Chapter 17 · 부록

용어집 & 종합 퀴즈

열여섯 장 동안 방향장, 적분 인자, 특성근, 공진, 전달 함수, 안장과 나선, 분기, 고유함수 같은 많은 이름을 만났습니다. 처음 보는 방정식 앞에서 실제로 필요한 질문은 대개 둘입니다. "이 꼴은 어떤 방법으로 풀지?"와 "풀지 않고도 해가 어떤 모양일지 알 수 있을까?" 이 장은 풀이법 고르기 도우미로 시작해, 특성근과 해 모양의 대응, 라플라스 변환표, 평형점 분류 지도를 한곳에 모으고, 용어를 검색한 뒤, 전 범위 종합 퀴즈로 마무리합니다.

방정식의 계수·선형성·계수의 종류·입력·자율성을 보고 알맞은 풀이법과 해당 절을 찾는다.
특성근(극점, 고유값)의 위치만 보고 해가 감쇠·진동·발산하는지 말한다.
라플라스 변환쌍과 성질을 표에서 찾아 초기값 문제를 대수 문제로 바꾼다.
대각합과 행렬식으로 2차원 평형점을 분류하고, 비선형 시스템의 선형화가 어디까지 믿을 만한지 판단한다.
미분방정식 용어를 검색하고, 종합 퀴즈로 약한 장을 찾아 돌아간다.

풀이법 고르기 도우미

미분방정식은 "풀이법이 정해진 꼴"과 "그림과 수치로 봐야 하는 꼴"로 크게 나뉩니다. 먼저 물어볼 것은 늘 같습니다. 몇 계인가, 선형인가, 계수가 상수인가, 우변(입력)이 무엇인가, t가 식에 직접 나오는가. 아래에서 방정식의 특징을 고르면 먼저 써 볼 방법(강조된 칸)과 대안, 그리고 그 방법을 다룬 절로 가는 링크가 나옵니다.

GUIDE

이 방정식, 어떻게 풀까?

무엇을 푸나

계수(階數)

선형성

계수

변수 계수 꼴

우변(입력)

1계 비선형 꼴

t가 식에?

조건

PDE 종류

예시 방정식—

해의 모양 미리 보기—

해볼 것: ① '2계 이상 · 선형 · 상수 계수'에서 우변을 바꿔 보세요. 동차해는 언제나 특성 방정식으로 구하고, 바뀌는 것은 특수해를 구하는 방법뿐입니다. ② '1계 · 비선형 · 어느 것도 아님'에서 자율/비자율을 바꾸면 위상선과 방향장 중 무엇을 그릴지가 달라집니다. ③ '연립 ODE · 비선형'은 손으로 풀기보다 평형점을 찾고 선형화해 그림을 맞히는 문제입니다. 안내는 교과서 수준의 일반 원칙이며, 같은 방정식에 여러 방법이 통할 때가 많습니다. 어느 방법이든 답은 대입하거나 RK4로 수치 해와 겹쳐 보면 검산됩니다.

막히면 세 가지로 돌아간다 손으로 풀리지 않는 방정식이 훨씬 많습니다. 그때도 할 수 있는 일은 남아 있습니다. ① 그림: 방향장(1장), 위상선(4장), 위상 평면(12장). ② 존재와 유일성:

f

와

\partial f/\partial y

가 연속이면 해가 하나 있다(4장). ③ 수치: RK4로 풀고 걸음 폭을 반으로 줄여 답이 그대로인지 본다(5장). 강성 방정식이면 음적 방법(5장)을 쓴다.

특성근 ↔ 해 모양 한눈표

상수계수 선형 방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 에 $y = e^{rt}$ 를 넣으면 특성 방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 이 나오고, 해의 모양은 근 $r$ 이 복소평면 어디에 있는가로 전부 정해집니다. 실수부는 커지거나 줄어드는 빠르기, 허수부는 진동의 각진동수입니다. 같은 그림이 세 번 나옵니다. 2계 방정식의 특성근(6장), 전달 함수의 극점(10장), 연립 방정식 $\mathbf x' = A\mathbf x$ 의 고유값(11장)입니다.

각 칸 왼쪽: 근의 위치(가로 Re, 세로 Im)오른쪽:

y(t)

0 \le t \le 8

0으로 감쇠경계(유계, 감쇠 안 함)발산

서로 다른 음의 실근 $r_2 \lt r_1 \lt 0$

y = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}

진동 없이 0으로. 과감쇠. 꼬리는 0에 가까운 느린 근 $r_1$ 이 정한다.

