Chapter 06

2계 선형 방정식

뉴턴의 제2법칙 F=maF = ma에서 가속도는 위치의 2계 도함수입니다. 그래서 용수철, 진자, 서스펜션, RLC 회로, 건물의 흔들림처럼 관성이 있는 모든 계는 2계 방정식으로 쓰입니다. 1~5장의 1계 방정식은 "지금 위치가 다음 순간을 정한다"였지만, 2계에서는 위치와 속도 두 가지가 함께 미래를 정합니다. 이 장은 그중 가장 중요한 부류인 2계 선형 방정식의 해가 어떤 구조를 가지는지(두 해의 일차결합), 두 해가 정말 다른지 판정하는 법(론스키안), 그리고 계수가 상수일 때 해를 대수 방정식 하나로 찾는 법(특성 방정식)을 다룹니다. 7·8장의 진동과 공진은 모두 이 장의 결과를 물리로 읽는 일입니다.

이 수식이 없었다면흔들림이 멈추는 자동차 서스펜션

과속 방지턱을 넘은 차체는 몇 번 출렁이다 멈춥니다. 서스펜션 설계자는 이 출렁임이 몇 번, 얼마나 빨리 사라질지를 부품을 만들기 전에 알아야 합니다. 차체의 위치 xx는 mx′′+cx′+kx=0mx'' + cx' + kx = 0을 따르고, 이 장의 방법은 이 질문을 mr2+cr+k=0mr^2 + cr + k = 0이라는 이차방정식의 근이 어디 있느냐로 바꿉니다. 근이 복소수면 출렁이고, 실수면 출렁이지 않고 가라앉습니다. 근의 실수부가 사라지는 빠르기, 허수부가 출렁이는 진동수입니다.

상수계수 선형 방정식을 지수 함수 erte^{rt}를 대입해 대수 방정식으로 바꾸는 방법은 18세기 오일러(Leonhard Euler)가 체계화했습니다. 같은 생각이 전기 회로의 과도 응답, 제어기의 극점 배치, 구조물의 고유 진동 해석에 그대로 쓰입니다.

F = ma→my″ + cy′ + ky = 0→mr² + cr + k = 0의 근→출렁임의 빠르기와 진동수

2계 방정식과 초기 조건 두 개

같은 위치에서 놓았는데 다르게 움직인다

용수철에 매단 추를 평형점에서 0.5 m 아래로 당겨 가만히 놓을 때와, 같은 자리에서 아래로 툭 쳐서 놓을 때는 운동이 다릅니다. 처음 위치만으로는 미래가 정해지지 않습니다. 몇 가지를 알려 줘야 할까요?

질량 mm인 추에 용수철 힘 −ky-ky(훅의 법칙)와 속도에 비례하는 저항 −cy′-cy', 그리고 외력 F(t)F(t)가 작용하면 뉴턴의 제2법칙으로 my′′=−cy′−ky+F(t)my'' = -cy' - ky + F(t)입니다. 이를 정리한 꼴이 이 장의 주인공입니다.

정의 6.1 (2계 선형 방정식) 구간 II에서
y′′+p(t) y′+q(t) y=g(t)y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = g(t)
꼴의 방정식을 (표준형) 2계 선형 미분방정식이라 한다. g≡0g \equiv 0이면 동차(homogeneous), 아니면 비동차라 한다. yy와 그 도함수가 모두 1차로만, 계수(tt의 함수)와 곱해져서 나타나는 것이 "선형"의 뜻이다. a(t)y′′+b(t)y′+c(t)y=f(t)a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t)는 a(t)≠0a(t) \ne 0인 곳에서 aa로 나누어 표준형으로 만든다.

1계 방정식 y′=f(t,y)y' = f(t, y)는 한 점 (t0,y0)(t_0, y_0)를 주면 방향장을 따라 해곡선이 하나로 정해졌습니다(4장). 2계 방정식은 5장에서 본 것처럼 상태 (y,y′)(y, y')의 1계 연립과 같으므로, 처음 상태, 곧 위치와 속도를 모두 주어야 합니다.

정리 6.2 (선형 방정식의 존재·유일성) p,q,gp, q, g가 열린 구간 II에서 연속이고 t0∈It_0 \in I이면, 임의의 y0,y1y_0, y_1에 대해 초기값 문제
y′′+p(t)y′+q(t)y=g(t),y(t0)=y0,y′(t0)=y1y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t),\qquad y(t_0) = y_0,\quad y'(t_0) = y_1
의 해가 구간 II 전체에서 존재하고 유일하다.

1계 연립으로 바꾸면 피카르–린델뢰프 정리(4장)가 해의 존재와 유일성을 준다. 비선형 방정식과 달리 해가 II 안에서 폭발하지 않는다는 점(정의 구간이 계수의 연속 구간 전체)이 선형 방정식의 특권이다.

(0, y₀) y′(0) = 0 y′(0) > 0 y′(0) < 0 t 위치가 같아도 처음 속도(기울기)가 다르면 다른 해
그림 6-1. 1계 방정식에서는 한 점을 지나는 해곡선이 하나뿐이지만, 2계 방정식에서는 한 점을 지나는 해가 기울기마다 하나씩 무수히 많다. 점과 기울기, 곧 y(t0)y(t_0)와 y′(t0)y'(t_0)를 함께 정해야 해가 하나로 정해진다.

아래 시뮬레이터에서 t=0t = 0의 점(위치)과 기울기 손잡이(속도)를 따로 끌어 보세요. '해 족 보기'로 같은 위치·다른 속도, 또는 같은 속도·다른 위치의 해들을 함께 그리면 조건 하나로는 해가 정해지지 않는다는 것이 보입니다.

SIMULATOR

초기 조건 두 개: 점과 기울기를 끌어 해 정하기

큰 점 = y(0), 작은 점 = 기울기 y′(0)
해 족 보기
y(0)—
y′(0)—
해—
해볼 것: ① '같은 y(0)'에서 기울기 손잡이를 위아래로 끌면 굵은 해가 회색 족 사이를 옮겨 다닙니다. 점 하나를 지나는 해가 무수히 많습니다. ② '가만히 놓기'와 '평형점에서 치기'는 기본해 두 개(cos형, sin형)에 해당합니다. ③ y″ − y = 0에서는 y′(0) = −y(0)일 때만 해가 0으로 가라앉습니다. 그 외에는 모두 터집니다. 모델: 닫힌 꼴 해(4절의 특성 방정식).

선형성과 중첩 원리

두 해를 더해도 해일까

현악기 줄을 두 가지 방식으로 튕긴 진동을 각각 녹음했습니다. 두 방식으로 동시에 튕기면 소리는 두 녹음을 더한 것과 같을까요? 선형 방정식이면 "예", 비선형이면 "아니요"입니다.

