편미분방정식 입문

열 방정식: 푸리에 법칙에서

모델링의 순서(1장)를 따릅니다. 옆면이 단열된 가는 막대(단면적 $A$, 밀도 $\rho$, 비열 $c_p$, 열전도도 $k$)를 생각합니다.

1. 구성 법칙 (푸리에 법칙): 단위 면적당 열 흐름(열 플럭스)은 온도 기울기에 비례하고, 뜨거운 쪽에서 찬 쪽으로 흐른다. $q = -k\,u_x$.
2. 보존 법칙: 짧은 구간 $[x, x + \Delta x]$에 쌓이는 열에너지의 변화율 = 왼쪽으로 들어오는 열 − 오른쪽으로 나가는 열. $\rho c_pA\Delta x\,u_t = A\bigl(q(x) - q(x + \Delta x)\bigr)$.
3. $\Delta x$로 나누고 $\Delta x \to 0$: $\rho c_p u_t = -q_x = k\,u_{xx}$.

방정식은 한 문장으로 읽힙니다. 온도 그래프가 아래로 볼록한 곳($u_{xx} > 0$, 주변보다 찬 골짜기)은 데워지고, 위로 볼록한 곳(봉우리)은 식는다. 그래서 열 방정식은 모든 굴곡을 평평하게 펴는 방향으로 움직이고, 뾰족한 굴곡일수록 $|u_{xx}|$가 커서 빨리 펴집니다. 이 관찰이 다음 절의 "높은 모드일수록 빨리 사라진다"는 결론의 예고입니다.

상미분방정식에서 초기값 하나가 해를 정했듯이, 열 방정식에는 초기 조건 $u(x, 0) = f(x)$와 양 끝의 경계 조건이 함께 필요합니다. 이 묶음을 초기–경계값 문제라 합니다.

변수분리법과 고유함수 전개

모양이 변하지 않고 크기만 변하는 해부터 찾습니다. $u(x, t) = X(x)\,T(t)$라 두면 $XT' = \alpha X''T$이고, 양변을 $\alpha XT$로 나누면

편미분방정식 하나가 상미분방정식 둘로 갈라졌습니다.

• 공간: $X'' + \lambda X = 0$, $X(0) = X(L) = 0$. 경계 조건이 $u$에서 $X$로 그대로 넘어온다. 이것은 15장의 고유값 문제(정리 15.4)이고, $\lambda_n = (n\pi/L)^2$, $X_n = \sin(n\pi x/L)$.
• 시간: $T' = -\alpha\lambda_nT$. 2장의 지수 붕괴이고 $T_n = e^{-\alpha\lambda_nt}$.

곱 $u_n = e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}\sin(n\pi x/L)$는 방정식과 경계 조건을 모두 만족합니다. 방정식과 경계 조건이 선형 동차이므로 이들의 일차결합도 해입니다(중첩 원리, 6장). 남은 것은 초기 조건뿐이고, 그것은 15장의 사인 급수가 맞춰 줍니다.

마지막 문장이 열 방정식의 성격입니다. 처음 분포가 불연속이어도(뜨거운 조각과 찬 조각을 맞붙여도) 아주 짧은 시간 뒤에는 매끄러워집니다. 계수에 $e^{-\alpha n^2\pi^2t/L^2}$이 곱해져 높은 $n$이 순식간에 사라지기 때문입니다.

모드별 감쇠: 높은 모드가 먼저 죽는다

정리 16.2의 각 항은 서로 간섭하지 않고 자기 속도로 감쇠합니다. $n$번째 모드의 감쇠율은 $\alpha n^2\pi^2/L^2$, 즉 $n^2$에 비례합니다. 3번 모드는 1번 모드보다 9배, 10번 모드는 100배 빨리 사라집니다. 로그 축에서 각 계수 $\ln|b_n(t)|$는 기울기 $-n^2\pi^2$인 직선입니다.

이 사실에서 공학적으로 중요한 결론 세 가지가 나옵니다.