6장 특성 방정식 7장 감쇠 세 영역

음의 중근 $r_1 = r_2 = r \lt 0$

y = (c_1 + c_2t)e^{rt}

진동 없이 가장 빨리 돌아오는 임계 감쇠. 두 번째 해에 $t$ 가 곱해진다.

6장 중근 7장 감쇠 설계

복소근 $\alpha \pm i\beta$ , $\alpha \lt 0$

y = e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t)

포락선 $e^{\alpha t}$ 안에서 줄어드는 진동. 부족 감쇠. 감쇠비 $\zeta = -\alpha/\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ .

6장 복소근 7장 감쇠비

순허수 $\pm i\beta$

y = c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t

진폭이 일정한 단진동. 위상 평면에서는 닫힌 궤도(중심). 같은 진동수로 밀면 공진한다.

7장 단진동 8장 공진

복소근 $\alpha \pm i\beta$ , $\alpha \gt 0$

y = e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t)

진폭이 지수적으로 커지는 진동(음의 감쇠). 비선형계에서는 한계 순환으로 포화되기도 한다.

12장 반 데어 폴 13장 호프 분기

부호가 다른 실근 $r_2 \lt 0 \lt r_1$

y = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}

$c_1 \ne 0$ 이면 결국 커진다. 위상 평면의 안장. $c_1 = 0$ 인 한 직선만 원점으로 들어간다.

11장 마디와 안장 12장 거꾸로 선 진자

양의 실근 $0 \lt r_1 \lt r_2$ (중근 포함)

y = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}

진동 없이 발산. 불안정 마디. 빠른 근 $r_2$ 가 곧 전체를 지배한다.

11장 마디와 안장

근 0과 음의 근 $r \lt 0$

y = c_1 + c_2e^{rt}

0이 아닌 상수로 수렴. 예: 마찰만 있고 복원력이 없는 $y'' + cy' = 0$ (미끄러지다 멈추는 블록).

6장 특성 방정식

근 0의 중근

y = c_1 + c_2t

힘이 없는 등속 운동 $y'' = 0$ . 지수적이지는 않지만 유계가 아니다( $c_2 \ne 0$ ).

6장 중근

근의 꼴	상수계수 $ay'' + by' + cy = 0$	코시–오일러 $ax^2y'' + bxy' + cy = 0$ , $x \gt 0$
특성(지표) 방정식	$ar^2 + br + c = 0$	$ar(r-1) + br + c = 0$
서로 다른 실근	$e^{r_1t},\ e^{r_2t}$	$x^{r_1},\ x^{r_2}$
중근 $r$	$e^{rt},\ te^{rt}$	$x^{r},\ x^{r}\ln x$
복소근 $\alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha t}\cos\beta t,\ e^{\alpha t}\sin\beta t$	$x^{\alpha}\cos(\beta\ln x),\ x^{\alpha}\sin(\beta\ln x)$
$m$ 중근(고계)	$e^{rt}, te^{rt}, \dots, t^{m-1}e^{rt}$	$x^r, x^r\ln x, \dots, x^r(\ln x)^{m-1}$

코시–오일러 방정식은 $x = e^{u}$ 로 바꾸면 상수계수 방정식이 되므로 두 열은 같은 표입니다(6장). 고계 방정식도 근 하나하나가 기본해 하나씩을 주고, 중복도만큼 $t$ 의 거듭제곱이 붙습니다(6장).

미정계수법의 시험 함수

우변 $g(t)$ 가 다항식·지수·사인과 그 곱이면 특수해는 같은 꼴입니다. 계수는 대입해서 정합니다. 단 하나의 함정은 시험 함수가 이미 동차해일 때입니다. 그때는 $t$ 를 곱합니다(8장).

