 비례해 β로 초기 고장·우발 고장·마모를 나타낸다.
05장 연속 확률 변수 →와이블 확률지Weibull probability plot
가로축 \(\ln t\), 세로축 \(\ln[-\ln(1-F)]\)인 그래프. 와이블 자료는 기울기 \(\beta\)인 직선으로 나타난다.
17장 신뢰성과 수율 →왈드 구간Wald interval
비율의 구간 \(\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}\). 간단하지만 \(p\)가 0이나 1에 가까우면 포함 확률이 크게 떨어진다.
10장 구간 추정 →운영 곡선operating curve
이용률에 대한 사이클 타임(X-팩터)의 그래프. M/M/1에서는 \(1/(1-\rho)\)로, \(\rho\to1\)에서 발산한다.
15장 확률 과정 →울타리fence
상자 그림에서 이상값을 가르는 경계 \(Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}\)과 \(Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}\).
01장 자료의 요약과 시각화 →웨스턴 일렉트릭 규칙Western Electric rules
관리도의 비정상 패턴을 판정하는 규칙 묶음: 3σ 밖 1점, 3점 중 2점 2σ 밖, 5점 중 4점 1σ 밖, 8점 연속 한쪽.
16장 통계적 공정 관리 →웰치 t 검정Welch's t-test
두 모분산이 같다고 가정하지 않는 두 표본 t 검정. 표준 오차 \(\sqrt{S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2}\)와 웰치–새터스웨이트 자유도를 쓴다.
11장 가설 검정 →웰치 구간Welch interval
분산이 다를 수 있는 두 평균 차이의 t 구간. 표준 오차 \(\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}\)와 웰치–새터스웨이트 자유도를 쓴다.
10장 구간 추정 →윌슨 점수 구간Wilson score interval
\(|\hat p - p| \le z\sqrt{p(1-p)/n}\)을 \(p\)에 대해 풀어 얻는 비율의 구간. 중심이 1/2 쪽으로 당겨지고 포함 확률이 명목값에 가깝다.
10장 구간 추정 →윌콕슨 부호 순위 검정Wilcoxon signed-rank test
대응 차이의 절댓값 순위에 부호를 붙여 양수 쪽 순위합 \(W^+\)로 검정하는 방법. 평균 \(n(n+1)/4\).
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →윌콕슨 순위합 검정Wilcoxon rank-sum test
독립 두 표본을 합쳐 순위를 매기고 한 표본의 순위합 \(W\)로 두 분포를 비교하는 검정. 만–휘트니 U 검정과 같다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →유의 수준significance level
\(H_0\)가 참인데 기각할 확률, 곧 제1종 오류의 확률 \(\alpha\). 자료를 보기 전에 정한다(보통 0.05).
11장 가설 검정 →유한 모집단 수정finite population correction
비복원 추출에서 분산에 곱해지는 인수 \((N-n)/(N-1)\). 표본이 모집단의 큰 부분을 차지할수록 산포가 줄어드는 효과를 나타낸다.
04장 이산 확률 변수 →유효 추정량efficient estimator
분산이 크라메르–라오 하한 \(1/nI(\theta)\)과 같은 불편 추정량. 베르누이의 \(\hat p\), 포아송의 \(\bar X\)가 그 예다.
09장 점추정 →유효 표본 크기effective sample size
상관된 표본 \(n\)개와 같은 정밀도의 평균을 주는 독립 표본 수. AR(1)에서 \(n(1-\phi)/(1+\phi)\).
15장 확률 과정 →음이항 분포negative binomial distribution
\(r\)번째 성공까지의 시행 횟수의 분포. \(P(X=k) = \binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}\), 평균 \(r/p\), 분산 \(r(1-p)/p^2\). 독립인 기하 분포 \(r\)개의 합이다.
04장 이산 확률 변수 →음이항 수율 모형negative binomial yield model
결함 밀도가 감마 분포를 따른다고 보고 얻은 수율 모형 \(Y = (1 + D_0A/\alpha)^{-\alpha}\).
17장 신뢰성과 수율 →이동 범위moving range
이웃한 두 개별값의 차이의 절댓값 \(MR_i = |x_i - x_{i-1}|\). I–MR 관리도에서 \(\hat\sigma = \overline{MR}/1.128\)로 쓴다.
16장 통계적 공정 관리 →이변량 정규 분포bivariate normal distribution
평균 둘, 표준 편차 둘, 상관 계수 하나로 정해지는 두 변수의 정규 분포. 등고선이 타원이고 주변·조건부 분포가 모두 정규다.
06장 결합 분포 →이산 확률 변수discrete random variable
가질 수 있는 값이 유한개이거나 0, 1, 2, …처럼 셀 수 있게 떨어져 있는 확률 변수. 불량 개수, 재시험 횟수, 결함 수가 대표적이다.
04장 이산 확률 변수 →이원 분산 분석two-way ANOVA
두 요인의 주효과와 교호 작용을 \(SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E\)로 나누어 검정하는 분산 분석.
14장 분산 분석과 실험 계획 →이항 계수binomial coefficient
\(\binom nk\). \((a+b)^n\) 전개에서 \(a^kb^{n-k}\)의 계수이며 조합의 수와 같다.
02장 확률의 기초 →이항 분포binomial distribution
성공 확률 \(p\)인 독립 베르누이 시행 \(n\)번의 성공 횟수의 분포. \(P(X=k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}\), 평균 \(np\), 분산 \(np(1-p)\).
04장 이산 확률 변수 →일원 분산 분석one-way analysis of variance (ANOVA)
요인 하나의 \(k\)개 처리 평균이 모두 같은지를 \(F_0 = MS_B/MS_W\)로 한 번에 검정하는 방법.
14장 분산 분석과 실험 계획 →일치 추정량consistent estimator
표본 크기 \(n\to\infty\)일 때 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해 \(P(|\hat\theta_n-\theta|>\varepsilon)\to0\)인 추정량. MSE가 0으로 가면 일치 추정량이다.
09장 점추정 →ㅈ
자기 공분산autocovariance
같은 과정의 시차 \(k\)만큼 떨어진 두 값의 공분산 \(\gamma(k) = \operatorname{Cov}(X_t, X_{t+k})\).
15장 확률 과정 →자기 상관 함수autocorrelation function (ACF)
\(\rho(k) = \gamma(k)/\gamma(0)\). 시차 \(k\) 떨어진 값들 사이의 상관 계수.
15장 확률 과정 →자기 회귀 모형autoregressive model
현재 값을 과거 값의 선형 결합과 백색 잡음으로 나타낸 모형. AR(1)은 \(X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t\)이고 \(\rho(k) = \phi^k\).
15장 확률 과정 →잔차 제곱합sum of squared errors, SSE
잔차를 제곱해 더한 값 \(\mathrm{SSE} = \sum e_i^2\). 최소 제곱법이 최소로 만드는 양이다.
13장 회귀 분석 →재현성reproducibility
같은 생성기·시드·코드·입력으로 시뮬레이션을 다시 돌리면 같은 결과가 나오는 성질. 결과 검증과 디버깅, 공정한 비교 실험의 바탕이다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →적률 생성 함수moment generating function (mgf)
\(M_X(t) = E[e^{tX}]\). \(M_X'(0) = E[X]\), \(M_X''(0) = E[X^2]\)이고, 분포를 유일하게 정하며 독립 합의 mgf는 곱이 된다.
04장 이산 확률 변수 →적률법method of moments
모집단 적률 \(E[X^k]\)를 표본 적률 \(\frac1n\sum X_i^k\)와 같다고 놓고 모수에 대해 풀어 추정량을 만드는 방법.
09장 점추정 →적합도 검정goodness-of-fit test
자료가 가설로 정한 분포(범주 확률)를 따르는지 판정하는 검정. 자유도는 칸 수 − 1 − 추정한 모수 수.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →전확률 공식law of total probability
분할 \(B_1,\dots,B_k\)에 대해 \(P(A) = \sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)\). 전체 확률은 조건부 확률들의 가중 평균이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →점수 함수score function
로그 가능도의 모수에 대한 도함수 \(U(\theta) = \partial\ell/\partial\theta\). 참 모수에서 기댓값이 0이다.
09장 점추정 →정규 Q–Q 그림normal quantile–quantile plot
정렬한 자료를 표준 정규 분위수에 대해 찍은 그림. 정규 자료면 직선이 되고, 휘어진 모양으로 치우침·꼬리·쌍봉·이상값을 읽는다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →정규 방정식normal equations
잔차 제곱합의 편미분을 0으로 놓아 얻는 연립 방정식 \(X^{\mathsf T}X\hat\beta = X^{\mathsf T}y\). 해가 최소 제곱 추정값이다.
13장 회귀 분석 →정규 분포normal distribution
밀도 \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\)인 종 모양 분포 \(N(\mu, \sigma^2)\). 많은 작은 요인의 합이 따르는 분포로, \(\mu \pm \sigma\)가 변곡점이다.
05장 연속 확률 변수 →정상 과정stationary process
평균이 일정하고 공분산 \(\operatorname{Cov}(X_t,X_{t+k})\)가 시차 \(k\)에만 의존하는 (약) 정상 확률 과정.
15장 확률 과정 →정상 분포stationary distribution
\(\pi = \pi P\), \(\sum\pi_j = 1\)을 만족하는 확률 벡터. 기약·비주기 연쇄의 장기 분포이자 각 상태의 장기 시간 비율이다.
15장 확률 과정 →정상점stationary point
2차 반응 표면의 기울기가 0인 점 \(\mathbf x_s = -\tfrac12\mathbf B^{-1}\mathbf b\). 고유값 부호로 최대·최소·안장을 판정한다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →조건부 분포conditional distribution
한 변수의 값을 알 때 다른 변수의 분포. \(p_{Y|X}(y\mid x) = p_{X,Y}(x,y)/p_X(x)\)로, 결합 분포의 한 단면을 합이 1이 되게 정규화한 것이다.