좌변을 함수에 함수를 대응시키는 기계로 보면 편합니다. L[y]=y′′+p(t)y′+q(t)yL[y] = y'' + p(t)y' + q(t)y라 쓰면 동차 방정식은 L[y]=0L[y] = 0, 비동차는 L[y]=gL[y] = g입니다. 미분이 선형이므로((c1y1+c2y2)′=c1y1′+c2y2′(c_1y_1 + c_2y_2)' = c_1y_1' + c_2y_2')

L[c1y1+c2y2]=c1L[y1]+c2L[y2].L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2].
LL이 선형 연산자(linear operator)라는 뜻이다. p,qp, q가 tt의 함수여도 상관없다. y2y^2, sin⁡y\sin y, yy′yy' 같은 항이 있으면 이 등식이 깨진다.
정리 6.3 (중첩 원리) y1,y2y_1, y_2가 동차 방정식 L[y]=0L[y] = 0의 해이면 임의의 상수 c1,c2c_1, c_2에 대해 c1y1+c2y2c_1y_1 + c_2y_2도 해다. 따라서 동차 방정식의 해 전체는 함수들의 벡터 공간을 이룬다(LinearBook: 부분공간).
예제 6.1 (중첩 확인) y1=cos⁡2ty_1 = \cos 2t, y2=sin⁡2ty_2 = \sin 2t가 y′′+4y=0y'' + 4y = 0의 해임을 보이고, y=3cos⁡2t−sin⁡2ty = 3\cos 2t - \sin 2t도 해인지 확인하라.
  1. y1′′=−4cos⁡2ty_1'' = -4\cos 2t이므로 y1′′+4y1=0y_1'' + 4y_1 = 0. 같은 방법으로 y2′′=−4sin⁡2ty_2'' = -4\sin 2t, y2′′+4y2=0y_2'' + 4y_2 = 0.
  2. y′′=−12cos⁡2t+4sin⁡2t=−4(3cos⁡2t−sin⁡2t)=−4yy'' = -12\cos 2t + 4\sin 2t = -4(3\cos 2t - \sin 2t) = -4y. 해다. 정리 6.3이 계산 없이 보장하는 결과다.
  3. 반례: y′′=−y3y'' = -y^3(비선형)에서 yy가 해라도 2y2y는 (2y)′′=2y′′=−2y3≠−(2y)3=−8y3(2y)'' = 2y'' = -2y^3 \ne -(2y)^3 = -8y^3이라 해가 아니다. 진폭을 두 배로 하면 진동의 빠르기까지 바뀐다.

중첩 원리의 실용적 뜻은 이렇습니다. 처음 상태 (1,0)(1, 0)에서 출발한 해 y1y_1과 (0,1)(0, 1)에서 출발한 해 y2y_2를 한 번씩만 구해 두면, 아무 처음 상태 (a,b)(a, b)의 해는 ay1+by2ay_1 + by_2입니다. 이 결합도 해이고 처음 상태가 (a,b)(a, b)이므로, 정리 6.2의 유일성에 의해 바로 그 해입니다. 아래 시뮬레이터에서 선형 방정식의 결합(주황)이 처음 상태 (c1,c2)(c_1, c_2)로 직접 푼 해(검은 가는 선)와 완전히 겹치고, 비선형 방정식에서는 갈라지는 것을 보세요.

SIMULATOR

중첩 슬라이더: c₁y₁ + c₂y₂는 정말 해인가

방정식
c₁y₁ (처음 상태 (1, 0)의 해 × c₁)c₂y₂ (처음 상태 (0, 1)의 해 × c₂)합 c₁y₁ + c₂y₂처음 상태 (c₁, c₂)로 직접 푼 해
max |합 − 직접 푼 해|—
합의 잔차 max |L[y]|—
판정—
해볼 것: ① 선형 방정식에서 c₁, c₂를 아무렇게나 바꿔도 주황 합과 검은 선이 한 몸입니다. 잔차는 반올림 수준(10⁻¹⁰ 이하)입니다. ② 'y″ + y + y³ = 0'에서 c₁ = c₂ = 0.1처럼 작게 하면 거의 겹치고(작은 진폭에서는 y³이 무시됨), 크게 할수록 직접 푼 해가 더 빨리 진동하며 벗어납니다. ③ 비선형에서는 c₁ = 2, c₂ = 0만으로도 갈라집니다. 2배 한 해가 해가 아닙니다. 모델: 세 해 모두 RK4(h = 0.01), t ∈ [0, 12].

기본해 집합과 론스키안, 아벨 정리

중첩 원리는 해 두 개로 많은 해를 만들게 해 주지만, 두 해가 "본질적으로 다를" 때만 모든 해를 만들 수 있습니다. y1=e−ty_1 = e^{-t}와 y2=3e−ty_2 = 3e^{-t}를 결합하면 Ce−tCe^{-t}밖에 나오지 않습니다.

정의 6.4 (선형 독립, 기본해 집합, 론스키안) 두 함수가 구간 II에서 c1y1+c2y2≡0c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0이 c1=c2=0c_1 = c_2 = 0일 때만 성립하면 선형 독립(linearly independent)이라 한다(둘 중 하나가 다른 것의 상수배가 아니라는 뜻). L[y]=0L[y] = 0의 선형 독립인 두 해의 쌍을 기본해 집합(fundamental set of solutions)이라 한다. 두 함수의 론스키안(Wronskian)은
W(y1,y2)(t)=det⁡[y1y2y1′y2′]=y1y2′−y1′y2.W(y_1, y_2)(t) = \det\begin{bmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2'\end{bmatrix} = y_1y_2' - y_1'y_2.

론스키안이 왜 나오는지는 초기 조건을 맞추는 계산에서 보입니다. 일반해 y=c1y1+c2y2y = c_1y_1 + c_2y_2가 y(t0)=y0y(t_0) = y_0, y′(t0)=y10y'(t_0) = y_1^0을 만족하려면

[y1(t0)y2(t0)y1′(t0)y2′(t0)][c1c2]=[y0y10]\begin{bmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0)\\ y_1'(t_0) & y_2'(t_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\ c_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}y_0\\ y_1^0\end{bmatrix}
이 연립 일차방정식이 모든 오른쪽 벡터에 대해 풀릴 필요충분조건은 계수 행렬의 행렬식, 곧 W(t0)W(t_0)가 0이 아닌 것이다(LinearBook: 행렬식).

