Chapter 17 · 부록

용어집 & 종합 퀴즈

열여섯 장을 지나오며 극한, 도함수, 정적분, 테일러 급수, 그래디언트, 플럭스 같은 많은 이름을 만났습니다. 문제를 풀 때 실제로 필요한 것은 대개 두 가지입니다. "이 꼴의 미분·적분은 무엇이었지?"와 "이 급수(또는 이 적분)는 어떤 도구로 다루지?" 이 장은 공식 한눈표와 판정법 고르기로 시작해, 책 전체를 꿰는 경계와 내부의 정리를 한 표에 모으고, 용어를 검색한 뒤, 전 범위 종합 퀴즈로 마무리합니다.

기본 함수의 도함수·부정적분과 미분 법칙을 한눈에 확인한다.
급수의 항 모양을 보고 알맞은 수렴 판정법을 고르고, 부분합으로 확인한다.
직교·극·원기둥·구면 좌표의 넓이·부피 요소를 비교한다.
미적분의 기본 정리에서 발산 정리까지 다섯 정리가 같은 모양임을 설명한다.
미적분 용어를 검색하고, 종합 퀴즈로 약한 장을 찾는다.

공식 한눈표

외울 공식은 생각보다 적습니다. 아래 기본 함수의 도함수와 세 가지 법칙(곱·몫·연쇄)이면 초등 함수의 도함수는 모두 구할 수 있고, 부정적분 표는 같은 표를 거꾸로 읽은 것입니다. 각 공식이 어디서 나왔는지는 오른쪽 장에서 다시 볼 수 있습니다.

함수 $f(x)$	도함수 $f'(x)$	장
$x^n$	$n x^{n-1}$	03
$e^x$	$e^x$	04
$a^x$	$a^x \ln a$	04
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	04
$\sin x$	$\cos x$	04
$\cos x$	$-\sin x$	04
$\tan x$	$\sec^2 x$	04
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	04
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	04

함수 $f(x)$	부정적분 $\int f\,dx$ ( $+C$ 생략)	장
$x^n\ (n \ne -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	08
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$	08
$e^x$	$e^x$	08
$\sin x$	$-\cos x$	08
$\cos x$	$\sin x$	08
$\sec^2 x$	$\tan x$	08
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x$	09
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$	09
$\ln x$	$x\ln x - x$	09

법칙	미분	거꾸로 읽은 적분 기법	장
곱의 법칙	$(uv)' = u'v + uv'$	부분 적분 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$	03 · 09
연쇄 법칙	$\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x))\,g'(x)$	치환 적분 $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$	04 · 08
몫의 법칙	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	(직접 대응하는 기법은 없고, 유리 함수는 부분 분수로 쪼갠다)	03 · 09

검산은 미분으로 부정적분은 답을 미분해서 원래 함수가 나오는지 보면 언제나 검산할 수 있습니다. 예를 들어

\int \ln x\,dx = x\ln x - x

는

(x\ln x - x)' = \ln x + 1 - 1 = \ln x

로 바로 확인됩니다. 반대로

e^{-x^2}

처럼 초등 함수로 쓰이는 부정적분이 아예 없는 함수도 많습니다. 그때는 급수(12장)나 수치 적분(9장)으로 값을 구합니다.

급수 판정법 고르기

급수의 수렴 판정법은 여럿이지만, 항 $a_n$ 의 모양을 보면 어느 것을 먼저 쓸지 대개 정해집니다. 먼저 항이 0으로 가는지 보고(가지 않으면 바로 발산), 그다음 항의 모양에 맞는 판정법을 고릅니다. 아래에서 모양을 고르면 추천 판정법과 함께 예시 급수의 부분합 $S_N$ 이 그려집니다.

GUIDE

이 급수, 어떤 판정법으로?

항의 모양

예시 급수—

S₂₀₀—

참값—

해볼 것: ① '1/nᵖ'와 'f(n), 적분 쉬움'을 비교하세요. 둘 다 부분합이 천천히 움직이지만 하나는 π²/6에 멈추고, 하나는 ln ln N처럼 아주 느리게 끝없이 커집니다. ② '(−1)ⁿ 교대'의 부분합은 참값 ln 2 위아래를 오가며, 오차가 다음 항보다 작습니다. ③ '항 → 0 아님'은 계산할 필요도 없이 발산합니다. 안내는 교과서 수준의 일반 원칙이며, 같은 급수에 여러 판정법이 통할 때도 많습니다.