06장 결합 분포 →조건부 신뢰도conditional reliability
이미 \(t\)를 버틴 소자가 \(s\)를 더 버틸 확률 \(R(s\mid t) = R(t+s)/R(t)\).
17장 신뢰성과 수율 →조건부 확률conditional probability
사건 \(B\)가 일어났다는 것을 알 때 사건 \(A\)의 확률. \(P(B)>0\)이면 \(P(A\mid B) = P(A\cap B)/P(B)\)로, 표본 공간을 \(B\)로 좁혀 다시 정규화한 확률이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →주변 분포marginal distribution
결합 분포에서 다른 변수에 대해 더하거나 적분해 얻은 한 변수만의 분포. 예: \(p_X(x) = \sum_y p_{X,Y}(x,y)\).
06장 결합 분포 →중도 절단censoring
관측이 끝날 때까지 사건(고장)이 일어나지 않아 수명이 어떤 값보다 길다는 정보만 있는 자료. 가능도에는 밀도 대신 생존 확률로 들어간다.
09장 점추정 →중복조합combination with repetition
서로 다른 \(n\)종류에서 중복을 허락해 순서 없이 \(k\)개를 고르는 것. 그 수는 \(\binom{n+k-1}{k}\)(별과 막대).
02장 확률의 기초 →중심 극한 정리central limit theorem
유한한 분산을 갖는 독립 동일 분포 표본에서 표준화한 표본 평균 \((\bar X_n-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\)의 분포가 모집단 모양과 무관하게 표준 정규 분포로 수렴한다는 정리.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →중심 합성 계획central composite design (CCD)
2ᵏ 요인점에 축점 \(2k\)개(\(\pm\alpha\))와 중심점을 더한 2차 모형용 설계.
14장 분산 분석과 실험 계획 →중앙 순위median rank
\(n\)개 중 \(i\)번째 고장에 붙이는 누적 고장 확률의 추정값. 베르나르 근사 \((i-0.3)/(n+0.4)\)를 쓴다.
17장 신뢰성과 수율 →중앙 절대 편차median absolute deviation, MAD
중앙값에서 잰 절대 편차들의 중앙값. \(1.4826\,\mathrm{MAD}\)는 정규 분포에서 \(\sigma\)의 강건 추정값이다.
01장 자료의 요약과 시각화 →지렛값leverage
모자 행렬의 대각 원소 \(h_{ii}\). 점이 자기 적합값을 끌어당기는 잠재력으로, 단순 회귀에서 \(1/n + (x_i - \bar x)^2/S_{xx}\)이다.
13장 회귀 분석 →지수 가중 이동 평균exponentially weighted moving average, EWMA
\(z_i = \lambda x_i + (1-\lambda)z_{i-1}\)로 과거 값에 기하급수적으로 줄어드는 가중치를 주는 통계량. 작은 평균 이동에 민감한 EWMA 관리도에 쓴다.
16장 통계적 공정 관리 →지수 분포exponential distribution
밀도 \(\lambda e^{-\lambda t}\) \((t \ge 0)\)인 분포 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\). 포아송 과정의 기다림 시간이며 평균과 표준 편차가 모두 \(1/\lambda\)이고 고장률이 일정하다.
05장 연속 확률 변수 →지시 확률 변수indicator random variable
사건 \(A\)가 일어나면 1, 아니면 0인 확률 변수 \(I_A\). \(E[I_A] = P(A)\)이고, 개수를 지시 변수의 합으로 써서 평균을 쉽게 구한다.
04장 이산 확률 변수 →집단 간 제곱합between-group sum of squares
처리 평균이 전체 평균에서 벗어난 정도의 제곱합 \(SS_B = \sum n_i(\bar y_{i\cdot}-\bar y_{\cdot\cdot})^2\).
14장 분산 분석과 실험 계획 →집단 내 제곱합within-group sum of squares
각 관측값이 자기 처리 평균에서 벗어난 정도의 제곱합 \(SS_W\). 오차 제곱합이라고도 한다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →ㅊ
차원의 저주curse of dimensionality
차원이 늘수록 격자·구적법 같은 방법에 필요한 점의 수가 지수적으로 늘어 정확도가 급격히 나빠지는 현상. 몬테카를로의 오차 \(N^{-1/2}\)는 차원에 무관하다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →채프먼–콜모고로프 방정식Chapman–Kolmogorov equation
\(n\)걸음 전이 확률이 중간 상태를 거쳐 곱해진다는 관계 \(P^{m+n} = P^mP^n\).
15장 확률 과정 →첫걸음 분석first-step analysis
첫 전이가 어디로 가는지로 경우를 나누고 마르코프 성질로 다시 시작하는 계산법. 도달 확률·기대 도달 시간의 연립 방정식을 준다.
15장 확률 과정 →체비쇼프 부등식Chebyshev's inequality
평균 \(\mu\), 표준 편차 \(\sigma\)인 모든 분포에서 \(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2\)이 성립한다는 부등식. 분포 모양을 몰라도 쓸 수 있지만 대개 느슨하다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →초기 고장infant mortality
출하 직후 잠재 결함을 가진 약한 소자들이 일찍 고장 나는 구간. 고장률이 시간에 따라 줄어든다(와이블 \(\beta < 1\)).
17장 신뢰성과 수율 →초기 고장률early life failure rate, ELFR
출하 후 첫 기간(보통 1년) 동안의 고장 비율. ppm으로 관리하며 번인의 효과를 나타낸다.
17장 신뢰성과 수율 →초기하 분포hypergeometric distribution
불량 \(K\)개를 포함한 \(N\)개에서 \(n\)개를 비복원으로 뽑을 때 표본 속 불량 수의 분포. \(P(X=k) = \binom Kk\binom{N-K}{n-k}/\binom Nn\).
04장 이산 확률 변수 →최대 가능도 추정량maximum likelihood estimator, MLE
가능도 \(L(\theta)\)를 최대로 만드는 \(\hat\theta\). 관측된 자료가 나올 가능성이 가장 큰 모수 값이며, 큰 표본에서 거의 불편이고 분산이 크라메르–라오 하한에 다가간다.
09장 점추정 →최대 경사 상승법method of steepest ascent
1차 모형의 기울기 \((\hat\beta_1, \hat\beta_2)\) 방향으로 실험점을 옮겨 반응이 가장 빨리 커지는 쪽으로 나아가는 방법.
14장 분산 분석과 실험 계획 →최소 분산 불편 추정량minimum variance unbiased estimator, MVUE
모든 불편 추정량 가운데 분산이 가장 작은 추정량. 정규 모집단에서 \(\bar X\)는 \(\mu\)의 MVUE다.
09장 점추정 →추정량estimator
모수를 짐작하려고 쓰는 통계량 \(\hat\theta = h(X_1,\dots,X_n)\). 표본의 함수이므로 그 자체가 확률 변수이고 표본 분포를 가진다.
09장 점추정 →측정 시스템 분석measurement system analysis, MSA
계측기·작업자·절차로 이루어진 측정 시스템의 산포와 치우침을 평가하는 일. Gage R&R, 편향, 선형성, 안정성을 본다.
16장 통계적 공정 관리 →ㅋ
카이제곱 분포chi-square distribution
독립인 표준 정규 변수 \(k\)개의 제곱합 \(\sum Z_i^2\)의 분포. 평균 \(k\), 분산 \(2k\)이며 \(\mathrm{Gamma}(k/2, 2)\)와 같다.
08장 표본 분포 →카플란–마이어 추정량Kaplan–Meier estimator
중도 절단 자료에서 신뢰도를 고장 시각마다 \(1 - d_j/n_j\)를 곱해 추정하는 비모수 계단 함수.
17장 신뢰성과 수율 →켤레 사전 분포conjugate prior
가능도와 곱했을 때 사후 분포가 사전 분포와 같은 분포족에 머무는 사전 분포. 이항 자료의 베타 분포, 포아송 자료의 감마 분포가 대표적이다.
09장 점추정 →콜모고로프–스미르노프 검정Kolmogorov–Smirnov test
경험적 누적 분포 함수와 가설 분포의 cdf 사이 최대 세로 간격 \(D_n\)으로 적합을 판정하는 검정. 5% 임계값은 약 \(1.36/\sqrt n\).
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →쿡의 거리Cook's distance
점 하나를 뺐을 때 적합값 전체가 바뀌는 정도 \(D_i = \frac{r_i^2}{p}\frac{h_{ii}}{1 - h_{ii}}\). 1을 넘으면 영향점으로 본다.
13장 회귀 분석 →크라메르 VCramér's V
분할표 연관의 크기를 0–1로 나타낸 값 \(V = \sqrt{\chi^2/(N(\min(r,c)-1))}\). 표본 크기에 휘둘리지 않는다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →큰 수의 법칙law of large numbers
독립 동일 분포 표본의 평균 \(\bar X_n\)이 \(n\to\infty\)에서 모평균 \(\mu\)로 수렴한다는 정리. 약한 법칙은 확률 수렴, 강한 법칙은 거의 확실한 수렴을 말한다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →클로퍼–피어슨 구간Clopper–Pearson exact interval
이항 분포를 정확히 거꾸로 풀어 베타 분위수로 계산하는 비율의 구간. 포함 확률이 언제나 명목값 이상인 보수적 구간이다.
10장 구간 추정 →ㅌ
통계적 공정 관리statistical process control, SPC
관리도·공정 능력 분석·측정 시스템 분석 등 통계 도구로 공정의 변동을 감시하고 줄이는 활동.
16장 통계적 공정 관리 →투키 HSDTukey's honestly significant difference
모든 쌍별 비교에서 가족별 오류율을 \(\alpha\)로 묶는 기준 \(q_\alpha(k,N-k)\sqrt{MS_W/n}\). 평균 차이가 이보다 크면 유의하다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →특성 수명characteristic life
와이블 분포의 척도 모수 \(\eta\). 모양 모수와 상관없이 \(t = \eta\)까지 전체의 \(1 - e^{-1} \approx 63.2\%\)가 고장 난다.