기하적으로 W(t)W(t)는 두 해의 상태 벡터 (y1,y1′)(y_1, y_1')과 (y2,y2′)(y_2, y_2')이 위상 평면에서 만드는 평행사변형의 부호 있는 넓이입니다. 넓이가 0이 아니면 두 상태 벡터가 평면을 펼치므로 아무 처음 상태든 그 결합으로 쓸 수 있습니다.

정리 6.5 (일반해) y1,y2y_1, y_2가 II에서 L[y]=0L[y] = 0의 해이고 어떤 t0∈It_0 \in I에서 W(y1,y2)(t0)≠0W(y_1, y_2)(t_0) \ne 0이면, 이 방정식의 모든 해는 y=c1y1+c2y2y = c_1y_1 + c_2y_2 꼴이다. 이것을 일반해(general solution)라 한다. 따라서 해 공간은 정확히 2차원이다.

증명. 아무 해 ϕ\phi를 잡고 c1,c2c_1, c_2를 c1y1+c2y2c_1y_1 + c_2y_2가 t0t_0에서 ϕ\phi와 같은 값·같은 도함수를 갖도록 고른다(W(t0)≠0W(t_0) \ne 0이라 가능). 두 해가 같은 초기 조건을 가지므로 정리 6.2의 유일성으로 ϕ≡c1y1+c2y2\phi \equiv c_1y_1 + c_2y_2. ∎

그런데 WW가 한 점에서 0이 아니면 다른 점에서는 어떨까요? 해의 론스키안은 스스로 간단한 1계 방정식을 따릅니다. W′=y1y2′′−y1′′y2W' = y_1y_2'' - y_1''y_2에 yi′′=−pyi′−qyiy_i'' = -py_i' - qy_i를 넣으면 qq 항은 지워지고 W′=−p(y1y2′−y1′y2)=−pWW' = -p(y_1y_2' - y_1'y_2) = -pW가 남습니다.

정리 6.6 (아벨 정리) y1,y2y_1, y_2가 II에서 y′′+p(t)y′+q(t)y=0y'' + p(t)y' + q(t)y = 0의 해이면
W(t)=W(t0) exp⁡ ⁣(−∫t0tp(s) ds).W(t) = W(t_0)\,\exp\!\left(-\int_{t_0}^{t} p(s)\,ds\right).
따라서 해의 론스키안은 II에서 항상 0이거나 한 번도 0이 아니다. 한 점에서만 확인하면 충분하다.
예제 6.2 (론스키안과 아벨 정리) t>0t > 0에서 t2y′′+2ty′−2y=0t^2y'' + 2ty' - 2y = 0의 두 해 y1=ty_1 = t, y2=t−2y_2 = t^{-2}에 대해 WW를 계산하고 아벨 정리와 비교하라.
  1. 확인: y2′′=6t−4y_2'' = 6t^{-4}이므로 t2⋅6t−4+2t⋅(−2t−3)−2t−2=(6−4−2)t−2=0t^2\cdot 6t^{-4} + 2t\cdot(-2t^{-3}) - 2t^{-2} = (6 - 4 - 2)t^{-2} = 0. y1=ty_1 = t는 0+2t−2t=00 + 2t - 2t = 0.
  2. W=t⋅(−2t−3)−1⋅t−2=−3t−2W = t\cdot(-2t^{-3}) - 1\cdot t^{-2} = -3t^{-2}. t>0t > 0에서 한 번도 0이 아니므로 기본해 집합이다.
  3. 표준형으로 나누면 p(t)=2/tp(t) = 2/t. 아벨 정리: W(t)=W(1)exp⁡(−∫1t2/s ds)=−3 e−2ln⁡t=−3t−2W(t) = W(1)\exp(-\int_1^t 2/s\,ds) = -3\,e^{-2\ln t} = -3t^{-2}. 일치한다.
주의: 해가 아닌 함수의 론스키안 정리 6.6은 같은 방정식의 해에만 성립합니다. y1=t2y_1 = t^2, y2=t∣t∣y_2 = t|t|는 (−1,1)(-1, 1)에서 선형 독립이지만(t>0t \gt 0에서는 같고 t<0t \lt 0에서는 부호가 반대) 론스키안이 모든 점에서 0입니다. 연속 계수를 가진 2계 선형 방정식 하나가 이 둘을 모두 해로 가질 수는 없다는 뜻입니다.
SIMULATOR

론스키안 판정: 상태 벡터의 넓이와 아벨 정리

y₁(t), y₂(t)와 시각 t₀
W(t) (실선)와 아벨 예측 (점선)
t₀의 상태 벡터 (y, y′)
[y₁ y₂; y₁′ y₂′] at t₀—
W(t₀)—
판정—
해볼 것: ① t₀를 움직이면 오른쪽 아래 평행사변형의 넓이가 W(t₀)를 따라 변하지만, 해의 쌍에서는 부호가 한 번도 바뀌지 않습니다. ② 'e⁻ᵗ, 3e⁻ᵗ'에서는 두 상태 벡터가 늘 한 직선 위에 있어 넓이가 0입니다. ③ 't², t|t|'는 W ≡ 0인데 그래프는 분명히 다릅니다. 해가 아니라서 아벨 정리가 적용되지 않습니다. 모델: 도함수는 공식으로 계산, 아벨 예측은 W(t₀)·exp(−∫p).

상수계수 동차 방정식: 특성 방정식

미분해도 모양이 그대로인 함수

ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0은 yy와 y′y', y′′y''의 상수배 합이 0이라는 뜻입니다. 그러려면 yy와 그 도함수들이 서로 상수배 관계여야 합니다. 미분해도 상수배만 되는 함수는? 지수 함수 erte^{rt}입니다.

y=erty = e^{rt}를 넣으면 y′=rerty' = re^{rt}, y′′=r2erty'' = r^2e^{rt}이므로 (ar2+br+c)ert=0(ar^2 + br + c)e^{rt} = 0. erte^{rt}는 0이 아니므로 다음 대수 방정식만 풀면 됩니다.