1. 긴 시간에는 첫 모드만 남는다. $t \gg \tau_2$이면 $u \approx b_1e^{-t/\tau_1}\sin(\pi x/L)$. 식는 물체의 온도는 결국 하나의 지수 함수로 떨어지고, 그 시상수가 $\tau_1 = L^2/(\alpha\pi^2)$이다. 3장의 뉴턴 냉각이 "충분히 오래 지난 뒤"의 근사로 정당화된다.
2. 크기는 $L^2$으로 늘어난다. 두께가 두 배인 벽은 열이 퍼지는 데 네 배 걸린다. 칠면조를 굽는 시간, 강철 담금질 시간이 크기의 제곱에 비례하는 이유다.
3. 거꾸로 가는 열 방정식은 풀 수 없다. 시간을 뒤로 돌리면 $e^{+n^2\pi^2\tau}$가 곱해져 측정 오차의 높은 모드가 폭발한다. 흐려진 온도 분포에서 처음 분포를 복원하는 문제는 불량 조건이다.

경계 조건: 디리클레, 노이만, 그리고 정상 상태

노이만 조건에서는 $n = 0$ 모드(상수, $\lambda_0 = 0$)가 감쇠하지 않습니다. 그 계수가 $a_0/2 = \frac1L\int_0^L f\,dx$, 즉 처음 평균 온도입니다. 열이 빠져나갈 곳이 없으니 총 열량이 보존되고, 결국 그 열량이 고르게 퍼진 상태가 됩니다. 실제로 $\frac{d}{dt}\int_0^L u\,dx = \alpha\int_0^L u_{xx}\,dx = \alpha[u_x]_0^L = 0$입니다.

비동차 경계 조건은 변수분리를 바로 쓸 수 없습니다(0이 아닌 경계값은 $X(0)T(t) = T_1$을 모든 $t$에서 만족시킬 수 없음). 대신 해를 두 부분으로 나눕니다. 시간에 따라 변하지 않는 정상 상태 $u_s(x)$는 $u_s'' = 0$이므로 직선 $u_s = T_1 + (T_2 - T_1)x/L$이고, 나머지 $v = u - u_s$는 동차 경계 조건을 만족하므로 정리 16.2로 풀립니다.

파동 방정식: 줄의 진동과 배음

장력 $T$, 선밀도 $\rho$(kg/m)인 줄의 작은 옆변위 $u(x, t)$를 봅니다. 짧은 조각 $[x, x + \Delta x]$의 양 끝을 장력이 줄 방향으로 당기고, 그 세로 성분은 기울기가 작을 때 $T\sin\theta \approx Tu_x$입니다. 뉴턴 2법칙을 세로 방향으로 쓰면

양 끝을 고정한 줄($u(0, t) = u(L, t) = 0$)에 변수분리를 쓰면 공간은 같은 고유값 문제 $X_n = \sin(n\pi x/L)$이고, 시간은 $T'' + c^2\lambda_nT = 0$, 7장의 단진동입니다. 열에서는 모드가 감쇠했지만 파동에서는 각자의 진동수로 진동합니다.

정수배 진동수 $f_1, 2f_1, 3f_1, \ldots$를 배음(harmonics)이라 합니다. 진동수가 정확히 정수배라서 줄의 소리는 주기 $1/f_1$의 주기 신호이고, 우리 귀는 이것을 높이가 분명한 음으로 듣습니다. 원형 북(14장의 베셀 함수)은 모드 진동수가 정수배가 아니라서 음높이가 덜 분명합니다. 공식 $f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{T/\rho}$는 문제 상자의 세 관찰(장력↑, 길이↓, 굵기↓이면 음↑)을 그대로 담고 있습니다.

숫자로 감을 잡아 봅시다. 줄 길이 0.65 m에서 110 Hz(라 음)를 내려면 $c = 2Lf_1 = 143$ m/s가 필요하고, 선밀도가 5 g/m인 줄이라면 장력은 $T = \rho c^2 \approx 102$ N입니다.

달랑베르 해: 두 방향으로 달리는 파

변수를 $\xi = x - ct$, $\eta = x + ct$로 바꾸면 연쇄 법칙(CalculusBook 연쇄 법칙)으로 $u_{tt} - c^2u_{xx} = -4c^2u_{\xi\eta}$입니다. 그래서 파동 방정식은 $u_{\xi\eta} = 0$이 되고, 이것을 $\eta$로 적분한 뒤 $\xi$로 적분하면 일반해가 나옵니다.

공식에서 두 가지를 읽을 수 있습니다. 첫째, 정지 상태에서 놓은($g = 0$) 처음 모양은 높이가 절반인 두 개로 갈라져 반대 방향으로 달립니다. 둘째, 점 $(x, t)$의 값은 처음 시각의 구간 $[x - ct, x + ct]$에만 달려 있습니다. 이 구간을 의존 영역(domain of dependence)이라 하고, 그 경계 $x \pm ct =$ 상수인 직선을 특성선(characteristics)이라 합니다. 신호는 $c$보다 빨리 퍼지지 않습니다. 열 방정식과의 결정적인 차이로, 열 방정식에서는 한 점을 데우면 $t > 0$인 순간 모든 곳의 온도가 (아주 조금이라도) 오릅니다.