05장 연속 확률 변수 →특수 원인special cause, assignable cause
장비 고장, 소모품 마모, 보정 오류처럼 찾아서 없앨 수 있는 구체적 사건에서 오는 변동. 관리도에서 한계 이탈이나 비정상 패턴으로 드러난다.
16장 통계적 공정 관리 →특이도specificity
실제로 양품(음성)인 대상을 검사가 음성으로 통과시킬 확률 \(P(-\mid D^c)\). 1에서 뺀 값이 오경보율이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →ㅍ
평균 고장 시간mean time to failure, MTTF
수리하지 않는 소자의 평균 수명 \(\text{MTTF} = E[T] = \int_0^\infty R(t)\,dt\).
17장 신뢰성과 수율 →평균 런 길이average run length, ARL
관리도가 첫 경보를 낼 때까지의 평균 점 수. 점당 경보 확률이 \(p\)이면 \(1/p\)이고, 3시그마 관리도의 관리 상태 값은 370이다.
16장 통계적 공정 관리 →평균 제곱 오차mean squared error, MSE
추정량이 참값에서 벗어난 제곱의 기댓값 \(E[(\hat\theta-\theta)^2]\). 분산과 편향의 제곱의 합 \(\operatorname{Var}(\hat\theta) + \mathrm{Bias}^2\)으로 분해된다.
09장 점추정 →평균 출검 품질average outgoing quality, AOQ
불합격 로트를 전수 선별하는 검사를 거친 뒤 나가는 평균 불량률 \(\mathrm{AOQ} \approx P_a(p)\,p\,(N-n)/N\). 그 최댓값이 AOQL이다.
16장 통계적 공정 관리 →포아송 과정Poisson process
사건이 서로 독립적으로 일정한 평균 비율 \(\lambda\)로 일어나는 확률 과정. 길이 \(t\)인 구간의 사건 수는 \(\mathrm{Poisson}(\lambda t)\), 사건 사이 간격은 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)를 따른다.
05장 연속 확률 변수 →포아송 근사Poisson approximation
\(n\)이 크고 \(p\)가 작을 때 \(\mathrm{Bin}(n,p)\)를 \(\mathrm{Poisson}(np)\)로 바꿔 계산하는 근사. 오차는 대략 \(p\)에 비례한다.
04장 이산 확률 변수 →포아송 분포Poisson distribution
일정한 면적·시간 안에서 독립적으로 드물게 일어나는 사건 수의 분포. \(P(X=k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!\), 평균과 분산이 모두 \(\lambda\)다.
04장 이산 확률 변수 →포함–배제 원리inclusion–exclusion principle
겹치는 사건의 합사건 확률을 구하는 공식. \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)이고, 사건이 많으면 겹침을 번갈아 빼고 더한다.
02장 확률의 기초 →표본 공분산sample covariance
\(s_{xy} = \sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/(n-1)\). 두 변수가 함께 움직이는 방향과 크기를 단위가 있는 값으로 나타낸다.
01장 자료의 요약과 시각화 →표준 정규 분포standard normal distribution
평균 0, 분산 1인 정규 분포 \(N(0,1)\). 누적 분포 함수를 \(\Phi(z)\), 밀도를 \(\phi(z)\)로 쓴다.
05장 연속 확률 변수 →표준 편차standard deviation
분산의 제곱근 \(\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\). 확률 변수와 같은 단위로 퍼짐을 나타낸다.
04장 이산 확률 변수 →표준화standardization
평균을 빼고 표준 편차로 나누는 변환 \(Z = (X - \mu)/\sigma\). 정규 분포를 표준 정규 분포로 바꿔 표 하나로 확률을 계산하게 한다.
05장 연속 확률 변수 →피벗량pivotal quantity
표본과 모수를 함께 담고 있으면서 분포가 모수에 의존하지 않는 양. 예: \(Z = (\bar X - \mu)/(\sigma/\sqrt n)\). 이를 뒤집어 신뢰 구간을 만든다.
10장 구간 추정 →피셔 정보Fisher information
점수 함수의 분산, 곧 로그 밀도의 평균 곡률 \(I(\theta) = -E[\partial^2\ln f(X;\theta)/\partial\theta^2]\). 관측 하나가 모수에 대해 담은 정보의 양이다.
09장 점추정 →피셔 정확 검정Fisher's exact test
2×2 표의 행·열 합을 고정하고 초기하 분포로 p 값을 정확히 계산하는 검정. 기대 도수가 작아도 쓸 수 있다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →피어슨 잔차Pearson residual
분할표 각 칸의 표준화된 어긋남 \((O-E)/\sqrt E\). 절댓값이 2를 넘으면 눈여겨볼 칸이다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →피어슨 카이제곱 통계량Pearson's chi-square statistic
관측 도수와 기대 도수의 어긋남을 모은 통계량 \(\chi^2 = \sum (O-E)^2/E\). 귀무가설 아래 근사적으로 카이제곱 분포를 따른다.
12장 범주형 자료와 비모수 검정 →ㅎ
한 번에 한 요인one factor at a time (OFAT)
다른 요인을 고정하고 한 요인씩 바꿔 최적화하는 방식. 교호 작용이 있으면 최적점을 놓친다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →합격 판정 샘플링acceptance sampling
로트에서 표본 \(n\)개를 검사해 불량이 \(c\)개 이하면 로트 전체를 합격시키는 검사 방식. 규칙 \((n, c)\)를 샘플링 계획이라 한다.
04장 이산 확률 변수 →합동 분산pooled variance
두 모분산이 같다고 보고 두 표본 분산을 자유도로 가중 평균한 값 \(s_p^2 = [(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2]/(n_1+n_2-2)\).
10장 구간 추정 →합리적 부분군rational subgroup
부분군 안에는 공통 원인 변동만, 부분군 사이에 특수 원인이 드러나도록 같은 조건에서 거의 동시에 뽑은 표본 묶음.
16장 통계적 공정 관리 →합성곱convolution
독립인 두 확률 변수의 합의 분포를 구하는 연산 \(f_{X+Y}(s) = \int f_X(x)f_Y(s-x)\,dx\)(이산이면 합).
06장 결합 분포 →홀름 방법Holm's step-down method
p 값을 오름차순으로 정렬해 \(p_{(k)} \le \alpha/(m-k+1)\)인 동안 차례로 기각하는 단계적 보정. 본페로니보다 같거나 많이 기각한다.
11장 가설 검정 →확률 나무probability tree
여러 단계의 실험을 가지마다 조건부 확률을 적어 나타낸 그림. 뿌리에서 잎까지 가지의 확률을 곱하면 그 잎(교집합)의 확률이다.
03장 조건부 확률과 베이즈 정리 →확률 밀도 함수probability density function, pdf
연속 확률 변수의 확률을 넓이로 주는 함수 \(f_X(x) \ge 0\). \(P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x)\,dx\)이고 전체 넓이는 1이며, 값 자체는 확률이 아니라 단위 길이당 확률이다.
05장 연속 확률 변수 →확률 변수random variable
표본 공간의 각 결과에 실수 하나를 대응시키는 함수 \(X:\Omega\to\mathbb R\). 대문자 \(X\)로 쓰고 그 값은 소문자 \(x\)로 쓴다.
04장 이산 확률 변수 →확률 수렴convergence in probability
모든 \(\varepsilon>0\)에 대해 \(P(|X_n-c|\ge\varepsilon)\to0\)일 때 \(X_n\)이 \(c\)로 확률 수렴한다고 하고 \(X_n\xrightarrow{P}c\)로 쓴다.
07장 극한 정리와 시뮬레이션 →확률 실험random experiment
결과를 미리 알 수 없지만 일어날 수 있는 결과의 범위는 알고 있는 과정. 주사위 던지기, 칩 하나의 테스트, 막 두께 한 번 측정 등.
02장 확률의 기초 →확률 적분 변환probability integral transform
연속 확률 변수 \(X\)를 자기 누적 분포 함수에 넣은 \(U = F_X(X)\)는 \(U(0,1)\)을 따른다는 성질.
05장 연속 확률 변수 →확률 질량 함수probability mass function (pmf)
이산 확률 변수가 각 값을 가질 확률 \(p_X(x) = P(X = x)\). 모든 값에서 0 이상이고 합이 1이다.
04장 이산 확률 변수 →확률의 공리axioms of probability
콜모고로프의 세 규칙: \(P(A) \ge 0\), \(P(\Omega) = 1\), 서로 배반인 사건들의 확률은 더해진다(가산 가법성).
02장 확률의 기초 →확률화 블록 계획randomized complete block design (RCBD)
블록마다 모든 처리를 한 번씩 무작위 순서로 적용하는 설계. 모형은 \(y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}\).
14장 분산 분석과 실험 계획 →확산 계수diffusion coefficient
확산하는 입자 위치의 분산이 \(\sigma^2 = 2Dt\)(1차원)로 자랄 때의 비례 상수 \(D\). 걸음 길이 \(a\), 간격 \(\tau\)이면 \(D = a^2/2\tau\).
15장 확률 과정 →회전성rotatability
중심에서 같은 거리의 점들에서 예측 분산이 같은 성질. CCD에서는 \(\alpha = (2^k)^{1/4}\)일 때 성립한다.
14장 분산 분석과 실험 계획 →효과 희소성 원리sparsity of effects principle
많은 효과 가운데 실제로 큰 것은 주효과와 저차 교호 작용 몇 개뿐이라는 경험적 원리.