정의 6.7 (특성 방정식) ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0(a≠0a \ne 0)에 대해
ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0
을 특성 방정식(characteristic equation), 그 근을 특성근(characteristic roots)이라 한다. 미분 연산 d/dtd/dt를 문자 rr로 바꿔 쓴 것과 같다. 판별식 D=b2−4acD = b^2 - 4ac의 부호가 세 경우를 가른다.
정리 6.8 (상수계수 2계 동차 방정식의 일반해)
판별식특성근일반해모양
D>0D > 0서로 다른 실근 r1≠r2r_1 \ne r_2c1er1t+c2er2tc_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}지수 두 개의 합, 진동 없음
D=0D = 0중근 r=−b/2ar = -b/2a(c1+c2t) ert(c_1 + c_2t)\,e^{rt}진동 없음, 한 번까지 0을 지남
D<0D \lt 0복소근 α±iβ\alpha \pm i\betaeαt(c1cos⁡βt+c2sin⁡βt)e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t)진동, 포락선 eαte^{\alpha t}
세 경우 모두 두 해의 론스키안이 0이 아니어서(각각 (r2−r1)e(r1+r2)t(r_2 - r_1)e^{(r_1+r_2)t}, e2rte^{2rt}, βe2αt\beta e^{2\alpha t}) 기본해 집합을 이룬다.
Re rIm r α + iβα − iβ r₂r₁ 중근 왼쪽 반평면 = 감쇠 서로 다른 실근: 두 지수의 합 중근: (c₁ + c₂t)e^(rt) 복소근: e^(αt)·(진동수 β)
그림 6-2. 특성근의 위치가 해의 모양을 정한다. 실수부 Re⁡r\operatorname{Re} r는 성장(+)·감쇠(−)의 빠르기, 허수부 β\beta는 각진동수다. 근이 모두 왼쪽 반평면에 있으면 모든 해가 0으로 간다. 이 그림이 10장의 극점 지도와 11장의 위상 평면 분류로 이어진다.
예제 6.3 (서로 다른 실근) y′′+y′−6y=0y'' + y' - 6y = 0, y(0)=1y(0) = 1, y′(0)=0y'(0) = 0을 풀어라.
  1. 특성 방정식 r2+r−6=(r−2)(r+3)=0r^2 + r - 6 = (r - 2)(r + 3) = 0, 근 r=2,−3r = 2, -3. 일반해 y=c1e2t+c2e−3ty = c_1e^{2t} + c_2e^{-3t}.
  2. 초기 조건: c1+c2=1c_1 + c_2 = 1, 2c1−3c2=02c_1 - 3c_2 = 0. 풀면 c1=3/5c_1 = 3/5, c2=2/5c_2 = 2/5.
  3. y=35e2t+25e−3ty = \frac35e^{2t} + \frac25e^{-3t}. 검산: y(1)=0.6e2+0.4e−3=4.4533y(1) = 0.6e^2 + 0.4e^{-3} = 4.4533이고 RK4로 푼 값과 소수 여섯째 자리까지 같다.
  4. 해석: 근 하나가 양수이므로 처음 상태가 무엇이든(특별히 c1=0c_1 = 0인 경우 빼고) 해는 e2te^{2t}로 커진다. 음의 근 −3-3의 성분은 금방 사라진다.

복소근의 경우는 오일러 공식 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta(MathBook: 복소수)로 이해합니다. r=α+iβr = \alpha + i\beta이면 ert=eαt(cos⁡βt+isin⁡βt)e^{rt} = e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)는 복소수 값의 해입니다. LL의 계수가 실수이므로 L[u+iv]=L[u]+iL[v]=0L[u + iv] = L[u] + iL[v] = 0에서 실수부 u=eαtcos⁡βtu = e^{\alpha t}\cos\beta t와 허수부 v=eαtsin⁡βtv = e^{\alpha t}\sin\beta t가 따로따로 실수 해가 됩니다. 켤레근 α−iβ\alpha - i\beta는 같은 두 함수를 주므로 새 정보가 없습니다.

아래 시뮬레이터에서 특성근을 복소평면 위에서 직접 끌어 보세요. 근 하나를 실수축에서 떼어 내면 짝(켤레)이 따라오고, 실수축에 놓으면 두 근이 따로 움직입니다. 오른쪽에 그 근을 가진 방정식과 해가 그려집니다.

SIMULATOR

특성근을 끌면 해 모양이 바뀐다

복소평면의 특성근 r₁, r₂
해 y(t)
초기 조건
방정식—
특성근—
해—
모양—
해볼 것: ① 복소근을 허수축 쪽으로 끌면(α → 0) 감쇠가 약해지고, 허수축을 넘으면 진폭이 커집니다. ② 위아래로 끌면(β) 진동이 빨라집니다. 주기는 2π/β입니다. ③ 복소근을 실수축까지 내리면 중근이 되고, 거기서 두 근을 좌우로 벌리면 서로 다른 실근이 됩니다. 이때 해는 진동을 멈춥니다. 모델: 방정식 y″ − (r₁ + r₂)y′ + r₁r₂y = 0의 닫힌 꼴 해.

중근: 왜 tertte^{rt}인가

D=0D = 0이면 특성근이 r=−b/2ar = -b/2a 하나뿐이라 erte^{rt}라는 해 하나만 얻습니다. 두 번째 해는 어디서 올까요? 두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다.

① 극한으로. 서로 다른 두 근 r1=r−ε/2r_1 = r - \varepsilon/2, r2=r+ε/2r_2 = r + \varepsilon/2를 가진 방정식에서는 er2t−er1tr2−r1\dfrac{e^{r_2t} - e^{r_1t}}{r_2 - r_1}도 (중첩 원리로) 해입니다. ε→0\varepsilon \to 0이면 이것은 erte^{rt}를 rr에 대해 미분한 것, 곧 ∂∂rert=tert\dfrac{\partial}{\partial r}e^{rt} = te^{rt}로 갑니다. 두 근이 합쳐지는 순간, 두 지수의 차분이 tt를 곱한 지수가 됩니다.

② 직접 대입으로. y=v(t)erty = v(t)e^{rt}라 두면 y′=(v′+rv)erty' = (v' + rv)e^{rt}, y′′=(v′′+2rv′+r2v)erty'' = (v'' + 2rv' + r^2v)e^{rt}. ay′′+by′+cyay'' + by' + cy에 넣고 정리하면

[av′′+(2ar+b)v′+(ar2+br+c)v]ert=0.\bigl[a v'' + (2ar + b)v' + (ar^2 + br + c)v\bigr]e^{rt} = 0.
중근이면 ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0이고 2ar+b=02ar + b = 0(꼭짓점)이므로 av′′=0av'' = 0, 곧 v=c1+c2tv = c_1 + c_2t. 두 번째 해 tertte^{rt}가 나온다. 이것이 7절 계수 내리기의 특수한 경우다.
예제 6.4 (중근) y′′+4y′+4y=0y'' + 4y' + 4y = 0, y(0)=1y(0) = 1, y′(0)=0y'(0) = 0을 풀어라.
  1. r2+4r+4=(r+2)2=0r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 = 0, 중근 r=−2r = -2. 일반해 y=(c1+c2t)e−2ty = (c_1 + c_2t)e^{-2t}.
  2. y(0)=c1=1y(0) = c_1 = 1. y′=(c2−2c1−2c2t)e−2ty' = (c_2 - 2c_1 - 2c_2t)e^{-2t}이므로 y′(0)=c2−2=0y'(0) = c_2 - 2 = 0, c2=2c_2 = 2.
  3. y=(1+2t)e−2ty = (1 + 2t)e^{-2t}. y(2)=5e−4=0.0916y(2) = 5e^{-4} = 0.0916이고 RK4 결과와 일치한다. 진동하지 않고 한 번도 0을 지나지 않은 채 가라앉는다.
SIMULATOR