끝에서의 반사. $x = 0$이 고정된 반무한 줄은 처음 모양을 원점에 대해 홀 확장한 무한 줄과 같습니다. 홀함수의 달랑베르 해는 늘 $u(0, t) = 0$이기 때문입니다. 그래서 고정 끝에 닿은 파는 뒤집혀서 돌아옵니다. 자유 끝($u_x = 0$)은 짝 확장이므로 뒤집히지 않고 돌아옵니다. 15장의 짝·홀 확장이 여기서 물리적 반사가 됩니다.

라플라스 방정식: 정상 상태 온도

2차원 열 방정식은 $u_t = \alpha(u_{xx} + u_{yy})$입니다. 정상 상태에서는 $u_t = 0$이므로

사각 판 $0 \le x, y \le L$에서 윗변만 $u(x, L) = f(x)$이고 다른 세 변이 0이라 합시다. $u = X(x)Y(y)$로 두면 $X''/X = -Y''/Y = -\lambda$. 옆 두 변의 조건이 $X$의 고유값 문제를 만들어 $X_n = \sin(n\pi x/L)$이고, $Y'' = \lambda_nY$, $Y(0) = 0$에서 $Y_n = \sinh(n\pi y/L)$입니다. 이번에는 진동도 감쇠도 아닌 쌍곡 사인이 나옵니다.

최대 원리는 직관과 맞습니다. 열원이 없는 판의 내부가 가장자리보다 뜨거울 수는 없습니다. 평균값 성질은 수치 해법도 알려 줍니다. 격자에서 "각 점 = 상하좌우 네 이웃의 평균"을 되풀이해 고치면 해로 수렴합니다. 이것이 야코비 반복이고, 고친 값을 즉시 쓰면 가우스–자이델, 고칠 양을 $\omega$배 과장하면 SOR(축차 과완화)입니다.

유한 차분법과 안정성 조건

격자 $x_i = i\Delta x$, $t^k = k\Delta t$에서 $u_i^k \approx u(x_i, t^k)$라 하고, 시간 미분은 앞차분, 공간 2계 미분은 중심 차분으로 바꿉니다(5장의 오일러 방법을 각 격자점에 쓴 것).

그림의 논증을 정확하게 만드는 것이 폰 노이만 안정성 분석입니다. 격자 위의 푸리에 모드 $u_i^k = G^k e^{\mathrm i\theta i}$를 넣으면 모드마다 한 걸음에 곱해지는 증폭 인자 $G$가 나옵니다.

이 조건은 꽤 가혹합니다. 정확도를 위해 $\Delta x$를 절반으로 줄이면 $\Delta t$는 1/4로 줄여야 하고, 전체 계산량은 8배가 됩니다. 그래서 실무에서는 다음 시각 값들을 연립 방정식으로 함께 푸는 음적 방법(뒤 오일러, 크랭크–니콜슨)을 자주 씁니다. 이들은 어떤 $r$에서도 안정합니다. 5장의 강성 방정식에서 본 이야기가 편미분방정식에서 그대로 되풀이됩니다. 높은 공간 모드의 감쇠율 $\alpha n^2\pi^2/L^2$이 매우 커서 시스템이 강성하기 때문입니다.

파동 방정식도 같은 방식으로 차분화합니다. 시간 2계 미분도 중심 차분으로 바꾸면 $u_i^{k+1} = 2u_i^k - u_i^{k-1} + C^2(u_{i+1}^k - 2u_i^k + u_{i-1}^k)$이고, $C = c\Delta t/\Delta x$를 쿠랑 수(Courant number)라 합니다.

CFL 조건에는 아름다운 해석이 있습니다. 수치 방법에서 한 점의 값은 한 걸음에 이웃 한 칸까지만 정보를 받으므로, 수치적 의존 영역은 기울기 $\Delta x/\Delta t$의 원뿔입니다. 진짜 해의 의존 영역은 기울기 $c$의 원뿔(특성선)입니다. 수치 원뿔이 진짜 원뿔을 품지 못하면($c\Delta t > \Delta x$), 수치 방법은 해를 정하는 정보의 일부를 아예 보지 못하고, 어떤 격자를 써도 맞는 답에 수렴할 수 없습니다. 흥미롭게도 $C = 1$이면 이 차분법은 격자점에서 정확한 해를 줍니다.