14장 분산 분석과 실험 계획 →종합 문제
장 순서대로 4문제씩 실었다. 계산 문제는 답을 숫자로 넣고 ‘확인’을 누르면 채점된다(허용 오차는 기본 1%, 표에서 읽는 값이 끼면 조금 넓혔다). 아주 크거나 작은 수는 2.9e-3이나 2.9×10^-3처럼 넣으면 된다. 확률은 소수로 넣는다. 선택형은 보기를 누르면 바로 채점된다. 막히면 힌트를 먼저 열고, 풀이에서 식과 중간값을 확인한 뒤 끝의 링크로 본문 절을 다시 읽자. 분위수는 \(z_{0.025} = 1.960\), \(z_{0.05} = 1.645\), \(z_{0.20} = 0.8416\)을 쓴다.
1장 자료의 요약과 시각화본문 →
웨이퍼 한 장에서 산화막 두께를 8점 쟀다(nm): 101.2, 99.8, 100.5, 102.1, 98.9, 100.0, 101.6, 99.3. 표본 평균, 표본 표준 편차, 변동 계수(CV)를 구하라.
100을 뺀 값의 합이 \(3.4\)이므로 \(\bar x = 100.425\ \text{nm}\). 편차 제곱합 \(= 8.955\), \(s^2 = 8.955/7 = 1.279\), \(s = 1.131\ \text{nm}\). \(\mathrm{CV} = 1.131/100.425 = 1.13\%\). 공정 엔지니어는 이것을 “두께 균일도 1.1%(1σ)”라고 말한다. → 1장 퍼짐의 척도
같은 막을 장비 A에서 10장(평균 100.2 nm, 표준 편차 1.1 nm), 장비 B에서 15장(평균 99.6 nm, 표준 편차 1.4 nm) 쟀다. 원자료 없이, 25장 전체의 평균과 표본 표준 편차를 구하라.
\(\bar x = (10\cdot100.2 + 15\cdot99.6)/25 = 99.84\). 안: \(9(1.21) + 14(1.96) = 38.33\). 사이: \(10(0.36)^2 + 15(0.24)^2 = 2.16\). 합 \(40.49\), \(s = \sqrt{40.49/24} = 1.30\ \text{nm}\). 두 장비의 평균 차이가 전체 산포를 조금 키운다 — 장비를 섞어 관리하면 이 몫이 공정 능력을 깎는다. → 1장 분산과 표준 편차
트랜지스터 누설 전류 1000개를 모았더니 오른쪽 꼬리가 길게 늘어진 분포였다(몇 개는 중앙값의 100배). 이 자료에 대해 옳은 것은?
오른쪽 꼬리는 평균을 끌어올린다(양의 왜도, 평균 > 중앙값). 평균과 표준 편차는 극단값 몇 개에 크게 흔들리지만 중앙값과 IQR은 거의 움직이지 않는다. 누설 전류처럼 곱셈적으로 흔들리는 양은 로그를 취하면 대칭에 가까워진다(5장 로그 정규). → 1장 분포의 모양
금속막 다섯 장의 두께 \(x\)(nm)와 면저항 \(y\)(mΩ/□)가 (95, 21.3), (98, 20.5), (100, 20.1), (102, 19.4), (105, 19.0)이다. 표본 상관 계수를 구하라.
\(S_{xx} = 25 + 4 + 0 + 4 + 25 = 58\), \(S_{yy} = 3.292\), \(S_{xy} = -5(1.24) - 2(0.44) + 0 + 2(-0.66) + 5(-1.06) = -13.7\). \(r = -13.7/\sqrt{58\cdot3.428} = -0.991\). 면저항 \(R_s = \rho/t\)이므로 두께가 늘면 줄어든다. 좁은 범위에서는 \(1/t\)도 거의 직선이라 \(|r|\)이 1에 가깝다. → 1장 산점도와 상관 계수
2장 확률의 기초본문 →
웨이퍼 25장 로트 중 3장이 금속 오염돼 있다. 4장을 무작위로(비복원) 골라 분석할 때, 오염 웨이퍼가 한 장 이상 들어 있을 확률은?
\(P = 1 - \binom{22}{4}/\binom{25}{4} = 1 - 7315/12650 = 0.422\). 4장 분석으로는 오염 로트의 절반 넘게를 놓친다. 이 계산이 4장의 초기하 분포다. → 2장 경우의 수
로트 15장에 각각 00–99 중 하나의 슬롯 번호를 무작위로(중복 허용, 같은 확률로) 붙인다. 두 장 이상이 같은 번호를 받을 확률은?
\(P(\text{모두 다름}) = \prod_{i=0}^{14}(100-i)/100 = 0.331\), 따라서 \(P = 0.669\). 100칸에 15개만 넣어도 충돌이 더 흔하다 — 쌍의 수가 \(\binom{15}{2} = 105\)이기 때문이다. 무작위 ID의 자릿수를 정할 때 이 계산을 한다. → 2장 생일 문제
검사에서 웨이퍼에 입자 결함이 있을 확률 0.08, 긁힘이 있을 확률 0.05, 둘 다 있을 확률 0.02이다. 둘 다 없을 확률과, 정확히 하나만 있을 확률은?
\(P(A\cup B) = 0.08 + 0.05 - 0.02 = 0.11\), 둘 다 없음 \(= 0.89\). 정확히 하나 \(= 0.06 + 0.03 = 0.09\). 벤 다이어그램의 세 조각(0.06, 0.02, 0.03)을 그리면 한눈에 보인다. → 2장 확률의 공리와 기본 성질
불량률 5%로 안정된 공정에서 다이가 독립적으로 만들어진다. 테스터에서 연달아 불량 다이 4개가 나왔다. 다음 다이에 대한 판단으로 옳은 것은?
독립 시행에서는 과거가 다음 결과를 바꾸지 않는다. 대수의 법칙은 상대 도수가 긴 반복에서 0.05로 다가간다는 말이지, 앞의 편차를 갚는다는 뜻이 아니다. 한편 확률 \(0.05^4 = 6\times10^{-6}\)인 일이 실제로 일어났다면 공정이 안정·독립이라는 모형이 틀렸을 가능성(결함 군집, 장비 이상)을 먼저 본다 — 16장 관리도의 생각이다. → 2장 상대 도수와 대수의 법칙
3장 조건부 확률과 베이즈 정리본문 →
다이의 0.5%가 실제 불량이다. 광학 검사는 불량의 98%를 잡고(민감도), 양품의 3%를 불량으로 오검출한다. 검출된 다이가 실제 불량일 확률과, 통과한 다이가 실제 불량일 확률(ppm)은?
\(P(+) = 0.0049 + 0.02985 = 0.03475\). \(P(D\mid+) = 0.0049/0.03475 = 0.141\) — 검출의 86%가 과검출이다(기저율 오류). \(P(D\mid-) = 0.0001/0.96525 = 1.04\times10^{-4} = 104\ \text{ppm}\). 검사가 불량 0.5%(5000 ppm)를 104 ppm으로 줄인다. → 3장 베이즈 정리와 기저율 오류
진공 계통이 신뢰도 0.9인 펌프 3대의 병렬(하나만 돌아도 됨)과 신뢰도 0.99인 제어기의 직렬로 이루어져 있다. 부품이 서로 독립일 때 계통 신뢰도를 소수 넷째 자리까지 구하라.
펌프 묶음 \(1 - 0.1^3 = 0.999\), 계통 \(0.99\times0.999 = 0.9890\). 이제 약한 고리는 제어기다 — 병렬 중복은 이미 충분하니 제어기를 이중화해야 효과가 크다. 17장 계통 신뢰도에서 수명 함수로 확장한다. → 3장 직렬·병렬 계통의 신뢰도
장비 A, B, C가 웨이퍼를 각각 50%, 30%, 20% 처리하고, 불량률은 1%, 2%, 3%이다. 무작위 웨이퍼가 불량일 확률과, 불량 웨이퍼가 장비 C에서 왔을 확률은?
\(P(D) = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017\). \(P(C\mid D) = 0.006/0.017 = 0.353\). 처리량은 20%뿐인 C가 불량의 35%를 낸다 — 커머낼리티 분석이 장비를 의심하는 근거가 이것이다. → 3장 확률 나무와 전확률 공식
사건 \(A\)(다이가 bin 3)와 \(B\)(다이가 bin 7)는 한 다이가 동시에 가질 수 없는 결과이며, \(P(A) = 0.04\), \(P(B) = 0.02\)이다. 옳은 것은?
배반이면 \(B\)가 일어났다는 사실이 \(A\)를 불가능하게 만든다: \(P(A\mid B) = 0\). 확률이 0이 아닌 두 배반 사건은 언제나 종속이다. 독립은 “서로 정보를 주지 않는다”, 배반은 “함께 일어날 수 없다”는 전혀 다른 말이다. → 3장 독립 사건
4장 이산 확률 변수본문 →
웨이퍼당 큰 결함 수가 평균 1.6개인 포아송 분포를 따른다. 결함이 하나도 없을 확률과 3개 이상일 확률은?
\(p(0) = e^{-1.6} = 0.2019\), \(p(1) = 0.3230\), \(p(2) = 0.2584\). \(P(X\ge3) = 1 - 0.7834 = 0.217\). 결함이 다이에 고르게 떨어지면 이 \(p(0)\)이 17장의 포아송 수율과 같은 꼴이다. → 4장 포아송 분포
입고 로트에서 50개를 뽑아 불량이 1개 이하면 합격시킨다(로트가 커서 이항으로 본다). 로트 불량률이 2%일 때와 5%일 때 합격 확률은?
\(p = 0.02\): \(0.3642 + 0.3716 = 0.736\). \(p = 0.05\): \(0.0769 + 0.2025 = 0.279\). 불량률에 따라 합격 확률을 그린 것이 16장의 OC 곡선이다. 불량 5% 로트도 네 번에 한 번은 통과한다. → 4장 이항 분포
100개 로트에 불량이 5개 있다. 10개를 비복원으로 뽑을 때 불량이 하나도 없을 확률을 초기하 분포로 정확히, 그리고 이항 근사(\(p = 0.05\))로 구하라.