두 근이 합쳐질 때: 차분 몫이 tert로

er₁t, er₂t(er₂t − er₁t)/εtert (점선)
r₁, r₂—
max |차분 몫 − tert| (0 ≤ t ≤ 6)—
위 값 / ε²—
해볼 것: ① ε를 1에서 0.001로 줄이면 주황 곡선이 점선 tert에 붙습니다. 두 청록 곡선은 하나로 겹칩니다. ② 차이를 ε²로 나눈 값이 거의 일정합니다. 차이가 ε²에 비례한다는 뜻입니다(차분 몫의 테일러 전개에서 ε 항이 대칭이라 지워짐). ③ r을 음수로 두면 tert는 t = −1/r에서 최대가 된 뒤 가라앉습니다. 모델: 닫힌 꼴 계산.

복소근과 근 경로

예제 6.5 (복소근) y′′+2y′+5y=0y'' + 2y' + 5y = 0, y(0)=1y(0) = 1, y′(0)=0y'(0) = 0을 풀어라.
  1. r=−2±4−202=−1±2ir = \frac{-2 \pm\sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i. 따라서 α=−1\alpha = -1, β=2\beta = 2, 일반해 y=e−t(c1cos⁡2t+c2sin⁡2t)y = e^{-t}(c_1\cos 2t + c_2\sin 2t).
  2. y(0)=c1=1y(0) = c_1 = 1. y′=e−t((−c1+2c2)cos⁡2t+(−c2−2c1)sin⁡2t)y' = e^{-t}\bigl((-c_1 + 2c_2)\cos 2t + (-c_2 - 2c_1)\sin 2t\bigr)이므로 y′(0)=−1+2c2=0y'(0) = -1 + 2c_2 = 0, c2=1/2c_2 = 1/2.
  3. y=e−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)y = e^{-t}(\cos 2t + \tfrac12\sin 2t). 주기 2π/2=π2\pi/2 = \pi로 진동하며 포락선 e−te^{-t}를 따라 줄어든다. y(2)=−0.1397y(2) = -0.1397, RK4와 일치.
예제 6.6 (진폭과 위상) y′′+9y=0y'' + 9y = 0, y(0)=1y(0) = 1, y′(0)=6y'(0) = 6의 해를 Rcos⁡(3t−ϕ)R\cos(3t - \phi) 꼴로 써라.
  1. r=±3ir = \pm 3i, 일반해 c1cos⁡3t+c2sin⁡3tc_1\cos 3t + c_2\sin 3t. 초기 조건에서 c1=1c_1 = 1, 3c2=63c_2 = 6, c2=2c_2 = 2.
  2. Rcos⁡(3t−ϕ)=Rcos⁡ϕcos⁡3t+Rsin⁡ϕsin⁡3tR\cos(3t - \phi) = R\cos\phi\cos 3t + R\sin\phi\sin 3t와 비교하면 Rcos⁡ϕ=1R\cos\phi = 1, Rsin⁡ϕ=2R\sin\phi = 2. 따라서 R=5≈2.236R = \sqrt5 \approx 2.236, ϕ=arctan⁡2≈1.107\phi = \arctan 2 \approx 1.107 rad.
  3. y=5cos⁡(3t−1.107)y = \sqrt5\cos(3t - 1.107). 진폭 5\sqrt5는 처음 위치 1보다 크다. 처음 속도가 있어서 더 멀리까지 간다. 7장의 진폭·위상 표현이다.

용수철 y′′+by′+cy=0y'' + by' + cy = 0에서 강성 cc를 고정하고 감쇠 bb를 0부터 키우면 근이 어떻게 움직일까요? b<2cb \lt 2\sqrt c이면 근은 −b2±ic−b2/4-\frac b2 \pm i\sqrt{c - b^2/4}이고 ∣r∣2=b24+c−b24=c|r|^2 = \frac{b^2}{4} + c - \frac{b^2}{4} = c이므로 반지름 c\sqrt c인 원 위를 왼쪽으로 돕니다. b=2cb = 2\sqrt c에서 두 근이 실수축 −c-\sqrt c에서 만나고(중근), 그보다 크면 하나는 0 쪽으로, 하나는 −∞-\infty 쪽으로 갈라집니다. 이 궤적을 근 경로(root locus)라 합니다.

해가 0으로 가는 빠르기는 가장 오른쪽 근의 실수부가 정합니다. 원 위에서는 bb를 키울수록 실수부 −b/2-b/2가 더 음수가 되어 빨라지지만, 갈라진 뒤에는 오른쪽 근 −b+b2−4c2\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4c}}{2}가 0 쪽으로 다가가 오히려 느려집니다. 그래서 감쇠를 너무 세게 해도 늦게 선다. 지수 감쇠율 ∣Re r∣|\text{Re}\,r|이 가장 큰 것은 두 근이 만나는 b=2cb = 2\sqrt c, 7장의 임계 감쇠입니다. 다만 "허용 오차 안에 들어오는 시간"으로 재면 살짝 넘쳤다 돌아오는 부족 감쇠가 더 빠를 수 있다는 것을 7장에서 확인합니다.

SIMULATOR

근 경로: 감쇠 b를 키우면 근이 원을 돌아 실수축에서 갈라진다

y″ + by′ + cy = 0의 근
y(t), y(0) = 1, y′(0) = 0
판별식 b² − 4c—
근—
감쇠율 −max Re r—
경우—
해볼 것: ① ▶로 b를 0 → 8로 쓸면 근이 원을 따라 내려와 −√c에서 만나고, 실수축 위에서 좌우로 갈라집니다. ② 감쇠율이 b = 2√c에서 가장 큰 것을 확인하세요(c = 4면 b = 4에서 2). b = 8이면 감쇠율이 0.54로 오히려 작습니다. ③ c를 키우면 원이 커져 진동이 빨라집니다. 모델: 닫힌 꼴 해, 근 경로는 b ∈ [0, 8].

계수 내리기: 한 해에서 두 번째 해로

계수가 변하면 특성 방정식이 없다

t2y′′+2ty′−2y=0t^2y'' + 2ty' - 2y = 0처럼 계수가 tt에 의존하면 erte^{rt}를 넣어도 tt가 지워지지 않습니다. 일반적인 방법은 없지만, 운 좋게(또는 추측으로) 해 하나 y1y_1을 알면 두 번째 해는 항상 구할 수 있습니다.