우변 $g(t)$	시험 함수 $y_p$	$t^s$ 를 곱할 때
$n$ 차 다항식 $P_n(t)$	$A_nt^n + \dots + A_1t + A_0$	$r = 0$ 이 $s$ 중 특성근
$e^{at}$	$Ae^{at}$	$a$ 가 $s$ 중 특성근
$\cos\omega t$ 또는 $\sin\omega t$	$A\cos\omega t + B\sin\omega t$ (둘 다 넣는다)	$\pm i\omega$ 가 특성근(비감쇠 공진)
$P_n(t)e^{at}$	$(A_nt^n + \dots + A_0)e^{at}$	$a$ 가 $s$ 중 특성근
$e^{at}\cos\omega t$ , $e^{at}\sin\omega t$	$e^{at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$	$a \pm i\omega$ 가 특성근

예: $y'' + 4y = \cos 2t$ 특성근이

\pm 2i

라서

A\cos 2t + B\sin 2t

는 동차해입니다.

y_p = t(A\cos 2t + B\sin 2t)

를 넣으면

-4A\sin 2t + 4B\cos 2t = \cos 2t

이므로

A = 0

B = 1/4

, 즉

y_p = \tfrac14 t\sin 2t

입니다. 진폭이

t

에 비례해 자라는 공진입니다. 우변이 이 표에 없는 꼴(

\tan t

1/t

등)이면 매개변수 변환법(8장)이나 합성곱(10장)을 씁니다.

라플라스 변환표

라플라스 변환 $F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$ 는 미분을 $s$ 의 곱셈으로 바꿔, 초기값 문제를 변환 → 대수로 $Y(s)$ 풀기 → 부분 분수 → 표를 거꾸로 읽기의 세 단계로 만듭니다(9장). 외울 것은 왼쪽의 변환쌍 몇 개와 오른쪽의 성질뿐입니다. 나머지는 성질로 만들어집니다.

$f(t)$ , $t \ge 0$	$F(s)$
$1$	$\dfrac{1}{s}\quad (s \gt 0)$
$t^n\ (n = 0, 1, 2, \dots)$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\dfrac{1}{s-a}\quad (s \gt a)$
$t^ne^{at}$	$\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}$
$\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$\cos\omega t$	$\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$
$e^{at}\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$
$e^{at}\cos\omega t$	$\dfrac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}$
$\sinh at$ , $\cosh at$	$\dfrac{a}{s^2-a^2}$ , $\dfrac{s}{s^2-a^2}\quad (s \gt \|a\|)$
$t\sin\omega t$	$\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$
$t\cos\omega t$	$\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$
$\dfrac{\sin\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3}$	$\dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2}$
$u(t-a)\ (a \ge 0)$	$\dfrac{e^{-as}}{s}$
$\delta(t-a)\ (a \ge 0)$	$e^{-as}$

성질	$t$ 영역 → $s$ 영역
선형성	$af + bg \;\to\; aF + bG$
1계 도함수	$f' \;\to\; sF(s) - f(0)$
2계 도함수	$f'' \;\to\; s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$
적분	$\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau \;\to\; \frac{F(s)}{s}$
s-이동	$e^{at}f(t) \;\to\; F(s-a)$
t-이동	$f(t-a)u(t-a) \;\to\; e^{-as}F(s)$
$t$ 곱하기	$tf(t) \;\to\; -F'(s)$
합성곱	$\displaystyle\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau \;\to\; F(s)G(s)$
초기값 정리	$f(0^+) = \displaystyle\lim_{s\to\infty} sF(s)$
최종값 정리	$\displaystyle\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$ (조건 아래)

표의 출처: 기본 쌍의 유도는 9장 변환표, 도함수는 9장 미분의 변환, 두 이동 정리는 9장 이동, 계단과 델타는 10장 계단·10장 델타, 합성곱은 10장 합성곱.

최종값 정리의 조건

\lim_{s\to 0} sF(s)

는

sF(s)

의 극점이 모두 왼쪽 반평면(

\operatorname{Re}s \lt 0

)에 있을 때만

f(\infty)

와 같습니다.

F(s) = \dfrac{1}{s(s^2+4)}

에 기계적으로 쓰면

1/4

이 나오지만, 실제 해

f = (1 - \cos 2t)/4

는 0과

1/2

사이를 영원히 진동합니다(9장). 극점 위치로 응답 모양을 읽는 법은 위 특성근 표와 같습니다. 전달 함수

H(s)

의 극점이 곧 특성근입니다(10장).

평형점 분류 지도: 대각합–행렬식 평면

2×2 선형 연립 $\mathbf x' = A\mathbf x$ 의 고유값은 특성 방정식 $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$ 의 근입니다( $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\Delta = \det A$ ). 그러니 원점의 종류는 두 숫자 $\tau, \Delta$ 로 정해지고, 평면 위의 지도 하나에 모두 담깁니다(11장). 2계 방정식 $y'' + cy' + ky = 0$ 은 $\mathbf x = (y, y')$ 로 쓰면 $\tau = -c$ , $\Delta = k$ 이므로, 7장의 감쇠 세 영역도 이 지도의 왼쪽 절반에 그대로 들어 있습니다.