초기하 \(= \prod_{i=0}^{9}(95-i)/(100-i) = 0.584\), 이항 \(0.95^{10} = 0.599\). 뽑는 비율이 10%라 차이가 2.5% 난다. 비복원 추출은 뽑을수록 남은 불량 비율이 바뀌어 분산이 \((N-n)/(N-1)\)배 줄어든다. → 4장 초기하 분포와 로트 샘플링 검사
프로브 카드 교체 후 터치다운을 반복하는데, 매번 독립적으로 2% 확률로 접촉 불량이 난다. “첫 접촉 불량이 날 때까지의 터치다운 횟수”의 분포와 평균은?
“첫 성공(여기서는 불량)까지의 시행 횟수”가 기하 분포의 정의이고 \(E[X] = 1/p = 50\)이다. 무기억성 때문에 49번 무사했어도 앞으로 기다릴 평균 횟수는 여전히 50이다 — 연속판이 5장의 지수 분포다. → 4장 기하 분포
5장 연속 확률 변수본문 →
게이트 CD가 \(N(45, 1.2^2)\) nm를 따른다. 규격 43–47 nm 안에 들 확률과, 규격 밖 비율(ppm)은?
\(\Phi(1.667) = 0.9522\), \(P = 0.904\). 규격 밖 \(0.0956 = 95\,600\ \text{ppm}\). 규격 폭이 \(\pm1.67\sigma\)뿐이니 공정 능력 \(C_p = 4/7.2 = 0.56\) — 16장 기준으로 한참 모자란다. → 5장 정규 분포와 표준화
펌프 부품의 수명이 평균 2000 h인 지수 분포를 따른다. 1000 h 동안 멀쩡했던 부품이 앞으로 500 h를 더 버틸 확률과, 수명의 중앙값은?
\(e^{-500/2000} = 0.779\) — 이미 쓴 1000 h와 무관하다. 중앙값 \(2000\ln2 = 1386\ \text{h}\)로 평균보다 짧다(오른쪽 꼬리). 지수 수명은 고장률이 일정한 우발 고장 구간의 모형이다. → 5장 지수 분포
배선의 수명이 \(\mathrm{Weibull}(\beta = 2, \eta = 10\,000\ \text{h})\)를 따른다. 5000 h 신뢰도와, 10%가 고장 나는 시간 B10은?
\(R(5000) = e^{-0.25} = 0.779\). \(t_{10} = 10\,000\sqrt{0.10536} = 3246\ \text{h}\). 같은 0.779가 앞 문제에도 나왔지만 뜻은 다르다: \(\beta = 2\)이면 고장률 \(h(t) = 2t/\eta^2\)이 커지는 마모 고장이라, 오래 버틴 부품일수록 위험하다. → 5장 와이블 분포
\(U\sim\mathrm{Uniform}(0,1)\)일 때 \(X = -\ln(U)/\lambda\)가 따르는 분포는?
\(P(X > x) = P(-\ln U > \lambda x) = P(U < e^{-\lambda x}) = e^{-\lambda x}\) — 지수 분포의 생존 함수다. \(1-U\)도 균일하므로 \(F^{-1}(U) = -\ln(1-U)/\lambda\)와 같은 분포다. 수명 몬테카를로의 기본 재료다. → 5장 역변환 표본 추출
6장 결합 분포본문 →
두 층을 연속 증착했다. 아래층 두께의 표준 편차는 1.5 nm, 위층은 2.0 nm이고 웨이퍼 사이 상관 계수는 0.4이다(같은 챔버 온도의 영향). 총두께와 두께 차이(위 − 아래)의 표준 편차는?
합: \(\sqrt{2.25 + 4 + 2.4} = \sqrt{8.65} = 2.94\ \text{nm}\). 차: \(\sqrt{2.25 + 4 - 2.4} = \sqrt{3.85} = 1.96\ \text{nm}\). 독립이라면 둘 다 \(2.5\) nm였을 것이다. 양의 상관은 합을 더 흔들고 차를 덜 흔든다 — 짝지은 비교(11장 대응 검정)가 강한 이유다. → 6장 선형 결합의 평균과 분산
면저항을 \(R_s = \rho/t\)로 계산한다. 비저항 \(\rho\)의 상대 표준 편차는 2%, 두께 \(t\)는 3%이다. \(R_s\)의 상대 표준 편차를 (가) \(\rho\)와 \(t\)가 독립일 때, (나) 상관 계수가 \(+1\)일 때 구하라.
(가) \(\sqrt{0.02^2 + 0.03^2} = 3.61\%\). (나) \(\sqrt{0.0004 + 0.0009 - 2(0.0006)} = |0.03 - 0.02| = 1.00\%\). 두꺼운 막의 비저항이 함께 커지는 공정이라면 둘이 서로 상쇄해 면저항이 오히려 안정해진다. → 6장 오차 전파
문턱 전압 \(V_t\sim N(0.40, 0.02^2)\) V와 \(Y = \log_{10}I_{\text{off}}\sim N(-9, 0.3^2)\)가 상관 계수 \(-0.8\)인 이변량 정규 분포를 따른다. \(V_t = 0.37\ \text{V}\)인 소자의 \(Y\)의 조건부 평균과 조건부 표준 편차는?
\(E = -9 + (-0.8)(15)(-0.03) = -8.64\) — 누설이 \(10^{0.36} = 2.3\)배 크다. \(\sigma = 0.3\times0.6 = 0.18\). \(V_t\)를 알면 \(\log I_{\text{off}}\)의 산포가 \(1-\rho^2 = 36\%\)만 남는다. 13장 회귀선이 바로 이 조건부 평균이다. → 6장 이변량 정규 분포
\(X\sim N(0,1)\)이고 \(Y = X^2\)이다. 옳은 것은?
\(\operatorname{Cov}(X, X^2) = E[X^3] - E[X]E[X^2] = 0\). 상관 계수는 직선 관계의 세기만 잰다. “상관 0 ⇒ 독립”은 \((X,Y)\)가 함께 이변량 정규일 때만 성립하는데, \(X^2\)은 정규가 아니다(자유도 1 카이제곱). 산점도를 먼저 보는 이유다. → 6장 공분산과 상관 계수
7장 극한 정리와 시뮬레이션본문 →
개별 측정값의 분포는 치우쳐 있지만 평균 50 nm, 표준 편차 3 nm이다. 36점의 평균 \(\bar X\)가 51 nm를 넘을 확률과, \(\bar X\)의 99% 분위수를 근사로 구하라.
\(z = (51-50)/0.5 = 2\), \(P = 1 - \Phi(2) = 0.0228\). 99% 분위수 \(50 + 2.326(0.5) = 51.16\ \text{nm}\). 원자료가 정규가 아니어도 36개의 평균은 정규에 가깝다 — 이것이 X̄ 관리도의 3σ 한계가 잘 듣는 이유다. → 7장 중심 극한 정리
다이 400개, 각 불량 확률 0.05(독립)이다. 불량이 15개 이하일 확률을 연속성 수정을 한 정규 근사로 구하고, 이항 분포로 정확히 계산한 값과 비교하라.
\(z = -1.032\), \(\Phi(-1.032) = 0.151\). 정확한 이항 값은 \(0.150\)이다. 수정 없이 \(\Phi(-5/4.359) = 0.126\)으로 하면 17% 작게 나온다 — 이산 분포의 막대 하나가 폭 1을 차지하기 때문이다. → 7장 연속성 수정
웨이퍼당 결함 수(평균 2, 오른쪽으로 치우침)를 날마다 25장씩 모은다. 중심 극한 정리가 보장하는 것은?
CLT는 합이나 평균의 분포에 관한 정리다. 원자료의 분포는 표본을 아무리 늘려도 그대로(치우친 포아송꼴)이고, 표본이 많아질수록 히스토그램이 그 원래 모양을 더 정확히 그릴 뿐이다. 평균의 퍼짐은 \(\sigma/\sqrt n\)으로 준다. → 7장 중심 극한 정리
변동성 시뮬레이션으로 회로 수율(약 0.9)을 추정한다. 수율 추정의 표준 오차를 0.001 이하로 만들려면 표본이 몇 개 필요한가? 또 \(10^4\)개로 돌리면 표준 오차는?
\(N = 0.09/10^{-6} = 90\,000\). \(N = 10^4\)이면 \(\sqrt{0.09/10^4} = 0.003\). 정밀도를 10배 높이려면 표본이 100배 든다(\(1/\sqrt N\) 법칙). 수율이 0.9999처럼 1에 가까우면 실패가 드물어 중요도 표본 추출 같은 기법이 필요하다. → 7장 몬테카를로 적분과 오차
8장 표본 분포본문 →
웨이퍼 안 두께의 표준 편차가 2 nm이다. 9점 평균의 표준 오차는? 표준 오차를 0.25 nm 이하로 줄이려면 몇 점을 재야 하나?
\(2/3 = 0.667\ \text{nm}\). \(n \ge (2/0.25)^2 = 64\)점. 오차를 \(1/2.7\)로 줄이는 데 측정이 7배 넘게 늘어난다. 계측 시간과 정밀도를 맞바꾸는 계산이다. → 8장 표본 평균의 분포와 표준 오차
정규 공정(\(\sigma^2 = 4\ \text{nm}^2\))에서 10점을 재어 \(S^2\)를 계산한다. \(S^2 > 7.5\)일 확률과, \(S^2\)가 95% 확률로 넘지 않는 값은?
\(9(7.5)/4 = 16.875\), \(P(\chi^2_9 > 16.875) = 0.0507\). 상한 \(4(16.92)/9 = 7.52\ \text{nm}^2\). 공정이 그대로여도 10점 분산은 참값의 1.9배까지 흔들린다 — 분산 비교에 표본이 많이 드는 이유다. → 8장 카이제곱 분포와 표본 분산
(가) 9점 측정값이 독립 \(N(\mu, \sigma^2)\)일 때, 가장 큰 값이 \(\mu + 2\sigma\)를 넘을 확률은? (나) 수명이 평균 1000 h인 지수 분포를 따르는 독립 부품 5개 중 첫 고장까지의 평균 시간은?