판정법	언제	결론	장
발산 판정	언제나 맨 먼저	$a_n \not\to 0$ 이면 발산. $a_n \to 0$ 이어도 수렴한다는 뜻은 아니다	11
기하 급수	$\sum ar^n$	$\lvert r\rvert \lt 1$ 이면 합 $\dfrac{a}{1-r}$ , 아니면 발산	11
p-급수 · 비교	$\sum 1/n^p$ , 유리식	$p > 1$ 이면 수렴. 유리식은 분모·분자 차수 차이를 p로 보고 극한 비교	11
적분 판정	$a_n = f(n)$ , f 양수·감소, 적분이 쉬움	$\int_1^\infty f\,dx$ 와 수렴·발산이 같다	11
비 판정	계승 $n!$ , 지수 $a^n$	$L = \lim \lvert a_{n+1}/a_n\rvert$ : $L \lt 1$ 절대 수렴, $L > 1$ 발산, $L = 1$ 판정 불가	11
근 판정	항 전체가 n제곱 $(b_n)^n$	$L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ : 비 판정과 같은 결론	11
교대 급수 판정	$\sum (-1)^n b_n$ , $b_n$ 감소 → 0	수렴. 오차 $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$ . 절대 수렴인지 먼저 확인	11
거듭제곱 급수	$\sum c_n (x-a)^n$	비·근 판정으로 수렴 반지름 R, 끝점은 따로 확인	12

좌표계와 넓이·부피 요소

중적분에서 좌표계를 바꿀 때 가장 자주 틀리는 곳은 넓이·부피 요소입니다. 작은 사각형 $dx\,dy$ 는 극좌표에서 $dr\,d\theta$ 가 아니라 $r\,dr\,d\theta$ 입니다. 원점에서 멀수록 같은 $d\theta$ 가 더 긴 호를 쓸기 때문입니다. 이 배율이 야코비안 행렬식입니다(15장, LinearBook 10장).

좌표계	변환	요소	잘 맞는 영역
직교 (2D)	$(x, y)$	$dA = dx\,dy$	직사각형, 곡선 사이
극좌표	$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$	$dA = r\,dr\,d\theta$	원판, 고리, 부채꼴
일반 변환	$(x, y) = T(u, v)$	$dA = \left\lvert \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right\rvert du\,dv$	평행사변형, 기울어진 영역
원기둥 좌표	$(r\cos\theta, r\sin\theta, z)$	$dV = r\,dz\,dr\,d\theta$	원기둥, 회전체
구면 좌표	$(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)$	$dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$	공, 원뿔, 껍질

경계와 내부: 다섯 개의 같은 정리

책의 처음과 끝은 같은 문장으로 이어집니다. "안쪽에서 도함수를 모두 더하면, 경계에서의 값만 남는다." 1차원 구간에서는 미적분의 기본 정리, 곡선에서는 선적분의 기본 정리, 평면 영역에서는 그린 정리, 곡면에서는 스토크스 정리, 입체에서는 발산 정리입니다. 안쪽의 작은 조각끼리 맞닿은 면은 서로 상쇄되고 바깥 경계만 남는다는 같은 그림입니다.

정리	안쪽(도함수의 적분)	경계	장
미적분의 기본 정리	$\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx$	$F(b) - F(a)$	08
선적분의 기본 정리	$\displaystyle\int_C \nabla f\cdot d\mathbf r$	$f(\mathbf r(b)) - f(\mathbf r(a))$	16
그린 정리	$\displaystyle\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$	$\displaystyle\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy$	16
스토크스 정리	$\displaystyle\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S$	$\displaystyle\oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r$	16
발산 정리	$\displaystyle\iiint_E \nabla\cdot\mathbf F\,dV$	$\displaystyle\iint_{\partial E} \mathbf F\cdot d\mathbf S$	16

한 줄 요약 미분은 "작은 조각의 순변화", 적분은 "조각을 모두 더하기"입니다. 이웃한 조각의 변화는 서로 지워지므로, 전체의 합은 가장자리에서만 결정됩니다. 미분방정식과 전자기학, 유체역학은 이 관점 위에 서 있습니다.

용어집

종합 퀴즈

열여섯 장 전 범위에서 두 문제씩 골랐습니다. 틀린 문제는 괄호 안의 장으로 돌아가 시뮬레이터를 다시 만져 보세요.

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