응용: 반도체 확산, 악기 줄, 정전기 퍼텐셜

도펀트 농도 $C(x, t)$는 확산 방정식 $C_t = DC_{xx}$를 따릅니다. 웨이퍼 두께는 확산 길이보다 훨씬 크므로 반무한 영역 $x \ge 0$으로 봅니다. 공정은 두 단계가 대표적입니다.

• 선확산(표면 농도 일정, $C(0, t) = C_s$): $C = C_s\operatorname{erfc}\bigl(x/(2\sqrt{Dt})\bigr)$. 여기서 $\operatorname{erfc} = 1 - \operatorname{erf}$는 여오차 함수다. 들어간 총량은 $Q = 2C_s\sqrt{Dt/\pi}$로 시간의 제곱근에 비례해 는다.
• 주입 후 확산(총량 $Q$ 고정, 표면에서 드나듦 없음): $C = \dfrac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}\exp\bigl(-x^2/(4Dt)\bigr)$. 가우스 분포가 넓어지며 표면 농도가 $1/\sqrt t$로 준다.

두 해 모두 $x$와 $t$가 $x/\sqrt{Dt}$로만 묶여 나타납니다. 열 방정식의 기본 척도 "퍼지는 거리 ∝ $\sqrt{\text{시간}}$"입니다. 앞 절의 $t \propto L^2$과 같은 말입니다.

이 도구가 쓰이는 곳

열·파동·라플라스 방정식은 각각 포물형·쌍곡형·타원형 편미분방정식의 원형입니다. 확산은 퍼지고 매끄러워지며(포물형), 파동은 유한한 속도로 모양을 실어 나르고(쌍곡형), 정상 상태는 경계값 전체가 안쪽을 한꺼번에 정합니다(타원형). 유한 요소법·유한 체적법 같은 산업용 해석 도구는 모두 이 세 원형의 성질을 지키도록 설계됩니다.

맺으며: 지금 상태가 다음 순간을 정한다

이 책은 한 문장에서 출발했습니다. 미분방정식은 지금 상태가 다음 순간을 정하는 규칙이고, 해는 그 규칙을 따라 그린 곡선이다. 1장의 방향장에서 그 규칙은 평면 위의 작은 기울기 화살표였고, 이 장의 열 방정식에서는 막대의 모든 점이 이웃과 비교해 "봉우리는 내려가고 골짜기는 올라가라"고 말하는 규칙이었습니다. 규칙의 무대가 점 하나에서 곡선 전체로 넓어졌을 뿐, 생각의 틀은 같습니다.

그 사이에 우리는 두 주인공을 만났습니다. 선형 방정식에서는 지수 함수 $e^{\lambda t}$와 고유값이 모든 것을 정했습니다. 2장의 붕괴율, 6–8장의 특성근과 공진, 9–10장 전달 함수의 극점, 11장 행렬의 고유값, 그리고 15–16장의 공간 고유값 $(n\pi/L)^2$까지, 해를 "따로 움직이는 모드"로 쪼개고 각 모드의 $\lambda$를 읽는 같은 기술이었습니다. 비선형 방정식에서는 평형점과 안정성이 주인공이었습니다. 4장의 위상선, 12장의 선형화와 리아푸노프 함수, 13장의 분기와 혼돈은 식을 풀 수 없을 때도 해의 운명을 그림으로 읽는 방법이었습니다. 그리고 5장과 이 장의 수치 해법은 손이 닿지 않는 곳까지 해를 따라가되, 걸음이 규칙의 시간 척도를 존중해야 한다는 것을 가르쳐 주었습니다.

여기서 길은 여러 갈래로 이어집니다. 2차원·3차원의 편미분방정식과 유한 요소법, 제어 이론의 상태 공간 설계, 확률 미분방정식, 유체의 나비에–스토크스 방정식, 양자역학의 슈뢰딩거 방정식 모두 이 책의 세 가지 질문을 다시 묻습니다. 규칙은 무엇인가, 그림은 어떻게 생겼는가, 어떤 모드로 쪼갤 수 있는가. 새로운 방정식을 만나면 먼저 그 규칙이 지금 상태에서 다음 순간을 어떻게 정하는지 물어보세요. 해는 그 규칙을 따라 그린 곡선입니다.