(가) \(1 - 0.97725^9 = 0.187\) — 점 하나가 그럴 확률은 2.3%지만 9점 중 최댓값은 다섯 번에 한 번꼴로 넘는다. “웨이퍼 내 범위”를 규격으로 쓸 때 주의할 점이다. (나) \(\min\sim\mathrm{Exp}(5/1000)\), 평균 200 h. 직렬 계통 수명이다. → 8장 순서 통계량
막두께가 웨이퍼 중심보다 가장자리에서 체계적으로 얇다. 13점으로 웨이퍼 평균을 추정할 때 표준 오차를 가장 줄이는 방법은?
층 사이 차이(중심–가장자리)가 크면 층화 추출은 그 몫을 오차에서 빼 준다: 오차에는 층 안 분산만 남는다. 단순 무작위는 운 나쁘게 가장자리 점이 많이 뽑힐 수 있고, 한쪽에 몰거나 한 줄만 재면 편향이 생긴다. 49점 지도가 동심원 모양인 이유다. → 8장 표본 추출 방법
9장 점추정본문 →
웨이퍼 5장(각 검사 면적 700 cm²)의 결함 수가 12, 9, 15, 11, 13이다. 결함이 면적에 비례하는 포아송 과정이라 보고 결함 밀도 \(D\)의 최대 가능도 추정값과 그 표준 오차를 구하라.
\(\hat D = 60/3500 = 0.01714\ \text{개/cm}^2\). \(\mathrm{SE} = \sqrt{60}/3500 = 0.00221\) (상대 오차 \(1/\sqrt{60} = 13\%\)). 포아송에서는 셈한 결함 총수만 정밀도를 정한다 — 결함 60개면 13%, 600개면 4%. → 9장 최대 가능도 추정
어느 날 생산된 로트에 1부터 \(N\)까지 일련번호가 붙는다. 품질 감사에서 무작위로 본 4개 로트의 번호가 23, 41, 66, 87이었다. 최솟값 분산 불편 추정량 \(\hat N = m(1 + 1/k) - 1\)로 \(N\)을 추정하라.
\(\hat N = 87(1.25) - 1 = 107.75\). 최댓값 87은 \(N\)보다 작을 수밖에 없으므로(편향), 관측 사이 평균 간격 \(m/k\)만큼 올려 준다. 최대 가능도 추정값은 87로 편향이 있다. → 9장 끝점 추정
신규 패키지의 번인 불량률 \(p\)에 대해 과거 제품 경험으로 사전 분포 \(\mathrm{Beta}(2, 48)\)(평균 4%)을 두었다. 100개를 번인해 3개가 불량이었다. \(p\)의 사후 평균과 최대 가능도 추정값은?
사후 \(\mathrm{Beta}(5, 145)\), 평균 \(5/150 = 0.0333\). MLE \(3/100 = 0.03\). 사후 평균은 자료(3%)와 사전(4%)의 가중 평균으로, 사전이 가상 표본 50개, 자료가 100개의 무게를 갖는다. → 9장 베이즈 추정 맛보기
추정량 A는 불편이고 분산이 4, 추정량 B는 편향이 1이고 분산이 2이다. 평균 제곱 오차로 비교한 결론은?
\(\mathrm{MSE} = \operatorname{Var} + \text{편향}^2\): A \(= 4\), B \(= 2 + 1 = 3\). 불편성은 바람직한 성질 하나일 뿐이다. 수축 추정이나 베이즈 추정이 편향을 조금 감수하고 분산을 크게 줄이는 것이 같은 원리다. → 9장 평균 제곱 오차와 편향–분산 분해
10장 구간 추정본문 →
문턱 전압을 8개 소자에서 재어 \(\bar x = 0.412\ \text{V}\), \(s = 0.015\ \text{V}\)를 얻었다. 모평균의 95% 신뢰 구간은?
\(\mathrm{SE} = 0.015/\sqrt8 = 0.00530\), 반폭 \(2.365\times0.00530 = 0.01254\). 구간 \([0.3995,\ 0.4245]\ \text{V}\). \(z = 1.96\)을 쓰면 반폭이 17% 짧아져 실제 포함률이 95%에 못 미친다. → 10장 모평균의 구간
면적 0.5 cm²인 다이 200개를 테스트해 188개가 양품이었다. 수율의 95% 윌슨 구간을 구하고, 포아송 수율 모형 \(Y = e^{-AD}\)를 써서 결함 밀도 \(D\)의 95% 구간으로 옮겨라.
\(\hat p = 0.94\), 중심 \(0.9317\), 반폭 \(0.0336\): \(Y\in[0.898,\ 0.965]\). \(D\)의 하한은 \(Y\) 상한에서: \(-\ln0.965/0.5 = 0.0705\), 상한은 \(-\ln0.898/0.5 = 0.215\ \text{개/cm}^2\). 점추정 \(\hat D = 0.124\)에 대해 구간이 \(-43\%\), \(+74\%\)로 비대칭이다 — 단조 변환은 신뢰 수준을 그대로 옮기지만 모양은 바꾼다. 다이 200개로는 결함 밀도가 세 배 범위 안에서만 정해진다. → 10장 모비율의 구간
안정된 공정에서 10장을 재어 \(\bar x = 100\ \text{nm}\), \(s = 2\ \text{nm}\)를 얻었다. 다음 웨이퍼 한 장의 두께에 대한 95% 예측 구간의 반폭과, 공정 평균에 대한 95% 신뢰 구간의 반폭은?
예측 \(2.262(2)(1.049) = 4.75\ \text{nm}\), 신뢰 \(2.262(2)(0.316) = 1.43\ \text{nm}\). \(n\)이 무한히 커지면 신뢰 구간은 0으로 줄지만 예측 구간은 \(\pm1.96\sigma = \pm3.9\) nm 밑으로 내려가지 않는다 — 개별 웨이퍼의 산포는 표본을 늘려도 사라지지 않는다. 13장 회귀의 예측 띠도 같은 구조다. → 10장 예측 구간과 공차 구간
수율의 95% 신뢰 구간이 [0.91, 0.95]로 나왔다. 올바른 해석은?
빈도주의에서 참 수율은 고정된 수이고, 흔들리는 것은 구간이다. 95%는 방법의 성공률이며, 이미 만든 구간 하나는 참값을 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나다. 첫째 보기의 해석은 9장의 베이즈 신용 구간에 해당한다. → 10장 신뢰 구간의 뜻
11장 가설 검정본문 →
식각 레시피 변경 전후를 스플릿 로트로 비교했다. 기존 12장: 평균 52.3 nm, 표준 편차 2.1 nm; 신규 12장: 평균 50.1 nm, 표준 편차 1.8 nm. 웰치 t 검정 통계량과 양측 p 값은?
\(\mathrm{SE} = \sqrt{0.3675 + 0.27} = 0.798\), \(t_0 = 2.2/0.798 = 2.76\). 자유도 21.5에서 양측 \(p = 0.0117\) — 5% 수준에서 평균이 달라졌다. 합동 분산 t(자유도 22)로 해도 \(p = 0.0115\)로 거의 같다. 실무적으로 2.2 nm가 의미 있는 차이인지는 따로 판단한다. → 11장 두 표본 t 검정
공정 평균이 목표에서 1.0 nm 벗어났는지 양측 z 검정(\(\alpha = 0.05\), \(\sigma = 2\ \text{nm}\))으로 본다. \(n = 16\)일 때 실제 이동 1.0 nm를 잡을 검정력과, 검정력 0.8을 얻는 최소 \(n\)은?
\(\delta\sqrt n/\sigma = 2\): \(\Phi(0.040) + \Phi(-3.96) = 0.516\). 동전 던지기 수준이다. \(n = [(1.960 + 0.8416)(2)]^2 = 31.4\), 올려서 32. 이동을 절반(0.5 nm)으로 잡으려면 4배인 126이 든다. → 11장 제1종·제2종 오류와 검정력
p 관리도의 중심선(기존 불량률)은 3%이다. 개선 레시피로 400개를 만들어 불량 6개를 얻었다. \(H_0: p = 0.03\) 대 \(H_1: p < 0.03\)을 정규 근사 z 검정으로 하라.
\(\hat p = 0.015\), \(\sqrt{0.03(0.97)/400} = 0.00853\), \(z_0 = -1.76\), \(p = \Phi(-1.76) = 0.0393\). 5%에서 개선을 주장할 수 있지만 1%에서는 아니다. 정확한 이항 \(P(X\le6) = 0.0435\)도 같은 결론이다. p 관리도로 보면 LCL \(= 0.03 - 3(0.00853) < 0\)이라 이 한 점은 관리 이탈로 잡히지 않는다 — 관리도는 3σ의 엄격한 검정이다. → 11장 비율 검정
두 장비의 평균 차이 검정에서 \(p = 0.03\)이 나왔다. 옳은 것은?
p 값은 \(H_0\)가 참이라고 가정하고 계산한 자료의 극단성이다. \(H_0\)의 확률이 아니며(그것은 3장의 베이즈 정리와 사전 확률이 필요하다), 효과의 크기나 실무적 중요성도 말해 주지 않는다. 표본이 아주 크면 0.01 nm 차이도 \(p < 0.001\)이 된다. → 11장 p 값의 뜻과 오해
12장 범주형 자료와 비모수 검정본문 →
두 장비에서 나온 불량을 유형별로 셌다. 장비 A: 입자 30, 긁힘 15, 패턴 15. 장비 B: 입자 20, 긁힘 25, 패턴 15. 불량 유형 분포가 장비와 독립인지 카이제곱 검정 통계량과 p 값을 구하라.