중근에서 했던 것처럼 y=v(t) y1(t)y = v(t)\,y_1(t)로 두고 y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0에 넣습니다. y′=v′y1+vy1′y' = v'y_1 + vy_1', y′′=v′′y1+2v′y1′+vy1′′y'' = v''y_1 + 2v'y_1' + vy_1''이므로

v′′y1+v′(2y1′+py1)+v(y1′′+py1′+qy1)⏟= 0=0.v''y_1 + v'(2y_1' + py_1) + v\underbrace{(y_1'' + py_1' + qy_1)}_{=\,0} = 0.
vv 자체는 사라지고 w=v′w = v'에 대한 1계 방정식 y1w′+(2y1′+py1)w=0y_1w' + (2y_1' + py_1)w = 0이 남는다. 2계가 1계로 "내려간다". 3장의 변수분리(적분 인자)로 풀린다.
정리 6.9 (계수 내리기) y1y_1이 II에서 0이 아닌 y′′+p(t)y′+q(t)y=0y'' + p(t)y' + q(t)y = 0의 해이면
y2(t)=y1(t)∫e−∫p(t) dty1(t)2 dty_2(t) = y_1(t)\int\frac{e^{-\int p(t)\,dt}}{y_1(t)^2}\,dt
도 해이고, W(y1,y2)=e−∫p dt≠0W(y_1, y_2) = e^{-\int p\,dt} \ne 0이라 y1,y2y_1, y_2는 기본해 집합이다.

유도. w′/w=−2y1′/y1−pw' / w = -2y_1'/y_1 - p를 적분하면 w=y1−2e−∫pw = y_1^{-2}e^{-\int p}, v=∫wv = \int w. 론스키안은 W=y1(vy1)′−y1′(vy1)=y12v′=e−∫pW = y_1(vy_1)' - y_1'(vy_1) = y_1^2v' = e^{-\int p}. 아벨 정리와 같은 꼴이다. ∎

예제 6.7 (계수 내리기) y1=ty_1 = t가 t2y′′+2ty′−2y=0t^2y'' + 2ty' - 2y = 0(t>0t > 0)의 해임을 이용해 두 번째 해를 구하라.
  1. 표준형: y′′+2ty′−2t2y=0y'' + \frac2t y' - \frac{2}{t^2}y = 0, p=2/tp = 2/t. e−∫p=e−2ln⁡t=t−2e^{-\int p} = e^{-2\ln t} = t^{-2}.
  2. v′=t−2t2=t−4v' = \dfrac{t^{-2}}{t^2} = t^{-4}, v=−13t−3v = -\frac13t^{-3} (상수는 y1y_1의 배수를 더할 뿐이라 버린다).
  3. y2=vy1=−13t−2y_2 = vy_1 = -\frac13t^{-2}. 상수배를 버리면 y2=t−2y_2 = t^{-2}. 예제 6.2에서 확인한 해다. 일반해 y=c1t+c2t−2y = c_1t + c_2t^{-2}.

중근의 tertte^{rt}도 이 공식으로 나옵니다. y′′+by′+cy=0y'' + by' + cy = 0(a=1a = 1)에서 y1=erty_1 = e^{rt}, r=−b/2r = -b/2이면 e−∫b=e−bt=e2rte^{-\int b} = e^{-bt} = e^{2rt}이므로 v′=e2rt/e2rt=1v' = e^{2rt}/e^{2rt} = 1, v=tv = t입니다.

코시–오일러 방정식

원판 위의 온도, 축대칭 응력

원형 판의 정상 상태 온도나 두꺼운 원통의 응력을 극좌표로 쓰면 반지름 rr에 대해 r2R′′+rR′−n2R=0r^2R'' + rR' - n^2R = 0 같은 방정식이 나옵니다. 계수가 변수의 거듭제곱과 차수가 맞게 곱해져 있습니다. 이런 방정식은 특성 방정식과 거의 같은 방법으로 풀립니다.

정의 6.10 (코시–오일러 방정식) t>0t > 0에서
at2y′′+bty′+cy=0(a,b,c 상수)at^2y'' + bty' + cy = 0\qquad(a, b, c\ \text{상수})
꼴을 코시–오일러 방정식(Cauchy–Euler equation) 또는 등차원 방정식이라 한다. tt의 크기를 몇 배로 바꿔도(t→ktt \to kt) 방정식 모양이 그대로다.

tt를 곱할 때마다 미분이 한 번씩 붙어 있으므로 tmt^m이 알맞은 시도입니다. y=tmy = t^m이면 ty′=mtmty' = mt^m, t2y′′=m(m−1)tmt^2y'' = m(m - 1)t^m이므로

am(m−1)+bm+c=0⟺am2+(b−a)m+c=0.am(m - 1) + bm + c = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad am^2 + (b - a)m + c = 0.
이 방정식을 지표 방정식(indicial equation)이라 부른다(14장 프로베니우스 방법의 이름). bb가 아니라 b−ab - a가 1차 계수라는 점에 주의.

더 깊은 이유는 치환 t=est = e^s(s=ln⁡ts = \ln t)입니다. 연쇄 법칙으로 tdydt=dydst\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{ds}, t2d2ydt2=d2yds2−dydst^2\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d^2y}{ds^2} - \frac{dy}{ds}이므로 방정식은 상수계수 방정식 aY¨+(b−a)Y˙+cY=0a\ddot Y + (b - a)\dot Y + cY = 0이 됩니다(점은 ss에 대한 미분). 그래서 4절의 세 경우가 ems=tme^{ms} = t^m으로 그대로 옮겨 옵니다.