\lambda_{1,2} = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\Delta}}{2},\qquad \lambda_1 + \lambda_2 = \tau,\qquad \lambda_1\lambda_2 = \Delta.

SIMULATOR

점을 끌어 평형점 분류하기

지도: 점 (τ, Δ)를 끌어 보세요

위상 초상 (y, y′)

y(t), y(0) = 1, y′(0) = 0

바로 가기

τ, Δ—

τ² − 4Δ—

고유값 λ—

종류—

같은 2계 방정식—

진동으로 읽으면—

해볼 것: ① '안정 나선'에서 점을 오른쪽으로 끌어 세로축(τ = 0)을 넘겨 보세요. 감겨 들던 궤적이 닫힌 타원(중심)을 지나 풀려 나갑니다. 감쇠 계수 c = −τ가 0을 지나 음수가 되는 것과 같습니다. ② 점을 포물선 Δ = τ²/4 위로 가져가면 고유값이 겹치며 나선과 마디의 경계, 즉 임계 감쇠가 됩니다. ③ 가로축 아래로 내리면 어떤 τ에서든 안장입니다. 고유벡터 직선(점선) 하나만 원점으로 들어갑니다. 모델: 점 (τ, Δ)에 대해 동반 행렬 A = [[0, 1], [−Δ, τ]], 즉 y″ − τy′ + Δy = 0. 궤적은 원 위 12개 점에서 앞뒤로 RK4. 세로축·포물선·가로축 가까이 놓으면 그 경계로 붙습니다. 같은 (τ, Δ)라도 A = λI 같은 행렬은 별 마디가 되므로, 지도는 고유값을 정하지 행렬 전체를 정하지는 않습니다.

(τ, Δ) 위치	고유값	평형점	2계 진동으로 읽으면
$\Delta \lt 0$	부호가 다른 실수	안장(불안정)	복원력이 반대( $k \lt 0$ ), 거꾸로 선 진자
$\tau \lt 0,\ 0 \lt 4\Delta \lt \tau^2$	음의 실수 둘	안정 마디	과감쇠 $\zeta \gt 1$
$\tau \lt 0,\ 4\Delta = \tau^2$	음의 중근	안정 퇴화 마디	임계 감쇠 $\zeta = 1$
$\tau \lt 0,\ 4\Delta \gt \tau^2$	$\alpha \pm i\beta,\ \alpha \lt 0$	안정 나선	부족 감쇠 $0 \lt \zeta \lt 1$
$\tau = 0,\ \Delta \gt 0$	$\pm i\beta$	중심(안정, 점근 안정 아님)	비감쇠 $\zeta = 0$
$\tau \gt 0,\ \Delta \gt 0$	실수부가 양	불안정 나선·마디	음의 감쇠 $\zeta \lt 0$
$\Delta = 0$	고유값 0 포함	평형점이 직선을 이룸	복원력 없음 $k = 0$

비선형 시스템에서 이 지도를 쓰는 법 비선형 시스템

\mathbf x' = \mathbf f(\mathbf x)

는 평형점

\mathbf x^*

에서 야코비 행렬

J = D\mathbf f(\mathbf x^*)

의

(\tau, \Delta)

를 이 지도에 찍습니다. 점이 넓은 영역(안장·마디·나선)에 있으면 평형점이 쌍곡이라 하트만–그로브만 정리에 따라 비선형계도 같은 종류입니다. 점이 경계, 특히 중심(

\tau = 0

)에 있으면 선형화로는 판정할 수 없고, 보존량이나 리아푸노프 함수로 따로 확인해야 합니다(12장 선형화, 12장 리아푸노프). 매개변수를 바꿀 때 점이 세로축을 가로지르는 순간이 호프 분기(13장)입니다. 1차원 자율 방정식

y' = f(y)

에서는 지도 대신

f'(y^*)

의 부호 하나로 충분합니다(4장).

용어집

종합 퀴즈

열여섯 장 전 범위에서 두 문제씩 골랐습니다. 대부분 손으로 몇 줄 계산하면 풀리고, 몇 문제는 "이 결론을 믿어도 되는가"를 묻습니다. 틀린 문제는 괄호 안의 장으로 돌아가 시뮬레이터를 다시 만져 보세요.

0 / 0