열 합 50, 40, 30, 행 합 60, 60: 기대 도수 25, 20, 15(두 행 같음). \(\chi^2_0 = 2[(5^2/25) + (5^2/20)] + 0 = 2 + 2.5 = 4.5\). 자유도 2에서 \(p = e^{-4.5/2} = 0.105\). 5%에서 독립을 기각하지 못한다 — 장비 B의 긁힘이 많아 보여도 이 표본으로는 우연과 구별이 안 된다. → 12장 분할표
웨이퍼 맵의 불량 다이 70개가 네 사분면에 18, 12, 25, 15개 있다. 사분면별로 같은 확률이라는 가설을 카이제곱 적합도 검정으로 확인하라.
\(\chi^2_0 = (0.25 + 30.25 + 56.25 + 6.25)/17.5 = 5.31\), \(p = P(\chi^2_3 > 5.31) = 0.150\). 사분면 불균형은 우연의 범위다. 사분면은 거친 칸이라 가장자리 고리 같은 무늬는 놓칠 수 있다 — 칸을 무늬에 맞게 정해야 검정이 무늬를 본다. → 12장 카이제곱 적합도 검정
신뢰성 시험에서 신규 레시피 12개 중 1개, 기존 레시피 12개 중 6개가 고장 났다. 칸이 작으므로 피셔 정확 검정의 양측 p 값을 구하라.
\(P(X = k) = \binom{7}{k}\binom{17}{12-k}/\binom{24}{12}\). \(P(X\le1) = 0.0343\), 대칭이라 \(P(X\ge6)\)도 같다. 양측 \(p = 0.0686\). 고장이 1 대 6으로 달라 보여도 5%에서 유의하지 않다 — 표본 12개로는 신뢰성 차이를 증명하기 어렵다. 카이제곱 근사(\(\chi^2 = 5.04\), \(p = 0.025\))는 기대 도수 3.5짜리 칸 때문에 과장된다. → 12장 피셔 정확 검정
두 장비의 접촉 저항을 8개씩 쟀는데, 한 장비에 다른 값의 20배인 측정이 하나 있고 분포가 심하게 치우쳐 있다. 위치 차이를 보기에 가장 알맞은 검정은?
순위만 쓰면 20배 값은 그냥 “가장 큰 값”이 되어 결과를 좌우하지 못한다. 표본이 작고 정규성이 의심스러울 때 t 검정은 평균과 분산이 이상값 하나에 끌려 검정력을 잃는다. 정규 자료에서도 만–휘트니의 효율은 95%로 손해가 작다. → 12장 윌콕슨 순위합 검정
13장 회귀 분석본문 →
두께를 아는 표준 시료 다섯 개(\(x\) = 10, 20, 30, 40, 50 nm)를 XRF로 재어 신호 \(y\) = 2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1을 얻었다. 최소 제곱 직선의 기울기·절편과 결정 계수는?
\(S_{xy} = 199\), \(b_1 = 0.199\), \(b_0 = 6.02 - 5.97 = 0.05\). \(\mathrm{SSE} = 0.107\), \(S_{yy} = 39.71\), \(R^2 = 1 - 0.107/39.71 = 0.997\). 잔차 표준 편차 \(s = \sqrt{0.107/3} = 0.189\). → 13장 최소 제곱 직선
앞 문제의 검량선으로, 두께 35 nm인 새 시료의 신호에 대한 점예측과 95% 예측 구간의 반폭을 구하라.
\(\hat y = 0.05 + 0.199(35) = 7.015\). 근호 안 \(1 + 0.2 + 25/1000 = 1.225\), 반폭 \(3.182(0.189)(1.107) = 0.665\). 같은 점의 평균 반응 신뢰 구간 반폭은 0.285이다. 점이 다섯 개뿐이라 자유도 3의 큰 \(t\)값이 구간을 넓힌다 — 검량선에 표준 시료를 늘리는 가장 큰 이득이 이것이다. → 13장 신뢰 띠와 예측 띠
가상 계측(VM) 모형을 만들려고 웨이퍼 20장에서 챔버 센서 값과 식각률의 상관 계수 \(r = 0.90\)을 얻었다. 기울기 \(\beta_1 = 0\) 검정의 t 통계량은?
\(t_0 = 0.9\sqrt{18}/\sqrt{0.19} = 8.76\), 자유도 18에서 \(p\approx7\times10^{-8}\). 다만 \(R^2 = 0.81\)이라 식각률 산포의 19%는 센서로 설명되지 않는다 — 기울기가 확실히 0이 아닌 것과 예측이 충분히 정확한 것은 다른 질문이다. → 13장 회귀 계수의 추론
검량선 자료 20점은 \(x\) = 10–50 nm에 있고, 한 점만 \(x = 200\ \text{nm}\)에 있다. 그 점의 잔차는 작다. 옳은 판단은?
\(x\)가 멀리 떨어진 점은 지렛값 \(h_{ii}\)가 1에 가까워 선을 자기 쪽으로 끌어당긴다. 그래서 잔차만 보면 영향을 놓친다. 쿡의 거리나 그 점을 뺀 적합으로 확인하고, 10–50 nm 범위의 검량선이 목적이면 범위 밖 점은 따로 다룬다. → 13장 잔차 진단과 영향점
14장 분산 분석과 실험 계획본문 →
세 식각 챔버에서 웨이퍼 4장씩 식각률(nm/min)을 쟀다. A: 102, 105, 101, 104; B: 108, 110, 107, 111; C: 103, 104, 106, 105. 일원 분산 분석의 F 통계량과 p 값은?
\(\mathrm{SS}_{\text{처리}} = 4(6.25 + 12.25 + 1) = 78\), \(\mathrm{SS}_E = 10 + 10 + 5 = 25\). \(F_0 = (78/2)/(25/9) = 39/2.778 = 14.04\), \(p = 0.0017\). 챔버 평균이 다르다. 어느 쌍이 다른지는 투키 HSD로 본다(B가 A, C와 다르다). → 14장 일원 분산 분석
RF 전력(A)과 압력(B)을 두 수준씩 바꾼 \(2^2\) 실험의 식각률이 \((-,-) = 60\), \((+,-) = 72\), \((-,+) = 54\), \((+,+) = 80\)이다. 주효과 A, B와 교호 효과 AB를 구하라.
\(A = (72 + 80)/2 - (60 + 54)/2 = 19\). \(B = (54 + 80)/2 - (60 + 72)/2 = 1\). \(AB = (60 + 80)/2 - (72 + 54)/2 = 7\). B의 주효과는 거의 없지만 교호 작용이 커서, 압력의 효과가 A 수준에 따라 \(-6\)에서 \(+8\)로 뒤집힌다. 한 번에 한 인자만 바꾸는 실험으로는 이것을 볼 수 없다. → 14장 2ᵏ 요인 실험
네 인자의 \(2^{4-1}\) 실험을 정의 관계 \(I = ABCD\)로 짰다. 교호 효과 AB의 추정값은 무엇과 섞여 있나?
\(AB\cdot ABCD = A^2B^2CD = CD\). 해상도 IV 계획에서는 주효과가 3인자 교호 작용과만 섞여 깨끗하지만, 2인자 교호 작용끼리는 서로 섞인다. 8번 실험으로 16번의 정보 절반을 얻는 대가다. → 14장 부분 요인 실험과 교락
중심 합성 계획으로 맞춘 식각 균일도 모형이 \(\hat y = 80 + 4x_1 - 2x_2 - 3x_1^2 - x_2^2 + x_1x_2\)(코드화 변수)이다. 정상점과 그 점의 예측값을 구하라.
둘째 식에서 \(x_1 = 2 + 2x_2\), 첫째에 넣으면 \(-8 - 11x_2 = 0\): \(x_2 = -0.727\), \(x_1 = 0.545\). \(\hat y = 81.8\). 이차 항 행렬의 고윳값이 모두 음수(\(-3.12, -0.88\))라 최댓값이다. 정상점이 코드화 범위 \([-1, 1]\) 안에 있으므로 실험 영역 안에서 믿을 만하다. → 14장 반응 표면법
15장 확률 과정본문 →
노광 장비 앞에 로트가 시간당 6개의 포아송 과정으로 도착한다. 15분 동안 하나도 오지 않을 확률과, 30분 동안 3개 이상 올 확률은?
\(e^{-1.5} = 0.223\) — 도착 간격이 \(\mathrm{Exp}(6/\text{h})\)이므로 15분 넘게 비는 일도 다섯 번에 한 번이다. \(P(N\ge3) = 1 - e^{-3}(1 + 3 + 4.5) = 0.577\). → 15장 포아송 과정
앞 문제의 장비가 로트를 지수 분포 시간으로 처리하며 처리율은 시간당 8로트이다(M/M/1). 계 안의 평균 로트 수, 로트의 평균 체류 시간, 대기열의 평균 길이는?
\(\rho = 0.75\), \(L = 3\), \(W = 3/6\ \text{h} = 30\)분(처리 7.5분 + 대기 22.5분), \(L_q = 2.25\). 가동률을 0.9로 올리면 \(W\)는 75분이 된다(도착률 7.2/h) — 가동률이 1에 다가가면 사이클 타임이 폭발하는 것이 팹 운영의 기본 법칙이다. → 15장 대기 행렬과 리틀의 법칙
장비 상태를 1시간 간격으로 본다. 가동 중이면 다음 시간에 고장 날 확률 0.05, 고장 중이면 다음 시간에 복구될 확률 0.4이다. 장기적으로 가동 중인 시간 비율과, 고장 한 번의 평균 지속 시간은?
\(\pi_{\text{up}} = 0.4/0.45 = 0.889\). 고장 지속은 \(\mathrm{Geom}(0.4)\)로 평균 2.5 h, 가동 지속은 평균 20 h. \(20/(20 + 2.5) = 0.889\)로 같은 답이 나온다(MTBF/(MTBF + MTTR)). → 15장 마르코프 연쇄와 정상 분포
챔버 온도를 1초마다 기록하니 이웃한 값의 자기 상관이 0.8이다. 이 값을 그대로 개별값(I–MR) 관리도에 올리면?