정리 6.11 (코시–오일러 방정식의 일반해) 지표 방정식의 근에 따라 t>0t > 0에서
  • 서로 다른 실근 m1,m2m_1, m_2: y=c1tm1+c2tm2y = c_1t^{m_1} + c_2t^{m_2}
  • 중근 mm: y=(c1+c2ln⁡t) tmy = (c_1 + c_2\ln t)\,t^m
  • 복소근 α±iβ\alpha \pm i\beta: y=tα(c1cos⁡(βln⁡t)+c2sin⁡(βln⁡t))y = t^\alpha\bigl(c_1\cos(\beta\ln t) + c_2\sin(\beta\ln t)\bigr)
예제 6.8 (코시–오일러, 세 경우)
  1. t2y′′−2y=0t^2y'' - 2y = 0: m(m−1)−2=(m−2)(m+1)=0m(m - 1) - 2 = (m - 2)(m + 1) = 0, y=c1t2+c2t−1y = c_1t^2 + c_2t^{-1}. y(1)=1y(1) = 1, y′(1)=0y'(1) = 0이면 c1+c2=1c_1 + c_2 = 1, 2c1−c2=02c_1 - c_2 = 0에서 y=13t2+23t−1y = \frac13t^2 + \frac23t^{-1}, y(3)=3+29=3.2222y(3) = 3 + \frac29 = 3.2222(RK4와 일치).
  2. t2y′′−3ty′+4y=0t^2y'' - 3ty' + 4y = 0: m2−4m+4=(m−2)2m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2, 중근 2. y=(c1+c2ln⁡t)t2y = (c_1 + c_2\ln t)t^2.
  3. t2y′′+ty′+4y=0t^2y'' + ty' + 4y = 0: m2+4=0m^2 + 4 = 0, m=±2im = \pm 2i. y=c1cos⁡(2ln⁡t)+c2sin⁡(2ln⁡t)y = c_1\cos(2\ln t) + c_2\sin(2\ln t). t→0+t \to 0^+으로 갈수록 무한히 빨리 진동한다(ln⁡t→−∞\ln t \to -\infty).
SIMULATOR

코시–오일러 방정식: 로그 눈금에서는 상수계수다

가로축
y(1) = 1, y′(1) = 0인 해기본해 y₁기본해 y₂
지표 방정식—
근 m—
기본해—
해볼 것: ① 기본값(b = 1, c = 4)은 cos(2 ln t)입니다. 보통 눈금에서는 0 근처에서 점점 빽빽하게 진동하지만, 로그 눈금으로 바꾸면 고른 코사인이 됩니다. ② b = −3, c = 4로 두면 중근 m = 2, t² ln t가 나타납니다. ③ b = 0, c = −2는 t²과 t⁻¹입니다. 로그 눈금에서 두 지수 함수처럼 보입니다. 모델: s = ln t로 바꾼 상수계수 방정식의 닫힌 꼴 해, t ∈ [0.05, 8].

고계 선형 방정식 맛보기

지금까지의 이야기는 nn계로 그대로 확장됩니다. y(n)+pn−1(t)y(n−1)+⋯+p0(t)y=0y^{(n)} + p_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \cdots + p_0(t)y = 0의 초기값 문제에는 y,y′,…,y(n−1)y, y', \dots, y^{(n-1)}의 처음 값 nn개가 필요하고, 해 공간은 nn차원이며, nn개의 해가 기본해 집합인지는 n×nn \times n 론스키안 det⁡[yj(i)]\det[y_j^{(i)}]으로 판정합니다.

정리 6.12 (상수계수 n계 동차 방정식) any(n)+⋯+a1y′+a0y=0a_ny^{(n)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0의 특성 다항식 anrn+⋯+a1r+a0a_nr^n + \cdots + a_1r + a_0의 근 rr이 중복도 kk를 가지면 ert,tert,…,tk−1erte^{rt}, te^{rt}, \dots, t^{k-1}e^{rt}가 해이고, 복소근 α±iβ\alpha \pm i\beta(중복도 kk)는 tjeαtcos⁡βtt^je^{\alpha t}\cos\beta t, tjeαtsin⁡βtt^je^{\alpha t}\sin\beta t(j=0,…,k−1j = 0, \dots, k - 1)를 준다. 이렇게 얻은 nn개의 함수가 기본해 집합이다.
예제 6.9 (3계 방정식) y′′′−6y′′+11y′−6y=0y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0, y(0)=0y(0) = 0, y′(0)=0y'(0) = 0, y′′(0)=2y''(0) = 2를 풀어라.
  1. 특성 다항식 r3−6r2+11r−6=(r−1)(r−2)(r−3)r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = (r - 1)(r - 2)(r - 3). 일반해 y=c1et+c2e2t+c3e3ty = c_1e^t + c_2e^{2t} + c_3e^{3t}.
  2. 초기 조건: c1+c2+c3=0c_1 + c_2 + c_3 = 0, c1+2c2+3c3=0c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 0, c1+4c2+9c3=2c_1 + 4c_2 + 9c_3 = 2. 풀면 c1=1c_1 = 1, c2=−2c_2 = -2, c3=1c_3 = 1.
  3. y=et−2e2t+e3t=et(et−1)2y = e^t - 2e^{2t} + e^{3t} = e^t(e^t - 1)^2. y(1)=8.0257y(1) = 8.0257(RK4와 일치). 계수 행렬이 반데르몽드 행렬이라 근이 서로 다르면 항상 풀린다.

공학에서 가장 흔한 고계 방정식은 보의 처짐 EI y′′′′=w(x)EI\,y'''' = w(x)(4계)입니다. 동차 부분 y′′′′=0y'''' = 0은 특성근 0이 4중근이라 해가 1,x,x2,x31, x, x^2, x^3이고, 양 끝의 지지 조건 네 개(처짐·기울기·모멘트·전단력)가 이 넷의 계수를 정합니다. 또 y′′′′−k4y=0y'''' - k^4y = 0(진동하는 보)은 근이 ±k,±ik\pm k, \pm ik라 해가 ekx,e−kx,cos⁡kx,sin⁡kxe^{kx}, e^{-kx}, \cos kx, \sin kx의 결합입니다. 고계 방정식은 결국 1계 연립(11장)으로 바꾸어 행렬의 고유값 문제로 보는 것이 가장 깔끔합니다. 특성 다항식이 바로 그 행렬의 특성 다항식입니다.

이 도구가 쓰이는 곳

특성근을 읽는 능력은 진동·회로·제어의 공통 언어입니다. "극점이 왼쪽 반평면에 있는가", "허수부가 얼마인가"라는 질문은 이 장의 이차방정식에서 시작합니다.

7장 · 자유 진동용수철·진자·RLC
my″ + cy′ + ky = 0의 세 경우가 과감쇠·임계 감쇠·부족 감쇠다. 감쇠비 ζ는 판별식의 다른 이름. 8장 · 강제 진동과 공진비동차 방정식
일반해 = 동차해 + 특수해. 중첩 원리가 미정계수법과 매개변수 변환법의 바탕이다. 9장 · 라플라스 변환특성 다항식 = 분모
라플라스 변환하면 특성 방정식이 전달 함수의 분모로 다시 나타난다. 11장 · 연립 선형 방정식고유값과 위상 평면
2계 방정식은 2×2 연립이고, 특성근은 행렬의 고유값이다. 그림 6-2가 대각합–행렬식 지도가 된다. 14장 · 급수해와 특수 함수변수 계수 방정식
코시–오일러의 지표 방정식이 프로베니우스 방법으로 확장된다. 베셀·르장드르 방정식. LINEARBOOK고유값과 고유벡터
ert 시도는 "미분 연산자의 고유함수 찾기"다. 해 공간이 2차원 벡터 공간이라는 관점.