양의 자기 상관에서 이웃 값 차이의 분산은 \(2\sigma^2(1-\rho) = 0.4\sigma^2\)뿐이라, \(\overline{MR}/1.128\)이 \(\sigma\)를 약 \(\sqrt{0.2} = 0.45\)배로 추정한다. 한계는 반 이하로 좁아지고 공정은 그 밖을 천천히 돈다. 표본 간격을 늘리거나 시계열 모형의 잔차를 관리한다. → 15장 자기 상관과 백색 잡음
16장 통계적 공정 관리본문 →
부분군 크기 5인 X̄–R 관리도에서 \(\bar{\bar x} = 50.0\ \text{nm}\), \(\bar R = 2.326\ \text{nm}\)이다(\(A_2 = 0.577\), \(d_2 = 2.326\)). X̄ 관리도의 UCL, LCL과 공정 표준 편차의 추정값은?
\(A_2\bar R = 1.342\): UCL \(= 51.34\), LCL \(= 48.66\ \text{nm}\). \(\hat\sigma = 1.00\ \text{nm}\). 확인: \(3\hat\sigma/\sqrt5 = 1.342\) — \(A_2\)는 \(3/(d_2\sqrt n)\)를 한 수로 묶은 것이다. → 16장 계량형 관리도
규격 45–55 nm, 공정 평균 50.8 nm, 표준 편차 1.2 nm(정규)이다. \(C_p\), \(C_{pk}\)와 예상 규격 밖 비율(ppm)은?
\(C_p = 10/7.2 = 1.39\), \(C_{pk} = 4.2/3.6 = 1.17\). 위 꼬리 \(1 - \Phi(3.5) = 233\ \text{ppm}\), 아래 꼬리 \(\Phi(-4.83) = 0.7\ \text{ppm}\), 합 233 ppm. 평균을 중심으로 옮기기만 해도 \(C_{pk} = 1.39\), 약 30 ppm이 된다 — 산포를 줄이는 것보다 쉬운 개선이다. → 16장 공정 능력
X̄ 관리도(3σ 한계, 부분군 \(n = 4\))를 매 부분군마다 하는 가설 검정으로 보자. 공정이 그대로일 때 거짓 경보까지의 평균 부분군 수 ARL₀와, 평균이 \(1\sigma\) 이동했을 때 경보까지의 평균 부분군 수 ARL₁은?
\(\alpha = 0.0027\), ARL₀ \(= 370\). 이동 후 \(P = [1 - \Phi(1)] + \Phi(-5) = 0.1587\), ARL₁ \(= 6.30\). 한 점의 검정력은 16%뿐이지만 검정을 계속 반복하므로 평균 6점 만에 잡는다. α를 키우면(2σ 한계) ARL₁은 줄지만 ARL₀가 22로 무너진다. → 16장 판정 규칙과 ARL
어떤 막두께의 X̄ 관리도는 모든 점이 관리 한계 안에 있는데, 개별 웨이퍼 측정값의 3%가 규격을 벗어난다. 옳은 판단은?
관리 한계는 공정의 목소리(자기 산포로 계산), 규격은 고객의 목소리다. 둘은 독립이다. 안정하지만 무능한 공정은 매일 같은 비율로 불량을 낸다 — 특수 원인을 찾는 관리도 대응이 아니라 공정 자체를 바꿔야 한다. 관리 한계를 규격으로 바꾸면 \(\bar X\)와 개별값을 섞는 잘못까지 더해진다. → 16장 공정 능력
17장 신뢰성과 수율본문 →
다이 면적 1.2 cm², 결함 밀도 0.5 개/cm²이다. 포아송, 음이항(군집 모수 \(\alpha = 2\)), 머피 수율 모형으로 다이 수율을 구하라.
포아송 \(e^{-0.6} = 0.549\), 음이항 \(1.3^{-2} = 0.592\), 머피 \((0.4512/0.6)^2 = 0.565\). 결함이 몰려 있을수록(작은 \(\alpha\)) 같은 평균 결함 수에서 수율이 높다 — 한 다이에 결함이 겹쳐 떨어져 “낭비”되기 때문이다. \(\alpha\to\infty\)이면 포아송으로 돌아간다. → 17장 수율 모형과 결함 군집
활성화 에너지 0.7 eV인 고장 기구에 대해 125 °C에서 1000개를 1000 h 시험해 1개가 고장 났다. 사용 온도 55 °C로의 가속 계수와, 사용 조건 고장률의 점추정값(FIT)은? (\(k = 8.617\times10^{-5}\ \text{eV/K}\))
\(1/328.15 - 1/398.15 = 5.358\times10^{-4}\ \text{K}^{-1}\), \(\mathrm{AF} = \exp(8123\times5.358\times10^{-4}) = 77.6\). \(\hat\lambda = 1/(7.76\times10^7\ \text{h}) = 12.9\ \text{FIT}\). 고장 1개짜리 점추정은 매우 불확실해, 60% 상한(\(\chi^2_{0.40,4}/2 = 2.02\)개로 계산)은 26 FIT이다. → 17장 가속 수명 시험과 FIT
초기 고장이 \(\mathrm{Weibull}(\beta = 0.5, \eta = 10^7\ \text{h})\)를 따른다. 사용 첫 1000 h 안에 고장 날 확률을 (가) 번인 없이, (나) 가속 계수 50인 조건에서 48 h 번인(사용 2400 h에 해당)을 통과한 칩에 대해 구하라.
(가) \(1 - e^{-\sqrt{10^{-4}}} = 1 - e^{-0.01} = 0.00995\). (나) \(\sqrt{3.4\times10^{-4}} - \sqrt{2.4\times10^{-4}} = 0.01844 - 0.01549 = 0.00295\), \(1 - e^{-0.00295} = 0.00294\). 고장률이 줄어드는(\(\beta < 1\)) 구간이라 약한 칩을 미리 태우면 현장 초기 고장이 \(1/3.4\)로 준다. \(\beta \ge 1\)이면 번인은 수명만 깎는다. → 17장 번인
와이블 확률지에 일렉트로마이그레이션 고장 시간을 찍었더니 직선의 기울기가 3.2였다. 이 자료가 말하는 것은?
와이블 확률지는 \(\ln[-\ln(1-F)]\)를 \(\ln t\)에 대해 그려 기울기가 \(\beta\)가 된다. \(\beta > 1\)이면 \(h(t)\propto t^{\beta-1}\)이 증가해 욕조 곡선의 오른쪽(마모) 구간이다. η는 63.2%가 고장 나는 시간으로, 직선이 \(F = 0.632\)를 지나는 곳에서 읽는다. → 17장 와이블 확률지
장을 넘나드는 반복 연습
‘새 문제’를 누를 때마다 숫자와 문제 종류가 바뀐다. 첫째는 수율·결함·공정 능력(4·5·16·17장), 둘째는 구간·검정·관리도(10·11·16장)를 섞는다. 같은 식을 손에 익을 때까지 돌려 보자. 허용 오차는 1%이다.
시험 직전 체크리스트
아래 문장을 막힘없이 설명하고 식을 쓸 수 있으면 그 부를 정리한 것이다. 걸리는 줄이 있으면 링크한 절로 돌아가자.
제1부 자료와 확률
- 표본 표준 편차가 \(n-1\)로 나누는 이유와, 치우친 자료에서 중앙값·IQR을 쓰는 이유를 말할 수 있다.1장
- 순열과 조합을 구별하고, “적어도 하나”는 여사건으로 푼다.2장
- 확률 나무로 전확률을 만들고 베이즈 정리로 뒤집는다 — 기저율이 작으면 양성 예측도가 낮다.3장
- 독립(곱이 성립)과 배반(교집합이 공집합)을 혼동하지 않는다.3장
제2부 확률 변수와 분포
- 상황에서 분포를 고른다: 정해진 시행의 성공 수(이항), 비복원(초기하), 첫 성공까지(기하), 면적·시간당 사건 수(포아송).4장
- 정규 표준화 \(z = (x-\mu)/\sigma\)와 표 읽기, 지수 분포의 무기억성, 와이블 β의 뜻.5장
- \(\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y)\)와 곱·몫의 상대 오차 전파.6장
- CLT는 평균의 분포에 대한 정리이고 SE \(= \sigma/\sqrt n\); 이산 분포의 정규 근사에는 연속성 수정 ±0.5.7장
제3부 통계적 추론
- \(\chi^2\), \(t\), \(F\) 분포가 각각 무엇에서 나오는지(표본 분산, 표준화한 평균, 분산 비) 말할 수 있다.8장
- 최대 가능도: 로그 가능도를 미분해 0; 포아송·지수·이항의 MLE를 바로 쓴다. MSE = 분산 + 편향².9장
- σ를 모르면 t 구간, 비율은 윌슨 구간, 다음 한 개는 예측 구간 — 표본 크기 \(n = (z\sigma/E)^2\).10장
- p 값은 \(H_0\) 아래에서 계산한 극단성; 검정력은 효과 크기·\(n\)·α·σ로 정해진다. 여러 검정이면 본페로니.11장
제4부 통계 모형
- 카이제곱 검정의 자유도(적합도 \(k - 1 -\) 추정 모수 수, 분할표 \((r-1)(c-1)\))와 기대 도수 5 규칙, 작은 표는 피셔.12장
- \(b_1 = S_{xy}/S_{xx}\), \(R^2 = 1 - \mathrm{SSE}/\mathrm{SST}\), 예측 띠가 신뢰 띠보다 넓은 이유, 잔차 그림 읽기.13장
- 분산 분석표(SS·자유도·MS·F)를 채우고, 2ᵏ 실험의 효과를 부호표로 계산하며, 정의 관계로 별칭을 찾는다.14장
제5부 공학 응용
개념 퀴즈 무작위 출제
범위를 고르고 ‘문제 뽑기’를 누르면 해당 장들의 개념 확인 퀴즈 10문항을 무작위로 낸다.
‘문제 뽑기’를 누르세요. (문제를 불러오려면 웹 서버에서 열어야 한다.)