핵심 정리

  1. 2계 방정식의 상태는 위치와 속도의 쌍이라 초기 조건이 두 개 필요하다. p,q,gp, q, g가 II에서 연속이면 선형 초기값 문제의 해는 II 전체에서 존재하고 유일하다.
  2. L[y]=y′′+py′+qyL[y] = y'' + py' + qy는 선형 연산자다. 동차 방정식의 해들의 일차결합도 해(중첩 원리)이고, 해 공간은 2차원 벡터 공간이다. 비선형 방정식에서는 중첩이 깨진다.
  3. 론스키안 W=y1y2′−y1′y2W = y_1y_2' - y_1'y_2는 상태 벡터 두 개가 만드는 넓이다. 한 점에서 W≠0W \ne 0이면 기본해 집합이고 모든 해가 c1y1+c2y2c_1y_1 + c_2y_2다. 아벨 정리 W=W(t0)e−∫pW = W(t_0)e^{-\int p} 때문에 해의 론스키안은 늘 0이거나 한 번도 0이 아니다.
  4. 상수계수 ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0은 erte^{rt}를 넣어 특성 방정식 ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0으로 푼다. 실근 r1≠r2r_1 \ne r_2: c1er1t+c2er2tc_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}, 중근: (c1+c2t)ert(c_1 + c_2t)e^{rt}, 복소근 α±iβ\alpha \pm i\beta: eαt(c1cos⁡βt+c2sin⁡βt)e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t).
  5. 근의 실수부는 성장·감쇠, 허수부는 진동수다. 모든 근이 왼쪽 반평면에 있으면 모든 해가 0으로 간다. 감쇠 b를 키우면 근은 반지름 √c인 원을 돌아 b=2cb = 2\sqrt c에서 만난 뒤 갈라지고, 지수 감쇠율이 가장 큰 것은 그 만나는 점이다(허용 띠 안 정착 시간은 7장에서 따로 본다).
  6. 중근의 tertte^{rt}는 두 근이 합쳐지는 극한(∂rert\partial_r e^{rt})이자 계수 내리기의 결과다. 해 하나 y1y_1을 알면 y2=y1∫e−∫p/y12 dty_2 = y_1\int e^{-\int p}/y_1^2\,dt.
  7. 코시–오일러 방정식 at2y′′+bty′+cy=0at^2y'' + bty' + cy = 0은 tmt^m을 넣어 지표 방정식 am2+(b−a)m+c=0am^2 + (b - a)m + c = 0으로 풀며, s=ln⁡ts = \ln t로 바꾸면 상수계수 방정식이다. 중근은 tmln⁡tt^m\ln t, 복소근은 tαcos⁡(βln⁡t)t^\alpha\cos(\beta\ln t)를 준다.
  8. n계 상수계수 방정식은 특성 다항식의 근으로 풀고, 중복도 k인 근은 tjertt^je^{rt}(j<kj \lt k)를 준다.

확인 퀴즈

Q1. y′′−4y=0y'' - 4y = 0의 일반해는?

특성 방정식 r2−4=0r^2 - 4 = 0, r=±2r = \pm 2(서로 다른 실근). c1cos⁡2t+c2sin⁡2tc_1\cos 2t + c_2\sin 2t는 y′′+4y=0y'' + 4y = 0의 해다.

Q2. y′′+6y′+9y=0y'' + 6y' + 9y = 0, y(0)=2y(0) = 2, y′(0)=−5y'(0) = -5의 해는?

(r+3)2=0(r + 3)^2 = 0, 중근 −3. y=(c1+c2t)e−3ty = (c_1 + c_2t)e^{-3t}, y(0)=c1=2y(0) = c_1 = 2, y′(0)=c2−3c1=c2−6=−5y'(0) = c_2 - 3c_1 = c_2 - 6 = -5이므로 c2=1c_2 = 1. y′(0)y'(0)이 곧 c2c_2는 아니라는 점에 주의.

Q3. y′′+4y′+13y=0y'' + 4y' + 13y = 0의 해는 어떤 모양인가?

r=−4±16−522=−2±3ir = \frac{-4 \pm\sqrt{16 - 52}}{2} = -2 \pm 3i. α=−2\alpha = -2는 포락선 e−2te^{-2t}, β=3\beta = 3은 각진동수라 주기 2π/32\pi/3.

Q4. W(et,tet)W(e^t, te^t)는?

et⋅(et+tet)−et⋅tet=e2te^t\cdot(e^t + te^t) - e^t\cdot te^t = e^{2t}. 한 번도 0이 아니므로 y′′−2y′+y=0y'' - 2y' + y = 0의 기본해 집합이다. 아벨 정리로도 p=−2p = -2에서 W=Ce2tW = Ce^{2t}.

Q5. t>0t > 0에서 y′′+1ty′+q(t)y=0y'' + \frac1t y' + q(t)y = 0의 두 해의 론스키안이 W(1)=3W(1) = 3이다. W(3)W(3)은?

아벨 정리: W(t)=W(1)exp⁡(−∫1tds/s)=3/tW(t) = W(1)\exp(-\int_1^t ds/s) = 3/t. W(3)=1W(3) = 1. qq는 공식에 나타나지 않는다.

Q6. t2y′′+ty′−9y=0t^2y'' + ty' - 9y = 0(t>0t > 0)의 일반해는?

지표 방정식 m(m−1)+m−9=m2−9=0m(m - 1) + m - 9 = m^2 - 9 = 0, m=±3m = \pm 3. 코시–오일러 방정식의 해는 지수가 아니라 거듭제곱이다.

Q7. 연속 계수 p,qp, q를 가진 y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0의 두 해에 대해 (−1,1)(-1, 1)에서 론스키안이 될 수 없는 것은?

아벨 정리에 따라 해의 론스키안은 W(t0)e−∫pW(t_0)e^{-\int p} 꼴이라 구간에서 항상 0이거나 한 번도 0이 아니다. W=tW = t는 t=0t = 0에서만 0이라 불가능하다.

Q8. y1y_1, y2y_2가 모두 y′′+y=sin⁡ty'' + y = \sin t의 해일 때 옳은 것은?

L[y1−y2]=sin⁡t−sin⁡t=0L[y_1 - y_2] = \sin t - \sin t = 0. 반면 L[y1+y2]=2sin⁡tL[y_1 + y_2] = 2\sin t라 비동차 방정식의 해는 더해서 같은 방정식의 해가 되지 않는다. 이것이 8장의 "일반해 = 동차해 + 특수해 하나"의 근거다.